高校数学A 最小公倍数の指数—必要な素因数の上限から共通の倍数を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

3数の指数から必要な最大値を選び、合図が再びそろう時刻や、3数の積を最大公約数で割る誤りを検討します。

よくあるのは、3個の数の最小公倍数を求めるとき、2個の数で使った積の関係をそのまま当てはめる場面です。式の形は似ていても、3個に共通する部分を一度取り除くだけでは、2個ずつ重なる部分を適切に数えられません。素数ごとに必要な個数を調べると、何を残すべきかが見えてきます。

ここでは正整数の倍数を扱い、特に指定のない限り、最小公倍数は正の共通倍数のうち最小のものとします。整数の約数や倍数は数学Aの「数学と人間の活動」で扱う学習範囲です。

要点（結論から）

• 各素数について、入力にない場合も指数0として比べます。
• 最小公倍数には、それぞれの素数の最大指数を採用します。
• 3個でも各列の最大値を取り、2個用の積の関係を延ばしません。

どの条件をそろえるか

出方の1つは、2個の正整数を素因数分解し、最小公倍数を求めるものです。素数ごとに大きい指数を選びますが、片方に現れない素数も候補から消してはいけません。現れないことを指数0と見れば、同じ手順で比較できます。

2つ目は、3個の正整数すべての正の倍数のうち、最小の数を探すものです。2個を先にまとめても、3個の指数を一度に比較しても同じ結果になります。どの順でまとめても、各素数の指数は3個の指数の最大値になるからです。

3つ目は、一定の間隔で起こることが同時に起こる時刻を求めるものです。初めに同時に起き、その後の間隔が変わらないなら、次に同時に起きるまでの時間は間隔の正の共通倍数です。初めの時刻自体は経過時間0なので、次の時刻を求めるときは除きます。初めに同時でない条件なら、単に最小公倍数を取る手順はそのまま使えません。

指数の表が表す条件

正整数が別の正整数の倍数であるとは、後者に整数を掛けて前者を表せることです。例えば 7 の倍数には 7、14、21 などがあります。共通倍数は、与えられた数のどれでも割り切れる整数です。以下では正の共通倍数に注目します。

素因数分解の一意性を使うと、正整数 A が正整数 B で割り切れることは、各素数について A の指数が B の指数以上であることと同じです。B にない素数の指数は0と考えます。十分性は、対応する指数を引いてできる非負整数の指数を持つ積が、A を B で割った商になることから確かめられます。

例えば、ある素数 p の指数が3個の数でそれぞれ 1、3、2 なら、共通倍数には少なくとも3個の p が必要です。指数2では指数3を持つ数で割り切れません。指数4以上でも条件は満たしますが、必要な最低限は3です。図1のように、各列で最大の指数を取ります。

この比較をすべての素数について行い、最大の指数を持つ素因数を掛けた数を L とします。L の指数は各入力の指数以上なので、L は各入力の倍数です。逆に任意の正の共通倍数 M は、各素数についてその最大値以上の指数を持ちます。したがって M は L で割り切れ、M = L・k を満たす正整数 k があるので M は L 以上です。よって L が最小公倍数です。

重要なのは「大きい指数」が、数全体の大小ではなく、同じ素数の列の中での比較だということです。指数を足す操作は積を作る操作です。共通倍数を作るためには必要な個数をそろえればよく、同じ素因数を入力ごとに重複して持つ必要はありません。

正整数2個 a、b では、最大公約数を g、最小公倍数を L とすると a・b = g・L です。各素数の指数について、小さい方と大きい方の和が元の2つの指数の和に等しいためです。これは2個の比較に基づく関係です。3個で同じ式を立てる前に、指数をそれぞれ点検します。

基本例題：2個の数をそろえる

問題　正整数 44 と 77 の最小公倍数を正整数で求めてください。

まず素因数分解します。

44 = 2²・11
77 = 7・11

図2のように、2、7、11 の各列で指数の大きい方を選びます。44 に 7 はなく、77 に 2 はないので、それぞれ指数0として比較します。

2 の指数: 2 と 0 の大きい方は 2
7 の指数: 0 と 1 の大きい方は 1
11 の指数: 1 と 1 の大きい方は 1
L = 2²・7・11
  = 308

