数検5級 比例式と割合の文章題—比の対応をそろえて元の量を確かめる練習｜武蔵野個別指導塾

満水の60%にあたる水の量から、基準となる満水量を逆算します。比で分けた二つの長さも、合計と比の両方へ戻して確かめてみましょう。

よくあるのは、受験者が割合の基準になる量を取り違える場面です。「水そうの水が、満水の60%にあたる」と読んだとき、いまの水の量を100%として計算を始めると、求めたい満水の量との関係が逆になります。どの量を1と見るかを決めれば、文章を式に移す道筋が見えてきます。

比や割合は、数を並べる順番にも意味があります。ここでは比例式、比による配分、割合から基準量を求める問題を、自作の数値で練習します。答えを出した後は元の条件に戻して、式を立てた段階から確かめます。

どの量とどの量を比べるか

出方の型の1つは、対応する2組の比から未知の数を求める型です。たとえば赤と青の長さの比が2:3で、赤が8 cmなら、青をx cmとして2:3 = 8:xと置けます。左も右も赤、青の順に並べたので、対応が崩れません。比の前と後を同時に入れ替えれば3:2 = x:8としても同じです。

もう1つは、合計を決まった比に分ける型です。比の数は実際の個数や長さそのものとは限らず、等しい大きさの部分が何個分かを示します。合計を比の数の和で割り、1個分を求めてからそれぞれの個数分に戻します。

3つ目は、ある量が基準量の何%かを使う型です。比べられる量がわかっていて基準量が未知なら、基準量に割合を掛けた結果が既知の量になるように式を立てます。どの型でも、数字が現れた順に計算する前に、同じものを指す位置をそろえることが出発点です。

比と割合を図で対応させる

比 a:b は、2つの量を同じ単位で比べた関係です。たとえば2:3は、同じ大きさの部分が前に2個、後に3個ある関係です。実際の量は4と6でも10と15でもよく、両方を同じ正の数で掛けたり割ったりしても比は変わりません。比を書く前に単位が違えば、同じ単位に直します。

図1のように、赤い帯を2つ分、青い帯を3つ分に分けます。1つ分の幅は同じです。赤が8 cmなら1つ分は4 cmなので、青は12 cmです。このとき赤:青 = 2:3 = 8:12と、量の名前を同じ順に置けます。反対に赤:青 = 2:3 = 12:8と書くと、赤と青の対応が入れ替わります。

図1の帯は、合計を分けるときにも役立ちます。全部で5つ分なので、合計が20 cmとわかれば1つ分は20 ÷ 5 = 4 cmです。赤はその2つ分、青は3つ分です。合計に対する赤の割合は2/5で、赤に対する青の比3/2とは基準が違います。

割合では、比べる土台を基準量と呼びます。比べられる量 = 基準量 × 割合です。割合が60%なら、100分の60、つまり0.6として掛けます。基準量を100%とするので、基準量の60%はその0.6倍です。「満水の量の60%」なら、「の60%」の前にある満水の量が基準です。何を100%とするかを読み取ってから式に使います。

比例式 a:b = c:d では、対応をそろえたうえで a × d = b × c が成り立ちます。外側同士と内側同士の積が等しいという性質です。ただし、この計算の前に並べる順序を確認します。計算が正しくても、対応を逆にした式からは元の条件に合う答えが得られません。

基本例題：満水を基準にする

水そうに水が18 L入っています。これは満水の量の60%です。満水の量は何Lですか。整数で答えなさい。

図2のように、満水を1本の帯とし、その60%の部分に18 Lを対応させます。満水の量をx Lとすると、xの0.6倍が18です。18 Lが60%にあたり、x Lが100%にあたることを、式を書く前に確認します。

式と計算を順に書きます。

満水の量 × 0.6 = 入っている水の量

0.6x = 18

x = 18 ÷ 0.6

x = 30

答えは30 Lです。図2の帯で見れば、18 Lは満水より短い部分なので、満水の量は18 Lより大きいはずです。18に0.6を掛けた10.8 Lを満水とすると、部分より全体が小さくなるため、この場面の60%には合いません。

