大学入試数学 二変数の絶対値と領域—符号ごとの半平面から目的式の取り得る値を調べる｜武蔵野個別指導塾

絶対値の和が一定以下になる点を四つの場合に分け、重み付きのひし形を描くとき、その境目を決めるのは x と y の符号です。

よくあるのは、自習の机で、絶対値のついた不等式が表す領域を描き終えた答案を開いている場面です。四つの象限に三角形を一つずつ描き、目的式の値をそれぞれの頂点で比べるところまでは進んでいます。ところが、いちばん大きい値として書き込んだ点の座標を、答案のどの場合にも入れられずに手が止まっています。場合分けの境目をどちらも開いてしまい、座標軸の上の一点を両側から落としたからです。この落とし穴は、計算の量ではなく、場合分けの端の閉じ方だけで生まれます。

1. 何を問われるか

二変数の絶対値を含む不等式は、図形として読むと半平面の集まりになります。出題の形は大きく三つです。

第一は、|x| + 2|y| ≤ 6 のような不等式が表す領域を図示する形です。第二は、その領域上を動く点 (x, y) について、x + 3y のような一次式の最大値と最小値を求める形です。第三は、x + a y のように係数に文字定数を含み、定数の値によって最大をとる点が入れ替わる形です。

使う道具は多くありません。絶対値の定義、x の符号と y の符号による四つの場合分け、連立不等式が表す半平面、そして一次式の値が等高線の平行移動で変わるという見方です。前提として、実数の絶対値の定義と、直線 ax + by = c が平面を二つの半平面に分けることは使えるものとします。微分も座標変換も要りません。

答案で問われるのは、最後の値だけではありません。どの場合がどの図形に対応するか、軸の上の点がどの場合に属するか、最大値を実際にとる点が存在するかを、順に示すことが求められます。

2. 用語と考え方

絶対値の定義から始めます。実数 t について、t ≥ 0 のとき |t| = t、t < 0 のとき |t| = -t です。この二つは、|t| が t と -t のうち大きくない方ではなく大きい方、つまり |t| = max(t, -t) であるとも言い直せます。後の押さえ方で効くのはこの見方です。

二変数では、x の符号と y の符号で平面を四つに分けます。x ≥ 0 と x < 0、y ≥ 0 と y < 0 の組み合わせです。ここで大事なのは、片側を等号つきの ≥ にし、もう片側を等号なしの < にすることです。こうすると x = 0 の点はちょうど一方の場合に入り、抜けも重複もありません。両側を > と < にすると、座標軸の上の点がどの場合にも入らず、最大値をとる点を落とします。両側を ≥ と ≤ にしても和集合としては同じ領域になりますが、軸の上の点を二つの場合で二重に数えないよう、表を書くときに気をつけます。

各場合の不等式は半平面を表します。たとえば x ≥ 0、y ≥ 0 では |x| = x、|y| = y なので、|x| + 2|y| ≤ 6 は x + 2y ≤ 6 になります。これは境界線 x + 2y = 6 の下側の半平面です。象限の条件と合わせると、領域は境界線と二本の軸で囲まれた三角形になります。四つの場合がそれぞれ三角形か空集合を与え、全体の領域はその四つの和集合です。場合分けは「または」で結ぶ、というのがここでの中心です。

境界の線は、不等式が ≤ なら領域に含まれるので実線で描きます。< なら含まれないので破線です。軸の上の点は、閉じた側の場合に属します。

目的式の見方も同じ調子で整理できます。F = px + qy は一次式なので、F = k という等式は直線を表し、k を動かすとその直線が平行に移動します。q が 0 でないときは y = -(p/q)x + k/q と書き直せて、k を 1 増やすと直線は縦に 1/q だけ動きます。上へ動くか下へ動くかは q の符号で決まります。領域と共有点を持つ k の範囲が、F の取り得る値の範囲です。三角形の上では、直線を限界まで動かしたときに最後に触れるのが頂点か辺です。頂点で触れるならその頂点が、辺と重なるときはその辺の全体が、最大または最小を与えます。

