大学入試数学 二変数の和と積の置換—実数の組を復元できる条件から値域を決める｜武蔵野個別指導塾

x+yとxyをs、pと置くと、実数の組が戻るかどうかはtの二次方程式が実数解をもつかで決まります。正のx、yでは根の符号の条件が加わり、対称式の値域を読む鍵は判別式です。

高2〜高3の本人が自習中、x+y=s、xy=p と置いたあと、sとpをそれぞれ独立な実数として動かし、思いついた組合せをそのまま答案に並べてしまう場面があります。二つの数を足した値と掛けた値は別々に選べそうに見えますが、実数のxとyが戻る組合せには幅があります。その幅を先に決めれば、対称式の最大値と最小値は行き先を見失わずに求まります。

和と積に置き換えると何が変わるか

二変数の問題で、xとyが対称に現れる式は、和s=x+yと積p=xyの二つにまとめると見通しが立ちます。x²+y²、x³+y³、1/x+1/y、x+y+xy はいずれもsとpだけで書けます。文字が四つから二つに減るので、式変形の負担は小さくなります。ただし、減った後のsとpが自由に動けるわけではありません。ここを混同すると、式は合っているのに存在しないxとyを前提にした答案になります。

問われ方は大きく三つに分かれます。第一は、x+yを固定してxyのとり得る範囲を問う型、またはその逆でxyを固定してx+yの範囲を問う型です。第二は、x²+y²やx+y+xyのような対称な目的式の最大値と最小値を問う型です。第三は、xとyが正である、非負であるといった条件が付き、境界の点を含めるかどうかで答えが変わる型です。どの型でも、最初にやることは同じです。sとpの組が実数のxとyを戻せるかどうかを確定させ、その範囲の中で目的式を動かします。

使う道具は数学Iの二次方程式です。xとyを解にもつ二次方程式を作り、判別式が0以上になる条件を調べます。微分も相加相乗平均も使わずに、値域の端と等号を取る組まで決められます。数学IIの範囲まで広げる必要はありません。この置き換えは、式の整理ではなく、存在条件を先に固めるための道具だと考えてください。

実数の組が戻る条件と対称式の計算

s=x+y、p=xy と置きます。このとき、xとyは二次方程式 t²-st+p=0 の二つの解です。実際、(t-x)(t-y)=t²-(x+y)t+xy=t²-st+p と展開できるので、tにxを代入してもyを代入しても0になります。逆に、この二次方程式の二つの解をα、βとすれば、解と係数の関係からα+β=s、αβ=pです。したがって、sとpから実数のxとyを戻せるかどうかは、この二次方程式が実数解をもつかどうかと同じです。

判別式をD=s²-4pとします。二次方程式が実数解をもつ条件はD≥0です。つまり、実数のxとyが存在するための必要十分条件は s²-4p≥0 です。この不等式は p≤s²/4 と書き直せます。sとpの組を平面上の点として見ると、放物線 p=s²/4 の下側または境界上だけが実数の組に対応します。sを決めてもpはいくらでも小さくできますが、上には放物線という天井があります。この天井があるために、sとpを独立な二つの実数として扱うと行き止まりに入ります。

対称式はsとpで次のように表せます。x²+y²=(x+y)²-2xy=s²-2p です。また、(x-y)²=(x+y)²-4xy=s²-4p なので、判別式は二数の差の平方でもあります。x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)=s³-3ps です。これらの式は、目的式をsとpの式に直すときに繰り返し使います。変形のたびに、もとのxとyの条件がsとpのどの条件に対応するかを横に書いておくと、後で境界を落としません。

xとyがともに正の実数である条件は、s>0、p>0、s²-4p≥0 の三つです。必要性は、x>0とy>0から和も積も正になり、実数であることから判別式も0以上になることです。十分性は次のように確かめます。D≥0なら実数の解α、βが取れます。αβ=p>0なので、αとβは同符号か、ともに0でない同符号の実数です。さらにα+β=s>0なので、両方が負になることはありません。よってα>0、β>0となり、x=α、y=βと置けます。三つの条件のうち一つでも欠けると、正の組は戻りません。s>0とp>0だけでは複素数の解しか持たない組が残り、p>0とD≥0だけでは和が負の組が残ります。

