高校数学III 平均値の定理による評価—導関数の上下限から関数値の差を挟む｜武蔵野個別指導塾

指数関数と対数関数の差を導関数で挟み、負の区間幅と等号を点検する平均値評価です。

よくあるのは、理系高3の演習で、関数値の差を平均値の定理で表した後、負の区間幅を掛けても不等号を変えないという場面です。導関数の大小は正しく調べたのに、最後の掛け算で上下が入れ替わり、ありえない範囲を答えてしまいます。差の向きと区間の向きは別々に決められます。まず左端から右端への差を評価し、必要なら最後に符号を変える方法を身につけましょう。

要点（結論から）

• 連続性と微分可能性を閉区間と開区間でそれぞれ確かめます。
• 正の区間幅を使って導関数の範囲から差を挟みます。
• 差を逆にするときは不等号と両端の順序を反転させます。

差の評価にはどんな問いがあるか

1つ目は、2点の値が指定された指数関数や対数関数について、その差を具体的な数で上下から挟む問いです。差そのものを直接計算しても、指定された形の数とは比べにくいことがあります。そこで、2点の間で導関数がどの範囲に入るかを調べます。

2つ目は、文字で表された2点について評価する問いです。文字の大小が決まっていなければ区間幅の符号も決まりません。大小で場合を分けるか、小さい点から大きい点へ向かう差を先に作ります。同じ点の場合は平均値の定理を使う必要がなく、差は0です。

3つ目は、等号を含む不等号で評価した後、等号が実際に成立するか問うものです。導関数が区間内では上限や下限に達しない場合、平均値の定理が与える点も内部にあるので、評価は狭義の不等式になります。端点での等号と内部での等号を区別します。

割線の傾きを導関数で挟む

a < b とします。関数 f が閉区間 [a, b] で連続、開区間 (a, b) で微分可能なら、平均値の定理により、ある c が a < c < b を満たし、次が成り立ちます。

f(b) - f(a) = f′(c)(b - a)

左辺を正の幅 b − a で割ったものは、2点を結ぶ割線の傾きです。この傾きが、区間内部のある点の導関数の値に等しくなります。c の具体値が求まらなくても、導関数の範囲がわかれば差を評価できます。

たとえば、区間内のすべての x に対して m ≤ f′(x) ≤ M なら、c もその区間にあるので m ≤ f′(c) ≤ M です。b − a > 0 を掛ければ、不等号の向きは変わりません。

m(b - a) ≤ f(b) - f(a) ≤ M(b - a)

図1のように、導関数の範囲を先に決め、正の幅を掛けて差の範囲に移します。m と M は必ずしも最小値と最大値でなくても構いません。ただし、選んだ範囲が区間全体を覆う根拠が必要です。

図1では幅が正であることが矢印の前提です。差を逆にすると f(a) − f(b) = -(f(b) − f(a)) ですから、両端も符号を変えて順に並べ直します。負の数を掛けると大小が逆になるためです。

-M(b - a) ≤ f(a) - f(b) ≤ -m(b - a)

両端の等号は、対応する f′(c) = m または f′(c) = M が内部の c で可能か調べます。境界が導関数の真の最小値・最大値とは限らないので、等号を機械的に残してはいけません。逆に、導関数が一定の関数なら両端の等号が成立する場合もあります。

条件が欠けると定理は使えません。たとえば f(x) = 1/x は 0 を含む区間で定義されず、左右の値が存在してもその間を一つの連続な区間として扱えません。f(x) = |x| は [-1, 1] で連続ですが、内部の 0 で微分可能ではありません。これらは条件の検査で止める例です。定理が使えないことと、たまたま結論が成り立たないことは同じ主張ではありません。

基本例題：対数の差を正の幅で挟む

問題：自然対数を用い、log 5 − log 3 を有理数で上下から挟んでください。導関数の端点での値を境界として用い、等号の成立も調べます。

f(x) = log x と置きます。3 ≤ x ≤ 5 では真数が正なので、f は閉区間で連続、内部で微分可能です。したがって、ある c が 3 < c < 5 を満たし、次が成り立ちます。

log 5 - log 3 = f′(c)(5 - 3)
f′(x) = 1/x
log 5 - log 3 = 2/c

3 < c < 5 の両端は正です。逆数を取ると大小が逆になるので、次を得ます。

1/5 < 1/c < 1/3
2/5 < 2/c < 2/3
2/5 < log 5 - log 3 < 2/3

図2のように、c は端点ではありません。導関数 1/x はこの区間で厳密に減少するので、端点の値 1/5 と 1/3 は内部では取られません。したがって、上の評価のどちらの等号も成立しません。

