大学入試数学 相加相乗平均と積の最大値—和を固定した二つの因子から上界と達成点を示す｜武蔵野個別指導塾

x と 10-2x の和は一定でなく、そのままでは積を押さえられません。2x と 10-2x に組み替えて和を 10 に固定し、等号を取る x が許容範囲にあるかを確かめます。押さえる量は、和を一定にした二つの因子の積です。

自習のノートに、x(10 − 2x) の最大値を求める答案がありました。相加相乗平均を当てはめ、x と 10 − 2x の和を 10 と書いて上界を作っています。よくあるのは、この和が実際には 10 − x で、x とともに動いているという場面です。上界に変数が残ったままだと、その式は最大値の証明になりません。ここでは、和を定数に直してから積を上から押さえ、上界を実際に取る点まで答案に書く手順を扱います。

答案で問われる二つの段

積の最大値を問う出方には、いくつかの型があります。一つは、二つの因子の和がはじめから一定で、等号を取る変数の値がそのまま答えになる型です。もう一つは、係数がずれていて和が変数を含む型で、因子を掛け直して和を定数に組み替える判断が要ります。三つ目は、等号を取る点が許容区間の外に出る型で、上界は出せても最大値には届かないことを示します。

使う道具は、非負の二数に対する相加相乗平均の不等式が中心です。補助として、平方完成で同じ式を書き直す方法と、差をとって増減を調べる方法を使います。どれも数学I と数学II で学んだ範囲で足ります。微分を持ち出す必要はありません。

前提を先に置きます。扱う変数は実数で、因子は非負、区間は閉区間を基本にします。因子が負になり得る区間では、相加相乗平均をそのまま当てはめられません。この確認を飛ばすと、後の計算がすべて崩れます。

答案の形は二段です。第一段で上界を出し、第二段でその上界を実際に取る点を示します。上界だけでは「この値より大きくなることはない」しか言えず、達成点だけでは「この点でこの値になる」しか言えません。二つがそろって、初めて最大値の証明になります。

積の最大値は、面積や個数の積として現れることが多い問いです。縦と横の長さ、二つの数の掛け算、割合どうしの掛け算などです。どれも、二つの量の和が条件で固定されているかどうかが分かれ目になります。和が固定されていれば、積の上界は和だけで決まります。和が動くなら、条件を書き直して和を固定する作業が先に来ます。

上界・等号・許容範囲を分けて書く

相加相乗平均の不等式を、使う形で確認します。a ≥ 0、b ≥ 0 のとき、次の順に変形します。

(√a - √b)² ≥ 0
a - 2√(ab) + b ≥ 0
a + b ≥ 2√(ab)
(a + b)/2 ≥ √(ab)

最初の行は実数の平方が 0 以上であることから来ています。√a と √b が実数になるのは a ≥ 0、b ≥ 0 のときです。二行目は展開、三行目は移項、四行目は両辺を 2 で割っただけです。等号の条件は、どの行でも変わりません。最初の行が等号になるのは √a − √b = 0、つまり a = b のときです。

この不等式の両辺は 0 以上なので、二乗しても向きは変わりません。ab ≤ ((a + b)/2)² という形で使います。二つの因子の積は、和の半分の二乗で押さえられます。

積を和と差で書き直すと、等号の意味が見えます。ab = ((a + b)² − (a − b)²)/4 です。和が一定なら、積が変わるのは差の二乗のぶんだけです。差が 0、つまり a = b のときに積が最も大きくなります。図1の二段は、この差の大きさを見比べていることになります。

相加相乗平均は二つの向きに使えます。和が一定なら積の上界が出て、積が一定なら和の下界が出ます。ここで扱うのは前者だけです。向きを混ぜると、上界を出したいのに下界の式を書いてしまう取り違えが起きます。答案を書く前に、固定されている量が和か積かを決めます。

和が定数 S なら、ab ≤ S²/4 です。右辺に変数が入らないので、これが動かない上界になります。積の最大値を求める手順の芯は、この「和を定数にすること」にあります。

和が定数でないと何が起きるかを見ます。x + (10 − 2x) は 10 − x です。この和で相加相乗平均を使うと、√(x(10 − 2x)) ≤ (10 − x)/2 となります。右辺に x が残っています。x を決めないと値が決まらない式は、最大値の候補になりません。x を動かすと右辺も動くので、右辺の最大値を勝手に採ることもできません。実際、右辺は x = 0 で 5、x = 5 で 5/2 です。上界の値が x ごとに変わるので、一つの数として答えに書けません。

