大学入試数学 多角形領域と達成する辺—目的式が辺と平行になる例外まで最大点を尽くす｜武蔵野個別指導塾

頂点だけを調べて最大値を決める答案には、目的式が辺と平行になるときの抜けが残る。係数に文字を含む一次式で、最大となる辺を尽くす。

自習の机で、四角形の領域に斜線を引き、四つの角の座標をそれぞれ書き出して、いちばん大きい値を出した角を丸で囲みます。答案には「最大値 10、点 (4,3)」と書かれていて、値の計算も合っています。ところが、隣の角でも同じ値が出ていたことに気づかず、その間の辺の上でも同じ値が続いていることを見落とします。角を一つ選べば済む問題と、辺の全体を答えなければならない問題の境目は、思っているより狭いものです。

最大値を求める問題と、最大点を尽くす問題

領域を図示して一次式の最大値を求める問題は、条件の数だけ頂点を出す連立方程式が増えます。出方は大きく三つの型に分かれます。第一は、領域と一次式をそのまま与えて、最大値と最大点を求める型です。第二は、一次式の係数に文字を含ませ、文字の値によって最大点がどの頂点やどの辺へ移るかを場合分けする型です。第三は、最大点が辺全体になるという結論から逆に係数を決める型です。

どの型でも道具は同じで、境界をなす直線どうしの連立一次方程式で頂点の座標を出し、各頂点で目的式の値を計算し、値を比べます。ここまでは手順が決まっています。差がつくのはその後で、値がいちばん大きい頂点を一つ書いて終わるのか、辺の上まで最大点を広げて書けるのかで、答案の完成度が変わります。

前提を二つ置きます。領域は境界を含む閉じた多角形とします。目的式は p x + q y の形で、(p, q) が (0, 0) でないとします。(p, q) が (0, 0) なら目的式の値は領域のどこでも 0 で、最大点は領域のすべての点になります。この退化した場合は以降の議論から外し、係数のどれかは 0 でないとして話を進めます。

等しい値の線と領域の境界

一次式 p x + q y の値が c になる点をすべて集めると、一本の直線になります。この直線を等しい値の線と呼ぶことにします。c を大きくすると、傾きはそのままで線は平行に動きます。領域の上で c を大きくしていき、線が領域から離れる直前の位置を考えると、そのとき線が領域と共有している部分が、最大点の全体になります。共有する部分は、一点（頂点）か、線分（辺の全体）か、領域そのもののいずれかです。

図1を見てください。左は等しい値の線が最後に一つの頂点へ触れる場合で、最大点はその頂点だけになります。右は線が一つの辺に重なる場合で、両端を含む辺の全体が最大点になります。同じ形の領域でも、目的式の傾きが変われば、この二つの場合が入れ替わります。

一点か線分のどちらかに限られる理由を、二段階で説明します。まず、線分の上では一次式の値が両端の値の間を動きます。線分上の点は両端を内分する点として書けて、内分の比が t : (1 − t) なら、値も同じ比の重み付き平均になります。片方の端の値が大きければ、その端へ近づくほど値は大きくなります。

2点 P, Q を結ぶ線分上の点 X を X = (1 - t)P + tQ (0 ≤ t ≤ 1) とおくと
f(X) = (1 - t) f(P) + t f(Q)

次に、最大点が辺の内部や領域の内部にあると仮定して矛盾を出します。領域の内部の点で最大になるとします。係数 (p, q) の向きへごく小さく動いても、内部なら動いた先は領域に属し、値は増えます。これは最大であることに反します。だから最大点は境界にあります。

辺の内部の点で最大になるとします。辺に沿って動いたときに値が一定でなければ、値の増える向きへ動いた先も辺の上、つまり領域に属するので、同じく最大に反します。辺に沿って値が一定になるのは、両端で値が等しいときに限られます。両端が等しければ、線分上の値はすべてその値になります。

以上から手順が決まります。すべての頂点で値を計算し、その最大値を M とします。M を与える頂点が一つだけなら、最大点はその頂点です。M を与える頂点が二つあり、その二点が辺で結ばれているなら、その辺の全体が最大点になります。頂点の値がすべて等しければ、領域のすべてが最大点になります。

「辺で結ばれている」の確認を省くと誤ります。値が等しい頂点が二つあっても、縁で隣り合っていなければ、二点を結ぶ線分は領域の境界になりません。さらに、その等しい値が M でなければ、そもそも最大点の話ではありません。この二つの確認が、これから解く問題の分かれ目になります。なお、境界を含まない領域では最大値そのものが存在しないことがあり、閉じた多角形という前提はこのために置いています。

