高校数学III 微分係数型の極限—定義と比較して増分の係数を正しく合わせる｜武蔵野個別指導塾

入力の増分がkhとなる極限や差を逆順に引く極限を、微分係数の定義と照合して係数と符号を決めます。

演習ノートで、f(a + 3h) − f(a) を h で割った式を見て、内側の係数 3 を落としてしまう場面がよくあります。h が 0 に近づくことには気づいていても、関数の入力が実際にどれだけ変わったかを見失うと、答えが違います。差商の分母と入力の増分を並べて、どの係数が外に残るかを追います。

どの形を見つけるか

まず、f(a + kh) − f(a) を h で割る形です。関数の入力は a から kh だけ変わっています。分母は h なので、定義そのものにするには k を補う必要があります。k が負なら、入力は h と反対向きに動きますが、両側からの極限であることと符号を区別して考えます。

次に、f(a) − f(a + kh) のように差の順序が逆の形です。増分の係数だけを見ても足りません。分子を定義の順序に戻すときに負号が付きます。さらに、2つの動く入力の差を扱う場合もあります。基準点を間に入れて差を2つに分ければ、それぞれの増分と分母を照合できます。

いずれも、使う点での微分可能性が前提です。単に分子と分母がともに 0 に近づくという情報から、極限値を決めることはできません。ここでは微分係数への帰着に必要な極限を扱い、極限の一般的な計算法には広げません。

増分を定義に合わせる

関数 f が a の近くで定義され、a で微分可能であるとは、次の有限な極限が存在することです。この値を f′(a) と表します。

f′(a) = lim[t→0] (f(a + t) - f(a))/t

差商では t ≠ 0 です。t = 0 を分母に代入するのではなく、0 以外の値で作った比が近づく値を調べます。a は固定した点で、t はそこからの入力の増分です。f(a + t) − f(a) は出力の増分であり、分母の入力の増分と同じ順序で取っています。

k を 0 でない定数とし、t = kh と置きます。h ≠ 0 なら t ≠ 0 で、h → 0 のとき t → 0 です。逆に t → 0 のとき h = t/k → 0 なので、t は 0 の両側から近づきます。k が負でも両側が入れ替わるだけで、この対応は変わりません。

(f(a + kh) - f(a))/h
= k (f(a + kh) - f(a))/(kh)
→ kf′(a)

図1のように、入力の増分 kh と元の分母 h を見比べます。定義の分母に直すために kh で割り、その代わりに外へ k を掛けています。分子を変えずに分母だけを h から kh に替えてはいけません。

図1では k ≠ 0 を仮定しています。k = 0 なら kh で割れませんが、元の分子は常に 0 なので、h ≠ 0 で式は 0、極限も 0 です。一般式の値 kf′(a) はこの場合も 0 ですが、導出の割り算をそのまま使うことはできません。

差の順序が反対なら、f(a) − f(a + kh) = -(f(a + kh) − f(a)) です。したがって極限は -kf′(a) です。負号は「差を反転したこと」と「k の符号」の2か所から生じうるので、両方を別々に記録します。たとえば k < 0 で差も逆なら、2つの負号が掛かります。

微分可能性を仮定できない場合も確認します。f(x) = |x| を a = 0 で考えると、(f(h) − f(0))/h は h > 0 で 1、h < 0 で -1 です。両側の値が一致しないため微分係数は存在せず、定義の式を数値として使えません。式が似ていることと、必要な極限が存在することは別の条件です。

基本例題：正の増分を分母に戻す

f(x) = x² + 2x とします。次の極限を整数で求めてください。

lim[h→0] (f(2 + 3h) - f(2))/h

多項式 f は 2 で微分可能です。入力の増分は 3h ですから、図2のように分母を 3h にそろえ、その分 3 を外に置きます。

図2の矢印に沿って、定義の差商と係数を別々に読みます。f′(x) = 2x + 2 なので f′(2) = 6 です。これを使う計算は次のとおりです。

(f(2 + 3h) - f(2))/h
= 3 (f(2 + 3h) - f(2))/(3h)
→ 3f′(2)
= 3・6
= 18

元の式でも確認します。h ≠ 0 として展開すると、定義に戻した計算と同じ値になります。

f(2) = 2² + 2・2 = 8
f(2 + 3h) = (2 + 3h)² + 2(2 + 3h)
= 8 + 18h + 9h²
(f(2 + 3h) - f(2))/h
= (18h + 9h²)/h
= 18 + 9h
→ 18