次に等号です。上界を出しただけでは P ≤ 25/2 までしか言えていません。等号を取る x を求め、その値を代入して、書いた上界と同じ値になることを示します。答案では「等号は 2x = 10 − 2x より x = 5/2。この値は 0 ≤ x ≤ 5 を満たし、P = 25/2」と続けます。この一文があるかどうかで、答案の意味が変わります。

最後に許容範囲です。因子が非負である範囲と、x の動ける範囲は別に確認します。閉区間の端では因子が 0 になり、積も 0 になります。零の端は最大値の候補にならないことが多いのですが、除外してよい理由を答案に書きます。等号点が区間の外なら、上界は達成されません。そのときは上界ではなく、区間の中で実際に届く値を探します。

図1のように、和を一定に保ったまま二つに分けると、等しく分けたときに積が最も大きくなります。

図1の上の段は 560 と 240 に分けた長さで、下の段は 400 と 400 に分けています。全体の長さはどちらも 800 です。積は二つの長さの掛け算にあたり、560・240 = 134400、400・400 = 160000 です。和を変えずに分け方を等しく寄せると、積が大きくなることが図の二段で見比べられます。

基本例題　和がはじめから一定のとき

例題1（標準）0 ≤ x ≤ 8 のとき、P = x(8 − x) の最大値と、そのときの x の値を求めよ。

解答を一段ずつ書きます。どの行も、前の行の計算か、問題文の条件から説明できる形にします。

1. 因子の確認。0 ≤ x ≤ 8 より x ≥ 0 かつ 8 − x ≥ 0 です。二つの因子はどちらも非負で、相加相乗平均の前提を満たします。
2. 和の確認。x + (8 − x) = 8 です。x が動いても和は 8 のままです。
3. 相加相乗平均。√(x(8 − x)) ≤ (x + 8 − x)/2 = 4 となります。
4. 二乗。両辺が 0 以上なので、x(8 − x) ≤ 16 です。
5. 等号。x = 8 − x を解いて x = 4 です。0 ≤ 4 ≤ 8 を満たします。
6. 達成。x = 4 のとき P = 4・4 = 16 です。
7. 結論。最大値は 16 で、x = 4 のときに取ります。

端も確かめます。x = 0 で P = 0、x = 8 で P = 0 です。どちらも上界 16 を超えません。零の端は最大値の候補になりませんが、上界を超えないことの確認として一行残します。

別解を平方完成で作ります。

P = x(8 - x)
P = -(x² - 8x)
P = -(x - 4)² + 16

最後の行から、P ≤ 16 で、等号は x = 4 です。相加相乗平均で出した上界と同じ値に着きます。実は、二因子の和が一定のときの相加相乗平均は、平方完成を別の言葉で書いたものだと見られます。どちらで解いても構いませんが、等号の点を必ず書きます。

図2のように、P のグラフは上に凸の放物線で、頂点が (4, 16) です。

図2の頂点の x 座標 4 が等号の点で、高さ 16 が上界です。x 軸との交点は 0 と 8 で、端では積が 0 になります。グラフの形と答案の数字が一致していることを、図で確かめてから次へ進みます。

この例題で効いているのは、和が 8 で固定されていることです。だから上界が 4 の二乗という数で決まりました。和が動く式では、同じ手順が通りません。次の例題で、その組み替えを扱います。

係数を掛けて和を固定する

例題2（やや難）0 ≤ x ≤ 5 のとき、P = x(10 − 2x) の最大値を求めよ。値は分数で答えること。

まず素直に和を見ます。x + (10 − 2x) = 10 − x です。x が残っています。このまま相加相乗平均を使うと √P ≤ (10 − x)/2 で、右辺が動きます。これでは上界が決まりません。

そこで、積の形を崩さずに係数を掛けます。2P = 2x(10 − 2x) とおくと、2x + (10 − 2x) = 10 で一定になります。第一因子を 2 倍したぶん、全体も 2 倍になっているので、最後に 2 で割って戻します。

