大学入試数学 領域における積の最大値—双曲線と境界の接触を一変数の式で確かめる｜武蔵野個別指導塾

第一象限の三角形で積 xy の最大を探すとき、頂点の値だけでは足りません。斜辺を一変数の式に直し、最大を与えるのは辺に接する双曲線です。

夜の自習で、領域の頂点をすべて書き出し、その座標を目的式へ代入した表を作って満足してしまう場面があります。ところが目的式が xy の形だと、頂点ではどれも 0 になり、答えが決まりません。表の一行目と二行目が同じ 0 で埋まったとき、計算を疑うより先に、調べる場所の選び方を疑う必要があります。

積の最大を問う問題の形と、使う道具

積 xy を目的式にする問題は、三つの型で出ます。第一の型は、x≥0、y≥0、ax+by≤c で決まる三角形の領域で、xy の最大値と、そのときの x と y を求めるものです。第二の型は、y≤7 のような水平の条件が加わって領域の右上の辺が途中で折れる場合で、最大点が折れ目より上にあるか下にあるかが分かれ目になります。第三の型は、x≥t のように文字定数が入り、接する点が動ける範囲に入るかどうかで答えが二つに分かれるものです。

どの型でも、答案を組み立てる主な道具は三つです。二次式の平方完成、二直線の共有点を求める連立、そして双曲線 xy=k と直線が接する条件を重解で見る方法です。微分や偏微分、ラグランジュの未定乗数法、包絡線の公式は使いません。積の最大という場面では、辺の上で y を x の式に置き換えれば一変数の二次式になり、平方完成の形から最大を取る x がそのまま読めるからです。目的式が一次式なら境界の直線を平行に動かす話になりますが、積のときは曲線が境界に接する位置が主題になります。

答案の骨格として、もう一つ覚えておくことがあります。上から押さえる不等式と、その値に実際に届く点の存在は、別々に書きます。片方だけでは、押さえただけで届かない値や、届いたけれど最大でない値を答えにしてしまいます。

問題文の形から型を見分けるときは、三つの点を拾います。最大値だけでなく点も問われているか、定義域に x≥6 のような追加の条件があるか、t のような文字が入っているか。点まで問われる問題は、等号の成り立つ位置を答案に書く必要があるので、接点の計算まで省けません。文字が入る問題は、接点が動ける範囲に入るかを場合分けの境目にします。

領域と水準曲線—評価の向きと等号の読み方

領域とは、条件を満たす x と y の組の全体です。ここで扱うのは x≥0、y≥0、ax+by≤c（a、b、c は正の数）で決まる第一象限の三角形で、境界の線分も領域に含みます。目的式 xy は、この三角形の中でどこで一番大きくなるかを問われています。

xy=k（k>0）を満たす点を集めると、第一象限では右下がりの曲線になります。x が増えれば y は減り、積は k のままです。この曲線を水準曲線と呼びます。k を大きくするほど曲線は原点から遠ざかり、領域の右上へ移っていきます。

最大点の居場所は、式を解く前に絞れます。y>0 を一つ固定すると、x を増やすほど xy は増えます。だから領域の内部、つまり ax+by<c を満たす点に最大点はありません。内部の点は x を少し大きくしてもまだ領域の中にあり、そのとき積は増えるからです。x=0 か y=0 なら積は 0 なので、積が正になる点が領域にある限り最大点にはなりません。残るのは右上の境界、斜辺 ax+by=c の上だけです。

評価は二段構えで書きます。第一段は、領域のすべての点で xy≤M が成り立つこと。第二段は、xy=M となる点が実際に領域の中にあること。この二つがそろって初めて M が最大値です。第一段だけでは上からの押さえにすぎず、第二段だけでは他の点でもっと大きくなる可能性が残ります。

接すると横切るの違いも、式の上では共有点の個数です。xy=k と斜辺を連立してできる二次方程式が重解なら接し、異なる二解なら横切ります。横切っているときは、曲線の一部が領域の内側に入り込んでいるので、k をもう少し上げても領域と共有点が残ります。だから横切る k は最大ではありません。接する k だけが、それ以上上げると共有点が消える境目になります。

