高校数学A 約数と倍数の証明—割り切れる関係を文字の式へ直して和と差の性質を説明する｜武蔵野個別指導塾

和や差を整数の積で表し、逆が成り立たない例からたどるのは、割り切れる関係の証明です。

よくあるのは、割り切れる数をいくつか挙げ、どれも条件に合うから証明が終わったと考える場面です。例を試すことは見通しを得る助けになりますが、まだ試していない整数については結論が残ります。文字を使えば、正の数だけでなく負の数や0も含めて、条件から結論までを一度に説明できます。

数学Aの整数の学習範囲には約数と倍数が含まれます。ここでは正の約数を並べる作業よりも、割り切れるという条件を式に翻訳し、その式を使って証明することに焦点を当てます。

何を示せば証明になるのでしょうか

問題の出方には、共通の約数をもつ2つの整数の和や差を調べる型があります。もう1つは、複数の式が割り切れる条件から元の整数に何が言えるかを調べる型です。さらに、ある性質の逆が正しいかを問う型では、元の主張の仮定と結論を入れ替えて考えます。

どの型でも、まず「何が整数か」「何を何で割るか」を確認します。割る数と割られる数の順序が逆になると、異なる主張になります。たとえば、7がある整数の約数であることと、その整数が7の約数であることは同じ意味ではありません。

証明で必要なのは、仮定を式にし、結論に必要な形を作ることです。例を何個並べても、任意の整数に対する証明にはなりません。一方で、全ての場合についての主張を否定するには、条件を満たしながら結論を満たさない例が1つあれば十分です。証明と反例では、調べる対象の役割が違います。

「割り切れる」を式に翻訳する

整数 a と0でない整数 b について、a = bk となる整数 k が存在するとき、a は b で割り切れるといいます。このとき b は a の約数、a は b の倍数です。図1のように、割られる数を左に置き、右側を「割る数と整数の積」にします。

図1の k は商に当たる整数です。k は正でも負でも0でもかまいません。たとえば -35 = 7・(-5) なので、-35 は7で割り切れます。また 0 = 7・0 なので、0も7で割り切れます。割る数の b は0ではありません。0を割る数にすると通常の除法が定まらないため、この定義では除きます。

仮定が「a と c はともに b で割り切れる」なら、整数を2つ用意して a = bp、c = bq と置きます。p と q は同じとは限りません。同じ文字を使うと a = c という余計な条件を加えてしまいます。別々の整数として置けば、たまたま同じ場合も異なる場合も含みます。

ここから、和と差は次の形になります。

a + c = bp + bq
      = b(p + q)
a - c = bp - bq
      = b(p - q)

整数の和と差は整数なので、p + q と p − q は整数です。したがって、和と差はいずれも b で割り切れます。ここで重要なのは、括弧の中が整数であることまで述べる点です。b をくくっただけでは、定義の「整数の積」という条件を最後まで確認したことになりません。

さらに整数 u、v に対して ua + vc = b(up + vq) です。括弧内は整数なので、このような整数倍の和も b で割り切れます。この性質を使うときも、係数が整数であることを確かめます。たとえば a を2で割ったものは、a が b の倍数であっても b の倍数とは限りません。

仮定から結論へ進む途中では、式の等しさと割り切れる関係を区別します。a = bp は数の等式であり、p が整数であるという条件を添えて初めて、a が b で割り切れる根拠になります。逆に、整数でない数を使えば多くの等式を作れてしまいますが、それだけでは約数とはいえません。たとえば 5 = 7・(5/7) は正しい等式でも、5/7 は整数ではないので、7は5の約数ではありません。

基本例題：和と差を同じ数で割る

整数 x、y はともに7で割り切れるとします。x + y と x − y がともに7で割り切れることを証明してください。x、y は負や0を含みます。

仮定より、ある整数 p、q を用いて次のように書けます。

x = 7p
y = 7q
x + y = 7p + 7q
      = 7(p + q)
x - y = 7p - 7q
      = 7(p - q)

p + q と p − q は整数です。よって定義から、x + y と x − y はともに7で割り切れます。図2では2つの商を別々に置き、和と差の商へ移しています。

