大学入試数学 二変数評価と文字定数—境界へ移る達成点を追って最適値を場合分けする｜武蔵野個別指導塾

三角形の範囲で二次式を平方完成すると、最小の点が内側にあるか辺の端にあるかは係数の値で入れ替わります。場合分けの目印になるのは、辺へ移る達成点です。

よくあるのは、高校2年生から3年生の自習で、ノートを二冊並べたときに、同じ問題の最小値が -4 と -9 で食い違う場面です。どちらも平方完成までは同じで、そのあとの行で文字定数を 2 と見たか 4 と見たかだけが違います。計算をやり直しても食い違いは消えません。消すべきなのは計算の誤りではなく、達成する点が領域の内側にあるか、辺の上にあるかという場合分けの抜けです。ここでは三角形の範囲で二変数の二次式を扱い、文字定数の値によって達成点がどこへ移るかを、答案の順に組み立てます。

問われるのは値より先に達成点

この形の問題は三つの出方で現れます。係数が数のままで最大値と最小値を求める型、文字定数 a を含む式で最小値を a の場合分けで答える型、そして最小値を与える点が辺の上にあるための a の条件を逆に問う型です。どの型でも、式の変形そのものより、達成する点が領域のどこにあるかを見る力が問われます。

使う道具は三つに絞れます。平方完成で式を中心からの距離の二乗に直すこと、領域の境界から従う不等式で目的の式を上から押さえること、押さえた値を実際に取る点の座標を領域の式に代入して確かめることです。この三つは順番が決まっていて、押さえるだけでは答えになりません。上界や下界は候補にすぎず、その値を取る点が領域の中に実在して初めて最大値や最小値と呼べます。上から押さえた値より小さい値しか実現しないなら、その押さえは緩すぎます。押さえた値ちょうどの点を見つけて、初めて答えが決まります。

答案を書くときは、値の計算と点の確認を別の行に分けます。値の行だけが合っていても、点が領域の外にあれば答案は崩れます。逆に点が合っていても、上から押さえた不等式が緩ければ、ほかの点にもっと大きい値が残ります。二つの行がそろって初めて、最適値の証明になります。文字定数が入る問題では、この二つの行を a の範囲ごとに繰り返すことになります。

平方完成が示す中心と距離

領域は x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 3 で定まる三角形とします。境界は三本で、頂点は (0,0)、(3,0)、(0,3) です。不等号に等号が付いているので、辺の上の点も領域に入ります。このことが、後の場合分けで効いてきます。

目的の式を f(x,y) = x² + y² − 2ax とします。a は実数ですが、ここでは a ≥ 0 として読みます。x について平方完成すると次のようになります。

f(x,y) = x² - 2ax + y²
       = (x - a)² - a² + y²
       = (x - a)² + y² - a²

(x − a)² + y² は、点 (x,y) と点 C(a,0) の距離の二乗です。つまり f は、C からの距離の二乗から a² を引いた値です。この読み方に変えると、最小値を求めることは、三角形の中で C に最も近い点を探すことに変わります。C が三角形の内側にあるなら、距離は 0 まで縮み、その点で最小値 -a² を取ります。C が外にあるなら距離 0 は実現できず、最も近い境界の点で最小になります。

最大値は逆に、最も遠い点を探すことです。ただし遠い点は、いつも同じ頂点とは限りません。中心の位置が文字定数で動けば、遠い点も入れ替わります。したがって最大値は、辺の上まで含めて式で押さえ、等号を取る点を特定する必要があります。

値 k を固定すると、f(x,y) = k は (x − a)² + y² = k + a² と書き直せます。これは C を中心とする円で、k が大きいほど半径が大きくなります。図1のように、最小値は領域に触れる最も小さい円の半径で決まり、最大値は領域を含む最も大きい円の半径で決まります。等号の点は、その円が領域に触れる点です。円の中心が領域の外にあれば、半径 0 の円は領域に届かず、最小の円は境界に接するところで止まります。

境界から従う不等式も使います。領域の条件 x + y ≤ 3 は y ≤ 3 − x と同じで、x が 0 から 3 まで動くとき両辺とも 0 以上です。したがって y² ≤ (3 − x)² と二乗して比べられます。両辺が 0 以上であることを確かめずに二乗すると、符号の違う場合を拾ってしまい、押さえの式が崩れます。図1では、中心が内側にあるときの等号の円と、その円が三角形に収まる様子を示しています。

