数検5級 一次方程式の数量文章題—何を文字にするか決めて条件に戻る練習｜武蔵野個別指導塾

袋の個数やリボンの合計を一次方程式で表します。負の個数や整数でない解が出た場合は、元の品物の条件から採用できるか判断します。

よくあるのは、受験者が方程式から負の個数を求め、そのまま答えとして書いてしまう場面です。計算が合っていても、箱に入った品物の個数が負になることはありません。式を作ったときの読み違いか、与えられた条件に合う個数がそもそも存在しない場合かを調べる必要があります。

個数と長さの文章題では、求める量を文字で表し、別の量との関係を式に移します。数検5級の2次の数理技能につながる、場面を読み取る練習です。答えを出すまでの計算と、答えが場面に合うかの判断を分けて考えましょう。速さや割合の問題には広げず、個数と長さの合計を扱います。

合計の文章から何を取り出すか

たとえば、同じ数ずつ入れた袋がいくつかあり、袋の外にも品物がある場面では、「1袋の個数 × 袋の数」に外の個数を足すと全体になります。1袋の個数を文字にすれば、掛け算と足し算を使って合計を表せます。袋の数を文字にする問題なら、同じ関係でも文字の置き場所が変わります。

別の型は、2種類の個数の合計がわかり、一方が他方より何個多いかがわかる場面です。少ない方を x 個とすれば、多い方は x に差を足した個数です。差をそのまま多い方の個数にするのではなく、基準の x を含めます。

長さをつなぐ型では、同じ長さの部分を何本か並べ、決まった長さの部分も加えて全体を表します。途中に重なりや切り落としがあるときは、その長さを加えるのか引くのかも条件から決めます。これらは考え方を練習するための自作の型で、出題を予告するものではありません。

どの型でも、等号で結ぶのは同じ量を別々の方法で表した両側です。「全部で」と書いてある数を見つけるだけでなく、そこに含まれる部分を確かめます。個数なら0を含む整数という条件も忘れずに持っておきます。

文字と数量の対応を先に決める

はじめに「何を x とするか」と単位を一緒に書きます。たとえば、同じ長さのひもが3本あり、さらに5 cmのひもを加える場面なら、1本の長さを x cm とします。3本の合計は 3x cm、5 cmを加えた長さは 3x + 5 cm です。x は3本分ではなく1本分なので、はじめにこの意味を固定します。

図1のように、同じ長さを表す区間を3つ並べ、決まった長さをその後ろに置きます。図は模式図で、3つの x が互いに等しいという関係を表しています。全体の長さが与えられれば、図の右端までの長さと、その数を等号で結べます。

図1では、x が何を表すかを文字の位置で確認できます。3x は x と3を足した長さではなく、x cmを3回合わせた長さです。5を加える前に、3本分ができているかを指で追うと、追加分まで3倍してしまう間違いに気づきやすくなります。

個数に使う文字は、通常0以上の整数です。さらに「少なくとも1個」「残りがある」と指定された場合は、その条件も重ねます。一方、切り分ける前のひもの長さのような量は、正の長さなら整数に限りません。単位と場面を見て、答えに許される範囲を決めます。

等号を使う前には、左右の単位をそろえます。個数と長さをそのまま等しくすることはできません。個数を使って長さを表す場合も、1本の長さと本数を掛け、両側が同じ単位になるようにします。式だけを眺めるのではなく、各項が何を数えているか言葉に戻すことが立式の点検になります。

式を立てる順番に迷ったら、まず「何を合わせると全体か」を日本語で書き、その言葉を式に置き換えます。3本分と追加分を合わせるなら「1本分 × 3 + 追加分」です。全体の長さがわかっていない段階では、3x + 5 という表現は作れても、等号の右側に具体的な数を置くことはできません。与えられた全体の値があって初めて方程式にできます。

また、同じ文字を使う以上、3本の x はそれぞれ同じ長さです。長さが異なる3本については、1本分を3倍するだけでは合計を表せません。「同じ長さ」「同じ個数」という条件がどこに書いてあるかを探し、使ってよい関係か確かめてから式を作ります。図は部分の並びを示す模式図で、長さを測って数値を決めるものではありません。