比を使っても同じ結果が出ます。満水:いまの水 = 100:60なので、x:18 = 100:60です。外側と内側を掛けると60x = 1800となり、x = 30です。百分率の順と量の順をどちらも「満水、いまの水」にそろえています。式の位置に迷ったら、数字の上にそれぞれの量の名前を書きます。

元の場面で確かめます。満水が30 Lなら、その60%は30 × 0.6 = 18 Lです。与えられた水の量と一致します。計算結果を方程式に戻すだけでなく、30 Lを満水として文章を読み直すことで、基準の選び方も点検できます。

割合が100%を超える問題では、比べられる量が基準量より大きくなります。大小の見当は割合によって変わるため、「未知の量は必ず大きい」と覚えず、何%にあたるかを帯の長さに戻して判断します。

立式の前に確認すること

同じ水そうでも、「満水より18 L少ない」とあれば18 Lは不足分です。「満水の60%にあたる」とは別の関係なので、割合を掛ける位置も変わります。文章の中の数値に線を引くだけでなく、その数値が水の量、足りない量、割合のどれを表すのかを横に書いてみます。単位がLの量と単位を持たない割合を区別すると、何を求める計算かが見えます。

また、満水の量が先にわかり、入っている水を求める問題なら、基準量に0.6を掛けます。今回のように掛けた結果がわかっている問題では、逆に0.6で割ります。同じ場面でも、未知の位置によって必要な操作が変わるので、掛け算か割り算かを文章の見た目だけで決めないことが大切です。

たとえば満水が50 Lで水がその60%なら、入っている水は30 Lです。反対に水が30 Lで、それが満水の60%なら、満水は30 ÷ 0.6で50 Lに戻ります。掛け算と割り算が互いに逆の操作になっていることを、具体的な量でたどれます。どちらの場合も50 Lが100%、30 Lが60%に対応する点は変わりません。

答えの見当と単位

60%は全体の半分より多く、全体より少ない割合です。したがって18 Lを2倍した36 Lより満水は少なく、18 Lよりは多くなると予想できます。30 Lはその間にあります。この見当は計算の代わりにはなりませんが、桁や掛け算の向きを誤ったときに見直す手掛かりになります。

単位も最後まで追います。18 Lを0.6で割ると、求まる量は満水の容量なのでLです。割合を小数に直した0.6にはLという単位を付けません。求めた数の横に何の量かを書くと、満水と現在の水を答えの段階で取り違えることを防げます。

少し難しい例題：合計から比で分ける

リボンを赤と青に分けます。赤と青の長さの比は3:5で、合計は64 cmです。赤と青はそれぞれ何cmですか。整数で答えなさい。

赤の3と青の5を足すと、合計は等しい部分の8個分です。1個分をx cmと置くと、赤は3x cm、青は5x cmです。合計が64 cmという条件から、次の方程式になります。

3x + 5x = 64

8x = 64

x = 8

したがって赤は3 × 8 = 24 cm、青は5 × 8 = 40 cmです。ここでxは赤の長さそのものではなく、比の1個分です。求める量を最後に3倍、5倍するところまで進みます。

赤を直接x cmと置く方法もあります。このとき青は64 − x cmなので、x:(64 − x) = 3:5です。対応する積から5x = 3(64 − x)、つまり8x = 192となり、赤は24 cmです。どちらの置き方でも、文字が何を表すかを書いておけば途中で混同しません。

場面に戻すと、24 + 40 = 64 cmで合計が一致します。また24:40は両方を8で割って3:5です。合計だけ、または比だけが合っていても条件を満たしたとはいえないので、両方を調べます。長さは正であり、指定された整数の形にも合っています。

誤った式を直す

基本例題で、18 Lの60%を計算し、18 × 0.6 = 10.8 Lを満水の量と答えたとします。計算自体は正しいものの、18 Lを基準にしてしまった点が誤りです。問題の「満水の量の60%」は、満水を基準にして18 Lを比べるという意味です。

