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大学入試数学範囲付き直線族の通過領域—媒介変数の区間内に解がある条件を断面で調べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴大学入試数学不等式と最大・最小

直線族の媒介変数が閉区間を動くとき、判別式が非負でも区間の外に解が残り、点が領域に入らない場合があります。鍵になるのは、点ごとに x を固定して上下の端を比べる断面です。

よくあるのは、媒介変数を含む直線の式を前にして、二次式の判別式が 0 以上になった時点で手を止めてしまう場面です。判別式が保証するのは、実数の解が存在することだけです。その解が指定された区間の中にあるかどうかは、判別式とは別の問いになります。ここでは閉区間を動く直線族を題材に、点を固定して媒介変数の値域を調べる断面の作り方を、四つの例題と五つの練習で確かめます。

直線が動くと、点の集合はどう広がるか

媒介変数 t を含む直線 L(t): y = tx − 2t² を考えます。t が 0 から 1 まで動くと、傾きは t とともに増え、切片は -2t² とともに減ります。直線は一本のまま動くのではなく、無数の位置を順に取ります。この無数の直線のうち、少なくとも一本の上に乗る点を全部集めた集合が通過領域です。

問われ方は大きく三つに分かれます。一つ目は、族を一つ与えて通過領域を不等式で表させる問いです。二つ目は、指定した点が領域に入るか、入るための文字定数の範囲を問う問いです。三つ目は、別の直線が領域と共有点を持つ条件を問う問いです。どれも、点を固定して媒介変数の方程式に読み替えるところから始まります。

使う道具は、一次関数と二次関数の値域、二次方程式の判別式、連立方程式、そして場合分けです。微分も特別な公式も要りません。ここで使う二次関数の値域は数学Iで学んだ内容で、座標平面上の直線の扱いは数学IIの範囲です。前提として確認しておくのは、媒介変数の動く範囲が閉区間であること、そして領域の境界を実現する媒介変数の値がその区間に含まれることです。この二つを落とすと、式の形は合っているのに端点だけがずれる、という崩れ方になります。

通過領域を読む三つの言葉

まず、点 (x, y) が L(t) の上にある条件を、t の方程式として書き直します。

y = tx - 2t²
2t² - xt + y = 0

t が 0 以上 1 以下という条件のもとで、この二次方程式に解があるかどうかが問いになります。x と y を固定したまま、t を変数とみるのが最初の読み替えです。判別式はこの方程式が実数解を持つ条件を与えますが、解の位置までは教えてくれません。

二つ目の言葉が断面です。x を固定して、その x における領域の縦の広がりを調べます。L(t) の y 座標は、x を定数とみれば t の二次関数 h(t) = xt − 2t² になります。t が 0 から 1 まで動くときの h の値域が、その x における断面です。h は連続なので値域は一つの区間になり、上端と下端は頂点の値か区間の両端の値のどれかで決まります。

三つ目の言葉が等号成立です。領域の境界は、不等式の等号が成り立つ点の集まりです。その点を通る t が本当に 0 以上 1 以下にあるかを、境界ごとに確かめます。頂点で上端に触れる点なら t = x/4 が区間に入るか、端点で触れる点なら t = 0 か t = 1 が使えるか、という確認です。

方程式を t について解く見方と、x を固定して値域を見る見方は、同じ条件を二つの向きから眺めたものです。点 (x, y) に対して 2t² − xt + y = 0 が [0, 1] に解を持つことと、0 が h の値域に入ることは同値です。方程式の解を根号で書き下すと、解の位置の判定が場合分けの連鎖になり、値域から見ると頂点と両端の比較になります。答案では後者のほうが、x の範囲ごとの答えに直しやすい形になります。

評価の向きも整理しておきます。通過領域は最大値や最小値ではなく、上端と下端の間のすべてです。上端を決める式と下端を決める式は別に求め、最後に x の範囲ごとに組み合わせます。判別式は実数解の存在という必要条件を与えるだけで、t の区間という条件を落としています。必要条件と十分条件を分けて書くことが、答案の骨格になります。

