大学入試数学 複数の不等式の等号条件—評価を重ねたときに同時に満たせる条件を調べる｜武蔵野個別指導塾

二段に重ねた評価では、それぞれの等号が同じ点で成り立つかを代入して照合します。重みをそろえ、二つの等号を一つの点に集めるのが等号の同時成立です。

自習の時間に、正の数 x, y について二つの不等式を縦に並べた答案を書いた場面です。一つ目の行の等号は x = y、二つ目の行の等号は y = 2x でした。どちらの変形も正しく、不等号の向きも合っています。ところが、この二つの等号を同時に満たす正の数はありません。答案は最後の値を最小値として囲みましたが、その値が実際に取れるかは確かめられていません。評価を重ねる問題では、式の変形が合っていることと、押さえた値に手が届くことが別の仕事になります。

評価を重ねる答案のどこで止まるか

評価を重ねる問題には、いくつかの型があります。第一は、目的の式を中間の式で下から押さえ、その中間の式をさらに定数で押さえる型です。第二は、第一の型で作った二つの等号が同時に成り立たず、押さえた値が取れないとわかったときに、項の分け方や重みを変えて評価を作り直す型です。第三は、三つ以上の変数で、複数の等号を一つの点にそろえる型です。どれも、最後に「どの点で等号が成り立つか」を答案に書けるかどうかで差が付きます。

使う道具は、正の数 a, b について成り立つ a + b ≥ 2√(ab) です。等号は a = b のときに限って成り立ちます。a と b が正でなければ平方根の意味が崩れ、等号の位置も変わります。分数を含む式では、分母が正であることを先に確かめます。x > 0 といった条件は、答えの座標を出すときにもそのまま使います。等号の点を求めた後に、その点がこの条件を満たすかを代入して確かめる手順までが一組です。

もう一つ大切なのは、評価の向きです。最小値を求めるなら、目的の式を下から押さえる向きに不等式を重ねます。最大値なら上から押さえます。向きを途中で混ぜると、最後の値が上界なのか下界なのかわからなくなります。答案では、各行の右側に「何で押さえたか」と「等号はどこか」を短く添えると、後の点検が楽になります。式だけを並べた答案は、この二つの情報が抜けやすいのです。

等号の点をそろえるという考え方

二つの不等式を A ≥ B、B ≥ C の形で重ねたとします。A ≥ B の等号が点 P で成り立ち、B ≥ C の等号が点 Q で成り立つなら、A = C になるのは P と Q が同じ点のときだけです。P と Q が違う点なら、A は C より必ず大きくなり、C は下界ではあっても最小値ではありません。逆に、P と Q が同じ点で、その点が定義域に入るなら、その点で A = B = C が成り立ち、C は実際に取れます。つまり、等号の点が一致することは、値が取れるための必要十分条件です。

この判断は、式の変形とは独立に行います。変形が正しいことは、C が下界であることを保証します。しかし、C に手が届くかどうかは、二つの等号を連立させて解き、その解が定義域に入るかで決まります。連立の解が存在しない、または定義域の外に出るなら、評価の作り方を見直します。式の変形を何度も見直しても、等号の点を調べなければ、誤りは見つかりません。

等号の点が一致しないときに、評価を捨てる必要はありません。その値は下界として使えます。ただし、最小値として答えることはできません。答案では「この値は下界である」と書き、別の評価を作り直します。下界と最小値を区別して書けるかどうかが、この型の答案の分かれ目になります。

図1のように、評価を矢印でつなぎ、各矢印の下に等号の条件を書くと、どこで点がずれるかが見えます。左の式から右の定数へ向かう二本の矢印の下に、それぞれの等号の点を並べ、最後にその二つが同じ点を指すかを確かめます。

図1の左の箱が目的の式、中央が中間の式、右が定数です。矢印の下の等号の点が一致すれば、右の定数は実際に取れます。一致しなければ、その定数は下界のままで、最小値ではありません。図では、二つの等号の点を別々に書き、最後に一つの問いにまとめています。