図1のように、中心が内側にある間は、最小を与える点が中心そのものです。中心が辺を越えた瞬間に、最小の点は辺の端へ移ります。この移り変わりが、次の例題から順に現れます。

基本例題　中心が内側にあるとき

例題1. 領域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 3 において、f(x,y) = x² + y² − 4x の最大値と最小値を求め、それぞれを取る点の座標も答えなさい。

難しさは標準です。平方完成と、辺の上まで含めた押さえの基本を確かめます。まず平方完成から始めます。

f(x,y) = x² - 4x + y²
       = (x - 2)² - 4 + y²
       = (x - 2)² + y² - 4

最小値から考えます。(x − 2)² ≥ 0 と y² ≥ 0 から f(x,y) ≥ -4 です。等号は x = 2 かつ y = 0 のときに成り立ちます。点 (2,0) は 2 + 0 = 2 ≤ 3 を満たし、x ≥ 0 と y ≥ 0 も満たすので領域の中にあります。よって最小値は -4 で、その点は (2,0) です。

最大値は、領域の条件から押さえます。x + y ≤ 3 と y ≥ 0 から 0 ≤ y ≤ 3 − x なので、両辺を二乗して y² ≤ (3 − x)² です。これを f に代入します。

f(x,y) = x² + y² - 4x
       ≤ x² + (3 - x)² - 4x
       = 2x² - 10x + 9
       = 2x(x - 5) + 9

領域の中では 0 ≤ x ≤ 3 です。この範囲で x ≥ 0 かつ x − 5 < 0 なので、2x(x − 5) ≤ 0 です。したがって f(x,y) ≤ 9 となります。等号が成り立つには、y² = (3 − x)² と 2x(x − 5) = 0 の両方が必要です。後ろから x = 0 または x = 5 ですが、x は 3 以下なので x = 0 です。このとき y = 3 で、点 (0,3) は領域の頂点です。実際に f(0,3) = 0 + 9 − 0 = 9 となります。よって最大値は 9 で、その点は (0,3) です。

三つの頂点の値も並べて確かめます。f(0,0) = 0、f(3,0) = 9 − 12 = -3、f(0,3) = 9 です。最小値 -4 はどの頂点の値よりも小さく、内側の点で達成されています。最大値 9 は頂点 (0,3) で達成されています。図2のように、中心 (2,0) が領域の内側にあるので、最小の点は中心そのものになります。

図2で確かめたように、最小の点が内側にあるときは、辺の上の点を比べる必要はありません。一方で最大の点は、辺の上まで含めた押さえの式と、等号を取る点の確認の両方で決めています。この二段構えが、次の文字定数の問題でもそのまま使えます。

標準例題　中心が辺の外へ出る境目

例題2. a ≥ 0 とします。領域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 3 において、f(x,y) = x² + y² − 2ax の最小値と最大値を、a の場合分けで答えなさい。

難しさはやや難です。中心が辺を越える境目を、値の一致まで含めて答えます。平方完成は例題1と同じ形です。

f(x,y) = (x - a)² + y² - a²

中心 C(a,0) の位置が a で動きます。最小値は、C が領域に入るかどうかで分かれます。

1. 0 ≤ a ≤ 3 のとき。C(a,0) は a ≥ 0 かつ a + 0 = a ≤ 3 を満たすので、領域の中にあります。距離の二乗は 0 まで縮み、f(x,y) ≥ -a²、等号は (x,y) = (a,0) です。よって最小値は -a² で、点は (a,0) です。

2. a > 3 のとき。領域の点は x ≤ 3 を満たします。a > 3 なので a − x ≥ a − 3 > 0 となり、(x − a)² ≥ (a − 3)² です。また y² ≥ 0 ですから、f(x,y) ≥ (a − 3)² − a² = 9 − 6a となります。等号は x = 3 かつ y = 0 のときで、点 (3,0) は 3 + 0 = 3 を満たすので領域の中にあります。よって最小値は 9 − 6a で、点は (3,0) です。

境目の a = 3 では、-a² = -9、9 − 6a = -9 となり、二つの式は同じ値になります。このとき中心 C は頂点 (3,0) に重なります。最小値を与える点は、内側の式でも辺の式でも (3,0) です。

