大学入試数学 円と半平面の最大最小—円周の候補と切り口の端を比べて達成点を決める｜武蔵野個別指導塾

半径5の円板を直線y=3で切ると3x+4yの最大は24に下がり、達成点は切り口の端へ移る。残る側は半平面です。

自習の机で、円と直線の図をノートに写しているときのことです。円板の全体で一次式3x+4yが最大になる点を求め、その座標を丸で囲んだところで手が止まります。半平面の条件が加わっているのに、円全体で選んだ点をそのまま答えの欄へ書いてしまう場面があります。円板の最大点は円周の上にあります。半平面の境界線が円周と交わる点も、同じ円周の上です。この二種類の点を同じ図の上で取り違えると、値は正しく計算できていても、達成点だけが条件の外に残ります。

円と半平面の最大最小で問われる三つの型

円板と半平面の共通部分は、円を一本の直線で切り取った弓形になります。この図形の上で一次式px+qyの最大値・最小値を求める問題には、三つの出方があります。

一つ目は、円板と半平面の位置が数値で与えられる型です。円板の方程式と半平面の不等号がそのまま示され、最大にしたい一次式も具体的に与えられます。値の候補は円周の上と、境界線が円板を切ってできる線分の上に限られるので、候補の座標をすべて求め、条件を満たすかどうかを一つずつ確かめます。

二つ目は、円の中心が原点からずれている型です。円の方程式を平方完成して中心と半径を読み、一次式も中心を基準に書き直します。中心を原点に移してから考えると、一つ目の型と同じ手順になります。中心の移動を忘れると、支持点の座標がずれます。

三つ目は、半平面の境界が文字で与えられる型です。境界の位置によって最大点が円周の内側に残るか切り口へ移るかが変わるので、境目を求め、区間ごとに答えを書きます。共通部分が空になる場合や、一点だけになる場合も答えに含めます。集合が空なら答える値はなく、集合が一点に縮むとその点の値が上下の両方の答えになります。

使う道具は数学IIの図形と方程式です。円の方程式、円と直線の共有点の求め方、点と直線の距離、そして平方の恒等式を組み合わせます。恒等式は、実数u、vと定数p、qについて

(pu+qv)² + (qu-pv)² = (p²+q²)(u²+v²)

です。左辺の二乗の項はどちらも0以上なので、(pu+qv)²は右辺以下になります。この不等式は、pu+qvの絶対値を√(p²+q²)・√(u²+v²)以下に押さえます。円板全体ではu²+v²が一定なので、pu+qvの上限と下限が一度に決まります。増減を調べる必要はなく、等高線が円板と接する位置だけで最大と最小が決まります。

答案には、最大値と最小値に加えて、その値をとる点の座標を書きます。共通部分が空集合なら「最大値はない」と書き、一点ならその点のLの値を書きます。y≦3のような等号付きの半平面では切り口の端も候補に入り、y<3のように等号がなければ端は候補から外れます。

目的式・等高線・切り口の端

目的式L=px+qyに対して、L=kを満たす点の集まりを等高線と呼びます。pとqが同時に0でなければ、等高線は直線です。qが0でなければ傾きは-p/qです。kを大きくすると直線はベクトル(p,q)の向きへ平行に移動します。円板の上でLを最大にすることは、円板と共有点を持つ等高線のうち、いちばん(p,q)の向きへ進んだものを選ぶことと同じです。

円板の中心をC(a,b)、半径をrとします。円板全体でLが最大になる点は、Cからベクトル(p,q)の向きにrだけ進んだ点です。この点を支持点と呼ぶことにします。座標は

(a,b) + (r/√(p²+q²))・(p,q)

で、Lの値はpa+qb+r√(p²+q²)になります。最小の支持点は逆向きで、値はpa+qb-r√(p²+q²)です。支持点は、等高線が円板に接する点でもあります。支持点が半平面の中にあれば、円板全体での最大・最小がそのまま共通部分の最大・最小になります。

半平面の境界線が円板を切ってできる線分を切り口、その両端を切り口の端と呼びます。切り口の端は、境界線の方程式と円の方程式を連立して求めます。端は二つあり、どちらも円周の上にあります。片方だけを調べて終えると、値の大きい側を取り落とします。