境界を含むかどうかも答案の一部です。ここで扱う領域は ≤ で定めているので斜辺も領域に含み、接する点がその上にあれば最大値は存在します。もし < で定めると、接する点に近づけるだけで値そのものは取れず、最大値は存在しません。今回は閉じた領域だけを扱い、開いた領域はここでの対象から外します。

水準曲線を何本か重ねると、最大の読み方がつかめます。x≥0、y≥0、x+y≤6 の領域に、xy=2、xy=5、xy=9 の三本を重ねたものを図1に示します。

図1のように、k を上げるほど曲線は右上へ移り、xy=9 の曲線が点 (3,3) で斜辺に接します。これより大きい k では曲線が領域に届きません。接する点があることと、それ以上は届かないことが一つの図に収まっています。接する点の座標は、斜辺の式と水準曲線の式を連立して重解になる位置を探せば決まります。

基本例題：斜辺に接する双曲線を見つける

例題1（標準）x≥0、y≥0、3x+4y≤24 のとき、xy の最大値と、そのときの x、y の値を求めなさい。

方針を先に決めます。最大点は斜辺の上にあるので、斜辺の式を y について解き、目的式へ代入して x だけの式にします。そのあと平方完成して、最大を取る x が 0≤x≤8 の中にあるかを確かめます。

斜辺の式を y について解きます。

3x+4y = 24
4y = 24-3x
y = 6-(3/4)x

y≥0 という条件をこの式に戻すと、x の動ける範囲が決まります。

6-(3/4)x ≥ 0
(3/4)x ≤ 6
x ≤ 8

x≥0 と合わせて 0≤x≤8 です。この範囲で目的式を x だけの式に直します。

xy = x(6-(3/4)x)
   = 6x-(3/4)x²
   = -(3/4)(x²-8x)
   = -(3/4)((x-4)²-16)
   = -(3/4)(x-4)²+12

平方完成の形から、xy は x=4 のとき最大 12 を取ります。x=4 は 0≤x≤8 の中にあります。このとき y=6-3=3 で、点 (4,3) は 3・4+4・3=24 を満たすので斜辺の上、つまり領域に含まれます。よって最大値は 12、そのとき x=4、y=3 です。

同じことを双曲線の側から確かめます。xy=12 と斜辺 3x+4y=24 が共有点を持つ条件を、代入して調べます。

y = 12/x を 3x+4y = 24 に代入
3x+48/x = 24
両辺に x を掛ける（x>0）
3x²-24x+48 = 0
x²-8x+16 = 0
(x-4)² = 0

重解 x=4 なので、二つの曲線は点 (4,3) で接します。判別式で見ても 64-64=0 です。接するということは、これより大きい k の双曲線は斜辺と共有点を持たない、ということでもあります。最大を決めたのは頂点ではなく、この接点でした。

図2は、この領域と xy=12 の曲線を重ねたものです。

図2のように、曲線は斜辺の中ほどで接し、頂点 (8,0) と (0,6) では xy=0 です。頂点の表だけを見ると最大値は 0 に見えますが、辺の内点に 12 があります。

標準と発展：辺の端で決まる場合と、頂点では届かない場合

例題2（標準）x≥0、y≥0、2x+y≤16、x≥6 のとき、xy の最大値を求めなさい。

頂点は (6,0)、(8,0)、(6,4) の三つで、xy の値は順に 0、0、24 です。ただし例題1と同じ理由で、最大点は斜辺の上にあります。x≥6 という条件があるので、斜辺のうち使えるのは x が 6 以上 8 以下の部分だけです。

2x+y = 16 より y = 16-2x
x ≥ 6 と y ≥ 0 より 6 ≤ x ≤ 8
xy = x(16-2x)
   = -2x²+16x
   = -2(x-4)²+32