図3のように、誤った考えでは18 Lの帯を100%として、その60%を求めています。正しくは、未知の満水の帯を100%とし、その60%に18 Lを置きます。同じ0.6でも、どの量に掛けるかで表す関係が変わります。

修正するときは、まず100%の位置を満水に移します。次に60%の位置へ18 Lを書き、満水をx Lとして0.6x = 18と立て直します。答えの30 Lを使い、30 × 0.6が18 Lに戻るかを調べます。もし10.8 Lを満水とすると、その60%は6.48 Lであり、18 Lという条件に戻りません。

比の式でも似た間違いが起きます。赤:青 = 2:3で赤が8 cmの場合、2:3 = x:8とすると、xを赤の位置に置きながら8を青の位置に置いてしまいます。未知の青をxと決めたなら2:3 = 8:xです。積の計算に進む前に、それぞれの位置に赤と青の名前を添えると、対応のずれを直せます。

また、合計を比で分けるとき、合計を比の差で割ると別の量を求めてしまいます。3:5の差の2個分は青と赤の差であり、合計ではありません。何個分が与えられたかを帯で囲んでから割る数を決めましょう。

練習問題

次の問題はそれぞれ独立しています。式を立て、答えを元の条件に戻して確かめてください。

1. 黄色と緑のひもの長さの比は4:7です。黄色が12 cmのとき、緑は何cmですか。整数で答えなさい。
2. 72個の玉を姉と弟に5:3の比で分けます。姉と弟はそれぞれ何個ですか。整数で答えなさい。
3. 容器に入った粉は、容器に入る満量の40%にあたり、120 gです。満量は何gですか。整数で答えなさい。
4. 昨日の読書時間を基準にすると、今日の読書時間はその150%で45分でした。昨日の読書時間は何分ですか。整数で答えなさい。

答えと解き方

1. 緑をx cmとすると、黄色:緑の順に4:7 = 12:xです。4x = 7 × 12 = 84なので、x = 21です。答えは21 cmです。12:21を3で割ると4:7となり、黄色が12 cmという条件にも合います。比の1個分を12 ÷ 4 = 3 cmとして、緑を3 × 7と求めても同じです。

2. 比の合計は5 + 3 = 8個分です。1個分は72 ÷ 8 = 9個なので、姉は5 × 9 = 45個、弟は3 × 9 = 27個です。答えは姉45個、弟27個です。45 + 27 = 72個で、45:27を9で割ると5:3です。どちらも負でない整数なので個数の条件にも合います。

3. 満量をx gとすると、満量の40%が120 gなので0.4x = 120です。x = 120 ÷ 0.4 = 300となり、答えは300 gです。300 × 0.4 = 120 gで元の条件に戻ります。120 gは満量の半分より少ないため、満量が120 gより大きいことも自然です。

4. 昨日の時間をx分とすると、150%は1.5倍なので1.5x = 45です。x = 45 ÷ 1.5 = 30となり、答えは30分です。昨日が30分なら今日の時間は30 × 1.5 = 45分です。150%は100%を超えるので、今日の45分が昨日より長くなることも条件と合います。

覚えておくこと

• 比例式は対応する量を同じ順に並べます。
• 比で合計を分けるときは、比の数の和が合計の何個分かを示します。
• 比べられる量 = 基準量 × 割合です。
• 答えを量と単位に戻し、元の条件を確かめます。

つまずいた場所を見分ける

式が違ったときは、先に計算をやり直すより、何を基準にしたかをたずねます。お子さまが18 Lに0.6を掛けた場合は、「満水の量の60%」の満水と18 Lをそれぞれ帯のどこに置くか、本人に示してもらいます。位置を正しく置けるのに式が違うなら、帯と掛け算を結ぶ段階を確認します。

比の配分でつまずく場合は、比の数の和が合計に対応する理由を説明してもらいます。1個分を出せても、それを求める量と取り違える場合は、文字の意味と単位を計算の横に書き直します。個別指導では答えだけで判断せず、条件に戻すまでのどの判断で迷ったかを確かめます。基準と対応が決まれば、比例式は文章に戻して検証できます。