大学入試数学 切断領域と距離の極値—垂足と円弧の候補を元の領域に戻して選び直す｜武蔵野個別指導塾

半径5の円板を幅2の帯で切った領域では、円への射影や直線への垂足が領域の外に落ちることがあります。候補を並べて元の不等式へ戻し、最短を狙う候補は垂足です。

問題集の図に、円板を細い帯で切り取った領域と、その外側に置かれた点Pが描かれています。Pから円へ垂線を下ろし、足までの長さを最短として答案を書いたところ、解答の値と合いませんでした。図をよく見ると、垂線の足は帯の外にあります。動かしてよい点は領域の中だけです。候補を選ぶ段階で、その条件を落としてしまったのが原因でした。

切断領域で距離を問う問題の形

円板と帯のように、二つの不等式を同時に満たす点の集合を、ここでは切断領域と呼びます。たとえば

x² + y² ≤ 25
1 ≤ x ≤ 3

の両方を満たす点全体は、半径5の円板を幅2の帯で切り取った形をしています。境界は、二本の線分と二つの円弧です。この領域の点Xと、領域の外にある定点Pの距離を最小にしたり最大にしたりする問題が、この題材の中心になります。

問われ方は三つに分かれます。第一は、最短の点を求める型です。垂足がそのまま領域に入っていれば、点と直線の距離の公式で答えが出ます。入っていなければ、線分の端点や円弧の端点へ候補を移します。第二は、最長の点を求める型です。最短のときとは候補の並びが変わり、垂足が使えないことが多くなります。円弧の上では、中心とPを結ぶ直線が円と交わる二点が候補になります。第三は、候補の採否を問う型です。計算で出した点が帯の外や円板の外に落ちるとき、その値をそのまま答案に残すと誤りになります。候補の座標を元の不等式へ代入して、採るか捨てるかを決めます。

使う道具は、円の方程式、点と直線の距離、平方完成、そして不等式の評価です。微分は使わずに済ませます。答案には、最小値または最大値だけでなく、その値を与える点の座標を書きます。達成する点が複数あるときは、その全部を書きます。

最短と最長では、答案の書き出しが変わります。最短では、その点より近い点がないことを示すために目的式を下から押さえます。最長では上から押さえます。どちらも最後に、等号を取る点を領域の中から示します。値だけを並べた答案は、候補の比較で終わっている答案でもあり、達成の確認が抜けたものに見えます。境界のどの候補を採ったのかを、値の根拠として一言添えます。

候補を挙げて領域に戻す考え方

距離をそのまま扱うと根号が残るので、まず二乗した式を目的式にします。距離をdとすると、dの大小とd²の大小は同じ向きです。d²が最小になる点を探し、最後に平方根へ戻す手順が読みやすい答案になります。目的式は

d² = (x-a)² + (y-b)²

で、定点Pの座標を(a,b)としています。この式はxとyの二次式で、平方完成すると最小の位置が読めます。

候補は四種類あります。第一は領域の内部です。目的式の勾配が0になる点はPそのものです。Pが領域の外にあるとき、領域の内部に最小点は現れません。内部の点からPへ少し動かすと、動いた先もまだ領域の内部にあり、距離は縮むからです。第二は線分の境界です。直線へ垂線を下ろした足が候補になります。ただし、足が線分の範囲に入っているか、そして円板の不等式を満たすかを、必ず確かめます。第三は円弧の境界です。中心OとPを結ぶ直線が円と交わる二点が候補になります。Pに近い側は最短の候補、遠い側は最長の候補です。どちらも弧の範囲に入っているかを確かめます。第四は角です。線分と円弧の交点で、上の候補がすべて不採用になったときに答えの座標になります。

候補を出したら、元の領域へ戻します。候補の座標を

x² + y² ≤ 25
1 ≤ x ≤ 3

へ代入し、両方を満たすものだけを残します。この代入を省くと、領域の外の点を平気で答えにしてしまいます。計算の値がどれだけきれいでも、条件を満たさない点は候補ではありません。

候補を比べただけでは証明になりません。最小値なら、領域のどの点でもd²がその値以上になることと、その値に一致する点が領域に存在することの二つを示します。最大値も同じで、上から押さえる不等式と、等号を取る点の存在を分けて書きます。図1のように、直線へ下ろした垂足が領域の中に残り、円へ下ろした射影が帯の外へ出ることがあります。同じ「垂足」でも、どの境界へ下ろしたかで採否が変わります。

