数検5級 直角座標—横と縦の順を守って負の座標を読み取る練習｜武蔵野個別指導塾

点の位置を横、縦の順にたどり、軸上の0や象限を読み分けながら直角座標を身につけます。

よくあるのは、受験者が座標の二つの数を逆に打つという場面です。画面や解答欄に数を入れるとき、どちらも正しい数なのに順番が入れ替わると、別の位置を表してしまいます。点を見つけたときに、目についた縦の数から書き始めると起こりやすい間違いです。

直角座標では、横の位置を先、縦の位置を後に書きます。負の数を含む点や軸上の点でも、この約束は変わりません。座標を読むことと、座標から点を描くことを往復し、順序と符号の両方を確かめましょう。

点の位置をどう答えるか

出方の型の一つは、座標平面に示された点について、横と縦の数を読み取る問題です。点からそれぞれの軸へまっすぐたどり、目盛りと符号を調べます。軸に数がすべて書かれていない場合は、隣り合う目盛りの間隔を先に確かめます。

二つ目は、与えられた座標の点を平面上に描く問題です。原点を出発点として、先の数に合わせて横に、後の数に合わせて縦に進みます。途中で方向を変える場所と、最後に点を打つ場所を区別すると、軸上に点を残す間違いを防げます。

三つ目は、点がどの象限にあるか、あるいは軸上にあるかを判断する問題です。符号の組を使えば位置を見通せますが、0が含まれるときは象限に入れません。ここで扱うのは点の位置と象限です。点と点を結んだ長さを距離の公式で求める話には進みません。

どの型でも、答えを書いて終わりにせず、得られた組から元の点に戻れるかを確かめます。読み取りと描画は互いの確認に使えるからです。図に矢印や補助線を加えるときも、実際の点と区別できるように薄く描いておきましょう。

横と縦を決める約束

直角に交わる二つの数直線で平面上の位置を表します。横の数直線をx軸、縦の数直線をy軸と呼び、その交点を原点といいます。通常は横の右向きと縦の上向きを正とし、左向きと下向きを負とします。原点は両方の軸の0にあたります。

点の座標は (x座標, y座標) の順に書きます。たとえば横が-3、縦が2の点なら (-3, 2) です。原点から左へ3目盛り、そこから上へ2目盛り進んだ位置になります。点からx軸に垂直に下ろした先が-3、y軸に水平にたどった先が2と読んでも同じです。

図1のように、横と縦の数を別々に軸へ対応させると、先にどちらを書くかが見えます。座標の括弧は一組の位置を表し、二つの数を足す記号ではありません。横の数にマイナスが付いていれば左、縦の数にマイナスが付いていれば下です。

図1の点から原点へ直接斜めに戻って目盛りを数えるのではありません。点と各軸を平行な線で結び、軸の数を読みます。二つの軸の目盛り幅が図によって異なることもあるので、それぞれの軸で単位を確かめてください。

二つの軸は平面を四つの部分に分けます。右上が第1象限、左上が第2象限、左下が第3象限、右下が第4象限です。原点のまわりを右上から反時計回りに数えます。順に符号を書くと、横と縦が (+, +)、(-, +)、(-, -)、(+, -) です。

軸そのものはどの象限にも含めません。横の数が0なら点はy軸上、縦の数が0ならx軸上です。両方が0なら原点です。0を正や負とみなして象限を決めないことも、符号を読むときの大切な約束です。

座標を読むとき、軸までたどる補助線の向きにも注意します。x座標を調べるなら点から縦に進んでx軸へ、y座標なら点から横に進んでy軸へ向かいます。x軸が横だから点からも横へ進む、と考えると、読む先の軸を取り違えます。補助線と読む軸は直角に交わります。

目盛りには数字が一つおきに付いている図もあります。そのときは数字の差を間の目盛りの数で割り、1目盛りの値を決めます。たとえば隣り合う数字の差が4で、その間が2目盛りなら、1目盛りは2です。原点からの目盛りの数をそのまま座標にしないで、軸の単位を先に見ます。