xとyがともに非負の実数である条件は、s≥0、p≥0、s²-4p≥0 です。正の条件との違いは、和と積が0になる場合を許す点です。p=0なら少なくとも一方が0で、和が0以上なら他方も0以上になります。x=y=0のときはs=p=0で、判別式も0です。問題文が「正の実数」と言っているのか「0以上の実数」と言っているのかで、境界の扱いが変わるので、答案の最初に条件を書き写して確認します。

図1のように、xとyの組を和と積に写し、二次方程式を経由して戻す流れを押さえておくと、どの条件がどこで効くかが見えます。

和が固定されたときの積と平方和

基本例題

実数x、yが x+y=4 を満たします。

1. p=xy のとり得る値の範囲を求めてください。
2. x、yがともに正の実数のとき、pのとり得る値の範囲を求めてください。
3. (1)の条件で x²+y² の最小値を求めてください。また、最大値があるかどうかも答えてください。

(1)の解答です。s=4を二次方程式に代入し、判別式を調べます。

s = 4
t² - 4t + p = 0
D = 4² - 4p = 16 - 4p
D ≥ 0 より 16 - 4p ≥ 0
p ≤ 4

p≤4のどの値に対してもD≥0なので、実数の解が存在します。したがって求める範囲は p≤4 です。上にだけ限りがあり、下には限りがありません。p=-5なら t²-4t-5=(t-5)(t+1)=0 から x=5、y=-1 が戻ります。p=0なら x=0、y=4 が戻ります。

(2)の解答です。正の実数の条件を三つに分けて確認します。

x > 0, y > 0
⇔ s > 0, p > 0, D ≥ 0
s = 4 > 0 は満たされる
p > 0 かつ p ≤ 4
0 < p ≤ 4

p=4のときは t²-4t+4=(t-2)²=0 で、x=y=2という正の重解になります。したがって p=4 は範囲に含めます。0<p<4のときは、和が4で積がp>0なので、二つの解はともに正です。p=0はx=0またはy=0を含むので、正の条件から外れます。求める範囲は 0<p≤4 です。

(3)の解答です。平方和をsとpで表してから、pの範囲を当てはめます。

x² + y² = s² - 2p
  = 16 - 2p
p ≤ 4 より -2p ≥ -8
16 - 2p ≥ 8

等号はp=4のときに成り立ち、そのときx=y=2です。よって最小値は8です。pをいくらでも小さくすると x²+y² はいくらでも大きくなるので、最大値はありません。最大値がないことを答える問題では、「最大値はない」と明記します。値が上に有界でないことを、pが下に有界でないことから示したことになります。

図2のように、s=4の縦線の上で、pが4以下の部分だけが実数の組に対応します。p=4の点は重解x=y=2で、境界も含まれます。pが4を超えると放物線の上側に入り、実数の組は戻りません。

条件が連動する例題と目的式の最大・最小

標準例題（標準）

実数x、yが x+y+xy=3 を満たします。

1. p=xy のとり得る値の範囲を求めてください。
2. x²+y² の最小値を求めてください。

(1)の解答です。和と積の両方が式に入っているので、和を積で表してから判別式に代入します。

s = x + y, p = xy と置く
x + y + xy = 3 より s = 3 - p
D = s² - 4p
  = (3 - p)² - 4p
  = p² - 10p + 9
  = (p - 1)(p - 9)
D ≥ 0 より (p - 1)(p - 9) ≥ 0
p ≤ 1 または p ≥ 9