答えは 308 です。2 の指数を足して2にしたのではなく、2と0の最大値を選んでいます。11 は両方に現れますが、共通倍数の中の11を二重にする必要はありません。

元の条件へ戻すと、308 = 44・7、308 = 77・4 ですから、両方で割り切れます。さらに任意の正の共通倍数は 2²、7、11 を因数として持つので、308 の正の倍数です。308より小さい正の共通倍数はありません。割り切れることの確認と、最小であることの説明を分けて書くと、結論の根拠がはっきりします。

標準例題：3個をまとめる

問題　正整数 28、63、99 の最小公倍数を正整数で求めてください。

それぞれを素因数分解して、現れる素数の指数を比較します。

28 = 2²・7
63 = 3²・7
99 = 3²・11
2 の指数の最大値 = 2
3 の指数の最大値 = 2
7 の指数の最大値 = 1
11 の指数の最大値 = 1
L = 2²・3²・7・11
  = 2772

答えは 2772 です。各数に共通する素数だけを拾うと、3個ともに現れる素数がないため 1 になってしまいます。しかし 1 は元の数の倍数ではありません。共通倍数には、どれか1個にしか現れない素因数も必要です。

順番にまとめても同じです。まず 28 と 63 の最小公倍数は 2²・3²・7 = 252 です。次に 252 と 99 の指数を比較すると、11 が追加されて 2772 となります。3個の共通倍数は、最初の2個の最小公倍数と3個目の共通倍数でもあるため、このまとめ方は条件を落としません。

元の数に戻して確かめます。

2772 = 28・99
2772 = 63・44
2772 = 99・28

3個すべてで割り切れます。各列で必要な最小指数を選んだので、この数の正の倍数以外に共通倍数はなく、2772 が最小です。

発展例題：周期が同時に戻るとき

問題　3種類の合図が、ある時刻に同時に出ました。その後、A は 6 秒ごと、B は 14 秒ごと、C は 21 秒ごとに出ます。間隔は変わらないものとします。初めの同時の合図から、次に3種類が同時に出るまでの時間を正の整数の秒数で求めてください。

経過時間を t 秒とすると、t は0以上の整数です。A が出るのは t が 6 の倍数、B が出るのは 14 の倍数、C が出るのは 21 の倍数のときです。次の時刻は t > 0 という条件を満たす共通倍数のうち最小のものです。

6 = 2・3
14 = 2・7
21 = 3・7
L = 2・3・7
  = 42

答えは 42 秒後です。条件に戻すと、42 = 6・7、42 = 14・3、42 = 21・2 です。3種類はそれぞれ初めから7回、3回、2回の間隔を経て合図を出します。初めの合図をその回数に含めないことにも注意します。

小さな範囲で直接復元してみます。42 秒までの A の正の時刻は 6、12、18、24、30、36、42 秒、B は 14、28、42 秒、C は 21、42 秒です。3つに共通する最初の正の時刻は 42 秒です。この一覧による確認と、指数から最小性を示す説明は互いを補います。

一方、例えば開始時刻がそれぞれ異なるなら、経過時間は各間隔の倍数とは限りません。初めに同時という条件を先に読み、どの時刻を0としたのかを決めてから倍数の問題に直します。

誤答を指数に戻して直す

3個の数 6、14、21 について、「3個の積を3個の最大公約数で割れば最小公倍数になる」と考える誤りを調べます。3個の最大公約数は 1 なので、この計算では 6・14・21 = 1764 です。1764 は確かに3個の共通倍数ですが、最小とは限りません。

図3のように、素数2の指数に注目します。入力の指数は 1、1、0 です。積の指数は 2、3個の最大公約数の指数は 0 なので、割った後も 2 です。しかし最小公倍数に必要な指数は最大値の 1 です。同様に3と7も余分に残り、1764 は 42 の42倍になります。

2個なら指数の和から小さい方を引けば大きい方が残ります。3個では、和から最小値を引いても最大値が残るとは限りません。たとえば 1 + 1 + 0 − 0 = 2 で、最大値は 1 です。公式の見た目を延ばすのではなく、各素数の指数の最大値を選ぶ方法に修正します。