検算では幅が 2 であることと、上の境界が左端の導関数から来ることを元の区間に戻して確認します。左端が小さいからといって、導関数の値も小さいとは限りません。図2の右下がりの形は、その取り違えを防ぎます。

標準例題：逆向きの指数関数の差

問題：e² − e⁴ を、e² と e⁴ を含む式で上下から評価してください。端点での導関数の値を境界に用い、等号の成立を答えます。

f(x) = eˣ は [2, 4] で連続、(2, 4) で微分可能です。求める差は右端から左端へ向くので、まず正の幅の差を求めます。ある c が 2 < c < 4 を満たし、

f′(x) = eˣ
e⁴ - e² = eᶜ(4 - 2)
e⁴ - e² = 2eᶜ

指数関数は厳密に増加するので、2 < c < 4 から次を得ます。

e² < eᶜ < e⁴
2e² < e⁴ - e² < 2e⁴
-2e² > e² - e⁴ > -2e⁴
-2e⁴ < e² - e⁴ < -2e²

よって求める範囲は -2e⁴ < e² − e⁴ < -2e² です。符号を変える行では不等号も反転し、最後に小さいものを左へ並べました。c が内部にあり指数関数が厳密に増加するため、どちらの等号も成立しません。

元の差は e² < e⁴ から負です。上下の境界も負であり、-2e⁴ の方が -2e² より小さいことが元の順序と合っています。この符号確認は誤りを見つける助けになりますが、それだけで境界の正しさを証明したことにはなりません。

発展例題：文字の順序と等号

問題：正の実数 u, v に対して、log v − log u を u, v と |v − u| を用いて評価します。u と v の大小を含め、等号がいつ成立するか答えてください。

まず u < v の場合です。log x は [u, v] で連続、(u, v) で微分可能です。ある c が u < c < v を満たし、

log v - log u = (v - u)/c
1/v < 1/c < 1/u
(v - u)/v < log v - log u < (v - u)/u

ここで v − u > 0 を使いました。c は端点にないので、どちらの等号もありません。

次に u > v の場合です。[v, u] で同じ定理を使うと、ある d が v < d < u を満たします。

log u - log v = (u - v)/d
1/u < 1/d < 1/v
(u - v)/u < log u - log v < (u - v)/v
-(u - v)/v < log v - log u < -(u - v)/u

負の数を掛けた後に両端を並べ替えました。u = v なら元の差は log u − log u = 0 です。定理の区間に同じ端点を入れる必要はありません。

3つの場合を一つの評価にまとめるには絶対値を使えます。u と v の小さい方を p、大きい方を q とすると、u ≠ v では p < q、q − p = |v − u| です。

|v - u|/q < |log v - log u| < |v - u|/p

u = v のときは p = q = u > 0 で、両端も中央も0です。したがって、狭義でない不等号にすれば正の u, v 全体について成立し、左右いずれの等号も u = v のとき、かつそのときに限って成立します。元の差の向きまで必要な問題では、絶対値を取る前の2つの場合の式を答えます。

誤答を直す：負の幅を見落としたら

誤答例は、標準例題で e² < eᶜ < e⁴ に -2 を掛けながら、-2e² < e² − e⁴ < -2e⁴ と書くものです。実際には e² < e⁴ なので、左端の -2e² は右端の -2e⁴ より大きく、挟む式そのものが矛盾しています。

図3のように、正の幅で差を評価してから、符号を変えた各項の大小を反転させます。数直線上では、符号を変える操作は0を中心に位置を反転させます。正の数の大小が負の数の大小にそのまま残るわけではありません。