この範囲の値を実際に取れることを確かめます。p=1ならs=2で、t²-2t+1=(t-1)²=0 からx=y=1が戻ります。p=9ならs=-6で、t²+6t+9=(t+3)²=0 からx=y=-3が戻ります。p<1のときもp>9のときもD>0で、s=3-pは実数なので、異なる二つの実数解が戻ります。よって求める範囲は p≤1 または p≥9 です。sとpが連動しているため、pの範囲が二つに分かれます。

(2)の解答です。まず平方和をsとpで表します。

x² + y² = s² - 2p
  = (3 - p)² - 2p
  = p² - 8p + 9
  = (p - 4)² - 7

この式だけを見ると、p=4で最小値-7を取るように見えます。しかしpの範囲は p≤1 または p≥9 であり、p=4はその範囲に入りません。p=4のときs=-1で、判別式は 1-16=-15<0 となり、実数の組は存在しません。したがって、範囲を二つに分けて最小値を調べます。

p≤1の部分では、(p-4)²はpが4に近づくほど小さくなります。pは1以下なので、p=1で最小になり、値は (1-4)²-7=9-7=2 です。p≥9の部分では、(p-4)²はpが大きくなるほど大きくなります。p=9で最小になり、値は (9-4)²-7=25-7=18 です。二つを比べると、全体の最小値は2です。等号はp=1、すなわちx=y=1のときに成り立ちます。x=y=1を元の式に戻すと 1+1+1=3 で、条件を満たします。答えは最小値2です。

やや難例題（やや難）

実数x、yが x²+y²=1 を満たします。このとき x+y+xy の最大値と最小値を求めてください。

解答です。目的式も条件式も対称式なので、sとpに置き換えます。

s = x + y, p = xy
x² + y² = s² - 2p = 1
p = (s² - 1)/2
D = s² - 4p
  = s² - 2(s² - 1)
  = 2 - s²
D ≥ 0 より s² ≤ 2
-√2 ≤ s ≤ √2

目的式をsだけで表します。

x + y + xy = s + p
  = s + (s² - 1)/2
  = (s² + 2s - 1)/2
  = ((s + 1)² - 2)/2
  = (s + 1)²/2 - 1

これはsの二次関数で、軸はs=-1です。sの範囲は -√2≤s≤√2 で、軸はこの範囲の内側にあります。よって最小値はs=-1のときで、値は -1 です。このときp=(1-1)/2=0で、xとyは0と-1です。x²+y²=0+1=1、x+y+xy=-1+0=-1となり、条件と値の両方を満たします。

最大値は、軸より右側で関数が増加することから、右端のs=√2で取ります。値を計算します。

(s + 1)²/2 - 1
s = √2 のとき
(√2 + 1)²/2 - 1
= (3 + 2√2)/2 - 1
= (1 + 2√2)/2
= 1/2 + √2

このときp=(2-1)/2=1/2で、t²-√2t+1/2=0 は (t-√2/2)²=0 となります。よってx=y=√2/2で、x²+y²=1/2+1/2=1を満たします。左端のs=-√2では値が 1/2-√2 で、-1より大きいので最小値ではありません。答えは最大値 1/2+√2、最小値 -1 です。

難例題（難）

正の実数x、yが x+y+xy=8 を満たします。このとき x+y の最小値を求めてください。

解答です。文字が正である条件を、和と積の三つの条件に分解します。

s = x + y > 0, p = xy > 0
s + p = 8 より p = 8 - s
p > 0 より s < 8
D = s² - 4p
  = s² - 4(8 - s)
  = s² + 4s - 32
  = (s + 8)(s - 4)
D ≥ 0 より s ≤ -8 または s ≥ 4
s > 0 かつ s < 8 と合わせて 4 ≤ s < 8

sの範囲は 4≤s<8 です。したがってsの最小値は4です。s=4のときp=4で、t²-4t+4=(t-2)²=0 からx=y=2が戻ります。2は正の実数で、x+y+xy=2+2+4=8を満たします。よって最小値は4です。