図1のように、族の何本かの直線と、x を固定した断面の位置を重ねて見ると、上端が放物線の一部、下端が端点の直線の一部になる様子がつかめます。

基本例題で断面の作り方をつかむ

例題1（基本） L(t): y = tx − 2t² が 0 ≦ t ≦ 1 の範囲で動くとき、通過領域を不等式で表してください。

解答点 (x, y) が領域に入る条件は、0 ≦ t ≦ 1 を満たす t で y = tx − 2t² となるものが存在することです。x を固定し、h(t) = xt − 2t² と置きます。h は上に凸の二次関数で、頂点は t = x/4 です。頂点が区間 [0, 1] のどこにあるかで場合分けします。

x ≦ 0 のとき。頂点 t = x/4 は 0 以下なので、h は [0, 1] で減少します。値域は h(1) = x − 2 から h(0) = 0 までです。よって x − 2 ≦ y ≦ 0 です。
0 ≦ x ≦ 4 のとき。頂点は区間の中にあり、上端は h(x/4) = x²/8 です。下端は両端の小さい方で、h(1) = x − 2 と h(0) = 0 を比べます。x ≦ 2 なら x − 2 ≦ 0 なので下端は x − 2、x ≧ 2 なら下端は 0 です。よって 0 ≦ x ≦ 2 では x − 2 ≦ y ≦ x²/8、2 ≦ x ≦ 4 では 0 ≦ y ≦ x²/8 です。
x ≧ 4 のとき。頂点は 1 以上なので、h は [0, 1] で増加します。値域は 0 から x − 2 までです。よって 0 ≦ y ≦ x − 2 です。

以上をまとめると、通過領域は次の四つの部分からなります。

x ≦ 0 のとき       x - 2 ≦ y ≦ 0
0 ≦ x ≦ 2 のとき   x - 2 ≦ y ≦ x²/8
2 ≦ x ≦ 4 のとき   0 ≦ y ≦ x²/8
x ≧ 4 のとき       0 ≦ y ≦ x - 2

境界の所属を確かめます。上端の放物線 y = x²/8 上の点は、t = x/4 が 0 以上 4 以下、つまり 0 ≦ x ≦ 4 の範囲で区間 [0, 1] に入ります。下端の直線 y = x − 2 上の点は t = 1 で、上端の直線 y = 0 上の点は t = 0 で実現します。したがって四つの部分はどれも境界を含み、x = 0、2、4 の継ぎ目では隣り合う式の値が一致します。

続けて数値で確かめます。点 (2, 1/2) は x = 2 の断面 0 ≦ y ≦ 1/2 の上端で、t = 1/2 のとき h(1/2) = 1 − 1/2 = 1/2 となります。点 (5, 2) は x = 5 の断面 0 ≦ y ≦ 3 に入り、t を求めると 2t² − 5t + 2 = 0 から t = 1/2、2 となり、1/2 が区間 [0, 1] にあります。点 (3, 2) は x = 3 の断面 0 ≦ y ≦ 9/8 に入らず、2t² − 3t + 2 = 0 の判別式は 9 − 16 = -7 で負になります。

別解として、点ごとに方程式を解く向きからも確かめます。2t² − xt + y = 0 の解は t = (x ± √(x² − 8y))/4 です。x = 3、y = 1 なら t = (3 ± 1)/4 で、1 と 1/2 の両方が区間に入ります。x = 3、y = 9/8 なら t = 3/4 の重解になり、上端に触れます。x = 3、y = 0 なら t = 0 と 3/2 で、t = 0 が区間の端で実現します。この三つの例は、上端が頂点、下端が端点という図2の読みと一致します。解を書き下す方法は、x の範囲を四つに分けるところまで進むと式が長くなりますが、一つの点だけを調べる場面では速く確かめられます。

図2は、同じ族で x = 1、3、5 の三つの断面を並べたものです。x が小さいときは頂点が区間の左に外れ、x = 3 では頂点が区間の中にあり、x = 5 では頂点が右に外れます。値域の端が頂点と両端の間で入れ替わる様子が読み取れます。

標準から発展へ、条件が変わる場所を見つける

例題2 から例題4 では、族の係数、媒介変数の区間、問いの形を一つずつ変えます。どの例でも、最初に x を固定して h の値域を求める手順は同じです。変わるのは、頂点が区間に入る x の範囲と、両端の値の大小関係です。この二つを先に調べてから式を書くと、場合分けの抜けが減ります。

例題2（標準）

L(t): y = t(x − 1) + 2t² が 0 ≦ t ≦ 1 の範囲で動くとき、通過領域を求めてください。また点 (3, 5) が領域に入るかどうかを、判別式と区間の両方から判断してください。

