高校数学III 微分法｜導関数の定義から陰関数・高次導関数まで｜武蔵野個別指導塾

導関数の公式を覚えても、使う条件や途中式で迷う高校生に向けた微分法の目次です。差商による定義から積・商・合成関数、逆関数、三角関数、指数対数、陰関数、媒介変数、高次導関数へ進みます。各項目に基本・標準・発展の自作例題と練習5問を置き、計算の理由と誤りを直す手順を確かめます。

微分係数と導関数の違いで止まるときは最初の5項目から読みます。積と商の整理や合成の掛け忘れが課題なら、該当する公式の導出と対応表から確かめてください。

三角関数は弧度法、指数対数は底と真数を確かめながら進めます。陰関数と媒介変数は微分する変数が要点です。公式の計算を確認してから二階以上の導関数へ進めます。

定義と微分可能性

• 高校数学III 微分係数の定義—差商の極限から一点の変化率を求め直す
• 高校数学III 導関数の定義—一点の値と関数としての導関数を区別して求める
• 高校数学III 微分係数型の極限—定義と比較して増分の係数を正しく合わせる
• 高校数学III 左右の微分係数—絶対値の接続点で差商の一致を確かめる
• 高校数学III 区分関数の微分可能性—連続条件と傾きの条件を分けて定数を決める

積・商・合成と逆関数

• 高校数学III 積の微分公式—差商を二つに分けて公式の理由をたどる
• 高校数学III 三つの関数の積の微分—一つずつ微分する項を落とさず整理する
• 高校数学III 商の微分公式—分母の条件と分子の引く順を確かめる
• 高校数学III 逆数と負の整数乗の微分—商とべきの公式をつなげて計算する
• 高校数学III 合成関数の微分法—内側と外側の変数を対応させて求める
• 高校数学III 多重の合成関数の微分—三層の対応表から掛ける導関数をそろえる
• 高校数学III 有理数乗の微分—根号の定義域と端点での微分可能性を調べる
• 高校数学III 逆関数の微分公式—対応する二点と導関数の条件を確かめる
• 高校数学III 逆関数の微分係数—逆関数の式を解かずに対応点から値を求める

三角関数の導関数

• 高校数学III 正弦関数の導関数—加法定理と基本極限から公式を導く
• 高校数学III 余弦関数の導関数—差商の変形から負号が付く理由を確かめる
• 高校数学III 正接関数の導関数—商の公式から分母と定義域を読み取る
• 高校数学III 三角関数の積と商の微分—恒等変形による別解と公式を照合する

指数対数と対数微分法

• 高校数学III 自然指数関数の導関数—自然対数の底と増分の極限を結びつける
• 高校数学III 一般の底の指数関数の微分—自然指数へ直して係数を確かめる
• 高校数学III 自然対数関数の導関数—逆関数の公式から真数条件つきで導く
• 高校数学III 底が異なる対数関数の微分—底の変換と真数条件を整理する
• 高校数学III 絶対値を含む対数の微分—正負の区間から同じ導関数を導く
• 高校数学III 対数微分法による積と商—関数の符号を確かめて式を整理する
• 高校数学III 変数を指数に持つ関数の微分—底と指数の変化を対数から追う

陰関数・媒介変数・高次導関数

• 高校数学III 陰関数の微分法—積と合成を区別してyの導関数を求める
• 高校数学III 陰関数の第二次導関数—関係式を保って二度目の微分を進める
• 高校数学III 媒介変数表示の微分法—変化率の比と例外の点を見分ける
• 高校数学III 媒介変数表示の第二次導関数—微分する変数を確かめて換算する
• 高校数学III 高次導関数の規則性—数回の微分から一般の形を予想し証明する

答えが合っていても、分母が零になる点や対数の真数条件を落としていないか、問題文と途中式を照らしてみてください。