1. 非負の確認。0 ≤ x ≤ 5 で 2x ≥ 0、10 − 2x ≥ 0 です。
2. 相加相乗平均。√(2x(10 − 2x)) ≤ 10/2 = 5 です。
3. 二乗。2x(10 − 2x) ≤ 25 です。左辺は 2P なので 2P ≤ 25、すなわち P ≤ 25/2 です。
4. 等号。2x = 10 − 2x を解いて 4x = 10、x = 5/2 です。0 ≤ 5/2 ≤ 5 を満たします。
5. 達成。P = (5/2)(10 − 5) = (5/2)・5 = 25/2 です。
6. 端。x = 0 で P = 0、x = 5 で P = 0 です。

答えは、最大値 25/2（x = 5/2 のとき）です。

掛けた 2 を忘れると、25 を答えにしてしまいます。25 は 2P の上界で、P の上界ではありません。答案の最後に「2 で割って P ≤ 25/2」と一行入れておくと、この取り違えを防げます。

この組み替えは、因子の x の係数を見て決めます。x と 10 − 2x では、係数が 1 と -2 でそろっていません。片方を 2 倍すると 2x と 10 − 2x になり、係数が 2 と -2 で対になります。和を取ると x の項が消えるのは、この対になったときです。係数が 2 と -3 のようにそろわないときは、両方に数を掛けて最小公倍数に合わせます。練習3でその形を扱います。

同じ例題を平方完成で解くこともできます。P = x(10 − 2x) = -2(x − 5/2)² + 25/2 で、頂点から最大値 25/2 が出ます。相加相乗平均と平方完成は、どちらも同じ放物線の頂点を指しています。答案では、使う道具の指定がなければ短いほうを選びます。相加相乗平均は、和を固定する組み替えの判断を言葉で残せるぶん、途中の根拠が読み取りやすくなります。逆に、係数が複雑で組み替えの見通しが立たないときは、平方完成で頂点を出してから、等号の点を答案に戻す方法が確実です。

例題3（難）a は 0 < a ≤ 8 を満たす定数とする。0 ≤ x ≤ a のとき、P = x(10 − x) の最大値を、a の場合分けで求めよ。

1. 因子の確認。0 ≤ x ≤ a かつ a ≤ 8 より、x ≥ 0 かつ 10 − x ≥ 2 > 0 です。二つの因子は非負です。
2. 和の確認。x + (10 − x) = 10 で一定です。
3. 上界。相加相乗平均より √P ≤ 5、P ≤ 25 です。等号は x = 10 − x、すなわち x = 5 のときです。
4. 等号点が区間に入るかで分けます。

1. 5 ≤ a ≤ 8 のとき。x = 5 は 0 ≤ x ≤ a に含まれます。最大値は 25 で、x = 5 のときに取ります。

2. 0 < a < 5 のとき。x = 5 は区間の外です。上界 25 は達成されません。区間の中で P がどう動くかを調べます。差を取ります。

P(a) - P(x) = a(10 - a) - x(10 - x)
P(a) - P(x) = 10(a - x) - (a² - x²)
P(a) - P(x) = (a - x)(10 - a - x)

0 ≤ x < a < 5 のとき、a − x > 0 です。また a + x < 10 なので 10 − a − x > 0 です。よって P(a) − P(x) > 0、つまり P(a) > P(x) です。区間の右端 x = a で最大になり、値は a(10 − a) です。

5. 境目の確認。a = 5 のとき、(ii) の式は 5・5 = 25 で (i) と一致します。場合分けの境目で答えがつながります。

答えは、0 < a < 5 のとき a(10 − a)（x = a のとき）、5 ≤ a ≤ 8 のとき 25（x = 5 のとき）です。

この例題の要点は、上界 25 が a によらずに出るのに、最大値は a によって変わることです。a < 5 では、上界を取る点が区間の外にあります。上界と最大値は別のもので、間をつなぐのが等号点の存在確認です。「x = 5 は 0 ≤ x ≤ a に含まれない」と一行書くだけで、読み手は場合分けの理由を追えます。

よくある誤り　和が動いたまま上界を作る

誤答の例を出します。0 ≤ x ≤ 5 で P = x(10 − 2x) を考え、「x + (10 − 2x) = 10 だから、相加相乗平均より P ≤ 25。等号は x = 10 − 2x すなわち x = 10/3 のとき。よって最大値は 25」と書いた答案です。

破綻は三つあります。

一つ目は和の計算です。x + (10 − 2x) は 10 − x で、10 ではありません。x = 3 のとき和は 7 です。係数の 2 を落とすと、和が定数に見えてしまいます。