最大値は a に依存しません。例題1と同じ押さえを使います。領域では 0 ≤ y ≤ 3 − x なので y² ≤ (3 − x)² です。

f(x,y) = x² + y² - 2ax
       ≤ x² + (3 - x)² - 2ax
       = 2x² - (6 + 2a)x + 9
       = 2x(x - 3 - a) + 9

0 ≤ x ≤ 3 と a ≥ 0 から x − 3 − a < 0 なので、2x(x − 3 − a) ≤ 0 です。よって f(x,y) ≤ 9 です。等号は x = 0 または x = 3 + a のときですが、x ≤ 3 なので x = 0 です。このとき y = 3 で、点 (0,3) は領域の中にあります。f(0,3) = 9 ですから、最大値は 9 で、その点は (0,3) です。

最小値の結果を表にまとめます。

a = 3 はどちらの行にも入りますが、値も点も一致するので、どちらに含めても同じ答えです。答案では 0 ≤ a ≤ 3 と a ≥ 3 のように、境目を両方の行に書いておくと、値を比べる場所がはっきりします。

中心の位置で場合分けを決めた理由も確認します。最小の候補は、中心が内側なら中心そのもの、外なら最も近い境界の点です。この二つの候補が入れ替わるのは、中心が境界 x + y = 3 を越える瞬間です。C(a,0) を x + y = 3 に代入すると a = 3 が出ます。境目を求める計算と、値が一致する計算が同じ a でそろうので、答案に隙間ができません。

発展例題　二つの境目が別々に訪れる場合

例題3. a ≥ 0 とします。領域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + 2y ≤ 4 において、f(x,y) = x² + y² − 2ax の最小値と最大値を、a の場合分けで答えなさい。

難しさは難です。最小と最大で境目が別々に訪れるので、二つの場合分けをそろえる必要があります。

領域は例題2より横に長い三角形で、頂点は (0,0)、(4,0)、(0,2) です。平方完成は同じです。

f(x,y) = (x - a)² + y² - a²

最小値から求めます。中心 C(a,0) が領域に入る条件は、a ≥ 0 かつ a + 0 = a ≤ 4 です。

1. 0 ≤ a ≤ 4 のとき。C は領域の中にあり、最小値は -a²、点は (a,0) です。

2. a > 4 のとき。領域の点は x ≤ 4 なので、a − x ≥ a − 4 > 0 となり、(x − a)² ≥ (a − 4)² です。y² ≥ 0 と合わせて f(x,y) ≥ (a − 4)² − a² = 16 − 8a です。等号は x = 4、y = 0 の点 (4,0) で、4 + 0 = 4 を満たします。よって最小値は 16 − 8a、点は (4,0) です。

境目 a = 4 では -16 と 16 − 32 = -16 が一致します。

最大値は、辺の上の点まで含めて押さえます。領域では 0 ≤ x ≤ 4 かつ 0 ≤ y ≤ (4 − x)/2 なので、y² ≤ (4 − x)²/4 です。

f(x,y) = x² + y² - 2ax
       ≤ x² + (4 - x)²/4 - 2ax
       = (5/4)x² - (2 + 2a)x + 4

右辺を q(x) とおきます。q(0) = 4、q(4) = 20 − 8 − 8a + 4 = 16 − 8a です。q は x² の係数が正の二次式なので、区間 0 ≤ x ≤ 4 での最大は両端の値の大きい方です。このことを式でも確かめておきます。

q(x) - ((1 - x/4)q(0) + (x/4)q(4))
  = (5/4)x(x - 4)
  ≤ 0

したがって q(x) は q(0) と q(4) の間の値で押さえられ、最大は max(4, 16 − 8a) です。等号は x = 0 または x = 4 のときで、それぞれ y = 2、y = 0 です。点 (0,2) と (4,0) はどちらも領域の中にあります。