帯の境界線そのものは領域に含まれます。1≤x≤3もx²+y²≤25も等号を許すからです。したがって線分の上や円弧の上の点は候補になります。もし帯が1<x<3のように等号を許さない形なら、垂足が境界線上にあっても採用できず、値に近づくだけで達成しないことがあります。等号の有無は、候補の座標を代入するときに必ず見ます。

図1の左側が円板、中央の縦の帯が切り取る範囲です。点Pから直線x=3へ下ろした垂足は、帯の中の線分上にあり、そのまま最短の候補になります。一方、Pから円へ向かう射影は、円周上ではあっても帯の外にあり、候補から外れます。この二つの違いを図の上で見分けられることが、この題材の出発点です。

基本例題　垂足がそのまま使える最短

例題1（標準）　領域Dをx²+y²≤25かつ1≤x≤3で定め、点P(6,0)をとる。Dの点XとPの距離の最小値と、そのときのXの座標を求めよ。

目的式はd²=(x-6)²+y²です。まず候補を並べます。

内部　　(6,0) は x ≤ 3 を満たさない
x=3 の垂足　(3,0)　9 ≤ 25、1 ≤ 3 ≤ 3　採用
x=1 の垂足　(1,0)　1 ≤ 25　採用
円弧　　(5,0) は x = 5 > 3 で不採用
円弧　　(-5,0) は x = -5 < 1 で不採用
角　　　(3,4)、(3,-4)、(1,2√6)、(1,-2√6)

各候補のd²を計算します。(3,0)は9、(1,0)は25、(3,±4)は25、(1,±2√6)は49です。最小は9で、点は(3,0)です。

値の比較だけで終わらせず、不等式で押さえます。領域の点はx≤3を満たすので、

d² = (x-6)² + y²
   ≥ (x-6)²          　y² ≥ 0 より
   ≥ 9                　x ≤ 3 より (6-x) ≥ 3

です。等号はx=3かつy=0のときに成り立ち、(3,0)は9≤25と1≤3≤3を満たすので領域の点です。したがって最小値は3、そのときの点は(3,0)です。

この問題では、円へ下ろした射影(5,0)が使えません。それでも最小値が出るのは、帯の右端x=3がPに近い側の境界になっているからです。垂足が領域の外にあるときは、次に近い境界へ候補を移す、という判断をここで身につけます。図2のように、最短を与える点と最長の候補を並べました。

図2のように、Pから(3,0)までの距離は3です。一方、帯の左端にある(1,±2√6)までの距離は7で、こちらは最長の候補になります。最短と最長では、採用される境界が帯の右端と左端で入れ替わります。

標準と発展　候補が入れ替わる三題

例題2（標準）　最大では垂足を捨てる

例題2（標準）　例題1と同じ領域Dと点P(6,0)について、距離の最大値と、そのときのXの座標を求めよ。

最短の候補だった(3,0)は、最大では用をなしません。候補を並べ直します。

円弧の遠い側　(-5,0)　x = -5 < 1 で不採用
角　　　　　　(1,2√6)、(1,-2√6)　d² = 49
角　　　　　　(3,4)、(3,-4)　　　d² = 25
x=3 の垂足　　(3,0)　　　　　　　d² = 9
x=1 の垂足　　(1,0)　　　　　　　d² = 25

円弧の遠い側は帯の外に出るので、残る候補は角です。最大は49で、点は(1,±2√6)の二つです。

上界も不等式で示します。領域の点はx²+y²≤25とx≥1を満たすので、

d² = x² + y² - 12x + 36
   ≤ 25 - 12x + 36       　x² + y² ≤ 25 より
   = 61 - 12x
   ≤ 49                   　x ≥ 1 より

です。等号はx=1かつx²+y²=25のときに成り立ち、y²=24からy=±2√6です。どちらの点も1≤x≤3を満たすので領域の点です。したがって最大値は7、そのときの点は(1,2√6)と(1,-2√6)です。