二つ目は等号の確認です。x = 10/3 を代入すると、P = (10/3)(10 − 20/3) = (10/3)(10/3) = 100/9 です。25 になりません。等号が成り立つと書いた点で、上界の値が再現できないなら、その等号の主張は誤りです。

三つ目は達成点の存在です。25 を取る x が区間 [0, 5] に見つかりません。上界を取る点が無いなら、その上界は最大値の証明に使えません。上界としては成り立っていても、答えにはならないのです。

上界は一つに決まりません。たとえば x(10 − 2x) ≤ 100 も、x(10 − 2x) ≤ 25 も、この区間では成り立ちます。最大値は、成り立つ上界のうち最も小さく、しかも実際に取れる値です。だから上界を出しただけでは足りず、達成点の確認が要ります。誤答の答案は、この二つの条件のうち片方だけを見て終えています。

直し方は、例題2で扱った組み替えです。2x と 10 − 2x に分けて、和を 10 に固定します。2P ≤ 25 より P ≤ 25/2 です。等号 x = 5/2 を代入して P = 25/2 を確かめます。上界と達成点がそろって、初めて最大値になります。

図3のように、左は和が動くため上界も動き、右は和を固定したため上界が数で決まります。

図3の左の式は x + (10 − 2x) で、x が残ります。右は 2x + (10 − 2x) = 10 で、x が消えます。この違いが、上界の決まり方を分けます。左の上界は x の関数、右の上界は数です。最大値を問われて数が出ないときは、和の行に戻って x が残っていないかを見ます。

もう一つの誤りは、因子が負になる範囲を区間に含めたまま相加相乗平均を使うことです。たとえば 0 ≤ x ≤ 7 で (x − 1)(9 − x) を考えるとき、0 ≤ x < 1 では x − 1 < 0 です。この範囲では √(x − 1) が実数にならず、不等式の前提が崩れます。範囲を 0 ≤ x ≤ 1 と 1 ≤ x ≤ 7 に分け、前者は積の符号だけで押さえます。この形は練習4で扱います。

練習問題

練習1　0 ≤ x ≤ 6 のとき、P = x(12 − 2x) の最大値と、そのときの x の値を求めよ。

練習2　0 ≤ x ≤ 8 のとき、P = (x + 1)(8 − x) の最大値を求めよ。値は分数で答えること。

練習3　0 ≤ x ≤ 4 のとき、P = (3x + 2)(10 − 2x) の最大値を求めよ。値は分数で答えること。

練習4　0 ≤ x ≤ 7 のとき、P = (x − 1)(9 − x) の最大値と、そのときの x の値を求めよ。

練習5　a は 0 < a ≤ 7 を満たす定数とする。0 ≤ x ≤ a のとき、P = x(14 − 2x) の最大値を a の場合分けで求めよ。

練習問題の解答

練習1の解答。2P = 2x(12 − 2x) とおくと、2x + (12 − 2x) = 12 で一定です。0 ≤ x ≤ 6 で 2x ≥ 0、12 − 2x ≥ 0 です。相加相乗平均より √(2x(12 − 2x)) ≤ 6、二乗して 2P ≤ 36、P ≤ 18 です。等号は 2x = 12 − 2x、すなわち 4x = 12 より x = 3 で、0 ≤ 3 ≤ 6 を満たします。このとき P = 3・6 = 18 です。端は x = 0 で 0、x = 6 で 0 です。答えは、最大値 18（x = 3 のとき）です。

練習2の解答。(x + 1) + (8 − x) = 9 で和が一定です。0 ≤ x ≤ 8 で x + 1 > 0、8 − x ≥ 0 です。相加相乗平均より √P ≤ 9/2、二乗して P ≤ 81/4 です。等号は x + 1 = 8 − x、すなわち 2x = 7 より x = 7/2 で、0 ≤ 7/2 ≤ 8 を満たします。このとき P = (9/2)(9/2) = 81/4 です。端は P(0) = 1・8 = 8、P(8) = 9・0 = 0 で、どちらも 81/4 = 20.25 より小さいです。答えは、最大値 81/4（x = 7/2 のとき）です。