基本例題: 点を読み、同じ点を描く

問題。横軸と縦軸は1目盛りを1とします。点Aは原点から右に4、下に2の位置にあります。Aの座標を整数の組で書き、別の座標平面にその座標の点を描いてください。あわせて、Aがある象限を答えましょう。

まず横の移動を見ます。右に4なので、x座標は4です。左ではないので、ここに負の符号は付きません。次に縦を見ます。下に2なので、y座標は-2です。下向きに数えた目盛りの個数は2でも、座標としては符号を付けて-2と書きます。

横の数を先、縦の数を後に並べます。

横: 4

縦: -2

したがって、Aの座標は (4, -2) です。括弧の中に二つの数を書き、間をコンマで区切ります。図2のように、描き直すときは原点から右へ4進み、その位置から下へ2進んで点を打ちます。

図2では横に進んだ後の位置はまだx軸上です。そこを答えの点にせず、縦に進んだ終点にAを書きます。座標はあくまで終点の位置を表しているためです。先に縦へ進んでから横へ進んでも終点は同じですが、座標を書く順番は変わりません。

Aは右下にあり、横が正、縦が負です。よって第4象限にあります。座標から描いた点をもう一度軸へたどると、横は4、縦は-2です。元の「右に4、下に2」という条件へ戻るので、位置も符号も一致します。

もし (4, 2) と書いた場合は右上に点が移ります。数字の大きさは同じでも、縦の符号が変わると元の点には戻れません。また (-2, 4) は左上にあり、横と縦を交換した位置です。二つの確認はそれぞれ、符号の間違いと順序の間違いを見つけるために役立ちます。

少し難しい例題: 条件から点を絞る

問題。点Bのx座標とy座標はそれぞれ整数で、その絶対値はどちらも3です。Bは第2象限にあります。Bの座標を整数の組で答えてください。また、Bからy軸まで水平に進むときの目盛りの数を答えましょう。両軸とも1目盛りを1とします。

絶対値が3という条件から、それぞれの座標は3か-3です。ここで絶対値だけを見て (3, 3) と決めることはできません。横と縦について正負を選ぶ必要があります。第2象限は原点の左上なので、横は負、縦は正です。

したがって、x座標は-3、y座標は3となり、Bは (-3, 3) です。描いてみると、原点から左に3、上に3の位置です。確かに左上にあり、二つの数の絶対値も3なので、両方の条件に戻ります。

Bからy軸までは、同じ高さのまま右に3目盛り進みます。答えは3目盛りです。y軸までの横の隔たりを調べているため、縦の3目盛りを加える必要はありません。軸までの水平な移動は目盛りを数えて求められ、斜めの長さを計算する必要もありません。

この問題の分かれ目は、絶対値と符号の役割です。絶対値は0からの数の隔たりを示し、象限は正負を決める手掛かりになります。どちらか片方の条件だけでは点を一つに決められないので、条件を一つずつ使った印を残すとよいでしょう。

座標が示す点が軸に近いかどうかも、数の意味から判断できます。x座標の絶対値はy軸までの水平な隔たりを表し、y座標の絶対値はx軸までの垂直な隔たりを表します。符号はそれぞれの軸のどちら側かを示します。隔たりと向きを分けると、負の数を距離としてそのまま数える混乱を避けられます。

ただし、二つの点の間の斜めの長さは、横と縦の隔たりを足すだけでは求まりません。この練習では、軸に平行な方向の目盛りを数えます。何を結ぶ長さなのかを問題文で確かめ、別の量と混同しないことが先決です。

順序が逆になった答えを直す

点Cが原点から左に2、上に4の位置にあるとします。この点の座標を (4, -2) と答えた場合、二つの数は目盛りから拾えていますが、縦の数を先に書いています。符号も数と一緒に移っているため、答えは右下の別の点を表します。

図3のように、誤った組から点を描き直すと、元のCには戻りません。右に4、下に2の位置に着くからです。間違いを見つけたら、二つの数を見た順番ではなく、それぞれがどの軸の数かに戻って調べます。