数で確かめるなら x = 21、y = -14 とすると、和は7、差は35です。どちらも7の整数倍です。ただし、この計算は証明の一例を確認するものであり、任意の x、y を扱う上の文字式に代わるものではありません。x = 0 の場合も、p = 0 と置けるので同じ証明に含まれます。

なぜ和と差を先に計算せず、仮定を置くのでしょうか。結論を最初から「7の倍数」と書くと、示したいことを仮定してしまいます。仮定から出た p、q を使い、最後に商が整数だと確認すれば、論理の向きが明確になります。

標準例題：係数が付いても使えるか

整数 a、b はともに11で割り切れるとします。4a − 3b が11で割り切れることを証明してください。a、b は0を含む任意の整数です。

仮定より、整数 r、s があって a = 11r、b = 11s と書けます。これを指定された式に代入します。

4a - 3b = 4・11r - 3・11s
         = 11(4r - 3s)

4r − 3s は整数です。したがって 4a − 3b は11で割り切れます。係数が負でも整数であれば、整数の和と積が整数であることに変わりはありません。

例えば a = -22、b = 33 とすると、式の値は -88 − 99 = -187 です。-187 = 11・(-17) と戻せます。これは条件と結論を具体例で照合したもので、一般の証明は r、s を使った式が担います。

ここで係数を分数に変えると注意が必要です。整数 a が11で割り切れても、a/2 が整数とは限りません。a = 11 なら a/2 は整数でないため、整数の倍数として論じる前提がありません。式の見た目だけをまねず、括弧内の整数性を確認しましょう。

発展例題：逆向きには何が不足するか

整数 x、y は0を含む任意の整数です。x + y と x − y がともに6で割り切れるとき、x と y はともに6で割り切れると必ず言えるでしょうか。言える場合は証明し、言えない場合は反例を1組示してください。

2つの条件から言えることを、まず式にします。ある整数 m、n が存在して、

x + y = 6m
x - y = 6n
2x = 6m + 6n
   = 6(m + n)
2y = 6m - 6n
   = 6(m - n)
x = 3(m + n)
y = 3(m - n)

したがって x と y が3で割り切れることは言えます。しかし m + n と m − n が偶数とは限らず、ここから6で割り切れるとは断定できません。両辺を2で割ると、右辺の6も3に変わります。割る前の割り切れる数をそのまま残してはいけません。

実際に x = 3、y = 3 とすると、x + y = 6、x − y = 0 です。6も0も6で割り切れるので仮定を満たします。一方、x と y はどちらも6で割り切れません。よって主張は必ずしも成り立ちません。条件を満たすことと、結論に反することの両方を示したので、これが反例になります。

なお、和と差がともに6の倍数になる例を多く見つけても、元の2数が必ず6の倍数になるとは示せません。逆向きの問題では、仮定から作った式にどこまでの情報が残るかを先に追い、足りない場合には具体的な反例を探します。0を含む差も、定義に照らせば有効な条件です。

誤答から、条件の向きを直す

「x + y が7の倍数だから、x と y もそれぞれ7の倍数です」と考えたとします。これは基本例題の逆に似ていますが、和が割り切れるという情報しかありません。たとえば x = 2、y = 5 では和が7である一方、どちらも7では割り切れません。

図3の例では、割り切れない部分が和の中で打ち消し合っています。原因は、共通の約数をもつ項の和についての性質を、逆向きにも無条件で使ったことです。修正するときは矢印の出発点に仮定を書き、到着点に結論を書きます。それを入れ替えた主張は別に検討し、今回のように反例があれば元の性質からは戻れないと判断します。

別の誤りは、a = bk から a/2 = b(k/2) として、いつでも a/2 が b の倍数とすることです。k/2 は整数とは限りません。商が整数でなければ定義を満たさないため、k が偶数などの追加条件が必要です。最後に「括弧内が整数か」と問い直すと、見落としに気づけます。