図1のように、|x| + 2|y| ≤ 4 の領域は四つの三角形に分かれ、隣り合う三角形は座標軸の上で接します。色の違う部分は、場合分けの四つに対応します。

図1では、右側の二つの三角形が x ≥ 0 の場合、左側の二つが x < 0 の場合です。軸の上の点は、閉じた側の色に属すると見てください。色分けを答案の表と対応させると、どの場合を書き落としたかが目で見つかります。

3. 基本の例題

例題1（標準）　不等式 |x| + 2|y| ≤ 4 が表す領域を D とする。D を図示し、D 上の点 (x, y) について 2x + y の最大値と最小値を求めよ。また、その値をとる点の座標を書け。

解き方です。絶対値の中の符号で四つの場合に分け、それぞれの不等式を整理して境界線の切片を読みます。

1. x ≥ 0、y ≥ 0 のとき。|x| = x、|y| = y なので、不等式は次のように整理できます。

|x| + 2|y| ≤ 4
x + 2y ≤ 4
y ≤ -x/2 + 2

境界線は (4, 0) と (0, 2) を通ります。x ≥ 0、y ≥ 0 と合わせた三角形の頂点は (0, 0)、(4, 0)、(0, 2) です。

2. x < 0、y ≥ 0 のとき。|x| = -x、|y| = y なので、次のとおりです。

-x + 2y ≤ 4
y ≤ x/2 + 2

境界線は (-4, 0) と (0, 2) を通ります。頂点は (0, 0)、(0, 2)、(-4, 0) です。

3. x < 0、y < 0 のとき。|x| = -x、|y| = -y なので、次のとおりです。

-x - 2y ≤ 4
y ≥ -x/2 - 2

境界線は (-4, 0) と (0, -2) を通ります。頂点は (0, 0)、(-4, 0)、(0, -2) です。

4. x ≥ 0、y < 0 のとき。|x| = x、|y| = -y なので、次のとおりです。

x - 2y ≤ 4
y ≥ x/2 - 2

境界線は (4, 0) と (0, -2) を通ります。頂点は (0, 0)、(4, 0)、(0, -2) です。

四つの三角形を合わせると、頂点が (4, 0)、(0, 2)、(-4, 0)、(0, -2) のひし形になります。図2がその形です。

次に、目的式 F = 2x + y を各三角形の頂点で評価します。三角形の上で一次式の最大と最小は頂点でとるので、まず頂点の値だけで足ります。

四つの場合を合わせた最大は 8、最小は -8 です。最大を与えるのは (4, 0)、最小を与えるのは (-4, 0) です。

辺と等高線が平行でないことも確かめます。辺 (4, 0)-(0, 2) の傾きは -1/2 で、F = 2x + y の等高線の傾きは -2 です。値が違うので、この辺の上で F が一定になることはありません。ほかの辺の傾きも 1/2 か -1/2 で、-2 とは一致しません。したがって最大と最小は頂点だけで決まり、辺全体で同じ値になる箇所はありません。

最後に、出した点を元の不等式へ戻します。(4, 0) は |4| + 2・0 = 4 を満たし、2・4 + 0 = 8 です。(-4, 0) は |-4| + 2・0 = 4 を満たし、2・(-4) + 0 = -8 です。どちらも境界線の上にあり、領域に含まれます。

答えは、最大値 8 を (x, y) = (4, 0) で、最小値 -8 を (x, y) = (-4, 0) でとります。

図2のように、最大点は右の頂点、最小点は左の頂点です。緑の直線が 2x + y = 8 の等高線で、ひし形に右端の一点で接しています。

4. 標準・発展の例題

例題2（やや難）　|x| + 2|y| ≤ 6 を満たす点 (x, y) 全体を D とする。D 上で x + 3y の最大値と最小値を求めよ。また、その値をとる点を書け。

