中2数学 確率と同様に確からしい場合—結果の分け方をそろえて分母の根拠を示す｜武蔵野個別指導塾

二つの回転盤の組を表に並べ、和の種類ごとに起こり方が違う理由から、組を数える確率です。

よくあるのは、2つの回転盤の数の和を調べるとき、和の種類の数をそのまま分母にしている場面です。和が3種類なら、それぞれが同じくらい起こると考えたくなります。しかし、同じ和にたどり着く盤の組が1組のことも、2組のこともあります。何を1つの場合として数えたかを確かめると、分母の意味が見えてきます。ここでは区別できる2つの回転盤を使い、結果の組から確率を考えます。

和を数える前に問われること

出方には、まず2つの盤の結果を表にして、指定された和の確率を求める型があります。次に、和の種類を並べた答えが正しいかを判断し、分母を選び直す型があります。さらに、条件を満たす組が存在しない場合や、どの組でも条件を満たす場合を考える型もあります。いずれも計算に入る前に、盤の区画と結果の対応を確かめます。

必要なのは、表の行と列を読むこと、整数の和、分数の約分です。中2で学ぶ確率として、同様に確からしい場合を数える考え方を使います。回転盤を使って、等しい扱いができる場合をどのように作るかに焦点を当てます。

1組を1つの場合としてそろえる

確率は、あることが起こる程度を0から1までの数で表したものです。起こり得る場合がどれも同様に確からしいとき、求めることが起こる場合の数を、起こり得る場合の総数で割って求めます。同様に確からしいとは、どの場合も起こりやすさが等しいということです。見た目の種類の数を並べただけでは、その条件が成り立つとは限りません。

図1のように、青い盤Aと緑の盤Bを区別します。Aには等面積の2区画に1、2、Bにも等面積の2区画に1、2が1つずつ書かれています。それぞれの区画に針が止まることは同様に確からしく、2つの盤の止まり方は互いに影響しないものとします。境界に止まったときは回し直し、いずれかの区画が決まるものとします。

図1の表は、Aの数を先、Bの数を後に書いた組です。例えば(1, 2)はAが1、Bが2の場合で、(2, 1)とは盤ごとの結果が違います。4つの組は同様に確からしく、どの組も表の1ますに1回ずつ現れます。表の行と列はそれぞれ盤を表し、同じ組を重ねず、抜けなく数えるための道具です。

和は順に2、3、3、4です。和の種類は2、3、4の3種類ですが、和が3になる組は2つあり、2や4になる組は各1つです。したがって3種類を同じ起こりやすさとして分母にすることはできません。和は組につけた性質であり、組そのものではないと区別すると整理できます。

同じ数が盤の複数の区画に書かれる場合は、数字だけの組では区画を区別できません。そのときは区画に印を付けて数えます。等面積でも盤同士が影響し合う設定なら、組の起こりやすさが等しいとは限りません。以下の問題では、各区画が同様に確からしく、盤同士が互いに影響しないとします。

基本例題：表の中で和を探す

盤Aは等面積の3区画に1、2、3が1つずつ、盤Bは等面積の2区画に1、2が1つずつ書かれています。両方を1回ずつ回します。出た数の和が4になる確率を、約分した分数で求めてください。

図2のように、Aの3通りのそれぞれに対してBの2通りを並べます。表の各ますは、同様に確からしい1組に対応します。和だけを書いた表も、元の組がどの行と列にあるかを保っています。

組を列挙すると、(1, 1)、(1, 2)、(2, 1)、(2, 2)、(3, 1)、(3, 2)の6組です。それぞれの和は順に2、3、3、4、4、5です。条件に合うのは(2, 2)と(3, 1)の2組です。よって次のように求めます。

確率 = 2/6
     = 1/3

最初の分母6は組の総数、分子2はそのうち和が4になる組の数です。約分後の1と3を、元の表の組数と読み違えないようにします。6組に戻すと2組が当たり、残る4組の和は2、3、3、5です。合計2 + 4 = 6組となり、条件に合う組も合わない組も表に収まります。

