数検5級 一次方程式の速さ—道のりと時間の表から関係を式にする練習｜武蔵野個別指導塾

分と時間の単位をそろえ、追いつきと出会いの道のりを表にまとめます。誰の出発から測った時間かを明記することが、立式の手掛かりです。

よくあるのは、受験者が分と時間を混ぜたまま立式する場面です。時速で進む道のりを出すのに、かかった時間の欄へ分の数をそのまま入れると、道のりが実際より大きくなります。式を解く前に、速さが何の単位で表されているかを見ましょう。

道のり、速さ、時間を表に並べると、何を掛けるか、どの道のりが等しいかを見つけやすくなります。ここでは一定の速さで動く追いつきと出会いを扱います。途中で速さが変わる場合は、それぞれの区間に分けて考える必要があります。

二人の位置をどの関係で結ぶか

速さの文章題には、同じ場所を出て後から追う型があります。先に出た人と後に出た人が追いつくとき、出発点からの道のりは等しくなります。一方、二人が同時に別々の場所から向かい合って進む型では、出会うまでの二人の道のりの和が、最初の間隔に等しくなります。

もう一つは、同じ方向に進む二人の間に最初から間隔がある型です。後ろの人の道のりから前の人の道のりを引くと、最初の間隔になります。どの型も、等号の両側が同じ量を表すことを確かめてから計算します。

出発時刻が違うと、二人が動いた時間も違います。追う人の出発から x 分と置けば、先に出た人の時間には、その人が先に進んだ分を足します。出会いの問題で同時に出発するなら、出会うまでの時間は二人とも同じです。問題文の「同時」「後」「向かい合う」に印を付け、どこからどこまでを測るかを決めましょう。

表に入れる前に単位をそろえる

道のりは、一定の速さに進んだ時間を掛けて求めます。時速は1時間あたり、分速は1分あたりに進む道のりです。時速を使うなら時間を時間単位に、分速を使うなら時間を分単位にそろえます。1時間は60分ですから、例えば15分は15/60時間、つまり1/4時間です。

図1のように、時速4 kmで15分進む場合は、時間を1/4時間として掛けます。表のそれぞれの欄に単位を添えると、4に15を直接掛ける誤りを避けやすくなります。分速に直す方法でも同じ道のりになりますが、まず一つの方法で最後まで単位をそろえましょう。

図1の表では、速さと時間を掛けた結果が道のりです。例えば道のりをmで表したいなら、最後に1 kmを1000 mとして直します。逆に、mで表した道のりと時速のkmをそのまま等号で結ぶことはできません。

文字を置くときは、何の出発から何までの時間なのか、単位まで書きます。「xを時間とする」だけでは、どちらの人の時間か迷います。表の各行は一人ずつ、列は速さ、時間、道のりに分けます。追いつきの地点を共通の目印にすると、同じ出発点からの道のりを比較できます。

表を作るときの順番

問題文を読んだら、まず道のりの単位と速さの単位に丸を付けます。kmとmが混在していれば、どちらかに統一します。次に、二人がどこを出てどの向きへ動くかを線の上に書きます。出発点が同じか違うかで、道のりを等しくするのか、和や差を使うのかが変わります。

続いて、文字を一つ選びます。求められている時間をそのまま文字にすると、最後の換算以外の作業を減らせます。ただし、先に出た人を基準にしてもかまいません。その場合、後から出た人が動いた時間を、先に出た人の時間から出発の差を引いて表します。どちらの置き方でも、追いつく時点より前に後の人が出発していることを確かめます。

表には、わかっている速さから先に記入します。次に各人の時間を書き、最後に速さと時間の積を道のりの欄に入れます。空欄が残るからといって数字を推測する必要はありません。文字のままの欄を使い、文章中の距離の関係から等式を作ります。