最短では垂足が答えになり、最長では円弧の端点が答えになりました。目的式の形が同じでも、押さえる向きが変わると候補の優先順位が変わることに注意します。

例題3（やや難）　垂足も円の射影も外に出る

例題3（やや難）　領域Dをx²+y²≤25かつ1≤x≤3で定め、点P(5,5)をとる。XがDの中を動くとき、XとPの距離が最小になる点と、その距離を求めよ。

今度は、思いつく候補が二つとも領域の外に落ちます。順に確かめます。

円への射影　(5/√2, 5/√2) ≈ (3.54, 3.54)　x > 3 で不採用
x=3 の垂足　(3,5)　　3² + 5² = 34 > 25 で不採用
x=1 の垂足　(1,5)　　1² + 5² = 26 > 25 で不採用
角　　　　　(3,4)　　d² = 4 + 1 = 5
角　　　　　(3,-4)　 d² = 4 + 81 = 85
角　　　　　(1,2√6)　d² ≈ 16.01
角　　　　　(1,-2√6)　d² ≈ 113.99

残った候補のうち最小は(3,4)で、d²=5です。距離は√5になります。

この候補が本当に最小であることを、境界を四つに分けて示します。まず内部ですが、Pは領域の外にあり、内部の点からPへ少し動かすと距離が縮むので、最小は境界で起こります。次に円弧の上側です。円周上ではx²+y²=25なので、

d² = (x-5)² + (y-5)²
   = x² + y² - 10x - 10y + 50
   = 75 - 10(x + y)

と変形できます。1≤x≤3の範囲でx+y≤7を示します。y≥0のとき、

(7-x)² - y² = 49 - 14x + x² - (25 - x²)
            = 2x² - 14x + 24
            = 2(x-3)(x-4)

で、1≤x≤3では(x-3)≤0、(x-4)<0なので積は0以上です。しかも7-x>0なので7-x≥y、すなわちx+y≤7です。等号はx=3のときで、y=4が対応します。よって円弧の上側ではd²≥75-70=5です。円弧の下側はy≤-4なので、(y-5)²≥81となり、d²は5より大きくなります。

線分x=3の上では、|y|≤4より

d² = (3-5)² + (y-5)²
   = 4 + (y-5)²
   ≥ 4 + 1
   = 5

です。等号はy=4のときです。線分x=1の上では|y|≤2√6なので、

d² = 16 + (y-5)²
   ≥ 16 + (5-2√6)²
   = 65 - 20√6
   > 5

となります。四つの場合を合わせると、領域のどの点でもd²≥5で、(3,4)で等号が成り立ちます。したがって最小値は√5、そのときの点は(3,4)です。

この例題の要点は、垂足を計算して終わりにしないことです。(3,5)は直線x=3への垂足として正しい座標ですが、円板の外にあります。座標の計算が合っていることと、その点が領域の点であることは別の確認です。

例題4（難）　斜めの帯では交点が候補になる

例題4（難）　領域Eをx²+y²≤25かつ2≤x+y≤4で定め、点P(6,6)をとる。Eの点XとPの距離の最小値と最大値、およびそれぞれのときのXの座標を求めよ。

帯が斜めになっても、候補の種類は変わりません。目的式はd²=(x-6)²+(y-6)²です。s=x+yと置くと、領域の点は2≤s≤4を満たします。

最小から調べます。直線x+y=4への垂足は、

(6,6) から (1,1) 方向へ 4 だけ戻る
(6-4, 6-4) = (2,2)

で、(2,2)は2²+2²=8≤25と2≤4≤4を満たすので領域の点です。このときd²=4²+4²=32です。領域の点はs≤4なので、点と直線の距離より

d ≥ (12 - s)/√2
  ≥ 8/√2
  = 4√2

です。等号はs=4で、垂足(2,2)がそれを達成します。よって最小値は4√2、点は(2,2)です。帯が斜めのときは、垂足の座標を求める計算だけが変わり、候補を並べて領域へ戻す順序は変わりません。

次に最大です。円弧の候補を確かめます。中心OとPを結ぶ方向の円の点は(5/√2, 5/√2)で、s=5√2≈7.07となり帯の外です。反対側の点もs≈-7.07で帯の外です。したがって最大は角で起こります。角は二本の直線と円の交点で、四つあります。

x+y=4 と円　(2+√34/2, 2-√34/2)　d² = 49
x+y=4 と円　(2-√34/2, 2+√34/2)　d² = 49
x+y=2 と円　(1+√46/2, 1-√46/2)　d² = 73
x+y=2 と円　(1-√46/2, 1+√46/2)　d² = 73

