高校数学A 素因数分解の一意性—素数の指数の対応から同じ整数を表す条件を読み取る｜武蔵野個別指導塾

分解する順番が違う積を指数で比べ、試し割りの終点と一致しない条件から素因数分解の一意性に迫ります。

よくあるのは、高校生が一つの整数を分解するとき、最初に選んだ約数が違えば別の答えになると思う場面です。途中の枝は違っても、最後に素数だけを並べた積を比べると、順番を除いて同じになります。ただし、途中に合成数が残っていたり、指数を数え間違えたりすれば、見かけの違いは消えません。どこまで分解したかを確かめ、素数ごとに指数をそろえて比べましょう。

数学Aの「数学と人間の活動」で扱う整数の約数や倍数に結びつけ、ここでは正整数の素因数分解を考えます。約数の個数や最小公倍数の公式には進まず、分解そのものと表現の一致に焦点を当てます。

何を比べる問題か

出方は主に3種類あります。1つ目は、与えられた正整数を素数の積に直し、分解が終わったことを説明する問題です。割れた回数が指数になるので、同じ素数で割れる間は繰り返します。最後の数が素数かどうかを判定するところまでが解答です。

2つ目は、異なる順序で書かれた積が同じ整数かを調べる問題です。積の順番は交換できますが、素数の種類や回数は勝手に変えられません。合成数を含む積なら、両辺を素数の積にしてから比較します。

3つ目は、文字で表した指数や未知の素数について、等式から条件を求める問題です。まず文字の範囲を確認し、現れない素数には指数0を対応させます。等しいと仮定したとき必要な条件を出し、その条件を代入すると本当に等しいことまで確かめます。

素数の積は何を記録するか

素数は、1より大きい正整数のうち正の約数が1とその数自身の2個である数です。1より大きい正整数で素数でないものを合成数といいます。1は正の約数が1個なので、どちらにも入りません。0や負の整数もこの定義の対象外です。

1を素数に入れると、例えば素数の積に1を何個でも掛けられ、因数の個数が定まらなくなります。1を除くことで、1より大きい正整数の素因数分解を、素数の並び順を除いてただ一通りとする事実が成り立ちます。この一意性は標準の事実として使い、ここではその一般的な証明には立ち入りません。1自体は素数の因数を持たない積と考えますが、以下の分解問題の対象は1より大きい正整数です。

図1のように、同じ数について分け方を変えても、末端の素数を集めた結果を対応させられます。枝の途中の数は分解方法によって変わります。

図1では 42 = 6・7 = 2・3・7 と、42 = 2・21 = 2・3・7 を比べています。6と21は合成数なので、そこで止めた積は素因数分解ではありません。末端がすべて素数で、掛け戻して42になれば、分解が完成しています。

指数は同じ素数が何個あるかの記録です。例えば 2²・3・7 では、2の指数は2、3と7の指数は1です。現れない5の指数は0として比べると、素数を共通の見出しにできます。2²は2・2であり、2を2倍したという意味ではありません。指数0は、その素数の因数を選ばないことを示します。

残った数が素数かを調べるとき、全ての小さい整数で割り続ける必要はありません。残りをNとし、Nが合成数なら N = a・b と、1より大きい整数a、bに分けられます。もし両方の平方がNより大きければ、両方ともNの平方根より大きく、積はNより大きくなり矛盾します。したがって少なくとも片方は平方がN以下です。その因数が合成数なら、さらに素数まで分けると、その素数も平方がN以下です。

よって、平方がN以下の素数でどれも割れなければ、Nは素数です。境界は等号を含みます。平方がちょうどNになる素数を調べずに終えると、その平方数を素数と誤判定します。また、割って残りが変わったら、判定の対象も新しい残りに変わります。1に到達した場合は素数と判定せず、そこで分解を終えます。