練習3の解答。そのままの和は (3x + 2) + (10 − 2x) = x + 12 で、x が残ります。x の係数 3 と -2 をそろえるため、第一因子を 2 倍、第二因子を 3 倍します。6x + 4 と 30 − 6x になり、和は (6x + 4) + (30 − 6x) = 34 で一定です。積は (6x + 4)(30 − 6x) = 6(3x + 2)(10 − 2x) = 6P です。相加相乗平均より √(6P) ≤ 17、二乗して 6P ≤ 289、P ≤ 289/6 です。等号は 2(3x + 2) = 3(10 − 2x)、すなわち 6x + 4 = 30 − 6x より 12x = 26、x = 13/6 です。0 ≤ 13/6 ≤ 4 を満たします。このとき 3x + 2 = 13/2 + 2 = 17/2、10 − 2x = 10 − 13/3 = 17/3 で、P = (17/2)(17/3) = 289/6 です。端は P(0) = 2・10 = 20、P(4) = 14・2 = 28 で、289/6 は約 48.17 なので上回っています。答えは、最大値 289/6（x = 13/6 のとき）です。

練習4の解答。因子 x − 1 の符号で区間を分けます。1 ≤ x ≤ 7 では x − 1 ≥ 0、9 − x ≥ 2 > 0 で、和は (x − 1) + (9 − x) = 8 です。相加相乗平均より √P ≤ 4、P ≤ 16 です。等号は x − 1 = 9 − x、すなわち 2x = 10 より x = 5 で、1 ≤ 5 ≤ 7 を満たします。このとき P = 4・4 = 16 です。0 ≤ x ≤ 1 では x − 1 ≤ 0、9 − x > 0 なので P ≤ 0 で、x = 1 のとき P = 0 です。この範囲から 16 を超える値は出ません。端の x = 7 では P = 6・2 = 12 です。答えは、最大値 16（x = 5 のとき）です。

練習5の解答。2P = 2x(14 − 2x) とおくと、2x + (14 − 2x) = 14 で一定です。0 ≤ x ≤ a ≤ 7 で両因子は非負です。相加相乗平均より √(2P) ≤ 7、二乗して 2P ≤ 49、P ≤ 49/2 です。等号は 2x = 14 − 2x、すなわち x = 7/2 です。

1. 7/2 ≤ a ≤ 7 のとき。x = 7/2 は区間に含まれ、最大値は 49/2 です。

2. 0 < a < 7/2 のとき。x = 7/2 は区間の外です。差を取ります。

P(a) - P(x) = a(14 - 2a) - x(14 - 2x)
P(a) - P(x) = 14(a - x) - 2(a² - x²)
P(a) - P(x) = (a - x)(14 - 2a - 2x)

0 ≤ x < a < 7/2 のとき a − x > 0 で、2(a + x) < 2・2a < 14 より 14 − 2a − 2x > 0 です。よって P(a) > P(x) で、最大値は x = a のときの a(14 − 2a) です。

境目の a = 7/2 では、a(14 − 2a) = (7/2)・7 = 49/2 となり、(i) と一致します。答えは、0 < a < 7/2 のとき a(14 − 2a)（x = a のとき）、7/2 ≤ a ≤ 7 のとき 49/2（x = 7/2 のとき）です。

覚えておくこと

• 積の最大値は、二つの因子の和が定数のときだけ相加相乗平均で押さえられる。
• 和が動くなら、係数を掛けて和が定数になる形に組み替える。
• 上界を出したら、等号を取る変数の値が許容範囲にあるかを代入で確かめる。
• 因子が負になる範囲では相加相乗平均を使わず、積の符号で分ける。
• 零の端では積が 0 になる。上界と比べて最大値の候補から外す。

つまずきの見分け方

答案を前にしたら、まず和の行を見ます。「(因子の和) = 数」と書かれていて、右辺に x が残っていないか。x が残っていたら、組み替えの判断が抜けています。次に等号の行を見ます。等号の x を元の式に代入して、書いた上界と同じ値になるか。一致しなければ、係数の掛け忘れか、等号の解き方の誤りです。

三つ目は因子の符号です。区間の端で因子が負にならないかを、x の範囲を代入して確かめます。負になる端があれば、その前後で区間を分けます。四つ目は文字定数です。等号点が区間に入る条件を不等式で書き、境目で二つの式が一致するかを計算します。

個別に説明するときは、生徒に上界・等号の点・達成の確認を別の行に書かせます。三行がそろうまでは、答えを書かせません。三行がそろった答案は、計算を一字直すだけで正しい答えに戻せます。等号を取る点が区間の中にあると確かめた瞬間、不等式は答えに変わります。