別の誤りは、最大の元の数を答えにすることです。最大の数が他のすべてで割り切れる場合にはそれが最小公倍数ですが、一般にはそうとは限りません。まず各入力での割り切れを調べ、成立しても最小性まで説明します。

練習問題

各問の数は自作の条件です。答えは指定された正整数で求めてください。

1. 正整数 52 と 91 の最小公倍数を求めてください。
2. 正整数 45、70、126 の最小公倍数を求めてください。
3. 正整数 49 と 147 の最小公倍数を求めてください。大きい方が答えになる理由も述べてください。
4. 2つの装置が最初に同時に動き、その後それぞれ 8 分ごと、22 分ごとに動きます。間隔は一定です。次に同時に動くまでの正の時間を分単位で求めてください。
5. 正整数 N の素因数は 2、3、5 に限られます。N と 72 の最小公倍数が 2³・3²・5² であるとき、条件を満たす N のうち最小の正整数を求めてください。

練習問題の解答と解き方

1

52 = 2²・13
91 = 7・13
L = 2²・7・13
  = 364

答えは 364 です。364 = 52・7、364 = 91・4 で両方の倍数です。各指数が必要な下限なので、共通倍数は364の正の倍数となります。13を2回掛けないことが要点です。

2

45 = 3²・5
70 = 2・5・7
126 = 2・3²・7
L = 2・3²・5・7
  = 630

答えは 630 です。630 = 45・14、630 = 70・9、630 = 126・5 と元の3条件へ戻せます。指数の最大値を選んだので、どれかの素因数を減らせば少なくとも1つの数で割り切れなくなります。

3

49 = 7²
147 = 3・7²
L = 3・7²
  = 147

答えは 147 です。147 = 49・3 なので、大きい数 147 は両方の倍数です。共通倍数は147の正の倍数でもあるため、それより小さい正の共通倍数はありません。大小だけで判断せず、割り切れる関係を確認します。

4

8 = 2³
22 = 2・11
L = 2³・11
  = 88

答えは 88 分後です。88 = 8・11、88 = 22・4 なので、初めの時刻からそれぞれ11間隔、4間隔を経た時刻に一致します。小範囲で見ると、22の正の倍数で88以下は 22、44、66、88 で、そのうち8の倍数は88です。経過時間0は初めの時刻なので次の時刻から除きます。

5

N における 2、3、5 の指数をそれぞれ非負整数 a、b、c とします。素数の種類は問題の条件で限られ、指数0も許されます。

72 = 2³・3²
N = 2 の a 乗・3 の b 乗・5 の c 乗
2 の指数: a と 3 の最大値は 3
3 の指数: b と 2 の最大値は 2
5 の指数: c と 0 の最大値は 2

したがって 0 ≤ a ≤ 3、0 ≤ b ≤ 2、c = 2 です。N を最小にするには a = 0、b = 0 とします。

N = 5²
  = 25

答えは 25 です。25 と72の指数の最大値は順に 3、2、2 なので、最小公倍数は指定どおり 2³・3²・5² です。条件を満たす N は必ず 5² を因数に持つため、25未満にはなりません。指数が0でもよいことを見落とすと、不要な2や3を掛けてしまいます。

要点

• 各素数について、入力にない場合も指数0として比べます。
• 最小公倍数には、それぞれの素数の最大指数を採用します。
• 3個でも各列の最大値を取り、2個用の積の関係を延ばしません。
• 周期では出発点と正の経過時間を確かめ、答えを元の間隔へ戻します。

答えが合わないときの見分け方

求めた数が入力のどれかで割り切れなければ、まずその数に含まれる素因数と指数を表に戻します。割り切れても大きすぎる場合は、同じ素因数を重複して掛けていないか、各列の最大値と比べます。計算をやり直す前に、どの条件が不足し、どの因数が余ったのかを言葉で示すと修正箇所を絞れます。

個別指導で確かめるなら、指数0を表に書けるか、得た数が各入力の倍数である理由と、それ未満に共通倍数がない理由を分けて説明できるかを見ます。周期の問題では、0を含む時刻の一覧から「次」を選び直す練習も有効です。必要な指数の上限を各素数でそろえると、最小性まで筋道がつながります。