図3の上下を見比べた後、式でも -2e⁴ < e² − e⁴ < -2e² と書き直します。別の失敗として、log x を負の数から正の数まで同じ区間で扱うことがあります。このときは符号の操作以前に、真数が正という定義域を満たさず、平均値の定理をその区間に適用できません。まず区間全体が定義域に入るかに戻ります。

また、導関数が端点で境界値を取ることから、差の評価でも等号を付ける誤りがあります。平均値の定理の点は開区間の内部です。内部で境界値を取れるかを確認し、取れなければ等号を外します。区間幅が0の場合は、内部の点を探さず差を直接計算します。

区間全体での境界を探すとき、導関数の単調性を調べることが有効です。ただし、導関数が増加するか減少するかを確かめず、入力の大小をそのまま出力の大小として写すことはできません。上限と下限が端点から得られない場合も、内部を含む区間全体で成立する別の境界を選べば同じ定理を使えます。境界が粗ければ結論の幅も広くなりますが、成立する範囲であることと、最も狭い範囲であることは別の問題です。

また、差が正か負かは、導関数の符号と差の向きから確かめられます。対数関数と指数関数の導関数はそれぞれの定義域で正ですから、右端の値から左端の値を引けば正です。逆向きの差なら負です。この点検は、計算で得た両境界と元の差が両立するかを確認する手がかりになります。

練習問題

次の5問は、いずれも自然対数を log とします。評価の境界は指定された形で正確に表し、等号の有無も答えてください。

1. log 7 − log 4 を、導関数の端点の値から得られる有理数で挟んでください。
2. e³ − e を、e と e³ を含む式で挟んでください。
3. log 2 − log 6 を、導関数の端点の値から得られる有理数で挟んでください。
4. 0 < h に対し、eʰ − 1 を h と eʰ を用いて挟んでください。
5. 0 < s < t に対し、log t − log s を s, t を用いて挟んでください。

答えと解き方

1. f(x) = log x は [4, 7] で連続、内部で微分可能です。ある c が 4 < c < 7 を満たし、差は 3/c です。1/7 < 1/c < 1/4 より、答えは 3/7 < log 7 − log 4 < 3/4 です。幅は 7 − 4 = 3 で、c は端点にないため等号はありません。

2. f(x) = eˣ は [1, 3] で連続、内部で微分可能です。ある c が 1 < c < 3 を満たし、差は 2eᶜ です。e < eᶜ < e³ より、2e < e³ − e < 2e³ です。元の幅 3 − 1 = 2 に戻して係数を確かめます。等号はありません。

3. log x は [2, 6] で連続、内部で微分可能です。ある c が 2 < c < 6 を満たし、log 6 − log 2 = 4/c です。2/3 < 4/c < 2 なので、符号を反転して -2 < log 2 − log 6 < -2/3 です。元の差は負で、幅は 4 です。等号はありません。

4. eˣ は [0, h] で連続、内部で微分可能です。ある c が 0 < c < h を満たし、eʰ − 1 = heᶜ です。1 < eᶜ < eʰ と h > 0 から、h < eʰ − 1 < heʰ です。h が正なので区間の順序も正しく、等号はありません。

5. log x は [s, t] で連続、内部で微分可能です。ある c が s < c < t を満たし、log t − log s = (t − s)/c です。1/t < 1/c < 1/s に正の t − s を掛け、(t − s)/t < log t − log s < (t − s)/s を得ます。幅を元の2点の差に戻すと t − s > 0 であり、等号はありません。

要点

• 連続性と微分可能性を閉区間と開区間でそれぞれ確かめます。
• 正の区間幅を使って導関数の範囲から差を挟みます。
• 差を逆にするときは不等号と両端の順序を反転させます。
• 等号は定理の点が内部にあることから調べます。
• 端点が一致するときは差を直接求めます。

つまずきの診断

個別に解答を確かめるときは、最初に「定理を使う区間の左端と右端はどれか」を問い直します。次に導関数の範囲を示す行で、区間全体に対する根拠と、逆数を取ったときの向きを確認します。最後に差が問題の向きと一致するか、等号の候補が内部で実現するかを尋ねます。式の各行に正負と条件を書き添えれば、負の幅による反転も追跡できます。差の向きを整えることが、評価の境界を正しく読む出発点です。