基本の例題：頂点の値を比べる

例題1（標準） 連立不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≤ 15, x + 2y ≤ 10 の表す領域を D とします。D において f = 2x + y の最大値と、最大値を与える点を求めなさい。

四つの頂点を出して値を並べます。まず x ≥ 0 と y ≥ 0 から、領域は第一象限に収まります。3x + y ≤ 15 と x + 2y ≤ 10 は、それぞれ右下がりの境界を二本引きます。

頂点は次の四つです。原点 O(0, 0) は x = 0 と y = 0 の交点です。B(5, 0) は 3x + y = 15 と y = 0 の交点です。D(0, 5) は x + 2y = 10 と x = 0 の交点です。C は二本の境界の交点で、連立で求めます。

3x + y = 15 から y = 15 - 3x
これを x + 2y = 10 へ代入: x + 30 - 6x = 10
-5x = -20
x = 4
y = 15 - 12 = 3

C(4, 3) です。4 と 3 を両方の式へ戻すと 12 + 3 = 15、4 + 6 = 10 で、どちらも等号が成り立ちます。

各頂点で f = 2x + y を計算します。

O(0, 0): 2・0 + 0 = 0
B(5, 0): 2・5 + 0 = 10
C(4, 3): 2・4 + 3 = 11
D(0, 5): 2・0 + 5 = 5

最大は 11 で、これを与える頂点は C だけです。前の節の手順から、辺の上で 11 を超える点はありません。念のため辺ごとに確かめます。辺 BC は 3x + y = 15 なので y を消すと f = 2x + 15 − 3x = 15 − x で、x は 4 から 5 まで動くから値は 11 以下です。辺 CD は x + 2y = 10 なので f = 2x + (10 − x)/2 = (3x + 10)/2 で、x は 0 から 4 まで動くから値は 11 以下、等号は x = 4 のときだけです。

答えは最大値 11、最大点 (4, 3) です。

図2のように、最大を与える 11 は C でだけ出て、隣の頂点の 10 や 5 を上回っています。この形の問題では、頂点の値がすべて異なれば答えは一つに決まります。次から、値が並ぶ場合を扱います。

標準・発展の例題：係数が文字になるとき

例題2（標準） 例題1と同じ領域 D において、f = x + 2y の最大値と、最大となる点の全体を求めなさい。

頂点の値は次のとおりです。

O(0, 0): 0
B(5, 0): 5
C(4, 3): 4 + 6 = 10
D(0, 5): 0 + 10 = 10

最大値は 10 で、C と D の二つの頂点が同じ値を与えます。ここで答えを (4, 3) だけとしてよいかを確かめます。C と D は辺 CD をなす隣り合う頂点で、その辺は x + 2y = 10 の上にあります。辺 CD 上の点はどれも x + 2y = 10 を満たすから、目的式の値はそこでも 10 です。

C(4, 3) と D(0, 5) を結ぶ線分上の点は (4 - 4t, 3 + 2t) (0 ≤ t ≤ 1) と書ける
f = (4 - 4t) + 2(3 + 2t) = 4 - 4t + 6 + 4t = 10

t が何であっても値は 10 で、辺全体が最大点になります。ほかの辺で 10 を超えないことも確かめます。辺 BC では f = x + 2(15 − 3x) = 30 − 5x で、x が 4 以上 5 以下だから値は 10 以下、等号は x = 4 のときだけです。辺 DA では x = 0 で f = 2y、y は 0 以上 5 以下だから 10 以下で、等号は y = 5 のときだけです。

答えは最大値 10、最大点は線分 CD 上のすべての点です。座標で答えるときは、端点 C(4, 3)、D(0, 5) と、その間の点を「線分 CD 上」と添えます。点を一つだけ書くと、無数の点を落とします。

例題3（やや難） 領域 D は例題1と同じとします。k を正の実数とし、f = x + k y の最大値と最大点を k の場合に分けて求めなさい。

頂点の値は O が 0、B が 5、C が 4 + 3k、D が 5k です。文字を含む四つの値を比べるので、どれとどれが等しくなるかを先に出します。

5 = 4 + 3k より k = 1/3
4 + 3k = 5k より k = 2
5 = 5k より k = 1

区切りの値は 1/3、1、2 の三つです。k > 0 の範囲をこの三つで分け、各場合に最大の頂点を決めます。

1. 0 < k < 1/3 のとき。5 > 4 + 3k かつ 5 > 5k だから、最大値は 5、最大点は B(5, 0) です。

2. k = 1/3 のとき。f(B) = 5、f(C) = 4 + 1 = 5 で、B と C は辺 BC で結ばれています。辺 BC は 3x + y = 15 の上にあり、その点で f = x + (1/3)(15 − 3x) = x + 5 − x = 5 となります。最大値は 5、最大点は線分 BC 上のすべての点です。