袋の中の個数を求める

問題：同じ個数の消しゴムが入った袋が4袋あります。袋の外には消しゴムが3個あり、全部で31個です。1袋に入った個数を、整数と単位を使って答えてください。

1袋に入った個数を x 個とします。袋の中の合計は x を4回合わせた 4x 個です。袋の外の3個は袋の中には含まれていないので、全体は 4x + 3 個になります。図2のように、袋の中と外を合わせた全体が31個です。

図2の4つの袋はそれぞれ同じ x 個を表し、右側の3個は袋の外にあります。全体を2通りに表して等号で結ぶと、次の方程式です。

4x + 3 = 31

左右から3を引いて、袋の中の合計を残します。

4x = 28

左右を4で割ると、1袋の個数になります。

x = 7

答えは 7個です。7は0以上の整数なので、個数として認められます。さらに問題の場面に戻し、4袋の中身が 7 × 4 = 28 個、外の3個を加えて 28 + 3 = 31 個になることを確かめます。袋ごとの個数も等しく、与えられた合計に一致します。

この点検には、別の役割が2つあります。式に代入して等号が成り立つかを調べると計算の間違いを見つけられます。実際の袋と外の個数に戻すと、式を作る段階で外の3個を落としたり、袋の数を取り違えたりした誤りも探せます。式の正しさと計算の正しさは、別々に確かめましょう。

もし 4(x + 3) = 31 と書くと、外の3個を各袋に加えたうえで4倍したことになります。問題の3個は袋の外にまとめてあるため、その式の表す場面は元の条件と異なります。括弧の内側に何が入っているか、図と照らすと違いが見えます。

長さの差を使って全体を表す

問題：2本のリボンの長さの合計は46 cmです。長い方は短い方より8 cm長いとします。それぞれの長さを、整数と cm を使って答えてください。

短い方を x cm とします。長い方は8 cmではなく、短い方に8 cmを足した x + 8 cm です。2本を合わせると46 cmなので、次の式を立てます。

x + (x + 8) = 46

同じ種類の項をまとめます。

2x + 8 = 46

両辺から8を引きます。

2x = 38

両辺を2で割ります。

x = 19

短い方は 19 cm、長い方は 19 + 8 = 27 cm です。どちらも正の長さです。元に戻すと 19 + 27 = 46 cm で合計に合い、27 − 19 = 8 cm で長さの差にも合います。答えは短い方19 cm、長い方27 cmです。

考え方の分かれ目は、8 cmをどの量と見るかです。これは2本の差なので、一方の長さとして単独で使いません。また x は短い方に決めたので、x = 19 で終えると長い方を答え落とします。求めるものが2つある問題では、式を解いた後にもう一方を計算し、合計と差の両方に戻して点検します。

長い方を先に y cm と置く方法もあります。その場合、短い方は y − 8 cm で、y + (y − 8) = 46 です。文字に選ぶ量が違っても、差の向きを正しく表せば同じ2本にたどり着きます。途中式が違うことだけで誤りと決めず、文字の意味と条件の対応を見ましょう。

負の個数が出たら何を直すか

次の条件を調べます。同じ個数のカードが入った封筒が3通あり、封筒の外に10枚あります。全部で7枚という条件を満たす、1通あたりの枚数を0以上の整数で求めます。

1通に x 枚と置くと、式は 3x + 10 = 7 です。計算すると 3x = -3、x = -1 になります。「答えは -1枚」とするのは誤りです。封筒の中身を負の枚数にはできないからです。

図3のように、封筒の外の10枚だけで、指定された全体の7枚を超えています。封筒に0枚以上入れるという条件では、封筒の分を加えた全体は10枚以上です。したがって、この条件を満たす枚数はありません。

図3の比較は、答えが負になった原因を場面から確認するためのものです。まず文章を読み直し、外の10枚と全体の7枚を取り違えていないか、封筒が3通あることを式に反映したかを調べます。それでも式が条件に合っていれば、無理に正の数へ直さず「条件を満たす個数はない」と判断します。