共通部分の上で一次式の最大・最小を探すとき、候補は次の三つに整理できます。第一に、支持点が共通部分の中にあればその点です。第二に、支持点が半平面の外に出ていれば、切り口の端のうち目的式の値が大きい方か小さい方です。第三に、共通部分が一点だけならその点です。円弧の上では支持点が唯一の山であり、支持点を通り過ぎると値は下がります。切り口の線分の上では一次式は両端の間で単調に変化するので、線分の最大・最小は必ず端で起こります。したがって、円弧と切り口のそれぞれで候補を出し、共通部分に入るものだけを比べれば足ります。

図1は、円板を水平な半平面で切ったときの三つの言葉の位置関係を示しています。円板の上半分が半平面の外に出ており、支持点は切り口の上側にあります。切り口の端のうち、目的式の値が大きい側が新しい最大点の候補になります。

半平面が円板の外側から境界線に接するときは、共通部分が一点になります。この一点では最大値と最小値が同じ値です。境界線が円板から離れると共通部分は空集合になり、最大値も最小値も存在しません。接する場合の一点の値と、離れる場合の「なし」は、同じ0で済ませられません。

基本例題：円全体の最大点が半平面の外に出る場合

円板Dをx²+y²≦25、半平面Hをy≦3とし、共通部分をRとします。Rの上でL=3x+4yの最大値と最小値を求め、それぞれの値をとる点の座標を答えなさい。

まず、条件の確認です。円板は境界の円周を含み、半平面も境界の直線y=3を含みます。共通部分Rは空ではなく、切り口の端は円周と直線y=3の交点です。

円板全体でのLの値の範囲を押さえます。p=3、q=4、u=x、v=yとして、平方の恒等式を書きます。

(3x+4y)² + (4x-3y)² = 25(x²+y²)

Rの点はx²+y²≦25を満たすので、右辺は625以下です。左辺の(4x-3y)²は0以上なので、(3x+4y)²≦625、すなわち-25≦3x+4y≦25です。等号は4x-3y=0のときに限ります。円周x²+y²=25の上で4x-3y=0を解くと、x=3、y=4とx=-3、y=-4の二点です。したがって、円板全体での最大は25で点(3,4)、最小は-25で点(-3,-4)です。

次に、二つの支持点がRに入るかを確かめます。点(3,4)はy=4で、y≦3を満たしません。この点は半平面の外にあり、値25はRでは取れません。点(-3,-4)はy=-4でy≦3を満たし、円板の条件も満たします。したがって、Rの最小値は-25で、達成点は(-3,-4)です。

続いて、切り口の端を求めます。直線y=3を円の方程式に代入します。

x² + 3² = 25
x² = 16
x = 4 または x = -4

切り口の端は(4,3)と(-4,3)です。それぞれでLの値を計算します。

(4,3):  3・4 + 4・3 = 12 + 12 = 24
(-4,3): 3・(-4) + 4・3 = -12 + 12 = 0

ここで、24より大きい値がRで取れないことを示します。24<k<25を満たす実数kを考え、直線3x+4y=kと円板の共有点を調べます。円の中心は原点なので、中心から直線までの距離は|k|/5です。k>24ではk/5と書けて、共有点が存在するのはk/5≦5、すなわちk≦25のときです。24<k<25では共有点が二つあります。直線に下ろした垂線の足は(3k/25,4k/25)で、弦の長さの半分は√(25-(k/5)²)です。直線の向きは(-4,3)と同じなので、二つの交点のy座標は

4k/25 ± (3/5)√(25-(k/5)²)

です。k>24のとき、4k/25>96/25=3.84です。また(k/5)²>576/25なので、√(25-(k/5)²)<√(49/25)=7/5となり、(3/5)√(…)<21/25=0.84です。したがって、低い方の交点でもy座標は3.84-0.84=3より大きくなります。24<k<25の等高線は円板と交わりますが、交点はすべてy>3の側にあり、Rには入りません。よってRの点でLの値が24を超えるものはありません。

最後に、切り口の線分の上を調べます。線分はy=3、-4≦x≦4です。この上ではL=3x+12となり、xが大きいほどLも大きくなります。線分の最大はx=4で24、最小はx=-4で0です。円弧の上は直前の比較で24以下とわかりました。以上をまとめると、Rの最大値は24で点(4,3)、最小値は-25で点(-3,-4)です。

検算をします。点(4,3)は4²+3²=16+9=25で円周上にあり、y=3で半平面の境界上です。Lの値は3・4+4・3=24です。点(-3,-4)は(-3)²+(-4)²=9+16=25で円周上にあり、y=-4≦3を満たします。Lの値は3・(-3)+4・(-4)=-9-16=-25です。どちらも元の条件に戻って一致しました。