解答 x を固定し、h(t) = 2t² + (x − 1)t と置きます。頂点は t = (1 − x)/4 で、h は下に凸なので頂点が最小です。

x ≧ 1 のとき。頂点は 0 以下なので、h は [0, 1] で増加します。値域は h(0) = 0 から h(1) = x + 1 までです。
-3 ≦ x ≦ 1 のとき。頂点は区間の中にあり、最小値は h((1 − x)/4) = -(x − 1)²/8 です。最大値は両端の大きい方で、h(0) = 0 と h(1) = x + 1 を比べます。x ≧ -1 なら最大値は x + 1、x ≦ -1 なら最大値は 0 です。
x ≦ -3 のとき。頂点は 1 以上なので、h は [0, 1] で減少します。値域は h(1) = x + 1 から h(0) = 0 までです。

まとめると、通過領域は次の四つの部分になります。

x ≦ -3 のとき       x + 1 ≦ y ≦ 0
-3 ≦ x ≦ -1 のとき  -(x - 1)²/8 ≦ y ≦ 0
-1 ≦ x ≦ 1 のとき   -(x - 1)²/8 ≦ y ≦ x + 1
x ≧ 1 のとき        0 ≦ y ≦ x + 1

点 (3, 5) を調べます。x = 3 の断面は 0 ≦ y ≦ 4 なので、5 は上端を超えており領域に入りません。方程式で見ると、y = 5 を代入して 2t² + 2t − 5 = 0 となり、判別式は 4 + 40 = 44 で正です。解は t = (-1 ± √11)/2 で、√11 は 3.3 と 3.4 の間にあるので、二つの解はおよそ 1.16 と -2.16 です。実数解はありますが、どちらも区間 [0, 1] の外にあります。判別式が示しているのは、あくまで実数解の存在です。断面の上端を超える点は、このように区間の外でしか解を持ちません。

継ぎ目を確かめます。x = -3 では x + 1 = -2 と -(x − 1)²/8 = -2 が一致し、x = -1 では -(x − 1)²/8 = -1/2 と上端の 0 が入れ替わります。x = 1 では最小値の 0 と上端の 2 がつながります。

例題3（やや難）

L(t): y = 3tx − t² が 1 ≦ t ≦ 2 の範囲で動くとき、通過領域を求めてください。また点 (0, -1/2) が領域に入らないことを、判別式と区間の両方から説明してください。

解答 x を固定し、h(t) = 3xt − t² と置きます。頂点は t = 3x/2 です。

x ≦ 2/3 のとき。頂点は 1 以下なので、h は [1, 2] で減少します。値域は h(2) = 6x − 4 から h(1) = 3x − 1 までです。
2/3 ≦ x ≦ 4/3 のとき。頂点は区間の中にあり、最大値は h(3x/2) = 9x²/4 です。最小値は両端の小さい方で、h(1) = 3x − 1 と h(2) = 6x − 4 を比べます。3x − 1 ≦ 6x − 4 は x ≧ 1 と同値なので、x ≦ 1 なら最小値は 6x − 4、x ≧ 1 なら最小値は 3x − 1 です。
x ≧ 4/3 のとき。頂点は 2 以上なので、h は [1, 2] で増加します。値域は h(1) = 3x − 1 から h(2) = 6x − 4 までです。

まとめると、次の四つの部分になります。

x ≦ 2/3 のとき       6x - 4 ≦ y ≦ 3x - 1
2/3 ≦ x ≦ 1 のとき   6x - 4 ≦ y ≦ 9x²/4
1 ≦ x ≦ 4/3 のとき   3x - 1 ≦ y ≦ 9x²/4
x ≧ 4/3 のとき       3x - 1 ≦ y ≦ 6x - 4

点 (0, -1/2) を調べます。x = 0 の断面は -4 ≦ y ≦ -1 なので、-1/2 は上端を超えており領域に入りません。方程式で見ると、t² − 1/2 = 0、つまり t = ±1/√2 で、およそ ±0.71 です。判別式は 9x² − 4y = 0 + 2 = 2 で正ですが、解はどちらも区間 [1, 2] の外にあります。判別式だけを見て「解がある」と結論すると、この点を領域に含めてしまいます。

継ぎ目を確かめます。x = 2/3 では 6x − 4 = 0、3x − 1 = 1、9x²/4 = 1 で三つの式が一致します。x = 1 では 2、2、9/4 となり、下端の式が入れ替わる点で値が連続します。x = 4/3 では 3、4、4 で一致します。

例題4（難）

例題1 の族 L(t): y = tx − 2t² の媒介変数の範囲を 0 ≦ t ≦ 1 から a ≦ t ≦ a + 1 に変えます。点 (2, -1) が通過領域に入るような実数 a の範囲を求めてください。

解答点 (2, -1) が族の上にある条件は、-1 = 2t − 2t² となる t が [a, a + 1] に存在することです。まず t の方程式を解きます。