差商の分母が 3h なら極限は 6、元の分母はその3分の1の h なので結果は3倍です。この比較は係数の向きを取り違えたときの点検になります。展開による確認では、h で約分する前に h ≠ 0 を使っています。

標準例題：負の増分と逆順

f(x) = x³ − 2x とします。次の極限を整数で求めてください。

lim[h→0] (f(1) - f(1 - 2h))/h

f は多項式なので 1 で微分可能です。入力の増分は -2h、分子は定義とは逆の順序です。まず順序を直してから、増分を分母に合わせます。

(f(1) - f(1 - 2h))/h
= -(f(1 - 2h) - f(1))/h
= 2 (f(1 - 2h) - f(1))/(-2h)
→ 2f′(1)

f′(x) = 3x² − 2 なので、f′(1) = 1 です。したがって答えは 2 です。h が正のとき入力は 1 より小さくなりますが、h が両側から 0 に近づくと入力も両側から 1 に近づきます。

元の分子へ戻して符号を点検します。f(1) = -1 であり、展開すると次のようになります。

f(1 - 2h) = (1 - 2h)³ - 2(1 - 2h)
= -1 - 2h + 12h² - 8h³
(f(1) - f(1 - 2h))/h
= (2h - 12h² + 8h³)/h
= 2 - 12h + 8h²
→ 2

差の順序を直した負号と、増分の係数 -2 は別のものです。途中を飛ばして「負の方向だから負」と決めると、2つの符号を混同します。元の分子に小さな正の h を入れたときの符号も、途中式と照らす手がかりです。

発展例題：動く2点の間に基準点を入れる

f(x) = x² − x とします。次の極限を整数で求めてください。

lim[h→0] (f(3 + 2h) - f(3 - 4h))/h

2つの入力はどちらも 3 に近づきます。f は多項式なので 3 で微分可能です。一方の入力を固定点と取り違えず、間に f(3) を加えて引きます。これで2つの差商を同じ点の微分係数に対応させられます。

f(3 + 2h) - f(3 - 4h)
= {f(3 + 2h) - f(3)} + {f(3) - f(3 - 4h)}

第1項の入力の増分は 2h です。第2項は増分 -4h で、差の順序が逆です。h ≠ 0 でそれぞれ変形します。

(f(3 + 2h) - f(3))/h
= 2 (f(3 + 2h) - f(3))/(2h)
→ 2f′(3)

(f(3) - f(3 - 4h))/h
= 4 (f(3 - 4h) - f(3))/(-4h)
→ 4f′(3)

f′(x) = 2x − 1 から f′(3) = 5 です。2つの極限がともに存在するので和の極限を取れます。

2f′(3) + 4f′(3)
= 6・5
= 30

実際の入力を元の関数に戻しても同じです。f(3) = 6 を基準にすると、2つの値は次のように表せます。

f(3 + 2h) = 6 + 10h + 4h²
f(3 - 4h) = 6 - 20h + 16h²
(f(3 + 2h) - f(3 - 4h))/h
= (30h - 12h²)/h
= 30 - 12h
→ 30

2つの入力の差は 6h ですが、それをそのまま使うには動く点どうしの差商が f′(3) に近づくことを別に示す必要があります。ここでは固定点 3 を挟むことで、仮定した微分可能性から直接たどりました。片方の係数が 0 のときも、対応する差は 0 として別に扱えば同じ分解が使えます。

誤答をほどく：分母の取り替え

基本例題で、次のように書いて 6 とする誤答を考えます。

(f(2 + 3h) - f(2))/h → f′(2) = 6

分子は 2 から 3h だけ入力を動かした差ですが、分母は h です。定義の差商に見える部分の分母は 3h なので、そのまま f′(2) とすることはできません。図3のように、元の式と定義に合わせた式を等号でつなぐには 3 が必要です。

図3の右側では、分母を3倍にした分、比は3分の1になるため、外側で3倍して元に戻します。正しくは 3f′(2) = 18 です。増分が -3h なら外側は -3 となり、差の順序も逆ならさらに負号を付けます。

もう1つの失敗は、微分可能性が与えられていない関数に同じ結論を使うことです。たとえば先ほどの |x| の 0 では、左右の差商が異なります。係数を合わせる操作が正しくても、基になる極限が存在しなければ数値の答えは得られません。まず条件を読み、足りなければ左右の振る舞いを別に調べます。