定義域の確認も同じ行で行います。x > 0、y > 0 のような条件は、等号の点を求めた後に代入して確かめます。等号の点が境界の上にある場合、その点は定義域に入らないので、値は取れません。境界を含むか含まないかを、問題文の条件と照らして判断します。開区間の端だけが候補になる場合は、値が取れないこともあります。

重みという言葉も使います。目的の式の各項に、制約の係数の比に合わせた定数を掛けてから相加相乗平均を当てると、等号の点をこちらから設計できます。この定数のことを、ここでは重みと呼びます。重みの比が制約の係数の比とずれると、二つの等号の点は一致しません。逆に、比を合わせれば、等号の点を一つの座標にそろえられます。

基本の例題（標準） — 二段の評価が同じ点でそろう場合

x > 0、y > 0、x + y = 1 のとき、1/x + 1/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めてください。

最初に、1/x と 1/y の二項に相加相乗平均を当てます。

1/x + 1/y
≥ 2√((1/x)(1/y))     相加相乗平均（等号は 1/x = 1/y、すなわち x = y）
= 2/√(xy)

次に、分母の √(xy) を上から押さえます。x と y の二項に相加相乗平均を当てます。

√(xy) ≤ (x + y)/2     相加相乗平均（等号は x = y）
= 1/2                 x + y = 1 より

√(xy) ≤ 1/2 の各辺は正なので、逆数を取ると 1/√(xy) ≥ 2 です。逆数を取ると不等号の向きが反転することに注意します。したがって、次の連鎖が得られます。

1/x + 1/y ≥ 2/√(xy) ≥ 2/(1/2) = 4

等号を確かめます。一段目の等号は x = y、二段目の等号も x = y です。二つは同じ条件なので、x = y と x + y = 1 を連立すると x = 1/2、y = 1/2 になります。この点は x > 0、y > 0 を満たします。実際に代入すると 1/(1/2) + 1/(1/2) = 2 + 2 = 4 です。したがって、最小値は 4、そのとき x = y = 1/2 です。

図2のように、制約の直線 x + y = 1 と等号の直線 x = y の交点が (1/2, 1/2) です。二段の評価の等号が同じ点を指していることは、この交点が一つに決まることと同じ意味です。図では、交点を赤い印で示し、その点で値が 4 になることを添えています。

別の見方でも同じ値になることを確かめます。1/x + 1/y = (x + y)/(xy) = 1/(xy) です。xy ≤ ((x + y)/2)² = 1/4 なので、1/(xy) ≥ 4 です。等号は x = y = 1/2 のときです。二段の評価と直接の変形が同じ値に着地すると、計算の向きが合っていることの確認になります。

この例では、二つの等号がどちらも x = y でした。条件が一致したので、押さえた 4 に手が届きました。次の例では、素直に重ねると等号の点がずれる場合を扱います。ずれたときにどう直すかが、この型の中心です。

例題2 — 等号がずれたら重みを設計する（やや難）

x > 0、y > 0、x + 2y = 6 のとき、1/x + 2/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めてください。

まず、素直に二段の評価を組みます。

1/x + 2/y
≥ 2√(2/(xy))         相加相乗平均（等号は 1/x = 2/y、すなわち y = 2x）

中間の式 2√(2/(xy)) を、制約から作った √(xy) の上界で押さえます。

x + 2y ≥ 2√(2xy)     相加相乗平均（等号は x = 2y）
6 ≥ 2√(2xy)
√(xy) ≤ 3/√2
xy ≤ 9/2

xy ≤ 9/2 なので、2√(2/(xy)) ≥ 2√(2/(9/2)) = 2√(4/9) = 4/3 です。連鎖は 1/x + 2/y ≥ 4/3 となります。しかし、この 4/3 に達するには、一段目の等号 y = 2x と二段目の等号 x = 2y が同時に成り立つ必要があります。x と y が正なら、y = 2x と x = 2y から x = y = 0 になり、矛盾します。つまり 4/3 は下界ですが、最小値ではありません。

等号の点がずれる原因は、一段目の等号が x と y の比を 1 : 2 に決め、二段目の等号が同じ比を 2 : 1 に決めていることです。逆向きの比を同時に満たす正の数はありません。そこで、項ごとに掛ける定数、つまり重みを調整して、二つの等号が同じ比を指すようにします。