平方完成の頂点は x=4 ですが、これは 6≤x≤8 の外にあります。この範囲では -(x-4)² の部分が x とともに小さくなるので、xy は x=6 で最大になります。このとき y=16-12=4 で、2・6+4=16 と x=6≥6 を満たします。よって最大値は 24、点は (6,4) です。

双曲線の側から見ると、ようすが違います。xy=24 と 2x+y=16 を連立すると x²-8x+12=0 となり、x=2 と x=6 の二点で交わります。接するのは x=4、y=8 の位置ですが、x=4 は条件 x≥6 を満たしません。接点が使えないときは、辺の端で値を比べるしかありません。例題1では接点が辺の内側にあり、この例題では外側にある、という違いが答えの形を変えています。

辺 x=6 の上を直接見ても、xy=6y は y とともに増えるので、y=4 の点で 24 を取ります。斜辺の上で求めた点と同じ場所なので、どちらの辺から数えても同じ値になります。辺が複数あるときは、それぞれの辺で最大を出し、最後に比べるという順序を守ると、見落としが減ります。

例題3（やや難）x≥0、y≥0、x+y≤10、y≤7 のとき、xy の最大値を求めなさい。

領域は四角形で、頂点は (0,0)、(10,0)、(3,7)、(0,7) です。xy の値は順に 0、0、21、0 で、頂点だけを見ると最大は 21 に見えます。しかし右上の境界は一本の線分ではなく、y=7 の部分と x+y=10 の部分の二本に折れています。両方を別々に調べます。

y = 7 の上（0 ≤ x ≤ 3）
xy = 7x
x = 3 のとき最大 21

x+y = 10 の上（3 ≤ x ≤ 10）
y = 10-x
xy = x(10-x)
   = -(x-5)²+25
x = 5 のとき最大 25

x=5 は 3≤x≤10 の中にあり、このとき y=5 で y≤7 も満たします。25 は 21 より大きいので、最大値は 25、点は (5,5) です。頂点 (3,7) の 21 は、辺の内点 (5,5) の 25 に負けています。これが、頂点だけを調べると取り逃す典型的な形です。

一般に、斜辺が x+y=s の形なら、その上で xy≤s²/4 が成り立ち、等号は x=y=s/2 のときに立ちます。積を最大化するのは二つの変数が等しい位置で、これは相加相乗平均の等号と同じ場所です。水平の条件 y≤c が加わったときは、s/2≤c なら接点が使えて最大は s²/4 になり、s/2>c なら接点は領域の外に出て、y=c の上の角で決まります。例題3の 25 と、y≤3 に変えたときの 21 は、この分かれ目の両側です。

折れ目の位置が答えを変えることも確かめます。同じ斜辺 x+y=10 で、水平の条件を y≤3 に変えると、接点 (5,5) は領域の外に出ます。このときは y=3 の上で xy=3x が x=7 で最大 21 となり、斜辺の上では x=7 より右で値が下がるだけです。最大値は 21、点は (7,3) になります。折れ目が接点より上にあるか下にあるかが分かれ目です。

例題4（難）0≤t<12 とする。x≥0、y≥0、x+y≤12、x≥t で決まる領域で、xy の最大値を t の場合に分けて求めなさい。

頂点は (t,0)、(12,0)、(t,12-t) です。最大点は斜辺 x+y=12 の上にあり、そこでは x が t から 12 まで動きます。目的式は例題1と同じ形に直せます。

y = 12-x
xy = x(12-x)
   = -(x-6)²+36
x の範囲は t ≤ x ≤ 12

平方完成の頂点は x=6 です。この 6 が区間 [t,12] に入るかどうかで場合が分かれます。t≤6 なら 6 は区間の中にあり、最大値は 36、点は (6,6) です。t>6 なら区間は頂点より右だけで、xy は x とともに減るので、最大は左端 x=t、つまり点 (t,12-t) で値 t(12-t) を取ります。