3. 1/3 < k < 2 のとき。4 + 3k > 5 かつ 4 + 3k > 5k だから、最大値は 4 + 3k、最大点は C(4, 3) です。

4. k = 2 のとき。f(C) = 4 + 6 = 10、f(D) = 10 で、C と D は辺 CD で結ばれています。辺 CD は x + 2y = 10 の上にあり、その点で f = x + 2y = 10 です。最大値は 10、最大点は線分 CD 上のすべての点です。

5. k > 2 のとき。5k > 4 + 3k かつ 5k > 5 だから、最大値は 5k、最大点は D(0, 5) です。

境目で最大値がつながることを確かめます。k = 1/3 の前後では 5 と 4 + (3/3) = 5 で一致し、k = 2 の前後では 4 + 6 = 10 と 5・2 = 10 で一致します。k = 1 では f(B) = 5 と f(D) = 5 が等しいですが、このとき最大は f(C) = 4 + 3 = 7 で、B と D は辺で結ばれていません。等しい値が見つかっても、それが最大でなければ答えには関わりません。

例題4（難） 連立不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 12 の表す領域を E とします。k を正の実数とし、E において f = x + k y の最大値と最大点を k の場合に分けて求めなさい。また、最大点が辺全体になる k をすべて求めなさい。

まず E の頂点を出します。x + y = 8 と 2x + y = 12 の交点は、差をとって 2x + y − (x + y) = 4 から x = 4、y = 4 で Q(4, 4) です。2x + y = 12 と y = 0 の交点は P(6, 0) です。x + y = 8 と x = 0 の交点は R(0, 8) です。原点 O(0, 0) を加えた四つが頂点です。

O(0, 0): 0
P(6, 0): 6
Q(4, 4): 4 + 4k
R(0, 8): 8k

等しくなる k は次の三つです。

6 = 4 + 4k より k = 1/2
4 + 4k = 8k より k = 1
6 = 8k より k = 3/4

1. 0 < k < 1/2 のとき。6 > 4 + 4k かつ 6 > 8k だから、最大値は 6、最大点は P(6, 0) です。

2. k = 1/2 のとき。f(P) = 6、f(Q) = 4 + 2 = 6 で、P と Q は辺 PQ で結ばれています。辺 PQ は 2x + y = 12 の上にあり、その点で f = x + (1/2)(12 − 2x) = x + 6 − x = 6 です。最大値は 6、最大点は線分 PQ 上のすべての点です。

3. 1/2 < k < 1 のとき。4 + 4k > 6 かつ 4 + 4k > 8k だから、最大値は 4 + 4k、最大点は Q(4, 4) です。

4. k = 1 のとき。f(Q) = 8、f(R) = 8 で、Q と R は辺 QR で結ばれています。辺 QR は x + y = 8 の上にあり、その点で f = x + y = 8 です。最大値は 8、最大点は線分 QR 上のすべての点です。

5. k > 1 のとき。8k > 4 + 4k かつ 8k > 6 だから、最大値は 8k、最大点は R(0, 8) です。

最大点が辺全体になる k は 1/2 と 1 の二つです。k = 3/4 では f(P) = 6 と f(R) = 6 が等しいですが、P と R は辺で結ばれておらず、このとき最大は f(Q) = 7 です。等しい値の組だけを拾って辺と決めると、この k を誤って答えに加えます。辺かどうかは頂点の並びで決まり、最大かどうかは全頂点の比較で決まります。

よくある誤り：値の比較から点の集合を決める

誤答の形から見ます。例題2 に対して「頂点の値は 0、5、10、10。最大は 10 だから最大点は (4, 3)」と書く答案があります。最大値の 10 は正しいです。誤りは点を一つに絞ったところにあります。辺 CD の上でも値は 10 のままです。破綻するのは、目的式の係数の比と辺の方程式の係数の比が一致するとき、つまり等しい値の線が辺に重なるときです。例題2 では f = x + 2y と辺 CD の x + 2y = 10 が同じ比 1 : 2 で、線が辺に重なっています。