最大は73で、点は(1+√46/2, 1-√46/2)と(1-√46/2, 1+√46/2)です。上界も確かめます。s=x+yとすると、

d² = x² + y² - 12x - 12y + 72
   = x² + y² + 72 - 12s
   ≤ 25 + 72 - 24          　x² + y² ≤ 25、s ≥ 2 より
   = 73

です。等号はx²+y²=25かつs=2のときで、y=2-xを円の式へ代入すると

x² + (2-x)² = 25
2x² - 4x - 21 = 0
x = 1 ± √46/2

となります。y=1∓√46/2で、どちらの点も1≤s≤2を満たします。よって最大値は√73です。

この例題では、最小の候補(2,2)が円の内部にある一方、最大の候補は円と直線の交点です。垂足が領域に入っていれば最小は垂足で決まり、最大は円弧の端点で決まる、という役割分担がはっきり出ています。帯の向きが変わっても、候補を四種類挙げて領域へ戻す手順は同じです。

よくある誤りと直し方

一つ目の誤りは、円へ下ろした垂足をそのまま最短点にすることです。例題1の点P(6,0)で、円周上の(5,0)を最短点とすると距離は1になります。しかし(5,0)はx=5で、帯の条件1≤x≤3を満たしません。領域の点ではないので、距離1は実現しません。直し方は、候補の座標を帯の不等式へ代入する習慣をつけることです。(5,0)を捨てると、次に近い候補は直線x=3への垂足(3,0)で、距離は3になります。図3のように、捨てる点と採る点を並べました。

図3の赤い印が帯の外の(5,0)、緑の印が領域内の(3,0)です。同じ円周上でも、帯の外の点は動かせません。

二つ目の誤りは、最大を角だけで決めることです。例題2で角(3,±4)だけを調べるとd²=25となり、最大を5と答えてしまいます。実際には円弧の端点(1,±2√6)でd²=49となり、最大は7です。直線の境界と円弧の境界では候補の位置が違うので、両方を挙げます。特に最大では、円弧の遠い側の点が帯に入るかどうかを必ず確かめます。

三つ目の誤りは、等号を取る点を片方だけ書くことです。例題2の最大は(1,2√6)と(1,-2√6)の両方で達成されます。片方だけでは、達成する点を全部書くという要求を満たしません。図や式の対称性から、yの符号を変えた点も同じ値になることを確かめてから答案を閉じます。垂足が線分の外にある場合も同じで、座標が求まった時点で満足せず、線分の範囲と円板の不等式の両方へ戻して確認します。

距離の二乗どうしを比べるとき、値の大小は距離の大小と一致します。ただし、答えを書く段階で二乗したままの数を距離として書かないようにします。d²=49のとき距離は7で、49ではありません。根号を戻すときに、候補の座標から距離を計算し直すと、取り違えを防げます。