重みを p, q とします。1/x には p、2/y には q を掛けてから相加相乗平均を当てます。

1/x + px ≥ 2√p       等号は 1/x = px、すなわち x = 1/√p
2/y + qy ≥ 2√(2q)    等号は 2/y = qy、すなわち y = √(2/q)

重みの比 p : q は、制約 x + 2y の係数の比 1 : 2 に合わせます。p : q = 1 : 2、つまり q = 2p とすると、y = √(2/(2p)) = 1/√p となり、x と y の等号の点が一致します。この点を制約に代入します。x = y = 1/√p なので、x + 2y = 3/√p = 6 です。よって 1/√p = 2、p = 1/4、q = 1/2 です。

この重みで二つの不等式を足します。

1/x + (1/4)x ≥ 1      等号は x = 2
2/y + (1/2)y ≥ 2      等号は y = 2

辺々を足すと、1/x + 2/y + (1/4)x + (1/2)y ≥ 3 です。左辺の後ろ二項は (1/4)(x + 2y) = (1/4)・6 = 3/2 です。したがって 1/x + 2/y ≥ 3 − 3/2 = 3/2 です。等号は x = 2、y = 2 で、x + 2y = 2 + 4 = 6 を満たします。実際に代入すると 1/2 + 2/2 = 1/2 + 1 = 3/2 です。最小値は 3/2、そのとき x = y = 2 です。

素直な評価が 4/3 で、重みを直した評価が 3/2 でした。3/2 の方が大きいので、最初の評価は鋭くありませんでした。重みを変えると、下界そのものが上がります。等号の点をそろえる操作は、値を少しでも大きく押さえる操作でもあるのです。

例題3 — 三つの等号を一つの点に集める（難）

x > 0、y > 0、z > 0、x + y + z = 3 のとき、1/x + 1/y + 4/z の最小値と、そのときの x, y, z の値を求めてください。

制約の係数がすべて 1 なので、三つの項に同じ重み k を掛けます。

1/x + kx ≥ 2√k       等号は x = 1/√k
1/y + ky ≥ 2√k       等号は y = 1/√k
4/z + kz ≥ 4√k       等号は 4/z = kz、すなわち z = 2/√k

三つの等号の点は x = y = 1/√k、z = 2/√k です。x = y で、z だけが 2 倍になることに注意します。分子の 4 が、等号の位置を変えています。この点を制約に代入すると、1/√k + 1/√k + 2/√k = 4/√k = 3 です。よって √k = 4/3、k = 16/9 です。

三つの不等式を足します。

1/x + 1/y + 4/z + (16/9)(x + y + z) ≥ 32/3
1/x + 1/y + 4/z ≥ 32/3 - 16/3 = 16/3

等号は x = y = 3/4、z = 3/2 です。制約は 3/4 + 3/4 + 3/2 = 3 を満たします。値を代入すると 4/3 + 4/3 + 8/3 = 16/3 です。最小値は 16/3、そのとき x = y = 3/4、z = 3/2 です。

この例で確かめるべきは、三つの等号が同じ点を指しているかです。x と y の等号は 1/√k で一致しますが、z の等号は 2/√k で、値は違っても点は一つに決まります。三つの座標がそろって初めて、16/3 に手が届きます。三つのうち一つでも別の点を指せば、16/3 は下界のままです。

誤答を直す — 下界と最小値は別のもの

x > 0、y > 0、x + y = 1 のとき、1/x + 4/y の最小値を求めてください。

よくある誤答は、次の二段の評価です。

1/x + 4/y
≥ 2√(4/(xy))         相加相乗平均（等号は 1/x = 4/y、すなわち y = 4x）
= 4/√(xy)
≥ 4/(1/2) = 8        √(xy) ≤ (x + y)/2 = 1/2 より（等号は x = y）