直し方は決まっています。頂点の値を並べて最大値 M を出し、M をとる頂点をすべて拾います。その中に辺で結ばれた組があれば、辺の方程式を書き、辺の点で目的式が一定になることを代入で示して、線分全体を答えます。例題2 なら、線分 CD 上の点を (4 − 4t, 3 + 2t) とおいて値が 10 になることを一行で示せば足ります。

別の誤答に「値が等しい頂点が二つあれば、その間はすべて最大」があります。例題4 の k = 3/4 では P の 6 と R の 6 が等しいですが、P と R は辺で結ばれておらず、そのときの最大は Q の 7 です。等しいことと最大であることは別の条件で、両方が成り立つところだけが辺全体になります。場合分けの答案では、等しくなる k と最大になる k を別の行に書き、重なる区間だけを辺とします。

三つめは「最大値は頂点の値の最大に等しい」から「最大点は頂点である」を導く誤りです。前半は正しく、後半が成り立ちません。値の話と点の話を分けて書くことが、この単元の答案の作法になります。

図3のように、等しい値の線が辺 CD に重なると、辺の両端だけでなく間の点もすべて最大になります。図では線が辺の外側へはみ出す部分も破線で示しました。領域と共有している部分が答えです。

練習問題

練習1（標準） 連立不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 7, x + 2y ≤ 10 の表す領域において、f = 3x + 2y の最大値と、最大点の座標を求めなさい。

練習2（標準） 連立不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, x + 3y ≤ 12 の表す領域において、f = x + 3y の最大値と、最大となる点の全体を求めなさい。

練習3（やや難） 連立不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 2y ≤ 12 の表す領域において、k を正の実数とします。f = x + k y の最大値と最大点を k の場合に分けて求めなさい。

練習4（やや難） 連立不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 7, x + 2y ≤ 10 の表す領域において、a を正の実数とします。f = a x + 2y の最大点がちょうど (4, 3) になるような a の範囲を求めなさい。

練習5（難） 連立不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 8, x + y ≤ 5, x + 2y ≤ 8 の表す領域において、k を正の実数とします。f = x + k y の最大値と最大点を k の場合に分けて求め、最大点が辺全体になる k をすべて求めなさい。

練習問題の答えと解き方

練習1 頂点は O(0, 0)、B(7, 0)、C(4, 3)、D(0, 5) の四つです。C は x + y = 7 と x + 2y = 10 の交点で、差をとると y = 3、x = 4 になります。値は f(O) = 0、f(B) = 21、f(C) = 12 + 6 = 18、f(D) = 10 です。最大値は 21 で、与える頂点は B だけです。辺の上でも超えないことを確かめます。辺 BC は x + y = 7 だから f = 3x + 2(7 − x) = x + 14 で、x は 4 から 7 まで動き、最大は x = 7 の 21 です。辺 CD は x + 2y = 10 だから f = 3x + (10 − x) = 2x + 10 で、x が 4 のとき 18 が最大です。辺 DA は x = 0 で f = 2y だから 10 以下です。答えは最大値 21、最大点 (7, 0) です。

練習2 頂点は O(0, 0)、B(6, 0)、C(3, 3)、D(0, 4) の四つです。C は x + y = 6 と x + 3y = 12 の交点で、差をとると 2y = 6 から y = 3、x = 3 です。値は f(O) = 0、f(B) = 6、f(C) = 3 + 9 = 12、f(D) = 0 + 12 = 12 です。最大値は 12 で、C と D の両方が与えます。C と D は辺 CD で結ばれ、その辺は x + 3y = 12 の上にあります。辺 CD 上の点 (3 − 3t, 3 + t) (0 ≤ t ≤ 1) で f = (3 − 3t) + 3(3 + t) = 3 − 3t + 9 + 3t = 12 となり、辺全体が最大になります。辺 BC では f = x + 3(6 − x) = 18 − 2x で、x は 3 以上 6 以下だから 12 以下です。答えは最大値 12、最大点は (3, 3) と (0, 4) を結ぶ線分上のすべての点です。

練習3 頂点は O(0, 0)、B(4, 0)、D(0, 6) の三つで、f の値は 0、4、6k です。等しくなるのは 4 = 6k、つまり k = 2/3 です。場合を分けます。(i) 0 < k < 2/3 のとき、4 > 6k だから最大値 4、最大点 B(4, 0) です。(ii) k = 2/3 のとき、f(B) = 4、f(D) = 4 で、B と D は斜辺 BD で結ばれています。斜辺は 3x + 2y = 12 の上にあり、その点で f = x + (2/3)y = (3x + 2y)/3 = 12/3 = 4 となります。最大値は 4、最大点は線分 BD 上のすべての点です。(iii) k > 2/3 のとき、6k > 4 だから最大値 6k、最大点 D(0, 6) です。斜辺の上で値が一定になるのは、係数の比 1 : k と 3 : 2 が一致する k = 2/3 のときだけです。

