高校数学C 点から直線への垂線—足の所属と内積の条件を同時に満たす｜武蔵野個別指導塾

内積0と直線への所属から垂足を定め、媒介変数が線分の範囲を外れた場合は端点までの距離を調べます。

よくあるのは、理系の高3が点から線分を延長した直線に垂線を下ろし、その足が線分の外にあるのに、足までの長さを線分への最短距離と答える場面です。直線なら延長先も使えますが、線分には両端があります。まず足の位置を求め、その後で求める範囲に入るかを調べましょう。

空間では図の見た目だけで直角や長さを判断しにくいため、所属と垂直をそれぞれ式にします。ここでは数学Cの空間ベクトルを使い、点から直線または線分までの距離を扱います。座標はすべて同じ直交座標に関するものとし、長さは座標の単位で表します。

どこまで動ける点を探すか

問いの1つ目は、直線上の垂線の足と距離を求める型です。直線上の点を媒介変数で表し、点からその点へのベクトルと直線の方向ベクトルの内積を0にします。足の座標まで戻して答えることが到達点です。

2つ目は、線分上で距離が最小になる点を求める型です。直線への垂足が線分上にあればその点を使えます。外にあれば延長した先の点を使えないため、端点を調べます。両端で足が一致する境界も見落とさないようにします。

3つ目は、点の座標に文字があり、最短点が変わる範囲を求める型です。垂足の媒介変数を文字で表してから、0以上1以下という条件を解きます。線分のどちら側に足が出るかで端点が変わるので、分岐ごとに距離を元の座標へ戻します。

足を決める2つの条件

直線が点 A を通り、方向ベクトル v（ベクトル）を持つとします。v は零ベクトルでないと仮定します。直線上の任意の点 X の位置ベクトルは、原点 O を用いて次のように表せます。

ベクトル OX = ベクトル OA + t v    （t は実数）

この形に置いた時点で X は直線に所属しています。点 P からの垂線の足 H なら、さらにベクトル PH と v の内積が0です。図1のように、足は「直線上」と「直線に垂直」の2条件を同時に満たす点です。投影した図は空間の配置を示す模式図であり、見かけの角や長さを実際の値として測りません。

ベクトル AH = t v と置きます。ベクトル AP = w（ベクトル）とすると、ベクトル HP = w − t v なので、内積の条件から次を得ます。

(w - t v)・v = 0
w・v - t(v・v) = 0
t = (w・v)/(v・v)

v は非零なので v・v は正で、最後の割り算ができます。逆に、この t で得た H は直線上にあり、内積も0です。したがって条件を満たす点はただ1つです。P が直線上にある場合は H と P が一致し、距離は0です。この場合は零ベクトルに角を与えず、内積の式と最短距離で扱います。

この足が直線上で最短になる理由も確認しましょう。直線上の別の点 X に対し、ベクトル HX は v の実数倍です。ベクトル HP は v に垂直なので、ベクトル HP とベクトル HX の内積も0です。長さの二乗を展開すると次の等式になります。

|ベクトル PX|² = |ベクトル PH + ベクトル HX|²
                = |ベクトル PH|² + |ベクトル HX|²
                ≥ |ベクトル PH|²

等号は X = H のときに限ります。P = H の場合もこの等式は成り立ちます。よって直線への距離は非負の数 |ベクトル PH| です。線分 AB なら v = ベクトル AB として、点 X の範囲を 0 ≤ t ≤ 1 に限ります。垂足の t が範囲外のときは、上の等式の |ベクトル HX| を最小にする端点が答えです。A = B なら v は零で直線の方向を決められず、式で割る前に線分を1点として扱います。

基本例題：足の座標と距離

点 A(1, 0, 1) を通り、方向ベクトル (2, 1, 2) を持つ直線を l とします。点 P(4, 4, 5) から l に下ろした垂線の足 H の座標と、P と l の距離を求めてください。座標は整数または分数、距離は根号を用いた正確な値で答えます。

方向ベクトルは零でなく、長さの二乗は 2² + 1² + 2² = 9 です。図2のように H を直線上に置き、足に向かうベクトルと方向の内積を調べます。図の直角記号は空間での直交を示すもので、投影図の見かけの角を測るためのものではありません。

H の所属条件から、実数 t を用いて次のように置きます。

H = (1 + 2t, t, 1 + 2t)
ベクトル PH = (2t - 3, t - 4, 2t - 4)
ベクトル PH・(2, 1, 2) = 0
2(2t - 3) + (t - 4) + 2(2t - 4) = 0
9t - 18 = 0
t = 2
H = (5, 2, 5)

この値を P からの差に戻すと、ベクトル PH = (1, -2, 0) です。内積は 2 − 2 + 0 = 0 となり、直線上の点であることも t = 2 で確認できます。したがって距離は次の値です。