練習問題

練習1　領域x²+y²≤16かつ1≤x≤3の点Xと、点P(7,0)の距離の最小値と、そのときのXの座標を求めよ。

練習2　練習1と同じ領域と点P(7,0)について、距離の最大値と、そのときのXの座標を求めよ。

練習3　領域x²+y²≤25かつ1≤x≤3の点Xと、点P(-2,3)の距離の最小値と、そのときのXの座標を求めよ。

練習4　領域x²+y²≤25かつ1≤x≤3の点Xと、点P(4,10)の距離の最小値を求めよ。答えは根号を含む形で書き、そのときのXの座標も求めよ。

練習5　領域x²+y²≤25かつ1≤x+y≤2の点Xと、点P(6,0)の距離の最小値と最大値、およびそれぞれのときのXの座標を求めよ。

練習問題の答えと解き方

練習1　最小値は4、点は(3,0)です。領域の点はx≤3なので、

d² = (x-7)² + y²
   ≥ (x-7)²
   ≥ 16

です。等号はx=3かつy=0で、(3,0)は9≤16と1≤3≤3を満たします。円への射影(4,0)はx=4で帯の外なので採用できません。

練習2　最大値は√51、点は(1,√15)と(1,-√15)です。領域の点はx²+y²≤16とx≥1を満たすので、

d² = x² + y² - 14x + 49
   ≤ 16 - 14x + 49
   = 65 - 14x
   ≤ 51

です。等号はx=1かつx²+y²=16のときで、y²=15からy=±√15です。角(3,±√7)のd²は23なので、最大にはなりません。

練習3　最小値は3、点は(1,3)です。領域の点はx≥1なので、

d² = (x+2)² + (y-3)²
   ≥ (x+2)²
   ≥ 9

です。等号はx=1かつy=3で、(1,3)は1²+3²=10≤25を満たします。点Pは円の内部にありますが、帯の外にあります。円へ向かう射影はx座標が負になり帯に入らないため、帯の左端の垂足が答えになります。

練習4　最小値は2√29-5、点は(10/√29, 25/√29)です。OPの長さは

OP = √(4² + 10²)
   = √116
   = 2√29

です。円板の点XはOX≤5を満たすので、三角不等式より

PX ≥ OP - OX
   ≥ 2√29 - 5

です。等号はOX=5かつXが線分OP上にあるときで、XはPの方向へ5だけ進んだ点です。

X = 5(4,10)/(2√29)
  = (10/√29, 25/√29)

この点のx座標は10/√29≈1.86で1≤x≤3を満たし、y座標は25/√29≈4.64なので円周上にあります。角(3,4)のd²は37、角(1,2√6)のd²は約35.02で、いずれも(2√29-5)²≈33.30より大きい値です。

練習5　最小値は2√2、点は(4,-2)です。最大値は√97、点は(-3,4)です。最小から示します。直線x+y=2へのP(6,0)の垂足は

(6,0) から (1,1) 方向へ 2 だけ戻る
(6-2, 0-2) = (4,-2)

で、(4,-2)は16+4=20≤25と1≤2≤2を満たします。点と直線の距離より、領域の点Xは

PX ≥ (6 - (x+y))/√2
   ≥ 4/√2
   = 2√2

を満たし、等号は(4,-2)で成り立ちます。

最大は次のように押さえます。領域の点でx<-3とすると、x+y≥1からy>4となり、x²+y²>9+16=25となって円板の外に出ます。よって領域の点はx≥-3です。このとき

d² = (x-6)² + y²
   = x² + y² - 12x + 36
   ≤ 25 - 12x + 36
   = 61 - 12x
   ≤ 61 + 36
   = 97

です。等号はx²+y²=25とx=-3が同時に成り立つときで、y=4またはy=-4です。このうちx+y=1を満たすのは(-3,4)だけです。したがって最大値は√97、点は(-3,4)です。

覚えておくこと

• 距離は二乗して目的式にし、最後に平方根へ戻す。
• 候補は内部、線分の垂足、円弧の射影、角の四種類を挙げる。
• 候補の座標は元の不等式へ代入し、領域の点だけを残す。
• 最小と最大では採用される境界が入れ替わる。
• 値の比較だけで終えず、不等式の等号と達成する点を示す。

つまずきの見分け方

答案が合わないときは、まず候補の座標を帯の不等式へ戻しているかを確認します。垂足の計算が正しくても、その点が帯や円板の外にあれば答えには使えません。次に、最小と最大で同じ候補を使い回していないかを見ます。最短の垂足が最長の答えになることは、ふつうありません。円弧の候補では、中心と定点を結ぶ直線が円と交わる二点のうち、近い側と遠い側のどちらを採ったかを言葉で説明できるようにします。最後に、等号を取る点をすべて書いたかを確かめます。対称な位置にもう一つある場合は、その座標も答案に残します。説明を聞くときは、どの境界のどの候補を採ったのか、そしてその候補が領域の点であることをどの不等式で確かめたのか、この二点を順にたどると原因が見つかります。確かめるときは、候補はどの境界から出したか、その候補は領域の不等式を満たすか、等号を取る点はほかにないか、の三つを順に問います。この三つに答えられれば、計算の細部が違っても答案の筋は同じになります。

候補を挙げ、領域へ戻し、不等式で挟んで等号の点を示す。この往復を省かなければ、距離の極値はどこで決まるかが答案の上で見えます。