この答案は、8 を最小値として囲みます。どこが破綻するかを見ます。8 に達するには、一段目の等号 y = 4x と二段目の等号 x = y が同時に成り立つ必要があります。y = 4x と x = y から 4x = x、すなわち x = 0 になりますが、x > 0 に反します。等号の点は、一段目が (1/5, 4/5)、二段目が (1/2, 1/2) で、別の点です。

二つの点で実際の値を計算すると、1/5 と 4/5 では 5 + 5 = 10、1/2 と 1/2 では 2 + 8 = 10 です。押さえた 8 には、どちらの点でも届きません。さらに、1/x + 4/y = 8 を満たす点があるかを調べます。y = 1 − x を代入すると、次の式になります。

(1 + 3x)/(x(1 - x)) = 8
8x² - 5x + 1 = 0
判別式は 25 - 32 = -7 < 0

実数解はありません。8 はどの点でも取れない値です。下界ではありますが、最小値ではありません。この時点で、評価そのものを作り直す必要があります。

重みを直します。二つの等号が同じ点を指すように、1/x と 4/y に同じ重み 9 を掛けます。

1/x + 9x ≥ 6         等号は 1/x = 9x、すなわち x = 1/3
4/y + 9y ≥ 12        等号は 4/y = 9y、すなわち y = 2/3

辺々を足すと、1/x + 4/y + 9(x + y) ≥ 18 です。9(x + y) = 9 なので、1/x + 4/y ≥ 9 です。等号は x = 1/3、y = 2/3 で、x + y = 1 を満たします。値を代入すると 3 + 6 = 9 です。

最後に、9 が本当に最小値かを式で確かめます。y = 1 − x として差を計算します。

1/x + 4/(1 - x) - 9
= (1 + 3x - 9x + 9x²)/(x(1 - x))
= (3x - 1)²/(x(1 - x))
≥ 0

0 < x < 1 では分母が正なので、差は常に 0 以上です。等号は 3x − 1 = 0、すなわち x = 1/3 のときだけです。この計算は、評価の作り直しが正しかったことの確認になります。

図3のように、制約の直線 x + y = 1 の上で、一段目の等号の点 (1/5, 4/5)、二段目の等号の点 (1/2, 1/2)、そして重みを直したあとに両方の等号がそろう点 (1/3, 2/3) は別の位置にあります。前の二つの点では値が 10 になり、8 にはなりません。最後の点だけが 9 を与えます。

この誤りの型は、評価を重ねた答案でよく見られます。各行の変形は正しいので、計算の点検では見つかりません。等号の点を一行ずつ書き出し、それが同じ点かどうかを見る作業が、誤りを見つける近道になります。

練習問題

次の五問を解いてください。答えは最小値と、そのときの変数の値まで書きます。等号の点が制約を満たすかも、答案に残してください。

1. x > 0、y > 0、x + y = 1 のとき、1/x + 9/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めてください。
2. x > 0、y > 0、z > 0、x + y + z = 1 のとき、4/x + 9/y + 16/z の最小値と、そのときの x, y, z の値を求めてください。
3. x > 0、y > 0、x + 3y = 10 のとき、1/x + 3/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めてください。
4. x > 0、y > 0、x + y = 4 のとき、1/x + 4/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めてください。
5. x > 0、y > 0、x + y = 3 のとき、1/x² + 1/y² の最小値と、そのときの x, y の値を求めてください。

解答

1

二つの等号の点が x = 1/4 と y = 3/4 でそろうように、重みを 16 にします。

1/x + 16x ≥ 8        等号は 1/x = 16x、すなわち x = 1/4
9/y + 16y ≥ 24       等号は 9/y = 16y、すなわち y = 3/4

辺々を足すと 1/x + 9/y + 16(x + y) ≥ 32 です。x + y = 1 なので 1/x + 9/y ≥ 16 です。等号は x = 1/4、y = 3/4 で、制約を満たします。値を代入すると 4 + 12 = 16 です。最小値は 16、そのとき x = 1/4、y = 3/4 です。

2

三つの等号の点が x = 2/√k、y = 3/√k、z = 4/√k でそろうように、同じ重み k を掛けます。制約に代入すると 9/√k = 1 なので、√k = 9、k = 81 です。