図2は、この例題の支持点と切り口の端の位置を示しています。円板全体での最大点(3,4)は切り口の上側にあり、Rの最大点は切り口の端(4,3)へ移ります。最小点(-3,-4)は切り口の下側にあり、そのままRの最小点です。

標準例題と発展例題

標準例題：中心が原点でない円板を水平な半平面で切る

円板Dを(x-2)²+(y-1)²≦25、半平面Hをy≦4とし、共通部分をRとします。Rの上でL=3x+4yの最大値と最小値を求め、達成点も答えなさい。

中心を原点に移すために、u=x-2、v=y-1と置きます。円板はu²+v²≦25になり、目的式は

L = 3(u+2) + 4(v+1) = 3u+4v+10

と書けます。半平面はv+1≦4、すなわちv≦3です。

平方の恒等式から、u²+v²≦25のとき-25≦3u+4v≦25です。よって-15≦L≦35です。最大の35は(u,v)=(3,4)、すなわち(x,y)=(5,5)で、最小の-15は(u,v)=(-3,-4)、すなわち(x,y)=(-1,-3)で取ります。

点(5,5)はy=5でy≦4を満たさず、Rの外です。値35はRでは取れません。点(-1,-3)はy=-3でy≦4を満たし、円板の上にもあります。したがって、Rの最小値は-15で、達成点は(-1,-3)です。

切り口を求めます。直線y=4を円の方程式に代入します。

(x-2)² + (4-1)² = 25
(x-2)² + 9 = 25
(x-2)² = 16
x = 6 または x = -2

切り口の端は(6,4)と(-2,4)です。Lの値は

(6,4):  3・6 + 4・4 = 18 + 16 = 34
(-2,4): 3・(-2) + 4・4 = -6 + 16 = 10

です。34がRの最大の候補になります。34を超える値が取れないことを、等高線の位置で確かめます。34<k<35の直線3x+4y=kについて、中心(2,1)からの距離は(k-10)/5です。垂線の足は(2,1)+((k-10)/25)(3,4)で、弦の長さの半分は√(25-((k-10)/5)²)です。交点のy座標は

1 + 4(k-10)/25 ± (3/5)√(25-((k-10)/5)²)

です。k=34のとき、垂線の足のy座標は1+96/25=4.84で、半弦は√(25-(24/5)²)=7/5です。低い方の交点のy座標は4.84-(3/5)(7/5)=4.84-0.84=4です。k>34では(k-10)/25が増えて足のy座標が上がり、半弦は短くなるので、二つの交点はともにy>4の側にあります。よってRの点でLが34を超えるものはありません。

切り口の線分はy=4、-2≦x≦6で、この上ではL=3x+16です。最大はx=6で34、最小はx=-2で10です。円弧の上は34以下です。以上から、Rの最大値は34で点(6,4)、最小値は-15で点(-1,-3)です。

検算をします。点(6,4)は(6-2)²+(4-1)²=16+9=25で円周上にあり、y=4で境界上です。L=18+16=34です。点(-1,-3)は(-3)²+(-4)²=9+16=25で円周上にあり、y=-3≦4を満たします。L=-3-12=-15です。中心(2,1)でのLの値は10で、最大の34と最小の-15の間に収まっています。

やや難：斜めの半平面で最小点が切り口へ移る

円板Dを(x+1)²+(y-2)²≦25、半平面Hをx+y≧2とし、共通部分をRとします。Rの上でL=3x+4yの最大値と最小値を求め、達成点も答えなさい。

u=x+1、v=y-2と置きます。円板はu²+v²≦25、目的式は

L = 3(u-1) + 4(v+2) = 3u+4v+5

です。半平面は(u-1)+(v+2)≧2、すなわちu+v≧1になります。

平方の恒等式から-25≦3u+4v≦25なので、-20≦L≦30です。最大の30は(u,v)=(3,4)、すなわち(x,y)=(2,6)で取ります。点(2,6)はx+y=8でx+y≧2を満たすので、Rの最大値は30です。最小の-20は(u,v)=(-3,-4)、すなわち(x,y)=(-4,-2)で取りますが、この点はx+y=-6で半平面の外にあり、値-20はRでは取れません。