練習問題

各問の関数は示した式で定義します。極限値を整数または既約分数で求めてください。微分係数を使うときは、点と増分の対応も書いてください。

1. f(x) = x² − 3x とする。lim[h→0] (f(4 + 5h) − f(4))/h を求める。
2. g(x) = x³ + x とする。lim[h→0] (g(2 − 3h) − g(2))/h を求める。
3. p(x) = x² + 4x とする。lim[h→0] (p(-1) − p(-1 + 2h))/h を求める。
4. q(x) = x³ − x とする。lim[h→0] (q(2 + h) − q(2 − 2h))/h を求める。
5. r(x) = 1/x とする。lim[h→0] (r(2 − h) − r(2))/(2h) を求める。

練習の解答と途中式

1. 多項式 f は 4 で微分可能で、f′(x) = 2x − 3、f′(4) = 5 です。増分は 5h です。

(f(4 + 5h) - f(4))/h
= 5 (f(4 + 5h) - f(4))/(5h)
→ 5f′(4)
= 25

元の式でも f(4) = 4、f(4 + 5h) = 4 + 25h + 25h² です。差を h で割ると 25 + 25h となり、答えに戻ります。

2. g は 2 で微分可能です。g′(x) = 3x² + 1、g′(2) = 13 で、増分は -3h です。

(g(2 - 3h) - g(2))/h
= -3 (g(2 - 3h) - g(2))/(-3h)
→ -3g′(2)
= -39

g(2) = 10、g(2 − 3h) = 10 − 39h + 54h² − 27h³ です。元の差商は -39 + 54h − 27h² なので、負号と値が一致します。

3. p は -1 で微分可能です。p′(x) = 2x + 4、p′(-1) = 2 です。増分は 2h、差は定義と逆順です。

(p(-1) - p(-1 + 2h))/h
= -2 (p(-1 + 2h) - p(-1))/(2h)
→ -2p′(-1)
= -4

p(-1) = -3、p(-1 + 2h) = -3 + 4h + 4h² です。元の分子の順で引くと差商は -4 − 4h となり、極限は -4 です。

4. q は 2 で微分可能で、q′(x) = 3x² − 1、q′(2) = 11 です。q(2) を挟みます。

(q(2 + h) - q(2 - 2h))/h
= (q(2 + h) - q(2))/h + (q(2) - q(2 - 2h))/h
→ q′(2) + 2q′(2)
= 33

q(2 + h) = 6 + 11h + 6h² + h³、q(2 − 2h) = 6 − 22h + 24h² − 8h³ です。元の差商は 33 − 18h + 9h² となり、33 に近づきます。

5. r は x ≠ 0 で定義され、2 の近くで微分可能です。r′(x) = -1/x² なので r′(2) = -1/4 です。h が十分 0 に近ければ 2 − h ≠ 0 であり、増分は -h です。

(r(2 - h) - r(2))/(2h)
= -(1/2)(r(2 - h) - r(2))/(-h)
→ -(1/2)r′(2)
= 1/8

元の定義に戻すと、r(2 − h) = 1/(2 − h)、r(2) = 1/2 です。h ≠ 0 かつ 2 − h ≠ 0 で通分します。

(1/(2 - h) - 1/2)/(2h)
= {h/(2(2 - h))}/(2h)
= 1/{4(2 - h)}
→ 1/8

分母 2h の 2 も外側の係数に反映します。0 に近づく途中では h = 0 を除き、元の関数の分母が 0 になる点も除いています。

手元に残す要点

• 固定点 a と入力の増分 kh を先に読む。
• kh ≠ 0 の差商へ直すと、元の分母 h に対して外に k が残る。
• 差の順序が逆なら別に負号を付ける。
• 微分可能性と、分母が 0 でない条件を確かめる。
• 2つの入力が動くときは固定点を挟んで比べる。

どこで迷ったかを見分ける

答えが定義の微分係数そのものになったら、入力の増分と元の分母を横に書いて比べます。符号だけが合わない場合は、増分の符号と分子を引く順序を別々に丸で囲むと、どちらを落としたか見つけやすくなります。個別指導で確かめるなら、式を変形する前に固定点、増分、分母を書き出し、微分可能性をどの条件から使えるかを説明してみてください。分母に合わせた係数まで戻せば、微分係数型の極限の値が決まります。