和の種類は2、3、4、5の4種類です。「和が4は1種類だから1/4」とすると、和3と和4には各2組、和2と和5には各1組ある違いを落とします。答えの分数を作る前に、分子と分母が同じ単位の組数になっているかを確かめます。

標準例題：同じ数字がある区画を分ける

赤い盤には等面積の3区画があり、区画アとイには1、区画ウには3が書かれています。白い盤には等面積の2区画があり、2と4が1つずつ書かれています。両方を1回ずつ回すとき、和が5になる確率を約分した分数で求めてください。

赤の数字だけで1と3の2通りとすると、1が書かれた2区画を1つにまとめてしまいます。区画を区別した組は、(ア, 2)、(ア, 4)、(イ, 2)、(イ, 4)、(ウ, 2)、(ウ, 4)です。順に和は3、5、3、5、5、7です。どの区画の組も同様に確からしく、和が5になるのは(ア, 4)、(イ, 4)、(ウ, 2)の3組です。

確率 = 3/6
     = 1/2

答えを場面へ戻すと、赤の1の2区画はそれぞれ白の4と組になり、赤の3の区画は白の2と組になります。残る3組の和は3、3、7です。赤の数字の種類だけではなく区画の数を保ったため、6組のうち3組と確かめられます。

別の数え方として、赤の各区画について白の2通りを調べても同じです。ア、イ、ウのどれでも和が5になる白の区画は1つなので、1 + 1 + 1 = 3組です。ただし、赤の1と3という数字だけを同じ起こりやすさの2通りとして扱う方法は使えません。1は2区画に書かれているからです。

発展例題：起こらない条件と必ず起こる条件

黄の盤には等面積の4区画に0、1、2、3、紫の盤には等面積の3区画に0、1、2がそれぞれ1つずつ書かれています。両方を1回ずつ回します。和が6になる確率と、和が5以下になる確率をそれぞれ整数または約分した分数で求めてください。

組は(0, 0)、(0, 1)、(0, 2)、(1, 0)、(1, 1)、(1, 2)、(2, 0)、(2, 1)、(2, 2)、(3, 0)、(3, 1)、(3, 2)の12組です。和を同じ順に並べると0、1、2、1、2、3、2、3、4、3、4、5です。和が6になる組はなく、和が5以下になるのは12組です。

和が6になる確率 = 0/12 = 0
和が5以下になる確率 = 12/12 = 1

最大の組(3, 2)でも和は5なので、6は起こりません。また、列挙した和はどれも5以下です。0は起こり得ないこと、1は必ず起こることを表します。分母の12を0や1に変えたのではなく、条件に合う組がそれぞれ0組、12組だったと読みます。

最大の和を調べる方法は、上限を尋ねる条件には便利です。一方、和が2である確率のように途中の値を尋ねるときは、最大値を見るだけでは組数が決まりません。実際には(0, 2)、(1, 1)、(2, 0)の3組です。条件に応じて全組の表と範囲の見通しを使い分けます。

間違いを組まで戻して直す

図3のように、図1の盤で「和は2、3、4の3種類だから、和が3の確率は1/3」とする誤答を考えます。原因は、和の種類を同じ起こりやすさのものとして扱ったことです。組に戻すと、和2は(1, 1)、和3は(1, 2)と(2, 1)、和4は(2, 2)です。4組中2組が和3なので、正しくは2/4 = 1/2です。

図3の3つのまとまりは同じ組数ではありません。和の一覧は条件を探す目印にはなりますが、各和が何組からできるかを調べないまま分母には使えません。和ごとの組数を全部足して4に戻るかを見れば、漏れや重複も点検できます。

別の誤りは、(1, 2)と(2, 1)を同じ組として消すことです。和は同じですが、AとBに出た数は入れ替わっています。盤が区別できる以上、2つは別の結果です。表では別々のますに置き、和が同じなら両方に印を付けます。反対に、同じますに2回印を付けると分子が大きくなります。行と列に各1回ずつ現れることを確かめてから数えます。