四つの場合の頂点を先に並べます。境界線の切片は、x 軸上では ±6、y 軸上では ±3 です。(i) の三角形の頂点は (0, 0)、(6, 0)、(0, 3)、(ii) は (0, 0)、(0, 3)、(-6, 0)、(iii) は (0, 0)、(-6, 0)、(0, -3)、(iv) は (0, 0)、(6, 0)、(0, -3) です。

F = x + 3y の値を四つの外側の頂点で読みます。

四つの三角形はすべて頂点を (0, 0) と共有し、外側の頂点は上の四つです。原点での値は 0 なので、最大にも最小にもなりません。一次式は各三角形の頂点で最大最小をとるので、全体の最大は 6、9、-6、-9 のうちの最大、つまり 9 です。最小は -9 です。

最大を与える点は (0, 3)、最小を与える点は (0, -3) です。どちらも y 軸の上にあります。(0, 3) は |0| + 2・3 = 6 を満たし、0 + 3・3 = 9 です。(0, -3) は |0| + 2・3 = 6 を満たし、0 + 3・(-3) = -9 です。

ここで軸の点の扱いを確かめます。(0, 3) は x = 0 の上にあるので、x ≥ 0 の場合に入ります。x < 0 の場合には入りません。片側を ≥ にしてあれば、軸の点はちょうど一方の場合に属します。もし両側を > と < にしていたら、(0, 3) はどちらの場合にも入らず、最大値 9 をとる点が答案から消えます。値 9 にいくらでも近づけるのに、9 をとる点が存在しない、という食い違いが生まれるのはこのときです。

別解として、場合分けをせずに押さえる道もあります。x ≤ |x| と y ≤ |y| から、次のように進みます。

x + 3y ≤ |x| + 3|y|
|x| + 3|y| = (|x| + 2|y|) + |y|
|x| + 2|y| ≤ 6 より |y| ≤ 3
よって x + 3y ≤ 6 + 3 = 9

等号は x ≥ 0、y ≥ 0、|y| = 3、|x| = 0 が同時に成り立つとき、つまり (x, y) = (0, 3) で成り立ちます。下側も同じ調子で、x ≥ -|x|、3y ≥ -3|y| から x + 3y ≥ -9 が出て、等号は (0, -3) で成り立ちます。

この押さえ方は短くて強いのですが、最大点が軸の上にある理由までは教えてくれません。四つの場合の表は、どの三角形の頂点が効いているかを示します。図を描く問題では表が要り、値だけを問う問題では押さえが速い、という使い分けになります。

答えは、最大値 9 を (x, y) = (0, 3) で、最小値 -9 を (x, y) = (0, -3) でとります。

例題3（難）　a を実数の定数とする。|x| + 2|y| ≤ 6 を満たす点 (x, y) について、x + a y の最大値を求めよ。最大をとる点も、a の値に応じて書け。

例題2と同じ四つの頂点で、F = x + a y の値を読みます。

各三角形の上で F は一次式なので、最大は頂点でとります。したがって全体の最大は、6、3a、-6、-3a のうちの最大です。-6 と -3a は 3|a| を超えないので、最大は 6 と 3|a| の大きい方になります。つまり場合分けの境目は 3|a| = 6、すなわち |a| = 2 です。

境目が |a| = 2 になる理由は、辺の傾きと等高線の傾きの一致で説明できます。辺 (6, 0)-(0, 3) の傾きは -1/2 です。一方、a が 0 でないとき、x + a y = k は y = (k − x)/a と書き直せて、傾きは -1/a です。この二つが一致するのは -1/a = -1/2、つまり a = 2 のときです。このとき F は辺の上で一定になり、両端の (6, 0) と (0, 3) が同じ値 6 をとります。辺 (6, 0)-(0, -3) の傾きは 1/2 なので、同じ計算で a = -2 が境目になります。

a = 2 のとき、辺の中点 (3, 3/2) で確かめます。|3| + 2・(3/2) = 3 + 3 = 6 を満たし、3 + 2・(3/2) = 3 + 3 = 6 です。端点だけでなく辺のすべての点が最大を与えることが、この計算で見えます。

a = 3 のときは 3a = 9 が最大で、点は (0, 3) です。|0| + 2・3 = 6 を満たし、0 + 3・3 = 9 です。a = -3 のときは -3a = 9 が最大で、点は (0, -3) です。|0| + 2・3 = 6 を満たし、0 + (-3)・(-3) = 9 です。