自分で試す5問

各問の文字は、特に指定がなければ0を含む任意の整数です。証明問題では、仮定から式を作り、商が整数である理由まで述べてください。

1. 整数 a、b がともに13で割り切れるとき、a − 2b が13で割り切れることを証明してください。
2. 整数 c が9で割り切れるとき、5c + 18 が9で割り切れることを証明してください。
3. 整数 u、v の和 u + v が8で割り切れるとき、u と v がともに8で割り切れると必ず言えるか答え、言えなければ反例を1組示してください。
4. 整数 p、q について、p − q が5で割り切れるとき、3p − 3q も5で割り切れることを証明してください。
5. 整数 s、t の和と差がともに4で割り切れるとき、s と t がともに2で割り切れることを証明してください。また、ともに4で割り切れると必ず言えるか答え、言えなければ反例を1組示してください。

5問の解答と確かめ方

1の解答

仮定より、整数 h、k を使い a = 13h、b = 13k とします。

a - 2b = 13h - 2・13k
       = 13(h - 2k)

h − 2k は整数ですから、a − 2b は13で割り切れます。例えば h = -1、k = 2 なら a = -13、b = 26 であり、元の式は -65 = 13・(-5) です。負の値でも条件と結論に戻せます。

2の解答

c = 9h と表せる整数 h が存在します。また 18 = 9・2 です。

5c + 18 = 5・9h + 9・2
        = 9(5h + 2)

5h + 2 は整数なので、求める式は9で割り切れます。c = -9 とすれば元の式は -45 + 18 = -27 = 9・(-3) です。定数項も9の倍数と書くのが、共通因数を見つけるポイントです。

3の解答

必ず言えるわけではありません。u = 3、v = 5 とすると、u + v = 8 で仮定を満たします。ところが3も5も8で割り切れません。仮定が真で結論が偽となる1組なので、反例として十分です。

和が8の倍数となる組には u = 8、v = 0 のように各項も割り切れるものがあります。しかし、そのような組があることと、条件を満たすすべての組について結論が成り立つことは異なります。

4の解答

仮定から、ある整数 h があって p − q = 5h です。差を先にまとめて使います。

3p - 3q = 3(p - q)
         = 3・5h
         = 5(3h)

3h は整数なので、3p − 3q は5で割り切れます。p = 2、q = 7 では p − q = -5、元の式は 6 − 21 = -15 となり、条件と結論を確認できます。p と q がそれぞれ5で割り切れるとは仮定していない点にも注意します。

5の解答

仮定より整数 h、k が存在して s + t = 4h、s − t = 4k です。両式を足し、続いて引きます。

2s = 4h + 4k
   = 4(h + k)
s = 2(h + k)
2t = 4h - 4k
   = 4(h - k)
t = 2(h - k)

h + k、h − k は整数ですから、s と t はともに2で割り切れます。一方、ともに4で割り切れるとは限りません。s = 2、t = 2 なら、和は4、差は0でどちらも4で割り切れますが、s と t は4で割り切れません。反例を元の2条件に戻すことが、結論だけを見た誤判定を防ぎます。

手元に残したい要点

割り切れる条件は、割る数と整数の積で表します。 2つの数には、原則として別々の整数の文字を使います。 和や差をくくった後、括弧内が整数かを確認します。 逆向きの主張は別に検討し、成り立たなければ反例を示します。

答えが止まったところを見分ける

式を書き出せないときは、「何を何で割るのか」と「商は整数か」を声に出して整理します。式は書けるのに結論へ進めないときは、共通する割る数をくくり、残った式が整数になる理由を説明してみます。個別指導で確かめるなら、2つの商をなぜ別の文字で置くか、また和が割り切れることから各項に戻れない例を自分の言葉で示せるかが手がかりです。仮定と結論の向きを書き分ければ、証明と反例の使いどころが見えてきます。