計算途中の符号を誤って負になる場合もあります。たとえば 3x + 10 = 19 なら、両辺から10を引くと 3x = 9 です。19 − 10 を逆向きに計算すると負になりますが、正しくは x = 3 です。3通に各3枚と外の10枚を合わせると19枚になり、場面にも合います。負の解を見たら、読み違い、計算間違い、条件自体が満たせない場合を順に分けます。

端数も同様です。方程式として正しい解でも、カードを切らずに数える条件で 2.5枚という答えは採用できません。整数に丸めれば合計が変わるため、近い整数を試して勝手に答えとしないでください。長さでは小数が許されることもあるので、個数の場合と区別して判断します。

自分で取り組む4問

問題1から4はそれぞれ独立した条件です。個数は0以上の整数とし、条件に合う答えがない場合は、その理由も書いてください。まず4問を解いてから、下の解答と比べましょう。

1. 同じ数のビー玉が入った箱が5箱あり、箱の外に2個あります。全部で42個です。1箱の個数を整数と単位で答えてください。
2. 2本の棒の長さの合計は54 cmです。長い棒は短い棒より6 cm長いとします。それぞれの長さを整数と cm で答えてください。
3. 同じ枚数のシールが入った袋が4袋あり、袋の外に9枚あります。全部で5枚という条件を満たす1袋の枚数を整数と単位で答えてください。
4. 同じ本数の鉛筆が入った箱が3箱あり、箱の外に1本あります。全部で11本という条件を満たす1箱の本数を整数と単位で答えてください。

解答と確かめ

1. 1箱を x 個とすると 5x + 2 = 42 です。両辺から2を引いて 5x = 40、5で割って x = 8 です。答えは 8個です。実際に5箱で 8 × 5 = 40 個、外の2個を加えて42個となり、条件に戻ります。8は個数として許される整数です。

2. 短い棒を x cm とすると長い棒は x + 6 cm です。x + (x + 6) = 54 から 2x = 48、x = 24 となります。長い棒は 24 + 6 = 30 cm なので、答えは短い棒24 cm、長い棒30 cmです。24 + 30 = 54 cm、30 − 24 = 6 cm と、合計と差の両方を確かめられます。長さも正です。

3. 1袋を x 枚とすると 4x + 9 = 5 です。4x = -4、x = -1 と求まりますが、負の枚数は認められません。外の9枚だけで全体の5枚より多いため、袋に0枚以上を加えて5枚にはできません。答えは「条件を満たす枚数はない」です。計算の解を枚数の答えにしないことが、この問題の判断です。

4. 1箱を x 本とすると 3x + 1 = 11、3x = 10、x = 10/3 です。式を満たす数は整数ではなく、鉛筆を本数として数える条件に合いません。3本ずつなら 3 × 3 + 1 = 10 本、4本ずつなら 3 × 4 + 1 = 13 本です。箱の本数が0以上の整数なら合計は3本ずつ増えるので、その間の11本にはなりません。答えは「条件を満たす本数はない」です。

3と4は、式を解けたことと、条件に合う答えがあることを区別する練習です。3は負の解、4は整数でない解が出ます。どちらも近い数へ変えるのではなく、元の個数に戻して存在しない理由まで説明します。

覚えておくこと

何を文字にするか、単位とともに決めます。
合計を2通りに表し、同じ量を等号で結びます。
方程式の解が個数や長さの条件に合うか調べます。
答えを元の場面へ戻し、合計や差を確かめます。

つまずきを見分ける問いかけ

個別指導で確かめたいのは、答えの数字を言えるかだけではありません。「x は1袋分と全部のどちらですか」「外の品物は何回足しますか」と聞き、図のどこを式の各項が表すか本人に示してもらいます。式の前に迷うなら、文字を置く量と、わかっている量を別々に書くところへ戻ります。

式は立つのに負の答えを受け入れる場合は、0個入れたときの合計と問題の合計を比べてもらいます。端数の場合は、前後の整数で元の合計を計算し、本数が整数で変わる理由を言葉にします。保護者がお子さまに尋ねるときも、「間違い」と先に伝えるより、どの条件に戻して確かめたかを聞くと、立式と判断のどちらで迷ったか見えます。

答えが条件に戻るまで考えると、数量文章題の式は場面を説明する道具になります。