答えが場面に合わないとき

方程式を解いて負の時間が出た場合、そのまま「何分後」の答えにはできません。文字が表す時点より前を意味するからです。条件の読み違いや符号を確認し、問題の設定によっては、その時点以後に追いつかないことも考えます。例えば後ろの人が前の人より遅く、同時に同じ向きへ進むなら、初めの間隔は縮まりません。

計算の途中で分数が出ても、すぐに誤りとは限りません。時間を時間単位で置いたなら、分に直すと整数になる場合があります。逆に、整数に直そうとして勝手に丸めると、出会う地点が一致しなくなります。問題の答えの形を見て、必要な単位に直してから確認します。

距離の式が同じ単位になっているかも確認します。左辺がmで右辺がkmなら、そのまま等号で結べません。条件をそろえた後に式を解けば、答えを距離へ戻す確認も進めやすくなります。

基本例題：後から出て追いつく

同じ道の同じ場所から、Aさんが分速60 mで歩き始めました。8分後にBさんが分速100 mで同じ向きに歩き始め、Aさんに追いつきます。二人はそれぞれ一定の速さで進みます。Bさんが出発してから追いつくまでの時間を、分を単位とする整数で求めてください。

まず、Bさんの出発から追いつくまでを x 分とします。AさんはBさんより8分早く出ているので、追いつくまでに x + 8 分歩きます。出発点と追いつく地点は二人に共通ですから、二人の道のりは等しくなります。

図2のように、先に出たAさんの時間に8分を加えます。速さはどちらも分速なので、時間を分で表したまま掛けられます。道のりを等しく置いて式を解きます。

60(x + 8) = 100x

60x + 480 = 100x

480 = 40x

x = 12

答えはBさんの出発から12分です。Aさんが動いた時間を聞かれた場合には、8分を足して20分と答えます。文字が表す時間と、問題が求める時間を最後に照合しましょう。

図2の二つの道のりに戻して確かめます。Aさんは60 × 20 = 1200 m、Bさんは100 × 12 = 1200 mです。同じ地点までの距離が一致し、Aさんの時間はBさんより8分長くなっています。時間も正なので、この場面の答えとして適切です。

式を解いて12が出た後に、60 × 12と100 × 12を比べると一致しません。これは答えの失敗ではなく、AさんにもBさんと同じ時間を使った確認の失敗です。表に戻り、誰の時間に8分を足したかを見直します。

少し難しい例題：向かい合って出会う

P地点とQ地点は3 km離れています。二人が同時にそれぞれの地点を出発し、互いに向かって一定の速さで進みます。Pからの人は時速4 km、Qからの人は時速5 kmです。出会うまでの時間を分を単位とする整数で求めてください。

二人が同時に動くので、出会うまでの時間は同じです。ここで分を文字にしてもよいのですが、速さが時速なので、出会うまでを x 時間と置きます。道のりはPからが4x km、Qからが5x kmです。向かい合って進むので、二人の道のりを足すと、地点間の3 kmになります。

4x + 5x = 3

9x = 3

x = 1/3

これは1/3時間です。1時間は60分なので、60 × 1/3 = 20分です。答えは20分です。ここで1/3をそのまま分として書くと、文字の単位を取り違えます。

場面へ戻すと、Pからは4/3 km、Qからは5/3 km進みます。和は9/3 = 3 kmで、最初の距離に一致します。どちらも同じ1/3時間進んでいるため、同時に出会う条件も満たします。追いつきでは共通の出発点からの道のりを等しく置き、ここでは別々の出発点からの道のりを足します。この違いは進む向きと出発点を図にして確かめられます。

誤答を手掛かりに直す

次の場面で、何が間違ったかを考えます。一定の速さで時速6 kmの人が30分進むとき、道のりを求める問題です。誤って6 × 30 = 180として、180 kmと答えたとします。

図3のように、30分を30時間として掛けたことが原因です。速さの「時」は1時間を基準にしているので、30分は30/60 = 1/2時間に直します。正しくは6 × 1/2 = 3で、道のりは3 kmです。