答えは、|a| ≤ 2 のとき最大値 6（a が 2 または -2 では辺の全体、それ以外では (6, 0)）、a > 2 のとき最大値 3a（(0, 3)）、a < -2 のとき最大値 -3a（(0, -3)）です。

5. よくある誤り

誤り1は、場合分けの境目を両側とも開いてしまうことです。答案には x > 0 と x < 0、y > 0 と y < 0 の四つが並び、それぞれの三角形の頂点で値を比べて最大を 6 としています。破綻するのは、最大点が軸の上にある場合です。例題2の (0, 3) は x = 0 の上にあり、この分け方ではどの場合にも入りません。9 に近づく点はいくらでも作れますが、9 をとる点が答案の領域に存在しないことになり、最大値を取り違えます。直し方は、片側を ≥ にして閉じることです。x ≥ 0 と x < 0 のように書けば、軸の点はちょうど一方に入ります。両側を閉じて和集合で重複を許す書き方でも構いませんが、そのときは軸の点を二重に数えないよう、表に一行添えます。

誤り2は、四つの場合を「かつ」で結んでしまうことです。四つの三角形の条件をすべて同時に満たす点を探すと、共通部分は原点だけになり、領域が消えます。破綻するのは、面積や最大値を求める場面です。直し方は、場合分けを「または」で結び、四つの集合の和集合をとることです。図1の色分けは、その和集合を色で示したものです。

誤り3は、辺と等高線が平行なときに、最大点を一点だけで答えることです。例題3で a = 2 のとき、最大値 6 をとる点を (6, 0) とだけ書くと、最大点を尽くしていません。破綻するのは、a がちょうど 2 か -2 のときです。直し方は、等高線の傾きと辺の傾きを比べ、一致したら辺の全体と書くことです。一致しなければ頂点で足ります。

誤り4は、係数の対応を入れ替えることです。|x| + 2|y| ≤ 6 を 2|x| + |y| ≤ 6 と読み違えると、x 軸上の切片が 6 と 3 で入れ替わり、ひし形が横長か縦長かが逆になります。目的式の値も変わります。直し方は、|y| の係数は y 方向の切片を小さくする、と結びつけて覚えることです。x 軸上の切片は、定数を |x| の係数で割った値になります。

図3のように、軸を開いて分けた図では、最大点 (0, 3) がどちらの枝にも属さずに残ります。図3の左の破線が、抜けた軸です。

図3の右のように軸を閉じると、(0, 3) が領域の点として戻り、最大値 9 をとる点を名指しできます。

6. 練習問題

問1　不等式 |x| + 3|y| ≤ 9 が表す領域を図示し、その領域上の点 (x, y) について x + y の最大値と最小値を求めよ。値をとる点の座標も書け。

問2　|x| + 2|y| ≤ 8 を満たす点 (x, y) について、x + 2y の最大値と最小値を求めよ。それぞれの値をとる点の全体を答えよ。

問3　|x| + |y| ≤ 3 と x + y ≥ 1 を同時に満たす点 (x, y) 全体を D とする。D 上で 2x − y の最大値と最小値を求めよ。値をとる点の座標も書け。

問4　a を実数の定数とする。|x| + |y| ≤ 4 を満たす点 (x, y) について、x + a y の最大値を求めよ。

問5　不等式 1 ≤ |x| + 2|y| ≤ 6 が表す領域の面積を求めよ。

解答

問1です。四つの場合に分けます。

1. x ≥ 0、y ≥ 0 のとき、x + 3y ≤ 9 で、頂点は (0, 0)、(9, 0)、(0, 3) です。F = x + y の値は 0、9、3 です。