0 ≤ t ≤ 6 のとき  最大値 36        （x=6、y=6）
6 < t < 12 のとき 最大値 t(12-t)   （x=t、y=12-t）

t=6 のときは t(12-t)=36 となり、二つの式は同じ値でつながります。t=9 なら最大値は 9・3=27、点は (9,3) で、36 は x=6 が領域の外なので取れません。t(12-t)=36-(t-6)² と直すと、t が 6 から離れるほど値が下がることも見えます。接点が使えるかどうかが、答えの式そのものを変える例です。

t=0 のときは追加の条件が効かないので、最大値は 36 です。t が 12 に近づくと領域は細い三角形になり、最大値は 0 に近づきます。場合分けの境目 t=6 の前後で式は変わりますが、値は 36 でつながっているので、答案では両方の式を書いて境目を明示します。

よくある誤りと、破綻する条件

一つ目の誤りは、頂点だけを調べて最大を決めることです。例題3の領域で (3,7) の 21 を最大とすると、辺の内点 (5,5) の 25 を見落とします。破綻するのは、目的式が積で、辺の内側で値が伸びる場合です。直し方は、右上の境界を辺ごとに分け、それぞれを一変数の式にして平方完成することです。

図3は、(3,7) の 21 を最大とする誤りと、(5,5) の 25 が正しい答えであることを並べたものです。

図3のように、xy=21 の曲線は領域を横切って二点で境界を越え、xy=25 の曲線は (5,5) で斜辺に接しています。曲線が境界を横切っているか、接しているかを見れば、その値が最大かどうかがわかります。

二つ目の誤りは、係数をそろえずに相加相乗平均を使うことです。例題1の領域 3x+4y≤24 で「x+y≤8 だから xy≤16」とすると、16 を最大と答えてしまいます。16 を取るには x=y=4 が必要ですが、3・4+4・4=28 で領域の外です。押さえた値に届く点がないので、これは最大値ではありません。

直し方は、係数をそろえて積を作ることです。xy は (1/12)・(3x)・(4y) と書けます。

xy = (1/12)(3x)(4y)
   ≤ (1/12)((3x+4y)/2)²
   ≤ (1/12)・12²
   = 12
等号は 3x = 4y かつ 3x+4y = 24 のとき
3x = 4y = 12 より x=4、y=3

一変数の式で求めた 12 と同じ値に戻りました。評価の向きだけでなく、等号の点が領域にあることまで書いて、初めて最大値になります。

三つ目の誤りは、x と y を別々に最大にしてから掛けることです。例題1で x の最大 8 と y の最大 6 を掛けて 48 とする答案があります。x=8 を取る点は (8,0)、y=6 を取る点は (0,6) で、同じ点ではありません。48 を取る点 (8,6) は 3・8+4・6=48 となり、領域の外です。一方を他方の式で表し、一つの変数の関数にしてから最大を調べる必要があります。

三つの誤りに共通するのは、評価の式だけを書いて、等号の点を領域へ戻していないことです。答案を書き終えたら、最大を与えたとされる点の座標を、問題文の不等式すべてに代入します。一つの不等式でも満たさなければ、その値は領域の外の話です。さらに、その点のまわりで目的式の値が本当に下がるかを、辺の上の式でもう一度見ます。

練習問題

練習1　x≥0、y≥0、x+2y≤8 のとき、xy の最大値と、そのときの x、y の値を求めなさい。

練習2　x≥0、y≥3、4x+y≤16 のとき、xy の最大値と、そのときの x、y の値を求めなさい。

練習3　x≥0、y≥0、2x+5y≤20 のとき、xy の最大値を求めなさい。

練習4　x≥0、y≥0、x+y≤9、x≥7 のとき、xy の最大値と、そのときの x、y の値を求めなさい。

練習5　x≥0、y≥0、x+2y≤16、x≤10 のとき、xy の最大値を求めなさい。また、頂点の値だけを調べる方法では、この最大値に届くかどうかを述べなさい。

答えは次の節にまとめてあります。先に自分で最後まで書き、頂点の値と辺の内点の値を両方出してから照らし合わせてください。

練習問題の答えと解き方

練習1の答えは、最大値 8、x=4、y=2 です。斜辺を y=(8-x)/2 と解き、0≤x≤8 の範囲で xy=-(1/2)(x-4)²+8 と平方完成します。x=4 は範囲内で、y=2 のとき x+2y=8 を満たします。頂点 (0,0)、(8,0)、(0,4) の値はすべて 0 です。