16 − 8a ≤ 4 を解くと a ≥ 3/2 です。よって最大値は次のように分かれます。

1. 0 ≤ a ≤ 3/2 のとき。最大値は 16 − 8a で、点は (4,0) です。

2. a ≥ 3/2 のとき。最大値は 4 で、点は (0,2) です。

境目 a = 3/2 では 16 − 12 = 4 となり、二つの値が一致します。

この例題では、最小値の境目が a = 4、最大値の境目が a = 3/2 で、二つは別の値です。同じ問題の中に境目が二つあるので、一方の場合分けだけで答えを書くと、もう一方で食い違います。a = 2 を代入して確かめます。最小値は -4 で点は (2,0)、最大値は 4 で点は (0,2) です。a = 1 では最小値 -1 で点は (1,0)、最大値 8 で点は (4,0) です。a = 5 では最小値 -24 で点は (4,0)、最大値 4 で点は (0,2) です。三つの値は、上の場合分けのどの行とも合っています。

よくある誤りと直し方

最初の誤りは、最小値はいつも頂点のどれかで起こると決めてしまうことです。a = 2 のとき、頂点の値は f(0,0) = 0、f(3,0) = 9 − 12 = -3、f(0,3) = 9 です。頂点だけを見ると最小は -3 ですが、実際の最小は (2,0) での -4 です。破綻するのは、中心が領域の内側にある場合です。直し方は、平方完成をして中心の座標を先に書き、その点が領域の不等式を満たすかを確かめることです。満たすなら、頂点の値を比べる前に中心を候補に入れます。

二つ目の誤りは、a の値にかかわらず最小値を -a²、点を (a,0) と書くことです。a = 4 のとき、点 (4,0) は 4 + 0 = 4 > 3 なので領域の外にあります。このときの最小値は 9 − 24 = -15 で、点は (3,0) です。破綻するのは a > 3 の場合です。直し方は、候補の点を必ず領域の不等式に代入することです。代入して外れたら、最も近い境界の点を探し直します。

三つ目の誤りは、境目 a = 3 で二つの式を別々の答えとして並べることです。0 ≤ a ≤ 3 の行からは -9、a ≥ 3 の行からも -9 が出ます。値は同じで、点も (3,0) で同じです。二つの答えがあるように見えるのは、境目で両方の式を計算していないからです。直し方は、境目の値を両方の式に代入し、一致を確かめて一方にまとめることです。

図3のように、a が 3 より小さいときは中心が内側にあり、最小の点は中心です。a が 3 より大きいときは中心が外にあり、最小の点は辺の端 (3,0) です。図の左右で点の位置が変わることを、a の値と対応させて覚えておくと、場合分けの行を書くときに迷いません。

練習問題

次の五問を、まず問題だけ読んで解いてください。答えと解き方はこの後にまとめています。

1. 領域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + 2y ≤ 6 において、f(x,y) = x² + y² − 4x の最大値と最小値を求めなさい。それぞれを取る点の座標も答えなさい。
2. 領域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 5 において、f(x,y) = x² + y² − 2ax（a ≥ 0）の最小値 m(a) を求めなさい。
3. 領域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 3 において、f(x,y) = x² + y² − 2ax（a ≥ 0）の最小値が -16 となる a を求めなさい。
4. b > 0 とします。領域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ b において、f(x,y) = x² + y² − 2x の最小値を b の場合分けで求めなさい。
5. 領域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + 2y ≤ 6 において、f(x,y) = x² + y² − 2ax（a ≥ 0）の最大値を a の場合分けで求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 平方完成すると f(x,y) = (x − 2)² + y² − 4 です。最小値は -4 で、点は (2,0) です。点 (2,0) は 2 + 0 = 2 ≤ 6 を満たします。最大値は、0 ≤ y ≤ (6 − x)/2 から y² ≤ (6 − x)²/4 として押さえます。

f(x,y) ≤ x² + (6 - x)²/4 - 4x
       = (5/4)x² - 7x + 9

右辺を q(x) とすると、q(0) = 9、q(6) = 45 − 42 + 9 = 12 です。x² の係数が正なので、0 ≤ x ≤ 6 での最大は両端の大きい方の 12 です。等号は x = 6、y = 0 で、点 (6,0) は 6 + 0 = 6 ≤ 6 を満たします。f(6,0) = 36 − 24 = 12 です。よって最大値は 12 で、点は (6,0) です。頂点 (0,3) の値は 9 なので、最大ではありません。