2. x < 0、y ≥ 0 のとき、-x + 3y ≤ 9 で、頂点は (0, 0)、(0, 3)、(-9, 0) です。F の値は 0、3、-9 です。

3. x < 0、y < 0 のとき、-x − 3y ≤ 9 で、頂点は (0, 0)、(-9, 0)、(0, -3) です。F の値は 0、-9、-3 です。

4. x ≥ 0、y < 0 のとき、x − 3y ≤ 9 で、頂点は (0, 0)、(9, 0)、(0, -3) です。F の値は 0、9、-3 です。

最大は 9 で (9, 0)、最小は -9 で (-9, 0) です。辺 (9, 0)-(0, 3) の傾きは -1/3 で、F = x + y の等高線の傾き -1 とは一致しません。ほかの辺も -1 とは一致しないので、最大と最小は頂点で決まります。

確認です。(9, 0) は |9| + 3・0 = 9 を満たし、9 + 0 = 9 です。(-9, 0) は |-9| + 0 = 9 を満たし、-9 + 0 = -9 です。

答えは、最大値 9（(9, 0)）、最小値 -9（(-9, 0)）です。

問2です。四つの場合の頂点は、x 軸上では ±8、y 軸上では ±4 です。

1. x ≥ 0、y ≥ 0 のとき、x + 2y ≤ 8 で、頂点は (0, 0)、(8, 0)、(0, 4) です。F = x + 2y の値は 0、8、8 です。

2. x < 0、y ≥ 0 のとき、-x + 2y ≤ 8 で、頂点は (0, 0)、(0, 4)、(-8, 0) です。F の値は 0、8、-8 です。

3. x < 0、y < 0 のとき、-x − 2y ≤ 8 で、頂点は (0, 0)、(-8, 0)、(0, -4) です。F の値は 0、-8、-8 です。

4. x ≥ 0、y < 0 のとき、x − 2y ≤ 8 で、頂点は (0, 0)、(8, 0)、(0, -4) です。F の値は 0、8、-8 です。

最大の 8 は (i) の辺 (8, 0)-(0, 4) の全体でとります。この辺では x + 2y = 8 なので、F はつねに 8 です。ほかの場合に 8 をとる点があるかを調べます。(ii) で F = 8 とすると x + 2y = 8 で、これと -x + 2y ≤ 8 から -2x ≤ 0、つまり x ≥ 0 が出ます。x < 0 の場合なので、x = 0 に限られ、点は (0, 4) です。これは辺の端点です。(iv) でも同様に y = 0 に限られ、点は (8, 0) で、これも端点です。

最小の -8 は (iii) の辺 (-8, 0)-(0, -4) の全体でとります。同じ調べ方で、ほかの場合に -8 をとる点は辺の端点だけです。

答えは、最大値 8 を線分 (8, 0)-(0, 4) 上のすべての点で、最小値 -8 を線分 (-8, 0)-(0, -4) 上のすべての点でとります。

問3です。絶対値の四つの場合に、x + y ≥ 1 を加えます。

1. x ≥ 0、y ≥ 0 のとき、x + y ≤ 3 と x + y ≥ 1 から、頂点は (0, 1)、(1, 0)、(3, 0)、(0, 3) です。F = 2x − y の値は -1、2、6、-3 です。

2. x < 0、y ≥ 0 のとき、-x + y ≤ 3 と x + y ≥ 1 から、頂点は (0, 1)、(-1, 2)、(0, 3) です。F の値は -1、-4、-3 です。

3. x < 0、y < 0 のときは、x + y が負になり、x + y ≥ 1 を満たす点はありません。この場合は空集合です。

4. x ≥ 0、y < 0 のとき、x − y ≤ 3 と x + y ≥ 1 から、頂点は (1, 0)、(3, 0)、(2, -1) です。F の値は 2、6、5 です。

