大学入試数学 不等式と最大・最小｜等号条件から通過領域まで｜武蔵野個別指導塾

相加相乗平均やコーシー・シュワルツの不等式を使うときは、値を押さえた後に等号が成立する点を確かめます。二変数の制約、領域上の目的式、絶対値、動く直線や線分の通過領域を30の問いに分け、自作例題と練習で学びます。式の操作と元の条件を往復し、候補を挙げるところから達成を証明するところまで進めます。

評価式の作り方に迷ったら相加相乗平均から、二乗和が固定されていたらコーシー・シュワルツから読み進めてください。等号の点が制約を満たすかを一つずつ確かめます。

二変数を一変数へ直せても範囲が決まらないときは和と積の置換へ、図の境界を答えに含めるか迷ったときは領域の章へ進んでください。最後は媒介変数の存在から通過領域を考えます。

相加相乗平均と達成条件

• 大学入試数学 相加相乗平均の鋭い評価—積が一定になる二項を選び下界が動かない理由を説明する
• 大学入試数学 相加相乗平均の項の分割—係数に合わせて項を分け等号が成立する比を設計する
• 大学入試数学 相加相乗平均の平行移動—一次式を新しい正の変数に直して制約を戻す
• 大学入試数学 相加相乗平均と区間制約—等号の点が使えない場合に端点で値を確かめる
• 大学入試数学 相加相乗平均と積の最大値—和を固定した二つの因子から上界と達成点を示す
• 大学入試数学 複数の不等式の等号条件—評価を重ねたときに同時に満たせる条件を調べる

コーシー・シュワルツと評価の選択

• 大学入試数学 コーシー・シュワルツの導出—平方の非負性から二組の数の比例条件まで導く
• 大学入試数学 コーシー・シュワルツの一次式—二乗和の制約から上下の限界と符号を決める
• 大学入試数学 コーシー・シュワルツの分数形—正の分母をそろえ逆数の和の下界を証明する
• 大学入試数学 三成分のコーシー・シュワルツ—平方差の和から不等式を作り等号の組を求める
• 大学入試数学 根号の和と最大値—根号の中の非負条件と等号の比を重ねて解く
• 大学入試数学 相加相乗とコーシーの選択—固定される量と等号の形から有効な評価を選ぶ

二変数の制約と最大最小

• 大学入試数学 二変数の和の制約—一方を消去した後の定義域を求め最適値を戻す
• 大学入試数学 二変数の積の制約—逆数への置換と正負の枝を分けて値を評価する
• 大学入試数学 二変数の和と積の置換—実数の組を復元できる条件から値域を決める
• 大学入試数学 二変数二次式の平方完成—交差項を整理し最小値と達成する組を求める
• 大学入試数学 一変数を固定する最大最小—内側の最適点が動く範囲を外側の条件と合わせる
• 大学入試数学 二変数評価と文字定数—境界へ移る達成点を追って最適値を場合分けする

領域と値の達成

• 大学入試数学 多角形領域と達成する辺—目的式が辺と平行になる例外まで最大点を尽くす
• 大学入試数学 円と半平面の最大最小—円周の候補と切り口の端を比べて達成点を決める
• 大学入試数学 領域における分数式の値域—分母の符号を確かめ直線の傾きとして評価する
• 大学入試数学 領域における積の最大値—双曲線と境界の接触を一変数の式で確かめる
• 大学入試数学 切断領域と距離の極値—垂足と円弧の候補を元の領域に戻して選び直す
• 大学入試数学 開いた領域と最大最小—近づける値と実際に取れる値を区別して答案にする

絶対値と通過領域

• 大学入試数学 絶対値の重み付き和—折れ目で傾きを比べ最小になる区間まで求める
• 大学入試数学 絶対値不等式と文字定数—折れ目の順が入れ替わる境界から解集合を決める
• 大学入試数学 二変数の絶対値と領域—符号ごとの半平面から目的式の取り得る値を調べる
• 大学入試数学 動く直線の通過領域—通る点を固定して媒介変数の実数解の条件へ直す
• 大学入試数学 範囲付き直線族の通過領域—媒介変数の区間内に解がある条件を断面で調べる
• 大学入試数学 動く線分の通過領域—媒介変数と内分比を戻して境界の所属を証明する

計算が合っているのに答えが決まらないときは、定義域、等号条件、達成する点の順に答案を見直してください。