ここで、判別式の条件だけを使うと s≤-8 という枝が残ります。しかしxとyが正なら和sも正なので、この枝は最初から捨てなければなりません。逆に、p>0の条件を落とすと、判別式と s>0 から s≥4 としてしまい、sが8以上の場合まで許してしまいます。最小値の4は変わりませんが、範囲の説明が広がり、xとyが正であることの確認が抜けた答案になります。正の条件は三つそろえて使います。

独立に動かしたときに崩れる答案

誤り1　sとpを独立な実数として選ぶ

x+y=4のとき、xy=6も可能だと考える答案があります。s=4もp=6も実数だから、組合せとして問題ないように見えるためです。しかし、このsとpに対応する二次方程式は t²-4t+6=0 で、判別式は 16-24=-8 です。負なので実数解はありません。したがってxy=6となる実数のxとyは存在しません。sとpが実数であることと、その組が実数のxとyを戻すことは別です。

図3のように、点(s,p)が放物線 p=s²/4 の上側にあると、対応する実数の組はありません。sとpを別々に選んだ瞬間に、この上側の点を平気で使ってしまいます。答案では、pの候補を出す前に s²-4p≥0 を書く習慣が必要です。

誤り2　正の条件で境界を落とす

x+y=6、x、yが正の実数のとき、xyの範囲を 0<p<9 と書く答案があります。p=9のときは t²-6t+9=(t-3)²=0 で、x=y=3です。3は正の実数なので、p=9は条件を満たします。正しい範囲は 0<p≤9 です。等号を含めるかどうかは、重解の点を元の条件に代入して確かめます。反対に、p=0を含めてしまう答案もあります。p=0ならx=0またはy=0で、正の実数ではありません。境界のp=0は除き、p=9は含めるという非対称な扱いを、式ではなく代入で決めます。

誤り3　pの範囲を決めずに平方完成する

標準例題の(2)で、x²+y²=(p-4)²-7と変形したあと、そのまま最小値-7と答える答案があります。平方完成としては正しいのですが、p=4が実現しないことを見落としています。p=4のときs=-1で、判別式は負になります。目的式の最小値は、目的式単独の最小値ではなく、pのとり得る範囲の中での最小値です。先にpの範囲を確定し、その範囲の端点と軸の位置を比べてから最小値を読みます。

練習問題

次の五問を、和と積の置き換えを使って解いてください。答えはこの節の後にまとめてあります。

1. 実数x、yが x+y=6 を満たします。(1) xy のとり得る値の範囲を求めてください。(2) x²+y² の最小値を求めてください。
2. 正の実数x、yが x+y=7 を満たします。(1) xy のとり得る値の範囲を求めてください。(2) 1/x+1/y の最小値を求めてください。また、最大値があるかどうかも答えてください。
3. 実数x、yが x+y+xy=5 を満たします。xy のとり得る値の範囲を求めてください。
4. 実数x、yが x²+y²=18 を満たします。xy の最大値と最小値を求めてください。
5. 実数x、yが x²+y²=2 を満たします。x+y の最大値と最小値を求めてください。

練習問題の答え

1の答え

s=6です。判別式は D=36-4p で、D≥0より p≤9 です。p≤9のどの値でも実数解が戻るので、範囲は p≤9 です。平方和は x²+y²=36-2p で、p≤9より 36-2p≥18 です。等号はp=9、すなわちx=y=3のときに成り立ち、3+3=6を満たします。よって最小値は18で、最大値はありません。

2の答え

s=7で、正の条件は s>0、p>0、D≥0 です。D=49-4p≥0より p≤49/4 で、p>0と合わせて 0<p≤49/4 です。p=49/4のときx=y=7/2で、ともに正です。次に 1/x+1/y=(x+y)/(xy)=7/p と変形します。0<p≤49/4 の範囲で 7/p はpが大きいほど小さくなるので、最小値はp=49/4のときの 7/(49/4)=4/7 です。等号はx=y=7/2で成り立ち、1/(7/2)+1/(7/2)=2/7+2/7=4/7です。pを0に近づけると 7/p はいくらでも大きくなるので、最大値はありません。