横は左に2なので-2、縦は上に4なので4です。正しくは (-2, 4) となります。図3の正しい点から軸へたどれば、横の-2と縦の4が読み取れます。元の「左に2、上に4」という条件と比べると、修正が確かめられます。

別の間違いとして、縦の数を読む際に上と下を逆にすることもあります。順番だけを直しても符号が誤っていれば点は戻りません。横は左右、縦は上下という二つの判断をそれぞれ行い、最後に組の順番を確認します。

軸上の点では、何も移動しない方向の数を省かないことも必要です。たとえば横へ進まず上に進む点は、先の数が0です。0を抜いて一つの数だけを書くと、平面上の位置を表す組として読めなくなります。

座標を入力する欄が二つに分かれている場合も、最初の欄が何を表すかを確かめます。横と縦の表示を見てから数を入れ、送る前にその組を一つの点として描き直します。入力欄の順序がいつも同じだと思い込まず、表示に従って対応を確認しましょう。

自分で確かめる問題

次の問題はすべて、横軸の右向きと縦軸の上向きを正とし、両軸の1目盛りを1とします。座標は整数の組で書いてください。点を描く問題では、描いた点の位置を座標でも答えます。

1. 点Pは原点から右に2、上に5の位置です。Pの座標と象限を答えてください。
2. 点Qは原点から左に4、下に1の位置です。Qの座標と象限を答えてください。
3. 点Rの座標は (0, -3) です。Rを描き、どの軸上にあるか、また象限に属するかを答えてください。
4. 点Sのx座標の絶対値は5、y座標の絶対値は2です。Sが第4象限にあるとき、Sを描いて座標を答えてください。Sからx軸まで垂直に進む目盛りの数も答えましょう。

答えと考え方

1. Pは (2, 5)、第1象限です。横は右に2なので2、縦は上に5なので5です。この組から右に2、上に5と描き直すと、問題の位置に戻ります。どちらの数も正なので右上にあります。

2. Qは (-4, -1)、第3象限です。左に4は横の-4、下に1は縦の-1です。負の符号を両方に付けて組にします。左に4、下に1と逆にたどれば、与えられた位置と一致します。

3. Rは (0, -3) で、y軸上にあり、どの象限にも属しません。横の移動が0なので原点から左右に動かず、下に3進んだ点です。描いた点の横を読めば0、縦を読めば-3となり、与えられた組に戻ります。0は正でも負でもないため、象限の符号の組に当てはめません。

4. Sは (5, -2) で、原点から右に5、下に2の点です。第4象限では横が正、縦が負なので、絶対値に符号を付けるとこの組になります。右下にあり、両座標の絶対値は5と2です。x軸へは同じ横の位置を保って上へ2進むので、答えは2目盛りです。

間違えた問題は、答えの数字だけを書き直すのでなく、点をもう一度描いてください。横の数と縦の数がどの位置を指すかを別々に示せると、同じ符号や0を含む別の問題にも使えます。正解したときも、条件へ戻す一手間で読み違いを見つけられます。

覚えておくこと

• 座標は横のx座標、縦のy座標の順です。
• 右と上が正、左と下が負です。
• 象限は右上から反時計回りに第1、第2、第3、第4です。
• 軸上の点は象限に含めず、移動しない方向を0で表します。
• 答えから点を描き直し、元の条件と照合します。

つまずきを見分ける問いかけ

お子さまが座標を逆に書いたときは、すぐに正しい組を示す前に、書いた組から点を描いてもらいます。元の点と違えば、先の数が横と縦のどちらを表すか、図を指して説明してもらいます。点は合うのに象限が違う場合は、軸からの向きと象限の番号を別々に確かめます。

個別指導では、負の符号が付く理由と、0を含む点を象限に入れない理由を本人の言葉で聞きます。目盛りを数える途中で迷う場合は、原点、軸の正の向き、1目盛りの大きさに戻って判断をたどります。座標の順序を声に出してから点に戻す習慣が、位置を正しく伝える力につながります。