PH² = 1² + (-2)² + 0² = 5
PH = √5

方向ベクトルが単位ベクトルでないので、内積を取っただけの数を t とすることはできません。今回は分母の9を含めて計算し、答えを座標と直交の両方へ戻しました。距離の二乗が正なので、最後に正の平方根を選びます。

標準例題：延長上にある足をどう扱うか

A(0, 0, 0)、B(2, 1, 0)、P(8, 3, 1) に対して、線分 AB 上で P に最も近い点と、その距離を求めてください。点の座標は整数または分数、距離は根号を用いた正確な値で答えます。

A と B は異なるので、方向ベクトル (2, 1, 0) は非零です。直線 AB 上の点 X を (2t, t, 0) と置くと、線分上では 0 ≤ t ≤ 1 です。まず制限を外して直線への垂足を求めます。

ベクトル PX = (2t - 8, t - 3, -1)
ベクトル PX・(2, 1, 0) = 0
2(2t - 8) + (t - 3) = 0
5t - 19 = 0
t = 19/5
H = (38/5, 19/5, 0)

19/5 は1より大きいため H は B を越えた延長上にあり、線分上の候補ではありません。線分上では t が1に近いほど |ベクトル HX| が小さくなるので、最短点は B です。端点も直接比べると次のとおりです。

PA² = 8² + 3² + 1² = 74
PB² = 6² + 2² + 1² = 41
41 < 74

答えは B(2, 1, 0)、距離は √41 です。元の条件に戻すと B は t = 1 で線分上にあり、P との差は (6, 2, 1) です。この差の長さが √41 であることも一致します。なお直線への距離は PH = 3√5/5 ですが、この値は線分への距離ではありません。線分の端を無視した答えが短くなるのは、使える点の範囲が広いからです。

発展例題：動く点と端点の切り替え

A(1, 1, 0)、B(2, 3, 2)、P(k, 0, 3) とします。k は実数です。線分 AB 上で P に最も近い点と距離を k の範囲ごとに求めてください。点は座標で、距離は根号を用いた正確な値で表します。

方向ベクトルは (1, 2, 2) で、その長さの二乗は9です。これは正なので垂足の媒介変数を決められます。直線上の足を H = (1 + t, 1 + 2t, 2t) と置きます。

ベクトル PH = (1 + t - k, 1 + 2t, 2t - 3)
ベクトル PH・(1, 2, 2) = 0
1 + t - k + 2(1 + 2t) + 2(2t - 3) = 0
9t - k - 3 = 0
t = (k + 3)/9

線分内に足がある条件は 0 ≤ (k + 3)/9 ≤ 1、すなわち -3 ≤ k ≤ 6 です。足が A より外なら A、B より外なら B が最短点になります。まず足が線分上にある場合は次のように座標へ戻します。

H = ((k + 12)/9, (2k + 15)/9, (2k + 6)/9)
ベクトル PH = ((12 - 8k)/9, (2k + 15)/9, (2k - 21)/9)
PH² = ((12 - 8k)² + (2k + 15)² + (2k - 21)²)/81
    = (8k² - 24k + 90)/9

同じ距離の二乗は、|ベクトル AP|² から v 方向の成分の二乗を引いても求まります。分子の式は 8(k − 3/2)² + 72 なので常に正です。平方根を取るときの符号も定まります。

範囲外の点は端点へ直接戻して計算します。

PA² = (k - 1)² + (-1)² + 3²
    = (k - 1)² + 10
PB² = (k - 2)² + (-3)² + 1²
    = (k - 2)² + 10

したがって、k < -3 では最短点は A、距離は √((k − 1)² + 10) です。-3 ≤ k ≤ 6 では最短点は上の H、距離は √(8k² − 24k + 90)/3 です。k > 6 では最短点は B、距離は √((k − 2)² + 10) です。

境界 k = -3 では t = 0、H = A で、両側の距離の二乗は26です。k = 6 では t = 1、H = B で、両側の距離の二乗も26です。足の式は線分上の所属と内積0を満たし、端点の式はそれぞれの座標から直接出しています。境界を片方に含めても結論は変わりませんが、重複や抜けのない範囲にして答えます。

誤答をほどく：足を見つけた後の確認

標準例題で「t = 19/5 だから H が線分上の最短点」とする答えは誤りです。垂直の条件を解いた計算自体は合っていますが、H の所属先は直線です。図3のように、線分を表す 0 ≤ t ≤ 1 と、求めた t を比べる必要があります。

図3の H は B の先にあり、端点 B が線分上の最短点です。直線への距離と線分への距離を混ぜないよう、求める対象を最初に書いておきます。t の値が負なら A 側、1より大きければ B 側に足があります。t がちょうど0または1なら、その足は端点なので垂足として採用できます。

もう1つの誤りは、H が直線上にあることを確かめずに、内積0の点を1つ選ぶことです。内積0だけでは、P から直線の方向に垂直な多数の点が候補になります。修正するときは先に H = A + t v に相当する座標表示を作り、次に内積0を課します。求めた t を全成分に代入し、最後に内積を計算し直します。