基本例題：2通りの枝をそろえる

正整数 294 を素因数分解し、最初に2で割る方法と、最初に6と49に分ける方法が同じ結果に至ることを示してください。答えは指数を使った積で表します。

まず2で割り、得られた商をさらに分けます。各行の積は元の294を保っています。

294 = 2・147
    = 2・3・49
    = 2・3・7・7
    = 2・3・7²

別の分け方では次のようになります。

294 = 6・49
    = (2・3)・(7・7)
    = 2・3・7²

図2のように、途中の組が違っても、2、3、7の指数をそれぞれ数えると両方とも1、1、2です。2、3、7はいずれも素数なので、これ以上素因数に分ける必要はありません。

図2の指数を元に戻すと 2・3・7・7 = 294 です。したがって答えは 2・3・7² です。途中の49を7²に直し忘れると積自体は正しくても、素数だけの積という答えの条件を満たしません。一方、同じ素数を別の順序に並べた 7²・2・3 は同じ分解です。

試し割りで進める場合も、294を2で割った残り147、さらに3で割った残り49を順に調べます。49では 7・7 = 49 なので、7を調べる境界に含める必要があります。49が奇数だから素数と決めるのではなく、平方の境界までの素数を使って確かめます。

標準例題：異なる素数の積を比較する

正整数a、bについて、2³・3ᵃ・7 = 8・21ᵇ が成り立つとします。a、bをそれぞれ整数で求めてください。

右辺にある8と21は合成数です。そのまま指数を見比べると、両辺の底がそろっていません。まず素数の積に直します。

8・21ᵇ = 2³・(3・7)ᵇ
        = 2³・3ᵇ・7ᵇ

左辺の7の指数は1、右辺の7の指数はbです。一意性により b = 1 です。続いて3の指数を比べると a = b ですから、a = 1 です。2の指数はいずれも3で、追加の条件はありません。

b = 1
a = b = 1

逆に a = 1、b = 1 を元の式に代入すると、左辺は 2³・3・7 = 168、右辺は 8・21 = 168 です。指定された正整数の条件にも合います。指数の一致は必要なだけでなく、同じ素数を同じ回数掛けるため十分でもあります。

例えば7の指数だけから a = 1 と決めることはできません。aは3の指数に対応しているからです。また、右辺の21を一つの素数とみなして比較する方法も使えません。底を素数に分解し、同じ素数の列を縦にそろえるのが先です。

発展例題：未知の素数と指数を特定する

pを素数、aを0以上の整数とします。等式 2ᵃ・p² = 2⁴・11² が成り立つとき、pとaを求めてください。pは正の素数であり、指数0も許します。

右辺に現れる素数は2と11です。pが2でも11でもないと仮定すると、左辺にはpが2個現れますが、右辺のpの指数は0です。一意性に反するので、その場合はありません。候補は p = 2 または p = 11 です。

p = 2 の場合は、左辺をまとめて比べます。

2ᵃ・p² = 2ᵃ・2²
         = 2 の (a + 2) 乗

この左辺には11が現れず、その指数は0です。右辺の11の指数は2なので一致しません。2の指数だけを合わせても、この候補は元の等式を満たせません。

次に p = 11 とします。

2ᵃ・11² = 2⁴・11²
a = 4

11の指数は両辺とも2です。2の指数を比べて a = 4 が必要となります。逆に p = 11、a = 4 なら、元の両辺はともに 2⁴・11² = 1936 です。pは素数、aは0以上の整数なので条件を満たし、答えは p = 11、a = 4 です。

候補を右辺の素因数に限る説明と、残った候補の確認を分けることが大切です。pが右辺に現れるとしても、どちらの素数かはまだ決まりません。また、p = 2 の場合は2の因数が重なるため、指数を a + 2 と合算します。pが2と異なる場合と同じように、2ᵃとp²を別々の種類の素因数として数えることはできません。

間違いをどこから直すか

図3のように、49を素数と誤判定した解答を考えます。「49は2、3、5で割れないから素数」として 294 = 2・3・49 を最終答案にする誤りです。割れないことを確かめた範囲が不足しており、7² = 49 という境界を調べていません。

図3では7で割ると商も7になることが修正の手掛かりです。49 = 7・7 としてから、両方の7が素数であることを確かめます。掛け戻しだけでは元の数に一致するので誤りを発見できません。積の値と、因数がすべて素数かの両方を点検します。