図3では、同じ30分を異なる単位で表しています。3 kmを時速6 kmで進む時間に戻すと、3 ÷ 6 = 1/2時間、すなわち30分です。元の条件へ戻るかを調べると、単位の間違いを見つけられます。

もう一つの失敗は、追いつきで先に出た人の時間を x − 8 とすることです。後から出た人を基準にしたなら、先に出た人はその分だけ長く動いています。文字の定義を読み直し、出発から追いつくまでの時間を横に並べると、足す向きが決まります。

出会いで二人の道のりを等しいと置くのも注意が必要です。同時に進んでも速さが異なれば、進む距離は異なります。等しいのは出会うまでの時間であり、道のりの和が最初の間隔です。式が解けても、和を元の間隔へ戻せなければ、等号の意味からやり直します。

練習問題

いずれも一定の速さで進むものとします。答えは指定された単位の整数で書き、式と元の条件に戻す確認も残してください。

1. 時速8 kmで45分進みます。道のりをkmで求めてください。
2. 同じ地点からCさんが分速50 mで出発し、6分後にDさんが分速80 mで同じ向きに出発します。DさんがCさんに追いつくのは、Dさんの出発から何分後ですか。
3. 840 m離れた二地点から、二人が同時に互いに向かって進みます。速さはそれぞれ分速60 mと分速80 mです。出会うまで何分か求めてください。
4. 同じ向きに進む二人の間隔は最初400 mです。前の人は分速40 m、後ろの人は分速90 mで同時に進みます。後ろの人が追いつくまで何分か求めてください。

練習の答えと確認

1. 45分は45/60 = 3/4時間です。道のりは8 × 3/4 = 6 kmです。6 ÷ 8 = 3/4時間で、60を掛けると45分に戻ります。分の数を直接掛けていないか、速さの単位を先に見ます。

2. Dさんが出発してから x 分とします。Cさんは x + 6 分、Dさんは x 分進みます。同じ出発点から追いつく地点までの道のりが等しいので、50(x + 6) = 80x です。整理すると300 = 30x、x = 10です。答えは10分後です。Cさんは16分で800 m、Dさんは10分で800 m進みます。出発時刻の差も6分に戻ります。

3. 出会うまでを x 分とすると、二人の道のりは60x mと80x mです。向かい合うので60x + 80x = 840、140x = 840、x = 6です。答えは6分です。60 × 6 = 360 m、80 × 6 = 480 mで、和は840 mになります。二人の距離を等しいと置かず、和を使う場面です。

4. 追いつくまでを x 分とします。前の人の進む距離は40x m、後ろの人は90x mです。後ろの人は初めに400 m後方にいるので、90x = 400 + 40x と置けます。50x = 400より x = 8、答えは8分です。前の人は320 m、後ろの人は720 m進み、差は400 mです。出発点が違うため、二人の道のりをそのまま等しくしないことがわかります。

覚えておくこと

• 道のりは速さ × 時間で求め、単位をそろえます。
• 文字が表す人、出発時点、時間の単位を明記します。
• 追いつきは出発点を見て、等しい道のりか距離の差を使います。
• 向かい合う出会いは、二人の道のりの和を間隔に結びます。
• 答えを元の場面に戻し、時間差と距離を確かめます。

つまずいた場所を見分ける

計算の答えが合わないときは、最初から式を直す前に表を見ます。速さと時間の単位が合わないなら換算を、時間の差が逆なら出発時刻の並びを、等号の両側が異なる量なら地点の図を見直します。どの行で意味が変わったかを言葉にすると、次の問題で直す箇所が見えます。

個別指導では、お子さまに「xは誰のいつからいつまでか」「等号の両側は何の距離か」を説明してもらいます。式を解く操作ができても、場面に戻すと距離が合わない場合は、図と表の対応を再確認します。反対に立式が正しく計算で止まった場合は、移項や割り算の途中を一行ずつ追います。追いつく地点を共通の目印にすると、式の意味が見えてきます。