練習2の答えは、最大値 16、x=2、y=8 です。斜辺を y=16-4x と解き、y≥3 から x≤13/4、合わせて 0≤x≤13/4 です。xy=-4(x-2)²+16 で、x=2 は範囲内、y=8 は y≥3 を満たします。頂点 (0,3)、(13/4,3)、(0,16) の値は 0、39/4、0 で、39/4 は 16 より小さい値です。

練習3の答えは、最大値 10、x=5、y=2 です。y=(20-2x)/5、0≤x≤10 で、xy=-(2/5)(x-5)²+10 です。x=5 は範囲内で、2・5+5・2=20 を満たします。

練習4の答えは、最大値 14、x=7、y=2 です。x≥7 と y=9-x≥0 から 7≤x≤9 で、xy=-(x-4.5)²+20.25 はこの範囲で減少します。よって左端 x=7 で最大となり、y=2、xy=14 です。接する点 (4.5,4.5) は x≥7 の外にあるため、辺の内点では最大を取りません。

練習5の答えは、最大値 32、x=8、y=4 です。境界は x=10（0≤y≤3）と x+2y=16（0≤x≤10）の二本です。x=10 の上では xy=10y≤30、x+2y=16 の上では y=(16-x)/2 より xy=-(1/2)(x-8)²+32 で、x=8 は 0≤x≤10 の中にあり、y=4 も条件を満たします。頂点 (10,0)、(10,3)、(0,8) の値は 0、30、0 なので、頂点だけでは 30 にしか届きません。32 は辺の内点で取る値で、頂点の最大 30 より大きいので、頂点だけを調べる方法では届きません。

覚えておくこと

・目的式が xy なら、最大点は右上の境界にあります。領域の内部に最大点はありません。

・斜辺を y について解き、xy を一変数の二次式にして平方完成します。

・平方完成の頂点が動ける範囲に入るかどうかで、辺の内点か端かが決まります。

・双曲線 xy=k が境界に接するなら k は最大、横切るならもっと大きい値があります。

・等号の点を元の不等式へ戻し、領域に含まれることを答案に書きます。

つまずきの見分け方

答案を見るときは、頂点の表の次に辺の内点の計算があるかを見ます。表だけで終わっている答案は、例題3のような形で必ず取り逃しが起きます。平方完成をした答案では、頂点の x が動ける範囲に入っているかを指で追います。範囲の外にあるのに頂点の値を答えにしている答案は、例題2や例題4の t>6 の場合と同じ誤りです。

個別に見るときは、次の三つを口に出して確かめてもらいます。斜辺の式を y について解いたか。平方完成の頂点の x が範囲に入るかを確かめたか。等号の点を元の不等式へ戻して領域に含まれると書いたか。この三つが言えれば、接点が使える場合と使えない場合の区別も自分で説明できます。

授業で確かめるときは、答案の式を隠して、領域の図だけを見せて問いかけると早くわかります。「この領域で xy が一番大きくなるのは、どのあたりか」と聞くと、多くの人は右上の斜辺の真ん中を指します。そこで初めて、頂点の表だけで答えた答案とのずれが本人に見えます。指した場所の座標を計算させ、元の不等式へ戻させると、接点の意味が言葉になります。

式の変形で止まったときは、平方完成の頂点の x を区間の端と比べる表を一緒に書きます。文字の入った問題では、t=5 と t=7 の具体例を並べると、境目の前後で答えの式が変わることを目で追えます。

説明が止まるのは、たいてい接点の位置を図で見ていないときです。水準曲線を一本だけ描いて、それが境界に接しているか横切っているかを確かめる習慣がつくと、場合分けの根拠を自分の言葉で書けるようになります。

答えを決めるのは、頂点の数ではなく、境界に接する一点の位置です。