2t² - 2t - 1 = 0
t = (1 ± √3)/2

二つの解は t₁ = (1 − √3)/2 と t₂ = (1 + √3)/2 です。√3 は 1.7 と 1.8 の間なので、t₁ はおよそ -0.37、t₂ はおよそ 1.37 です。このどちらかが区間 [a, a + 1] に入ればよいことになります。

t が区間に入る条件は a ≦ t ≦ a + 1 で、a について解き直すと t − 1 ≦ a ≦ t です。t₁ について当てはめると、a の範囲は (1 − √3)/2 − 1 ≦ a ≦ (1 − √3)/2、すなわち (-1 − √3)/2 ≦ a ≦ (1 − √3)/2 です。t₂ について当てはめると、(1 + √3)/2 − 1 ≦ a ≦ (1 + √3)/2、すなわち (√3 − 1)/2 ≦ a ≦ (1 + √3)/2 です。

二つの範囲は重なりません。t₂ の範囲の下端 (√3 − 1)/2 はおよそ 0.37、t₁ の範囲の上端 (1 − √3)/2 はおよそ -0.37 で、その間に幅があります。したがって答えは次の二つの閉区間です。

(-1 - √3)/2 ≦ a ≦ (1 - √3)/2   または   (√3 - 1)/2 ≦ a ≦ (1 + √3)/2

a = 0 のときは例題1 の範囲に戻り、点 (2, -1) は領域に入りません。実際、x = 2 の断面は 0 ≦ y ≦ 1/2 で、-1 は下端より下です。区間の位置をずらすだけで同じ点が入ったり外れたりする、というのがこの問題の要点です。区間の幅が 1 なのに対し、二つの解の差は √3 でおよそ 1.73 ですから、両方を同時に含む区間は存在しません。場合分けが二つに分かれたのは、そのためです。

判別式だけで済ませた答案のどこが崩れるか

誤答1。「2t² − xt + y = 0 の判別式は D = x² − 8y で、これが 0 以上なら解がある。よって通過領域は y ≦ x²/8 である。」この答案は、t の区間という条件を丸ごと落としています。反例は点 (8, 7) です。D = 64 − 56 = 8 で正ですが、x = 8 の断面は 0 ≦ y ≦ 6 なので、7 は上端を超えています。方程式で確かめると 2t² − 8t + 7 = 0 の解は t = 2 ± √2/2 で、およそ 1.29 と 2.71 です。実数解は二つありますが、どちらも [0, 1] の外です。

破綻する条件。この誤りが表に出るのは、x が区間の両端の影響を受ける範囲にあるときです。x が 0 から 4 の間では、放物線 y = x²/8 が本当の上端になりますが、x が 4 を超えると上端は直線 y = x − 2 に切り替わります。判別式だけの答案は、この切り替えを見落とします。

直し方。まず x を固定して h(t) = xt − 2t² の値域を [0, 1] で求める。次に頂点 t = x/4 が区間に入るかを確かめる。最後に両端の値と頂点の値を比べて上端と下端を決める。この順に書けば、x = 4 の前後で上端の式が変わることも自然に答案へ入ります。

誤答2。「上端はいつでも頂点の値 x²/8 である。」これも区間の位置を無視しています。x = 5 のとき、頂点は t = 5/4 で区間 [0, 1] の外にあります。h は [0, 1] で増加するので、上端は h(1) = 3 です。頂点の値 25/8 = 3.125 を使うと、3 より大きい値を上端にしてしまいます。

誤答3。「下端はいつでも 0 である。」x = 1 のとき、h(t) = t − 2t² で h(1) = -1 です。下端は 0 ではなく -1 です。端点の値を比べる一手間を省くと、この差が残ります。

境界を含めるかどうかも、区間の端と同じくらい大事です。今回は 0 ≦ t ≦ 1 という閉区間なので、t = 0 と t = 1 が使え、y = 0 と y = x − 2 の上の点も領域に入ります。もし 0 < t < 1 という開区間だったら、同じ計算でも両端の直線は境界から外れ、x の範囲に応じて等号が消えます。頂点で決まる放物線の部分は、t = x/4 が区間の内側にある限り開区間でも残ります。問題文の不等号が ≦ か < かで、答えの等号が変わることを意識してください。

図3は、誤答1 の反例を拡大したものです。点 (8, 7) は放物線 y = x²/8 より下にあり、判別式は正です。しかし本当の領域の上端は直線 y = x − 2 で、点はその上にあります。放物線と直線の間の帯が、判別式だけでは拾ってしまう余分な部分です。

