高校数学A 約数の個数と指数—指数の選び方を表にして条件付きの約数を数え分ける｜武蔵野個別指導塾

指数0を含む選択表を使い、偶数や指定の倍数となる正の約数を数え分ける鍵は、それぞれの指数です。

よくあるのは、素因数分解した式を見た高校生が、各素数を必ず使うものとして指数を 1 から選び、約数を少なく数えてしまう場面です。たとえば 2 を含まない約数にも、元の数を割り切るものがあります。何も掛けない選択を指数 0 で表すと、その約数も表の中に入ります。

約数の個数を求める式は、指数の選択肢を掛け合わせた結果です。選択肢の始まりを条件に合わせて変えれば、偶数の約数や、ある数の倍数である約数も数えられます。数学A「数学と人間の活動」で扱う整数の約数に関わる内容として、ここでは正の約数の個数を調べ、約数の和は扱いません。

問いの形を見て、選択肢を決める

1つ目の型は、正整数の正の約数が何個あるかを問うものです。まず素因数分解し、それぞれの指数について 0 から元の指数までの整数を選びます。指数そのものを掛けるのではなく、選べる整数の個数を掛けます。

2つ目は、偶数の約数や指定された正整数の倍数である約数を数える型です。偶数なら 2 の指数は 1 以上です。指定数の倍数なら、指定数を素因数分解して、必要な指数を各選択肢の下限にします。指定数に元の数が持たない素因数があったり、必要な指数が元の指数を超えたりすると、該当する約数はありません。

3つ目は、2つの倍数条件の少なくとも一方を満たす個数や、個数から元の指数を逆算する型です。前者では両方を満たす約数を重ねて数えた分だけ引きます。後者では、選択肢の個数を指数に戻すとき、0 の選択を忘れないことが鍵です。どの型でも、正の約数を数えるのか、負の約数も含むのかを問題文で確かめます。ここでの問題はすべて正の約数に限ります。

指数の表が約数を漏れなく表す理由

正整数 N が異なる素数 p、q を用いて N = pᵃ・qᵇ と表され、a、b が正の整数だとします。正の約数 d は、元の数にない素因数を持てず、それぞれの指数も元の指数を超えません。したがって d は pⁱ・qʲ と書け、i、j はそれぞれ 0 以上 a 以下、0 以上 b 以下の整数です。p⁰ = 1 ですから、i = 0 は p を使わない選択です。

逆に、この範囲から選んだ i、j に対して N/d = p の (a − i) 乗と q の (b − j) 乗の積は整数です。したがって、その積 d は確かに N の正の約数です。異なる指数の組から同じ正整数はできません。素因数分解の一意性により、同じ数なら各素数の指数が一致するからです。この往復によって、表の各マスと正の約数は一対一に対応します。

図1のように、たとえば 2²・7 では、2 の指数に 0、1、2 の 3 通り、7 の指数に 0、1 の 2 通りがあります。各行と各列の交点が約数です。図1の 1 は、両方の指数を 0 にしたときの約数で、選択から外してはいけません。

2 の指数を 1 以上に限定すると、表のうち 2 を含む行だけが残ります。各行には 7 の指数の選択が 2 通りあるため、偶数の約数は 2・2 = 4 個です。一方、奇数の約数は 2 の指数が 0 の行にあり、2 個です。このように全体を重ならない部分に分け、部分の個数の和が全体と一致するかを確かめられます。

一般に、異なる素数が増えても考え方は同じです。各素数の指数を選ぶたびに、それまでの各組に新しい選択肢がそれぞれ対応します。pᵃ・qᵇ・rᶜ の正の約数の個数は、a、b、c が正の整数なら (a + 1)(b + 1)(c + 1) 個です。元の数が 1 の場合は素因数の選択がなく、正の約数は 1 個です。

指定された正整数 M の倍数である約数を数えるときは、M に必要な指数以上を選びます。たとえばある素数の指数が N で a、M で u なら、u ≤ a の場合の選択肢は u、u + 1、…、a で、a − u + 1 通りです。u = 0 はその素数を M が要求しない場合で、0 から選べます。u > a なら選択肢は 0 通りです。範囲が空なのに負の個数を答えないよう、先に存在を判定します。