切り口を求めます。直線x+y=2は、uとvではu+v=1です。円の方程式にv=1-uを代入します。

u² + (1-u)² = 25
2u² - 2u + 1 = 25
u² - u - 12 = 0
(u-4)(u+3) = 0

u=4のときv=-3、u=-3のときv=4です。切り口の端は(x,y)=(3,-1)と(-4,6)です。Lの値は

(3,-1):  3・3 + 4・(-1) = 9 - 4 = 5
(-4,6):  3・(-4) + 4・6 = -12 + 24 = 12

です。最小の候補は5になります。5より小さい値が取れないことを示します。s=u+v、d=u-vと置くと、u=(s+d)/2、v=(s-d)/2です。半平面はs≧1、円板は

u² + v² = (s² + d²)/2 ≦ 25

なのでd²≦50-s²です。円板の条件からs²≦50も従います。目的式は

3u + 4v = (7s - d)/2

と書けます。dは|d|≦√(50-s²)の範囲を動くので、

3u + 4v ≧ (7s - √(50-s²))/2

です。s≧1のとき、7s≧0と√(50-s²)≧0に注意して両辺を二乗すると、49s²≧50-s²は50s²≧50、すなわちs²≧1と同じです。よって7s-√(50-s²)≧0で、3u+4v≧0、L≧5です。等号はs=1かつ|d|=7のとき、すなわち(u,v)=(4,-3)、つまり(x,y)=(3,-1)で成立します。切り口の線分の上でも、L=3x+4(2-x)=-x+8で、x=3のとき5が最小です。円弧の上でもこの不等式が効くので、5より小さい値はありません。

したがって、Rの最大値は30で点(2,6)、最小値は5で点(3,-1)です。検算をします。点(2,6)は(2+1)²+(6-2)²=9+16=25で円周上にあり、x+y=8≧2です。L=6+24=30です。点(3,-1)は(3+1)²+(-1-2)²=16+9=25で円周上にあり、x+y=2で境界上です。L=9-4=5です。

難：半平面の位置を文字で動かして場合分けする

実数tに対して、D_tをx²+y²≦25かつy≧tを満たす点の集合とします。D_tの上でL=4x+3yの最大値と最小値を、tの値で場合分けして答えなさい。値が存在しない場合はその旨を書き、達成点も示しなさい。

円板のy座標は-5以上5以下です。t>5またはt<-5のとき、D_tは空集合になり、最大値も最小値もありません。以下では-5≦t≦5とします。

円板全体では、平方の恒等式

(4x+3y)² + (3x-4y)² = 25(x²+y²)

から-25≦L≦25です。最大の25は点A(4,3)、最小の-25は点B(-4,-3)で取ります。切り口の端は、y=tを円の方程式に代入して

x² + t² = 25
x = ±√(25-t²)

となるので、P(√(25-t²),t)とQ(-√(25-t²),t)です。s=√(25-t²)と略記します。L(P)=4s+3t、L(Q)=-4s+3tです。

円弧の上は、点を(5cosθ,5sinθ)と置いて調べます。半平面y≧tは5sinθ≧t、すなわちsinθ≧t/5です。目的式は

L = 20cosθ + 15sinθ = 25cos(θ-φ)

です。ただしφはcosφ=4/5、sinφ=3/5を満たす角で、φは約36.87度です。sinθ≧t/5を満たすθの範囲は、α=arcsin(t/5)としてα≦θ≦180度-αです。cos(θ-φ)はθ=φで最大になり、θ=φ+180度で最小になります。θの範囲にφが入るかどうかで、最大・最小が範囲の内点で起こるか端点で起こるかが変わります。

場合分けをします。まず-5≦t≦-3のときです。AもBもy≧tを満たすので、最大値は25で点A、最小値は-25で点Bです。切り口の端の値は、t=-3のときP(4,-3)で7、Q(-4,-3)で-25となり、Bの値と一致します。

次に-3<t≦3のときです。Aはy=3≧tを満たすので最大値は25で点Aです。Bはy=-3<tなので使えません。円弧の上ではφがα以上180度-α以下に入るため、最小はθ=180度-α、すなわち点Qで起こり、値は3t-4sです。切り口の線分の上ではL=4x+3tで、xが小さいほど小さくなるので、最小は点Qで3t-4sです。よって最小値は3t-4√(25-t²)で、達成点はQ(-√(25-t²),t)です。

