高校数学III 陰関数の微分法—積と合成を区別してyの導関数を求める｜武蔵野個別指導塾

y²の合成とxyの積を微分し分け、元の点と分母の条件から、枝ごとの変化率を確かめましょう。

よくあるのは演習ノートで、y²をxで微分するときにdy/dxの因子を落とす場面です。yを文字のまま見ていると、2yを書いたところで手が止まりやすくなります。しかし、曲線上でxが変わるとyも変わります。xとyを結ぶ式を保ったまま、この変化を追ってみましょう。

ここでは、yをxの微分可能な関数として扱い、一次導関数を求めます。点が元の関係式にあるか、導関数を孤立させる際に割る数が0でないかも調べます。二階の導関数や曲線の増減を調べることは扱いません。

どのような形で問われるか

1つ目は、xとyの関係式からdy/dxをxとyを用いて表す問いです。yについて先に解くことが難しくても、両辺をxで微分してdy/dxを含む項を集めれば、式を得られることがあります。答えには、その式が使える範囲も添えます。

2つ目は、与えられた点での微分係数を求める問いです。点をいきなり導関数の式へ入れる前に、その座標が元の関係式を満たすことを確認します。式に代入できても曲線上にない点なら、その関係式が表す枝の微分係数として扱えません。

3つ目は、導関数を表す式の分母が0になる点を調べる問いです。そこで公式の形に代入することはできません。ただし、割れないという事実だけで微分係数が存在しないと決めることもできません。元の式や、点の近くでのyの表し方へ戻って調べます。

yも変わるものとして微分する

xとyの関係が式で与えられ、その式を満たすyが、考えている点の近くでxの微分可能な関数y = f(x)として定まっているとします。このとき関係式の両辺は、xの関数どうしの等式です。そのため両辺をxで微分できます。こうして関係式から導関数を求める方法を陰関数の微分法といいます。

ここでの仮定は重要です。関係式が書かれているだけで、どの点でもyが微分可能な関数として定まるとは限りません。また、同じxに複数のyが対応することもあります。その場合は、注目する点を通る枝を指定して考えます。以下では微分可能な枝を仮定して導いた式を使い、必要な場面では枝を実際に表して確認します。

以下、図ではy′をdy/dxの略として使います。図1のように、y²はxからyを経由する合成です。一方、xyにはxとyという2つの因子があります。それぞれの変化を区別して記録します。

たとえばy = f(x)なら、合成関数の微分により、y²の導関数は2f(x)f′(x)、つまり2y・dy/dxです。外側の2yに、内側のyの導関数を掛けます。dy/dxを省くと、yがxと同じ速さで変化すると勝手に決めたことになります。

積xyでは積の微分法を使います。xの導関数は1、yの導関数はdy/dxなので、導関数はy + x・dy/dxです。xを微分した項とyを微分した項の両方が必要です。定数の導関数は0ですから、等式の右辺が定数なら、右辺を微分すると0になります。

例として一般の定数cについてx² + xy + y² = cを考えます。微分可能な枝の上で、両辺をxで微分して整理すると、次の順になります。

2x + y + x・dy/dx + 2y・dy/dx = 0
(x + 2y)・dy/dx = -(2x + y)

x + 2yが0でなければ、両辺をそれで割れます。

dy/dx = -(2x + y)/(x + 2y)

この式は、元の関係を満たす微分可能な枝のうち、x + 2yが0でない点で成り立ちます。分母が0の点では割る前の式に戻ります。分母の条件は答えを飾る注釈ではなく、変形が許される理由です。

基本例題：積と2乗を同時に追う

関係式x² + xy + y² = 19について、点(2, 3)を通る微分可能な枝のdy/dxをxとyで表し、その点での値を分数で求めてください。なお、求めた式の分母が0でない範囲を示します。

まず点を元の式へ戻します。

2² + 2・3 + 3² = 4 + 6 + 9
                         = 19

したがって(2, 3)は関係式を満たします。この点の近くで、yについて解くとy = (-x + √(76 − 3x²))/2という枝があり、x = 2のときy = 3です。根号の中はその点で64と正なので、近くでも正です。この枝は点の近くで微分可能です。

図2のように、xyからは2項が出て、y²からはdy/dxを含む項が出ます。先に値を入れず、文字のまま集めると項の由来を追いやすくなります。

2x + y + x・dy/dx + 2y・dy/dx = 0
(x + 2y)・dy/dx = -2x - y
dy/dx = -(2x + y)/(x + 2y)