基本例題：表を使って偶数を取り出す

正整数 504 = 2³・3²・7 について、正の約数の総数と、そのうち偶数である約数の個数をそれぞれ整数で求めてください。

まず、正の約数 d を d = 2ⁱ・3ʲ・7ᵏ と置きます。i、j、k は整数で、それぞれ 0 ≤ i ≤ 3、0 ≤ j ≤ 2、0 ≤ k ≤ 1 です。図2のように、指数の選択肢を素数ごとに分けて数えます。

2 の指数の選択肢 = 0, 1, 2, 3 の 4 通り
3 の指数の選択肢 = 0, 1, 2 の 3 通り
7 の指数の選択肢 = 0, 1 の 2 通り
正の約数の総数 = 4・3・2
                    = 24 個

偶数になるには 2 を少なくとも 1 個含む必要があります。逆に、2 を含めば他の素因数の指数にかかわらず偶数です。そこで i の選択を 1、2、3 に限定します。

偶数の約数の個数 = 3・3・2
                        = 18 個

答えは総数 24 個、偶数の約数 18 個です。図2の 2 の指数について、0 を含む 4 通りが総数、0 を除いた 3 通りが偶数に対応します。0 を全体から消したまま数えると、偶数の個数を総数と取り違えます。

元の条件に戻して、奇数の約数も数えます。i = 0 なので 3・2 = 6 個です。奇数と偶数は重ならず、24 = 18 + 6 となります。また、2³・3²・7 = 8・9・7 = 504 で、指数の範囲の基になった分解も元の数に戻ります。積を掛ける前に、それぞれの選択肢が何を表すかを言えるかが確認の焦点です。

標準例題：指定された倍数の条件を指数に直す

正整数 2800 = 2⁴・5²・7 の正の約数のうち、140 の倍数であるものは何個ありますか。個数を整数で求めてください。

約数を d = 2ⁱ・5ʲ・7ᵏ と置くと、i、j、k は整数で、0 ≤ i ≤ 4、0 ≤ j ≤ 2、0 ≤ k ≤ 1 です。一方、指定数は次のように分解できます。

140 = 2²・5・7

d が 140 の倍数であることは、d/140 が整数であることです。そのためには i ≥ 2、j ≥ 1、k ≥ 1 が必要です。この条件を満たせば各指数を引いた商が整数になるので、十分でもあります。よって上限と下限を同時に満たす指数を数えます。

i = 2, 3, 4          で 3 通り
j = 1, 2             で 2 通り
k = 1                で 1 通り
個数 = 3・2・1
     = 6 個

答えは 6 個です。たとえば最小の指数の組 (2, 1, 1) は 140 を、最大の組 (4, 2, 1) は 2800 を表します。両端を含むことを見落とさないよう、3 通りを 4 − 2 とせず 4 − 2 + 1 と数えます。表の行を実際に作るなら、各 i に対して j が 2 通り、k が 1 通りです。

元の条件も確かめましょう。2800/140 = 20 ですから、求める約数は 140 に、20 の正の約数を掛けて得られます。20 の正の約数は 1、2、4、5、10、20 の 6 個です。各数を 140 倍すると 2800 を割り、140 の倍数でもあります。この別の数え方は、140 が 2800 の約数であるから使えます。たとえば必要な指数が上限を超える指定数なら、整数の商にこの方法を適用できず、答えは 0 個です。

発展例題：条件が重なる部分を引く

正整数 8712 = 2³・3²・11² の正の約数について、44 の倍数または 1089 の倍数であるものを数えます。両方の倍数である約数も含め、個数を整数で求めてください。

正の約数を d = 2ⁱ・3ʲ・11ᵏ と置きます。i、j、k は整数で、0 ≤ i ≤ 3、0 ≤ j ≤ 2、0 ≤ k ≤ 2 です。44 と 1089 を素因数分解し、必要な指数を読み取ります。