A と B が一致するのに方向の長さの二乗で割るのも誤りです。線分は1点に縮んでおり、その点までの距離は求められますが、2点から直線の方向は定まりません。例外を最初に分ければ、0による割り算を避けられます。

練習：線分の内外と退化を見分ける

次の5問は互いに独立です。座標は整数または分数、距離は根号を用いた正確な値で答えてください。線分については最短点も座標で答えます。

1. A(1, -1, 2) を通り方向ベクトル (1, 2, 2) を持つ直線に、P(4, 1, 2) から下ろした垂線の足と距離を求めてください。
2. A(-1, 2, 0)、B(1, 2, 2)、P(4, 3, 1) に対し、線分 AB 上の最短点と距離を求めてください。
3. A(2, 0, 1)、B(4, 1, 1)、P(0, 2, 3) に対し、線分 AB 上の最短点と距離を求めてください。
4. A(1, 2, 3) を通り方向ベクトル (0, 1, -1) を持つ直線と P(1, 5, 0) の距離、および足を求めてください。
5. A = B = (2, -1, 4)、P(1, 1, 2) とします。線分 AB 上の最短点と距離を求め、A と B の2点だけで直線の方向を決められるか答えてください。

練習の解答と戻し方

1. 分数の足を全成分に戻す

方向の長さの二乗は9で正です。直線上の足を H = (1 + t, -1 + 2t, 2 + 2t) とします。

ベクトル PH = (t - 3, 2t - 2, 2t)
(t - 3) + 2(2t - 2) + 2(2t) = 0
9t - 7 = 0
t = 7/9
H = (16/9, 5/9, 32/9)

この点は t = 7/9 で直線に所属します。ベクトル PH = (-20/9, -4/9, 14/9) の内積は (-20 − 8 + 28)/9 = 0 です。

PH² = (400 + 16 + 196)/81
    = 68/9
PH = 2√17/3

2. B の先に足が出る場合

ベクトル AB = (2, 0, 2) は非零です。直線上の X を (-1 + 2t, 2, 2t) とします。

ベクトル PX = (2t - 5, -1, 2t - 1)
2(2t - 5) + 2(2t - 1) = 0
8t - 12 = 0
t = 3/2

足は t > 1 なので線分の外です。線分上で足に最も近いのは t = 1 の B(1, 2, 2) です。

PB² = (-3)² + (-1)² + 1² = 11
PB = √11

B は線分の端点であり、座標差から距離も元の条件に戻せます。A までの距離の二乗は27で、11の方が小さいことも確認できます。

3. A の手前に足が出る場合

ベクトル AB = (2, 1, 0) は非零です。X = (2 + 2t, t, 1) として直線への足を求めます。

ベクトル PX = (2 + 2t, t - 2, -2)
2(2 + 2t) + (t - 2) = 0
5t + 2 = 0
t = -2/5

t < 0 なので、線分上の最短点は A(2, 0, 1) です。

PA² = 2² + (-2)² + (-2)² = 12
PA = 2√3

A は t = 0 で線分に所属します。B までの距離の二乗は21であり、端点の比較も矛盾しません。

4. 点が直線上にある場合

方向 (0, 1, -1) は非零です。直線上の点は (1, 2 + t, 3 − t) と表せます。t = 3 を代入すると P(1, 5, 0) になります。足は P 自身、距離は0です。

内積でも、足を H とするとベクトル PH = (0, t − 3, 3 − t) です。

(t - 3) - (3 - t) = 0
2t - 6 = 0
t = 3

この場合に距離0を見落として、存在しない角度を考える必要はありません。

5. 線分が1点に縮む場合

A = B なので、線分上の点は (2, -1, 4) だけです。点 P との差を使います。

ベクトル PA = (1, -2, 2)
PA² = 1² + (-2)² + 2² = 9
PA = 3

最短点は (2, -1, 4)、距離は3です。ベクトル AB は零なので、2点から非零の方向を決められず、直線 AB を一意には定められません。点までの距離は求められることと、直線が定まることは別の条件です。

計算の持ち帰り

直線上の足は、所属する式と内積0を連立します。
方向ベクトルが零でないかを割り算より先に見ます。
線分では垂足の媒介変数を0と1に照らします。
範囲外なら近い側の端点を使い、距離は座標差に戻します。

手が止まったときの確認

足の式が作れないときは、まず A から B へ何倍進むかを図に書き、t = 0 と t = 1 がそれぞれどの点かを指で追います。内積の式が作れないときは、足と P の座標差を3成分並べ、方向ベクトルの対応する成分を掛けて足します。

個別指導で途中式を確認するなら、求めた足が直線に属するか、内積が0か、線分なら t が範囲内かを順に説明してみてください。足が外に出る例と、足が端点に重なる例を並べると、最後の分岐が式と図の両方で見えるようになります。距離を決める前に、使える点の範囲を確かめます。