2. f(x,y) = (x − a)² + y² − a² です。0 ≤ a ≤ 5 のとき、中心 (a,0) は a + 0 ≤ 5 を満たすので領域の中にあり、最小値は -a²、点は (a,0) です。a > 5 のとき、領域の点は x ≤ 5 なので (x − a)² ≥ (a − 5)² となり、f(x,y) ≥ (a − 5)² − a² = 25 − 10a です。等号は (5,0) で、5 + 0 = 5 を満たします。境目 a = 5 では -25 と 25 − 50 = -25 が一致します。よって m(a) は、0 ≤ a ≤ 5 で -a²、a ≥ 5 で 25 − 10a です。

3. 最小値の式は例題2と同じで、0 ≤ a ≤ 3 なら -a²、a ≥ 3 なら 9 − 6a です。0 ≤ a ≤ 3 で -a² = -16 とすると a = 4 ですが、4 は 0 ≤ a ≤ 3 に入りません。a ≥ 3 で 9 − 6a = -16 とすると 6a = 25、a = 25/6 です。25/6 は 3 より大きいので条件を満たします。よって a = 25/6 です。確かめると、中心 (25/6,0) は 25/6 > 3 で領域の外にあり、最小値は 9 − 25 = -16、点は (3,0) です。

4. f(x,y) = (x − 1)² + y² − 1 です。0 < b ≤ 1 のとき、領域の点は x ≤ b ≤ 1 なので (x − 1)² ≥ (1 − b)² です。よって f(x,y) ≥ (1 − b)² − 1 = b² − 2b で、等号は (b,0) です。点 (b,0) は b + 0 = b を満たします。b ≥ 1 のとき、点 (1,0) は 1 + 0 = 1 ≤ b を満たして領域の中にあり、f(1,0) = -1 です。よって最小値は、0 < b ≤ 1 で b² − 2b（点は (b,0)）、b ≥ 1 で -1（点は (1,0)）です。境目 b = 1 では 1 − 2 = -1 で一致します。

5. f(x,y) = (x − a)² + y² − a² です。領域では 0 ≤ x ≤ 6、0 ≤ y ≤ (6 − x)/2 なので、y² ≤ (6 − x)²/4 です。

f(x,y) ≤ x² + (6 - x)²/4 - 2ax
       = (5/4)x² - (3 + 2a)x + 9

右辺を q(x) とすると、q(0) = 9、q(6) = 45 − 18 − 12a + 9 = 36 − 12a です。最大は両端の大きい方なので、max(9, 36 − 12a) です。36 − 12a ≤ 9 を解くと a ≥ 9/4 です。よって 0 ≤ a ≤ 9/4 では最大値 36 − 12a、点は (6,0) です。a ≥ 9/4 では最大値 9、点は (0,3) です。境目 a = 9/4 では 36 − 27 = 9 で一致します。確かめると、f(6,0) = 36 − 12a、f(0,3) = 9 です。

覚えておくこと

• 二変数の二次式は、平方完成して中心からの距離の二乗に直して読む。
• 最小は、中心が領域の中なら中心、外なら最も近い境界の点で決まる。
• 最大は、辺の上まで含めて上から押さえ、等号を取る点を探す。
• 文字定数の境目は中心が領域に入るかで決め、境目の値では両方の式が一致することを確かめる。
• 候補の点は、答える前に領域の不等式へ代入する。

つまずきの見分け方

答案が場合分けの手前で止まっているときは、達成点の座標を書かせてみると原因が見えます。値だけを書いて点を書いていない答案は、押さえた不等式が緩いか、点が領域の外にあるかのどちらかです。点を書かせて領域の不等式に代入させると、どちらかがすぐにわかります。

場合分けの境目が出てこないときは、中心の座標を文字定数のまま書かせ、境界の式に代入させます。中心 (a,0) を x + y = 3 に代入すれば a = 3 が出ます。この計算は一行で終わるので、答案に書く癖をつけると、場合分けの行が自然に決まります。

最大を頂点だけで決めている答案には、すべての頂点の値を書かせ、さらに辺の上の点を一つ代入させて比べさせます。例題3の a = 1 では、頂点の値は 0、8、4 で、最大は (4,0) の 8 です。辺の上の点 (2,1) を代入すると 1 で、頂点の値より小さいことを確かめられます。比べる範囲を広げさせることで、頂点を全部書く理由が見えてきます。

境目で二つの答えを並べている答案には、両方の式に境目の値を代入させ、同じ値になることを確かめさせます。同じ値になることを確認できれば、答えは一つにまとまります。場合分けの境目は、文字の都合ではなく、達成点が領域のどこにあるかで決まります。