44 = 2²・11
1089 = 3²・11²

44 の倍数では i ≥ 2、k ≥ 1 で、j に追加の条件はありません。1089 の倍数では j ≥ 2、k ≥ 2 で、i に追加の条件はありません。それぞれの選択肢と個数は次のとおりです。

44 の倍数: i は 2 通り、j は 3 通り、k は 2 通り
44 の倍数の個数 = 2・3・2
                   = 12 個
1089 の倍数: i は 4 通り、j は 1 通り、k は 1 通り
1089 の倍数の個数 = 4・1・1
                   = 4 個

この 2 つを足すと、両方の倍数である約数を 2 回数えます。両方を満たすには、素数ごとに 2 つの下限の大きい方を採用します。i ≥ 2、j ≥ 2、k ≥ 2 です。

両方の倍数の個数 = 2・1・1
                       = 2 個
求める個数 = 12 + 4 - 2
                 = 14 個

答えは 14 個です。「または」は少なくとも一方を意味し、両方を満たすものを除外しません。両方の倍数を 2 回引けば今度は含まれなくなるので、重複分は 1 回だけ引きます。

条件に戻して、両方に入る 2 個を確かめます。指数の組は (2, 2, 2)、(3, 2, 2) です。それぞれ 4356、8712 となり、44 で割ると 99、198、1089 で割ると 4、8 です。また 8712 をそれぞれで割ると 2、1 ですから、どちらも元の数の正の約数です。全体の約数は 4・3・3 = 36 個で、14 個はその範囲内です。

「44 の倍数で、かつ 1089 の倍数」と問われた場合は、重なる 2 個が答えです。言葉が「または」か「かつ」かで数える領域が変わります。両条件を別々に満たす個数が求まっても、問題の指定を読み直してから答えにします。

誤答の原因を指数の選択へ戻す

図3のように、2³・3² の正の約数を数える際に 3・2 = 6 個とする誤答を考えます。指数の最大値 3 と 2 をそのまま選択肢の個数にすると、どちらの素数も必ず使う組しか数えません。指数 0 が必要な約数、たとえば 1 や 2³ を落としています。

修正すると 2 の指数は 0、1、2、3 の 4 通り、3 の指数は 0、1、2 の 3 通りです。正の約数は 4・3 = 12 個です。図3の正しい選択肢の列では、どちらも 0 から始まります。元の数は 72 であり、実際に正の約数は 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 です。この一覧は正しい個数の確認になりますが、数が大きい場合にも使える根拠は指数の組との一対一の対応です。

もう一つの誤りは、条件の下限だけを見て上限を確かめないことです。たとえば上の数に 11 の倍数である正の約数を求めると、11 の指数は少なくとも 1 必要ですが、元の数の 11 の指数は 0 です。条件を満たす約数は 0 個です。「0 の指数を選べる」ことと「存在しない素因数を追加できる」ことは別です。選択肢の範囲が空かどうかを、積の計算より先に見ます。

練習問題

いずれも与えられた数は正整数です。数えるのは正の約数に限り、答えは個数を整数で表してください。問題5の指数 a は正の整数です。

1. 432 = 2⁴・3³ の正の約数は何個ありますか。
2. 4725 = 3³・5²・7 の正の約数のうち、偶数のものと奇数のものはそれぞれ何個ありますか。
3. 78408 = 2³・3⁴・11² の正の約数のうち、363 の倍数は何個ありますか。
4. 2600 = 2³・5²・13 の正の約数のうち、8 の倍数または 65 の倍数は何個ありますか。両方の倍数も含めます。
5. N = 2 の a 乗・7² の正の約数が 39 個です。a と N を整数で求め、N の正の約数のうち 49 の倍数が何個あるかも求めてください。

練習問題の解答と解き方

1. 全体を数える

2 の指数は 0 から 4 まで、3 の指数は 0 から 3 までです。

正の約数の個数 = (4 + 1)(3 + 1)
                    = 5・4
                    = 20 個

答えは 20 個です。2⁴・3³ = 16・27 = 432 に戻り、各指数の組を掛けると元の数を割り切ります。指数 0 の組も含めて 5 行 4 列になっているかを確認します。