練習問題

問1 L(t): y = tx + t² が 0 ≦ t ≦ 1 の範囲で動くとき、通過領域を不等式で表してください。

問2 L(t): y = 2tx − t² が -1 ≦ t ≦ 1 の範囲で動くとき、通過領域を不等式で表してください。

問3 L(t): y = (t − 2)x + t² が 0 ≦ t ≦ 1 の範囲で動くとき、点 (2, k) が領域に入るような k の範囲を求めてください。

問4 L(t): y = 3tx − 2t² が 0 ≦ t ≦ 1 の範囲で動くとき、点 (2, -1) が領域に入るかどうかを、判別式と区間の両方から判断してください。

問5 L(t): y = 2tx + t² の媒介変数の範囲を a ≦ t ≦ a + 1 とするとき、点 (1, 3) が領域に入るような a の範囲を求めてください。

解答

問1 点 (x, y) に対し h(t) = xt + t² と置きます。頂点は t = -x/2 です。

x ≧ 0 のとき。頂点は 0 以下なので h は [0, 1] で増加し、値域は 0 から x + 1 までです。
-2 ≦ x ≦ 0 のとき。頂点は区間の中にあり、最小値は h(-x/2) = -x²/4 です。最大値は両端の大きい方で、x ≧ -1 なら x + 1、x ≦ -1 なら 0 です。
x ≦ -2 のとき。頂点は 1 以上なので h は減少し、値域は x + 1 から 0 までです。

答えは次の四つの部分です。

x ≧ 0 のとき        0 ≦ y ≦ x + 1
-1 ≦ x ≦ 0 のとき   -x²/4 ≦ y ≦ x + 1
-2 ≦ x ≦ -1 のとき  -x²/4 ≦ y ≦ 0
x ≦ -2 のとき       x + 1 ≦ y ≦ 0

問2 点 (x, y) に対し h(t) = 2xt − t² と置きます。頂点は t = x です。

x ≧ 1 のとき。h は [-1, 1] で増加し、値域は h(-1) = -2x − 1 から h(1) = 2x − 1 までです。
-1 ≦ x ≦ 1 のとき。頂点は区間の中にあり、最大値は x² です。最小値は両端の小さい方で、x ≧ 0 なら h(1) = 2x − 1、x ≦ 0 なら h(-1) = -2x − 1 です。
x ≦ -1 のとき。h は減少し、値域は h(1) = 2x − 1 から h(-1) = -2x − 1 までです。

答えは次の四つの部分です。

x ≦ -1 のとき       2x - 1 ≦ y ≦ -2x - 1
-1 ≦ x ≦ 0 のとき   2x - 1 ≦ y ≦ x²
0 ≦ x ≦ 1 のとき    -2x - 1 ≦ y ≦ x²
x ≧ 1 のとき        -2x - 1 ≦ y ≦ 2x - 1

問3 x = 2 の断面を調べれば十分です。h(t) = 2(t − 2) + t² = t² + 2t − 4 で、これは (t + 1)² − 5 と変形できます。t が 0 から 1 まで動くとき h は増加し、値域は h(0) = -4 から h(1) = -1 までです。したがって k の範囲は -4 ≦ k ≦ -1 です。

問4 x = 2 の断面を調べます。h(t) = 6t − 2t² = -2(t − 3/2)² + 9/2 で、頂点 t = 3/2 は区間 [0, 1] の外にあります。h は [0, 1] で増加し、値域は 0 から 4 までです。y = -1 は値域に入らないので、点 (2, -1) は領域に入りません。

方程式で見ると 2t² − 6t − 1 = 0 で、判別式は 36 + 8 = 44 です。解は t = (3 ± √11)/2 で、およそ 3.16 と -0.16 です。判別式は正ですが、どちらの解も [0, 1] の外にあります。実数解の存在と、区間内の解の存在は別の条件です。

問5 点 (1, 3) が族の上にある条件は、3 = 2t + t² となる t が [a, a + 1] に存在することです。t² + 2t − 3 = 0 から (t + 3)(t − 1) = 0、つまり t = -3 または t = 1 です。t = 1 が区間に入る条件は a ≦ 1 ≦ a + 1、つまり 0 ≦ a ≦ 1 です。t = -3 が区間に入る条件は a ≦ -3 ≦ a + 1、つまり -4 ≦ a ≦ -3 です。したがって答えは -4 ≦ a ≦ -3 または 0 ≦ a ≦ 1 です。