練習4 頂点は O(0, 0)、B(7, 0)、C(4, 3)、D(0, 5) で、値は 0、7a、4a + 6、10 です。最大点がちょうど C になるには、C の値が B の値と D の値のどちらよりも真に大きいことが必要です。

4a + 6 > 7a より a < 2
4a + 6 > 10 より a > 1

よって 1 < a < 2 です。この範囲では、辺 BC 上では x が 7 から 4 へ動くほど値が増え、辺 CD 上では x が 0 から 4 へ動くほど値が増えるので、どちらの辺でも C 以外の点は C より小さいです。辺 AB 上の値は 7a 以下で、7a < 4a + 6 です。辺 DA 上の値は 10 以下で、10 < 4a + 6 です。したがって C だけが最大点になります。a = 1 のときは f = x + 2y で C と D の値がともに 10 となり、最大点は線分 CD 上のすべての点です。a = 2 のときは C と B の値がともに 14 となり、最大点は線分 BC 上のすべての点です。両端の値は条件に含めません。

練習5 頂点は O(0, 0)、B(4, 0)、C(3, 2)、D(2, 3)、E(0, 4) です。C は 2x + y = 8 と x + y = 5 の交点、D は x + y = 5 と x + 2y = 8 の交点で、どちらも連立で得られます。f の値は 0、4、3 + 2k、2 + 3k、4k です。等しくなるのは次の三つです。

4 = 3 + 2k より k = 1/2
3 + 2k = 2 + 3k より k = 1
2 + 3k = 4k より k = 2

1. 0 < k < 1/2 のとき、最大値 4、最大点 B(4, 0) です。(ii) k = 1/2 のとき、B と C の値がともに 4 で、辺 BC は 2x + y = 8 の上にあります。その点で f = x + (1/2)y = (2x + y)/2 = 4 です。最大点は線分 BC 上のすべての点です。(iii) 1/2 < k < 1 のとき、最大値 3 + 2k、最大点 C(3, 2) です。(iv) k = 1 のとき、C と D の値がともに 5 で、辺 CD は x + y = 5 の上にあります。その点で f = x + y = 5 です。最大点は線分 CD 上のすべての点です。(v) 1 < k < 2 のとき、最大値 2 + 3k、最大点 D(2, 3) です。(vi) k = 2 のとき、D と E の値がともに 8 で、辺 DE は x + 2y = 8 の上にあります。その点で f = x + 2y = 8 です。最大点は線分 DE 上のすべての点です。(vii) k > 2 のとき、最大値 4k、最大点 E(0, 4) です。最大点が辺全体になる k は 1/2、1、2 の三つです。

覚えておくこと

• 最大値は、頂点での値のうち最大のものに等しくなります。
• 最大点は、M をとる頂点と、両端がともに M である辺の全体を合わせた集合になります。
• 係数に文字があるときは、頂点の値どうしが等しくなる文字の値を境目にして場合分けします。
• 等しい値が最大でないとき、頂点が辺で結ばれていないときは、辺全体を答えにしません。
• 辺の方程式と目的式の係数の比を見れば、等しい値の線が辺に重なるかを先に判断できます。

つまずきの見分け方

答案を見るときは、三つの点を順に確かめると速く見つかります。一つめは、頂点の座標をすべて書き出しているかです。境界の直線が三本以上あると連立の組み合わせが増え、書き漏らしが起きやすいです。二つめは、最大値を与える頂点をすべて拾っているかです。値の一覧を作らずに図だけで最大の角を決めると、同じ値の頂点を見落とします。三つめは、隣り合う頂点が同じ値のとき、辺の方程式を目的式へ代入して文字が消えることを示しているかです。

指導では、係数が数の例題で頂点の値を一覧にさせ、そのあとで同じ領域のまま係数だけを文字に変えます。等しくなる文字の値を求める式を自分で立てさせると、場合分けの境目がどこから来るのかがはっきりします。説明では、等しい値の線を一本引いて、それが辺に重なる場面を見せます。式では「辺の上で値が一定」、図では「線が辺に重なる」という二つの言い方が同じことを指していると伝えると、係数の比を見る判断が身につきます。