最後に3≦t≦5のときです。AもBもy≧tを満たしません。円弧の上ではφがαより小さいので、cos(θ-φ)はθ=αで最大、θ=180度-αで最小になります。よって最大は点Pで4s+3t、最小は点Qで-4s+3tです。切り口の線分の上でも同じ値になります。t=5のときは共通部分が一点(0,5)になり、最大値と最小値はどちらも15です。

まとめます。t<-5またはt>5のとき、最大値も最小値もありません。-5≦t≦-3のとき、最大値25で点(4,3)、最小値-25で点(-4,-3)です。-3<t≦3のとき、最大値25で点(4,3)、最小値3t-4√(25-t²)で点(-√(25-t²),t)です。3≦t≦5のとき、最大値4√(25-t²)+3tで点(√(25-t²),t)、最小値-4√(25-t²)+3tで点(-√(25-t²),t)です。

境目の値を確かめます。t=-3のとき、最小値の式は3・(-3)-4・4=-9-16=-25で、点(-4,-3)の値と一致します。t=3のとき、最大値の式は4・4+3・3=16+9=25で、点(4,3)の値と一致します。t=5のときは4・0+3・5=15で、一点(0,5)の値と一致します。

よくある誤りと直し方

最初の誤りは、円板全体での最大点をそのまま答える型です。基本例題で最大値を25、達成点を(3,4)と書くと、y=4がy≦3を満たさないため誤りになります。値の計算は合っているのに、達成点が半平面の外にあります。直し方は、支持点の座標を半平面の不等式に代入して確かめることです。満たさないなら、その値は使えず、切り口の端を候補に加えます。

二つ目の誤りは、切り口の端を片方だけ調べる型です。基本例題で(-4,3)だけを調べて値0とし、最大値を0と書くと、もう一方の端(4,3)の値24を取り落とします。切り口の線分の上では一次式が単調に変化するので、最大と最小は両端のどちらかで起こります。両方の端の値を計算してから比べます。

三つ目の誤りは、共通部分が空または一点の場合を「最大値0」と書く型です。半平面が円板から離れていると共通部分は空集合になり、最大値は存在しません。境界線が円板に接するときは共通部分が一点になり、その一点の値が最大値と最小値の両方になります。空集合と一点を同じ「0」で処理すると、答えの形が崩れます。

図3は、最初の誤りを図の上で直したものです。赤い印の点(3,4)は切り口の上側にあり、共通部分には入りません。緑の点(4,3)が切り口の端で、Lの値は24です。矢印は、最大点が円周に沿って切り口の端へ移ることを示しています。

練習問題

次の五問を解きなさい。最大値・最小値を求める問題では、値をとる点の座標も答えること。

1. 円板x²+y²≦25と半平面x≧-3の共通部分で、L=4x+3yの最大値と最小値を求めなさい。

2. 円板x²+y²≦25と半平面x-y≦1の共通部分で、L=3x+4yの最大値と最小値を求めなさい。

3. 円板(x-2)²+(y-1)²≦25と半平面x+y≦8の共通部分で、L=3x+4yの最大値と最小値を求めなさい。

4. 実数tに対して、円板(x-1)²+(y-2)²≦25と半平面x≧tの共通部分を考える。この上でL=3x+4yの最大値と最小値を、tの場合に分けて求めなさい。値がない場合はその旨を書きなさい。

5. 円板(x-1)²+(y-2)²≦25と半平面y≧6の共通部分で、L=3x+4yの最大値と最小値を求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 円板全体では、平方の恒等式(4x+3y)²+(3x-4y)²=25(x²+y²)から-25≦L≦25です。最大の25は点(4,3)で、x=4≧-3を満たすのでそのまま最大値です。最小の-25は点(-4,-3)ですが、x=-4<-3で半平面の外です。円板全体で最小を与える点はこの支持点だけなので、それが使えないときの最小は円弧の端、すなわち切り口の端で起こります。切り口はx=-3で、円の方程式からy=±4です。端点(-3,4)でL=0、端点(-3,-4)でL=-24です。二つの端を比べると、最小は-24です。答えは最大値25で点(4,3)、最小値-24で点(-3,-4)です。

2. 円板全体での値の範囲は-25≦L≦25です。最大の25は点(3,4)で、x-y=3-4=-1≦1を満たします。最小の-25は点(-3,-4)で、x-y=-3+4=1≦1を満たします。どちらの支持点も半平面の中にあるので、切り口を調べる必要はありません。答えは最大値25で点(3,4)、最小値-25で点(-3,-4)です。切り口の直線x-y=1は点(-3,-4)を通り、円をもう一点(4,3)で切りますが、その点の値は24で最大値には影響しません。