最後の式はx + 2y ≠ 0で使います。点(2, 3)では分母は2 + 2・3 = 8で、0ではありません。したがって、点での値は次のとおりです。

dy/dx = -(2・2 + 3)/(2 + 2・3)
      = -7/8

元の微分後の式にも戻してみます。点と値を入れると4 + 3 + 2・(-7/8) + 6・(-7/8) = 0となり、両辺が一致します。この照合は、元の点の確認と併せて行います。

標準例題：積の中にも合成がある

関係式x y² + x²y = 16について、点(2, 2)を通る微分可能な枝のdy/dxを求め、その点の値を整数で答えてください。導関数の式の分母の条件も示します。

先に点を代入します。2・2² + 2²・2 = 8 + 8 = 16なので、点は元の関係式上にあります。点の近くでは、yについて解いた正の枝を使えます。

y = (-x² + √(x⁴ + 64x))/(2x)

x = 2では根号の中が144で、y = (-4 + 12)/4 = 2です。近くではx ≠ 0かつ根号の中が正なので、この枝は微分可能です。

x y²を微分すると、xを微分したy²と、y²を微分してxを掛けた2xy・dy/dxが出ます。x²yについても同様に2xyとx²・dy/dxが出ます。

y² + 2xy・dy/dx + 2xy + x²・dy/dx = 0
(2xy + x²)・dy/dx = -y² - 2xy
dy/dx = -(y² + 2xy)/(2xy + x²)

最後の行は2xy + x² ≠ 0で成り立ちます。(2, 2)では分母が8 + 4 = 12なので、割れます。

dy/dx = -(4 + 8)/(8 + 4)
      = -1

微分後の元の式へ戻すと4 + 8・(-1) + 8 + 4・(-1) = 0です。x y²を2xyだけとする誤りは、xを微分した項とyの導関数を見失っています。各因子を順に微分してからまとめると、どちらも残せます。

発展例題：分母が0になる点を元の式で調べる

関係式x² + y² = 25について、点(3, 4)を通る枝の微分係数を分数で求めてください。さらに点(5, 0)で、yをxの微分可能な関数として扱えるかを調べてください。

まず3² + 4² = 25、5² + 0² = 25です。どちらの点も元の関係式を満たします。微分可能な枝を仮定して両辺を微分すると、次の式です。

2x + 2y・dy/dx = 0
2y・dy/dx = -2x

y ≠ 0なら、ここで割ってdy/dx = -x/yを得ます。(3, 4)ではy ≠ 0です。また、点の近くの正の枝y = √(25 − x²)は根号の中が正なので微分可能で、x = 3でy = 4です。よって値は-3/4です。微分後の式へ戻すと6 + 8・(-3/4) = 0となります。

一方、(5, 0)では分母のyが0です。割る前の式に点を入れると、微分可能な枝があるなら10 + 0・dy/dx = 0となるはずですが、これは成り立ちません。したがって、この点を通り、点の近くで元の式を満たす微分可能な関数y = f(x)はありません。

ここで結論を支えたのは、分母が0ということだけでなく、微分可能だと仮定したときに割る前の式が矛盾したことです。分母と分子がともに0となる別の関係式では、この矛盾が得られないこともあります。その場合は式を因数分解するなどして、点を通る枝を別に調べます。

たとえば(y − x)(y + x) = 0では、原点を通るy = xとy = -xがあり、どちらも微分可能ですが、傾きは異なります。1つの関係式から分母が0になる式が出ても、枝を選ぶ前に1つの値へ決めることはできません。逆に、枝を明示できればそれぞれの導関数を調べられます。

誤答を見つけて直す

基本例題の式を微分して「2x + y + x + 2y = 0」と書いたとします。xyの後半とy²の微分で、どちらもdy/dxを落としています。yがxの関数であることを計算から消してしまったため、欲しい変化率が式に残りません。

図3のように、各項について何を微分したかを左から追います。xyにはxを微分する場合とyを微分する場合があり、y²には内側のyの変化率が必要です。

正しくは2x + y + x・dy/dx + 2y・dy/dx = 0です。dy/dxの付いた項をまとめてから、係数が0でない場合に割ります。点(2, 3)で得た-7/8を入れると微分後の式が0になるので、項を残したかの点検にも使えます。

別の誤りとして、微分後の式を整理せず、元の関係を満たさない点を導関数の式へ代入することがあります。分母が0でなくても、その点で枝の値を求めたことにはなりません。点の代入は元の式、割る条件、導関数の順に行います。分母が0なら元の式と割る前の式に戻り、値を無理に作らないでください。