3の答え

s=5-pと置きます。判別式は次のようになります。

D = (5 - p)² - 4p
  = p² - 14p + 25
D ≥ 0 より p² - 14p + 25 ≥ 0
p ≤ 7 - 2√6 または p ≥ 7 + 2√6

p=7-2√6のときは重解で、x=y=(5-p)/2=(-2+2√6)/2=√6-1です。p=7+2√6のときも重解で、x=y=(5-p)/2=(-2-2√6)/2=-1-√6です。どちらも実数です。範囲の外側でもD>0なので、実数の組が戻ります。よって求める範囲は p≤7-2√6 または p≥7+2√6 です。約0.101以下または約11.899以上という形で答えても構いませんが、正確な値を指定された場合は根号で答えます。

4の答え

s=x+y、p=xyと置くと、x²+y²=s²-2p=18 です。よって p=(s²-18)/2 です。判別式は次のようになります。

D = s² - 4p
  = s² - 2(s² - 18)
  = 36 - s²
D ≥ 0 より s² ≤ 36
-6 ≤ s ≤ 6

p=(s²-18)/2 はs²が大きいほど大きくなります。s²の範囲は0以上36以下なので、pの最小値はs=0のときの -9、最大値はs=±6のときの9です。s=0、p=-9のときは t²-9=0 からx=3、y=-3が戻ります。s=6、p=9のときは t²-6t+9=(t-3)²=0 からx=y=3が戻ります。s=-6、p=9のときはx=y=-3です。いずれもx²+y²=18を満たします。よって最大値9、最小値-9です。

5の答え

s=x+y、p=xyと置くと、x²+y²=s²-2p=2 です。よって p=(s²-2)/2 です。判別式は次のようになります。

D = s² - 4p
  = s² - 2(s² - 2)
  = 4 - s²
D ≥ 0 より s² ≤ 4
-2 ≤ s ≤ 2

sの範囲は -2≤s≤2 なので、最大値は2、最小値は-2です。最大値はx=y=1のとき、最小値はx=y=-1のときに成り立ち、どちらもx²+y²=2を満たします。よって最大値2、最小値-2です。

覚えておくこと

• 実数のx、yが存在する条件は s²-4p≥0、すなわち p≤s²/4 です。
• 正のx、yの条件は s>0、p>0、s²-4p≥0 の三つをそろえます。
• 平方和は x²+y²=s²-2p、立方和は x³+y³=s³-3ps です。
• 目的式をsとpで表したら、先にsとpのとり得る範囲を決めます。
• 境界の値は重解の点を元の式に代入して、含めるかどうかを決めます。

つまずきの見分け方

答案を見るときは、最初に判別式の行があるかを確認します。sとpを置いた直後に目的式の計算へ進み、判別式を書いていない答案は、実数の組が戻るかどうかを確かめていません。次に、正の条件が三つに分かれているかを見ます。和だけ、積だけ、判別式だけ、のどれか一つで済ませている答案は、境界や符号の反例を作れます。最後に、目的式の最小値を出すときに、sまたはpの範囲の端点と軸の位置を比べているかを見ます。平方完成の頂点が範囲の外にあるのに、頂点の値を答えにしている答案は、範囲の確認が抜けています。

指導では、答えを出したあとに「そのsとpからxとyを実際に作ってください」と問いかけます。xとyを作る計算は t²-st+p=0 を解くだけです。作れない組を答えに使っていた場合、この一手で矛盾が見えます。さらに「そのxとyは正ですか」と聞き、条件に戻します。式の変形が正しいかではなく、戻したときに問題文の条件を満たすかで答案を点検する。この往復を重ねると、値域の端点と等号の点が自分の言葉で説明できるようになります。復元できる組だけを動かすという順序が、対称式の値域を最後まで決めます。