3. 中心を(2,1)とし、u=x-2、v=y-1と置くと、円板はu²+v²≦25、目的式はL=3u+4v+10です。円板全体では-15≦L≦35です。最大の35は(u,v)=(3,4)、すなわち(5,5)で取りますが、x+y=10>8なので半平面の外です。最小の-15は(u,v)=(-3,-4)、すなわち(-1,-3)で取り、x+y=-4≦8を満たすので最小値は-15です。切り口はu+v=5で、u²+v²=25と連立すると(u,v)=(5,0)と(0,5)、すなわち(7,1)と(2,6)です。Lの値は(7,1)で25、(2,6)で30です。最大は切り口の端か支持点のどちらかで起こります。支持点(5,5)は半平面の外にあるので、切り口の端の値25と30を比べれば足ります。答えは最大値30で点(2,6)、最小値-15で点(-1,-3)です。

4. u=x-1、v=y-2と置くと、円板はu²+v²≦25、一次式はL=3u+4v+11、半平面はu≧t-1です。円板のx座標は-4以上6以下なので、t<-4またはt>6では共通部分が空になり、最大値も最小値もありません。円板全体での最大は36で点(4,6)、最小は-14で点(-2,-2)です。t-1をτと置きます。τ≦-3、すなわちt≦-2では二つの支持点がどちらもu≧τを満たし、最大値36、最小値-14です。-3<τ≦3、すなわち-2<t≦4では、最大の支持点(4,6)が使えて最大値36、最小の支持点(-2,-2)が使えません。切り口はu=τで、端点は(τ,±√(25-τ²))です。Lの値は3τ+11±4√(25-τ²)なので、最小は下の端点で3τ+11-4√(25-τ²)です。3≦τ≦5、すなわち4≦t≦6では、二つの支持点が使えず、最大は上の端点で3τ+11+4√(25-τ²)、最小は下の端点で3τ+11-4√(25-τ²)です。τ=5、すなわちt=6では共通部分が一点(6,2)になり、どちらも26です。

5. 中心を(1,2)とし、u=x-1、v=y-2と置くと、円板はu²+v²≦25、目的式はL=3u+4v+11、半平面はv≧4です。円板全体では-14≦L≦36です。最大の36は(u,v)=(3,4)、すなわち(4,6)で取り、v=4で半平面の境界上にあるので最大値は36です。最小の-14は(u,v)=(-3,-4)、すなわち(-2,-2)で取りますが、v=-4<4で半平面の外です。切り口はv=4で、u²+16=25からu=±3、端点は(4,6)と(-2,6)です。Lの値は(4,6)で36、(-2,6)で18です。円弧の上ではL=25cos(θ-φ)+11で、sinθ≧4/5の範囲ではθが大きくなるほど値が下がり、最小は(-2,6)で18です。答えは最大値36で点(4,6)、最小値18で点(-2,6)です。

覚えておくこと

• 円板全体で最大・最小になる点を支持点として先に求める。
• 支持点が半平面に入るかを、座標を不等式に代入して確かめる。
• 入らないときは、切り口の端を両方求めて値を比べる。
• 円弧の上では支持点が唯一の山で、切り口の上では一次式の端が候補になる。
• 共通部分が空なら値はなく、一点なら最大値と最小値が同じになる。

つまずきの見分け方

答案が止まっているときは、次の三つの点を順に確かめます。まず、支持点の座標を計算し、その座標を半平面の不等式に代入しているかどうかです。代入が抜けていると、円全体の答えがそのまま残ります。次に、切り口の端を二つとも求め、両方の値に触れているかどうかです。片方だけで比べると、値の大きい側を取り落とします。最後に、共通部分が空か一点になる場合を、最大値0と書いていないかどうかです。

個別指導で確かめるときは、次の三つを口に出してもらうと、考え方のどこで止まっているかが見えます。支持点の座標を求めた直後に「この点は半平面の不等式を満たすか」と問いかけます。切り口の端を求めた後には「二つの端の値はそれぞれいくつか」と問いかけます。場合分けの問題では「tが円板の上端や下端を越えたとき、共通部分はどうなるか」と問いかけます。式の変形が正しくても、達成点が条件の外にあれば答えは不正解です。求めた座標をy≦3やx+y≧2へ代入し直すところまでを一組の答案にすると、支持点の取り違えはその場で見つかります。