最大は 6 で (3, 0)、最小は -4 で (-1, 2) です。どの辺の傾きも、F = 2x − y の等高線の傾き 2 とは一致しません。

確認です。(3, 0) は |3| + 0 = 3 と 3 + 0 ≥ 1 を満たし、2・3 − 0 = 6 です。(-1, 2) は |-1| + |2| = 3 と -1 + 2 = 1 を満たし、2・(-1) − 2 = -4 です。

答えは、最大値 6（(3, 0)）、最小値 -4（(-1, 2)）です。場合によっては空集合になる、という点も答案に残します。

問4です。|x| + |y| ≤ 4 の頂点は (4, 0)、(0, 4)、(-4, 0)、(0, -4) です。F = x + a y の値は 4、4a、-4、-4a です。最大は 4 と 4|a| の大きい方になります。

|a| ≤ 1 のときは 4 が最大です。|a| < 1 では (4, 0) だけでとり、a = 1 では辺 (4, 0)-(0, 4) の全体、a = -1 では辺 (4, 0)-(0, -4) の全体でとります。a > 1 のときは 4a が最大で、点は (0, 4) です。a < -1 のときは -4a が最大で、点は (0, -4) です。

境目の理由は辺の傾きです。辺 (4, 0)-(0, 4) の傾きは -1 で、x + a y = k の傾き -1/a と一致するのが a = 1 です。辺 (4, 0)-(0, -4) の傾き 1 から、a = -1 が境目になります。

a = 2 で確かめます。(0, 4) は |0| + 4 = 4 を満たし、0 + 2・4 = 8 です。

答えは、|a| ≤ 1 のとき 4、a > 1 のとき 4a、a < -1 のとき -4a です。

問5です。|x| + 2|y| ≤ c の表す図形は、頂点が (c, 0)、(0, c/2)、(-c, 0)、(0, -c/2) のひし形です。二本の対角線の長さは 2c と c で、直交します。面積は (1/2)・(2c)・c = c² です。

c = 6 のとき面積は 36、c = 1 のとき面積は 1 です。求める領域は外側のひし形から内側のひし形を取り除いた部分なので、面積は 36 − 1 = 35 です。境界を含むかどうかは面積を変えません。

答えは 35 です。

7. 覚えておくこと

• 絶対値は t ≥ 0 なら t、t < 0 なら -t。四つに分けたら、片側は等号つきで閉じる。
• 各場合の不等式は半平面を表し、象限の条件と合わせると三角形になる。
• 領域は四つの場合の和集合。「または」で結び、共通部分とは呼ばない。
• 一次式の最大最小は頂点候補。等高線と辺の傾きが一致したら辺の全体。
• 最大点が軸の上にあるときは、その点がどの場合に入るかを名指しで確かめる。

8. つまずきの見分け方

答案を点検するときは、値の正しさより先に、場合分けの端を見ます。書き出しが x > 0、x < 0 になっていたら、軸の上の点の行き先を尋ねてください。頂点の表に軸上の点が入っているかも見ます。入っていなければ、例題2のような最大点を落としている可能性があります。

次に、出した最大点を元の不等式へ戻させます。|x| + 2|y| の値を計算し、境界の値と一致しなければ、その点は領域の外です。この代入は一問ごとに十秒で終わるので、答案を返す前に必ず一度行います。

場合分けの結びが「または」か「かつ」かも確認します。四つの条件をすべて「かつ」で結んでいないか、表の下の一行を見ればわかります。文字定数を含む問題では、境目の前後の値、たとえば a = 1.9 と a = 2.1 を代入させ、最大点が変わることを自分の手で確かめさせます。辺と平行な場合に、点を一つだけ書いていないかも見ます。

個別の場面では、説明を聞くだけでなく、その場で四つの頂点の座標と値を書き出させ、軸の上の点を丸で囲ませます。お子さまが一人で答案を閉じる前に、この一行を残せているかを見ておくと、同じ落とし穴を何度も掘ることが減ります。

場合分けの境目を閉じておくだけで、答案の最大値は座標として戻ってきます。