4/x + 81x ≥ 36       等号は 4/x = 81x、すなわち x = 2/9
9/y + 81y ≥ 54       等号は 9/y = 81y、すなわち y = 1/3
16/z + 81z ≥ 72      等号は 16/z = 81z、すなわち z = 4/9

辺々を足すと 4/x + 9/y + 16/z + 81(x + y + z) ≥ 162 です。x + y + z = 1 なので 4/x + 9/y + 16/z ≥ 81 です。等号は x = 2/9、y = 1/3、z = 4/9 で、制約を満たします。値を代入すると 18 + 27 + 36 = 81 です。最小値は 81、そのとき x = 2/9、y = 1/3、z = 4/9 です。

3

等号の点が x = y = 5/2 でそろうように重みを選びます。1/x には 4/25、3/y には 12/25 を掛けます。

1/x + (4/25)x ≥ 4/5      等号は 1/x = (4/25)x、すなわち x = 5/2
3/y + (12/25)y ≥ 12/5    等号は 3/y = (12/25)y、すなわち y = 5/2

辺々を足すと 1/x + 3/y + (4/25)(x + 3y) ≥ 16/5 です。(4/25)(x + 3y) = (4/25)・10 = 8/5 なので、1/x + 3/y ≥ 8/5 です。等号は x = y = 5/2 で、x + 3y = 5/2 + 15/2 = 10 を満たします。値を代入すると 2/5 + 6/5 = 8/5 です。最小値は 8/5、そのとき x = y = 5/2 です。

4

等号の点が x = 4/3、y = 8/3 でそろうように、重みを 9/16 にします。

1/x + (9/16)x ≥ 3/2      等号は 1/x = (9/16)x、すなわち x = 4/3
4/y + (9/16)y ≥ 3        等号は 4/y = (9/16)y、すなわち y = 8/3

辺々を足すと 1/x + 4/y + (9/16)(x + y) ≥ 9/2 です。(9/16)(x + y) = (9/16)・4 = 9/4 なので、1/x + 4/y ≥ 9/4 です。等号は x = 4/3、y = 8/3 で、制約を満たします。値を代入すると 3/4 + 3/2 = 9/4 です。最小値は 9/4、そのとき x = 4/3、y = 8/3 です。

5

1/x² と 1/y² の二項に相加相乗平均を当てます。

1/x² + 1/y² ≥ 2/(xy)    相加相乗平均（等号は 1/x² = 1/y²、すなわち x = y）
2/(xy) ≥ 8/9            xy ≤ ((x + y)/2)² = 9/4 より

等号は x = y と x = y = 3/2 で一致します。実際に代入すると 4/9 + 4/9 = 8/9 です。最小値は 8/9、そのとき x = y = 3/2 です。

覚えておくこと

• 評価を重ねたら、各段の等号の点を書き出す。
• 二つの等号の点が違えば、押さえた値は下界であって最小値ではない。
• 重みの比は、制約の係数の比に合わせる。
• 重みを決めたら、等号の点を制約に代入して座標を出す。
• 最後に、元の式へ戻して値を計算し、条件を満たすことを確かめる。

つまずきの見分け方

答案を見るときは、まず等号の行を数えます。二段の評価なのに等号の条件が一組しか書かれていなければ、どこかで点を混ぜています。次に、それぞれの等号の点を連立で解き、定義域に入るかを確かめます。点が二つ出てきたら、その時点で評価の作り直しが必要です。

重みの設計では、制約の係数の比と重みの比を並べて書きます。比がずれていれば、等号の点もずれます。三変数の問題では、三つの等号の点をすべて書き、一つの座標にそろうかを見ます。分子に定数が付いた項は、等号の点が何倍になるかを計算します。

個別指導の場面では、答案の最後の値ではなく、その値が取れる点を指で示してもらいます。点を示せないなら、等号の連立をその場で解きます。値の検算は、求めた点を元の式に戻して行います。この順番で確かめると、変形が正しいのに答えが取れない答案を早く見分けられます。

そろわない等号は、値ではなく評価の組み直しを促す合図です。