別の失敗は、2³・3 と 2・3³ を「指数が3と1だから同じ」とすることです。前者は24、後者は54で、2と3に対応する指数が入れ替わっています。指数の数字だけを集めず、底と組にして比べます。逆に、掛ける順序が違うだけなら異なる分解とは数えません。

1を最後に残した場合の扱いにも注意します。割り算を続けて商が1になれば、因数の取り出しは完了です。1を新しい素因数として書き足す必要はありません。入力が0や負の整数なら、ここで使った「1より大きい正整数」の一意性をそのまま適用せず、まず問題の定義域を見直します。

自分で確かめる5問

各問の数は正整数とし、文字の範囲は各問で指定します。分解では指数を使った積で答えてください。

1. 286を素因数分解してください。最後に残る因数が素数であることも説明してください。
2. 605を素因数分解してください。平方の境界を含めて、必要な素数による割り算を説明してください。
3. 正整数a、bについて 3²・5ᵃ・11 = 9・55ᵇ が成り立つとき、a、bを求めてください。
4. pを素数、kを0以上の整数とします。3ᵏ・p² = 3⁴・13² を満たすp、kを求めてください。
5. 正整数mについて、2²・7ᵐ と 4・49 が等しいか調べます。等しくなるmを求め、その値以外では等しくならない理由も述べてください。

解答と解き方

1の解答

286 = 2・143
    = 2・11・13

13は、平方が13以下である素数2、3のどちらでも割れません。したがって13は素数です。11も2、3のどちらでも割れず素数です。掛け戻すと 2・11・13 = 286 なので、答えは 2・11・13 です。

2の解答

605は5で割れます。商121については、平方が121以下の素数2、3、5、7、11を考えます。

605 = 5・121
    = 5・11・11
    = 5・11²

121は2、3、5、7では割れませんが、境界の11では割れます。商の11は素数です。5・11² = 5・121 = 605 と戻せるため、答えは 5・11² です。11を調べる前に停止すれば121を誤って素数とするので、等号を含む境界が必要です。

3の解答

9・55ᵇ = 3²・(5・11)ᵇ
        = 3²・5ᵇ・11ᵇ

11の指数を比較して b = 1、5の指数を比較して a = b = 1 です。代入すると左辺は 9・5・11 = 495、右辺も 9・55 = 495 です。a、bはともに正整数で、答えは a = 1、b = 1 です。

4の解答

右辺にpが現れる必要があるため、pは3または13です。p = 3 なら左辺は3の因数だけからなり、右辺の13の指数2と一致しません。p = 13 なら3の指数を比較して k = 4 です。

3⁴・13² = 81・169
         = 13689

元の両辺は13689で、p = 13は素数、k = 4は0以上の整数です。したがって答えは p = 13、k = 4 です。候補以外の素数では右辺にない素因数が左辺に現れるので、他の解はありません。

5の解答

右辺を素因数の積に直します。

4・49 = 2²・7²

2の指数はどちらも2です。7の指数は左辺がm、右辺が2なので、一意性から m = 2 が必要です。m = 2 を戻すと両辺とも 4・49 = 196 です。mが他の正整数なら7の指数が異なるため等しくなりません。

押さえること

• 素数は1より大きく、正の約数が2個の整数です。
• 分解の順序を除き、素数とその指数は一意に定まります。
• 試し割りは、平方が残り以下となる素数を境界も含めて調べます。
• 等式は同じ素数の指数を比べ、最後に元の式へ戻します。

説明が止まった場所を調べる

途中の積は合っているのに答えが完成しない場合、残った因数が素数かを確かめる手順を口にしてみましょう。試し割りをどこで止めたか、平方の等号を含めたかを聞けば、計算の失敗と判定範囲の誤りを区別できます。

個別指導では、異なる2通りの分解を本人に書いてもらい、各素数の指数を対応させる場所を確かめます。未知数の問題では必要条件を出した後、候補を元の式に戻す理由も説明してもらいます。素因数の種類と回数をそろえれば、枝の違いに惑わされず同じ整数を見比べられます。