練習問題

各問題では、指定された点の近くで関係式を満たす微分可能な枝を考えます。点が関係式を満たすことと、使う分母が0でないことも確かめてください。値は分数または整数で答えます。

1. x² + 2y² = 22の点(2, 3)でdy/dxを求めてください。
2. xy + y³ = 12の点(2, 2)でdy/dxを求めてください。
3. x³ + xy + y² = 11の点(2, 1)でdy/dxを求めてください。
4. y² = 3x + 7の点(3, 4)でdy/dxを求めてください。
5. x² + y² = 36の点(0, -6)でdy/dxを求め、点(6, 0)で微分可能な枝があるか調べてください。

練習問題の解答と道筋

1の解答

点を戻すと2² + 2・3² = 4 + 18 = 22です。点の近くでは正の枝y = √((22 − x²)/2)があり、x = 2でy = 3です。根号の中は正なので微分可能です。両辺を微分します。

2x + 4y・dy/dx = 0
4y・dy/dx = -2x
dy/dx = -x/(2y)

この変形にはy ≠ 0が必要です。点では2y = 6なので割れ、値は-2/6 = -1/3です。微分後の式に戻すと4 + 12・(-1/3) = 0となります。

2の解答

2・2 + 2³ = 4 + 8 = 12なので点は関係式を満たします。yを2の近くにとるとy ≠ 0で、関係式はx = 12/y − y²と表せます。この式のyによる導関数は-12/y² − 2yであり、y = 2では-7です。点の近くで逆関数があり、微分可能な枝を得ます。

y + x・dy/dx + 3y²・dy/dx = 0
(x + 3y²)・dy/dx = -y
dy/dx = -y/(x + 3y²)

点で分母は2 + 12 = 14です。したがって値は-2/14 = -1/7です。微分後の式では2 + 2・(-1/7) + 12・(-1/7) = 0となります。

3の解答

点を元の式に入れると2³ + 2・1 + 1² = 8 + 2 + 1 = 11です。点の近くではy = (-x + √(x² − 4x³ + 44))/2という枝があり、x = 2でy = 1です。根号内はその点で16と正なので、近くで微分可能です。

3x² + y + x・dy/dx + 2y・dy/dx = 0
(x + 2y)・dy/dx = -3x² - y
dy/dx = -(3x² + y)/(x + 2y)

点では分母が2 + 2 = 4です。よって値は-(12 + 1)/4 = -13/4です。元の微分後の式に入れると12 + 1 + 4・(-13/4) = 0です。

4の解答

3・3 + 7 = 16 = 4²なので点は関係式上にあります。点の近くの正の枝はy = √(3x + 7)で、根号の中は正です。したがって微分可能です。

2y・dy/dx = 3
dy/dx = 3/(2y)

点で2y = 8 ≠ 0ですから、値は3/8です。微分後の式に戻しても8・(3/8) = 3となります。右辺の定数7の導関数は0です。

5の解答

0² + (-6)² = 36、6² + 0² = 36なので、両点は関係式を満たします。微分可能な枝では次の式が成り立ちます。

2x + 2y・dy/dx = 0
2y・dy/dx = -2x

(0, -6)の近くには負の枝y = -√(36 − x²)があり、根号の中が正なので微分可能です。y ≠ 0よりdy/dx = -x/yを使え、点での値は0です。元の微分後の式も0 + 2・(-6)・0 = 0となります。

(6, 0)を通る微分可能な枝があると仮定すると、割る前の式へ代入して12 = 0となります。これは矛盾するので、そのような枝はありません。分母が0になった後に代入を続けず、割る前に戻ることが判定の要です。

手元に残す要点

• yはxの関数として微分し、y²からは2y・dy/dxを得ます。
• xyには積の微分を使い、y + x・dy/dxとします。
• 点を元の関係式へ戻し、求めた値も微分後の式で照合します。
• dy/dxの係数で割る前に、その係数が0でないことを確かめます。
• 係数が0なら割る前の式や点の近くの枝から個別に判断します。

つまずきを見分けるには

書いた式にdy/dxが1つも残っていなければ、yを定数として扱っていないか、合成の内側の微分を落としていないかを見直します。dy/dxが残っていても、xyから2項が出たかを別に確かめます。個別指導で式を確かめるときも、各項の由来を声に出し、点が元の式にあることと割る係数の値を順に示せるかを見ると、止まった場所を特定できます。

関係式と枝を結ぶdy/dxが、陰関数の変化を記述します。