2. 偶数が存在しない場合

4725 の素因数分解には 2 がありません。正の約数の 2 の指数は 0 しか選べず、偶数は 0 個です。すべて奇数で、他の指数を選んで数えます。

偶数の約数 = 0 個
奇数の約数 = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1)
                 = 4・3・2
                 = 24 個

答えは偶数 0 個、奇数 24 個です。3³・5²・7 = 27・25・7 = 4725 であり、どの指数の組でも 2 を含みません。0 個は数え忘れではなく、偶数になる選択肢がないことから出ています。

3. 指定数の指数を下限にする

363 = 3・11² です。78408 の正の約数を 2ⁱ・3ʲ・11ᵏ とすると、i、j、k は整数で、0 ≤ i ≤ 3、1 ≤ j ≤ 4、k = 2 です。

i の選択 = 4 通り
j の選択 = 4 通り
k の選択 = 1 通り
個数 = 4・4・1
     = 16 個

答えは 16 個です。78408/363 = 216 = 2³・3³ で、その正の約数は 4・4 = 16 個あります。各約数に 363 を掛けると 78408 の約数になり、指定された倍数の条件も満たします。たとえば最大の組は 78408 で、78408/363 = 216 と割り切れます。

4. 重なりを 1 回引く

8 = 2³、65 = 5・13 です。元の約数の指数を順に i、j、k とすると、i は 0 から 3、j は 0 から 2、k は 0 から 1 の整数です。

8 の倍数の個数 = 1・3・2
                  = 6 個
65 の倍数の個数 = 4・2・1
                   = 8 個
両方の倍数の個数 = 1・2・1
                      = 2 個
少なくとも一方の個数 = 6 + 8 - 2
                           = 12 個

答えは 12 個です。両方を満たすのは 520 と 2600 で、いずれも 8 と 65 で割り切れ、2600 の正の約数でもあります。条件に戻すと 2600/520 = 5、2600/2600 = 1 です。この 2 個は 6 個の中にも 8 個の中にもあるため、1 回引いて 1 回ずつ残します。

5. 個数から指数を戻す

2 の指数の選択肢は a + 1 通り、7 の指数の選択肢は 3 通りです。正の約数の個数が 39 個である条件を式にします。

(a + 1)・3 = 39
a + 1 = 13
a = 12
N = 2 の 12 乗・7²
  = 4096・49
  = 200704

49 = 7² なので、49 の倍数となる約数では 7 の指数は 2 に決まります。2 の指数は 0 から 12 まで選べます。

49 の倍数である約数の個数 = 13・1
                                     = 13 個

答えは a = 12、N = 200704、49 の倍数である約数は 13 個です。a は正の整数で条件を満たします。元の個数に戻すと (12 + 1)(2 + 1) = 39 個で、最大の約数 200704 も 49・4096 と書けます。指数の選択肢が 13 通りだからといって a = 13 と置かないよう、0 からの個数を指数へ戻します。

覚えておくこと

正の約数の指数は 0 から元の指数まで選びます。
指定数の倍数なら、必要な指数を下限にします。
下限が上限を超えれば、該当する約数は 0 個です。
条件が重なる和では、重複分を 1 回引きます。

どこで止まったかを見分ける

総数だけが合わないときは、指数 0 を使った約数を本人に1つ作ってもらうと、選択肢の抜けを確かめられます。条件付きだけが合わないときは、指定数の素因数分解と、各指数の下限・上限を言葉で説明してもらいます。両方の条件を扱う問題なら、重なる約数を実際に1つ作り、それが何回数えられたかを見ます。

個別指導では、答えの積だけでなく、指数の組から約数を作る向きと、約数から指数の組に戻す向きの両方を確かめます。指数の選択肢が空になる条件まで判断できれば、約数の個数を根拠をもって数え分けられます。