区画の大きさが違う盤では、区画を単純に1つずつ数えるだけでは同様に確からしいとはいえません。盤が互いに影響する場合も同じです。問題の条件が足りなければ、表が描けることと各ますの起こりやすさが等しいことを区別し、確率を断定しないで条件を確かめます。

練習：まず問題を5問

どの問題も、盤の各区画は等面積で同様に確からしく、2つの盤は互いに影響しません。境界では回し直します。それぞれの盤を1回ずつ回し、答えは整数または約分した分数で表してください。

1. 盤Pは2区画に2、4、盤Qは3区画に1、3、5が1つずつ書かれています。和が5になる確率を求めてください。
2. 盤Rは3区画に0、2、4、盤Sは2区画に1、3が1つずつ書かれています。和が奇数になる確率を求めてください。
3. 盤Tは2区画に1、3、盤Uは3区画に2、4、6が1つずつ書かれています。和が10になる確率を求めてください。
4. 盤Vの3区画には左から2、2、5、盤Wの2区画には1、4が書かれています。和が6になる確率を求めてください。
5. 盤Xは3区画に1、4、7、盤Yは3区画に0、2、5が1つずつ書かれています。和が6以下になる確率を求めてください。

練習の答えと組の点検

1. Pを先、Qを後にした組は(2, 1)、(2, 3)、(2, 5)、(4, 1)、(4, 3)、(4, 5)です。和は順に3、5、7、5、7、9です。条件に合うのは(2, 3)と(4, 1)の2組なので、確率は2/6 = 1/3です。元の盤に戻すと2 + 3 = 5、4 + 1 = 5で、他の4組は和が5ではありません。

2. 組は(0, 1)、(0, 3)、(2, 1)、(2, 3)、(4, 1)、(4, 3)です。和は1、3、3、5、5、7で、6組とも奇数です。確率は6/6 = 1です。Rのどの偶数にSのどの奇数を足しても、列挙した和は奇数になっています。

3. 組は(1, 2)、(1, 4)、(1, 6)、(3, 2)、(3, 4)、(3, 6)です。和は3、5、7、5、7、9で、10はありません。確率は0/6 = 0です。最大でも3 + 6 = 9なので、どの組も10には届かないことを元の盤で確かめられます。

4. Vの左、中、右の区画をそれぞれア、イ、ウとします。組は(ア, 1)、(ア, 4)、(イ, 1)、(イ, 4)、(ウ, 1)、(ウ, 4)です。和は3、6、3、6、6、9ですから、条件に合う3組の確率は3/6 = 1/2です。2 + 4は別々の2区画から2組、5 + 1は1組です。残りの和は3、3、9であり、6組に戻ります。

5. 組は(1, 0)、(1, 2)、(1, 5)、(4, 0)、(4, 2)、(4, 5)、(7, 0)、(7, 2)、(7, 5)です。和は順に1、3、6、4、6、9、7、9、12です。6以下は最初の5組なので、確率は5/9です。条件に合わない和は9、7、9、12の4組で、5 + 4 = 9組と総数に戻ります。

手元に残す要点

• 区別できる盤の結果は、盤の順を決めて組にします。
• 同様に確からしい組を漏れや重複なく並べます。
• 条件に合う組数を、組の総数で割ります。
• 同じ和でも、そこに至る組数は異なることがあります。
• 起こらない場合は0、必ず起こる場合は1です。

どこで迷ったかを見る

お子さまが分母を決められないときは、先に答えの分数を尋ねるより、盤の区画を指して1組を作ってもらいます。次に別の組を1つ挙げ、2つが同じ結果かどうかを盤ごとに説明してもらうと、和と組を混同しているかを見分けられます。表を埋められても、各ますが同様に確からしい理由を言えない場合は、等面積と盤同士の関係に戻ります。

個別に確かめる際は、表の総数、条件に印を付けたます、分数の分子と分母を順に対応させます。答えが0や1のときも、該当する組がないのか、全組が該当するのかを列挙や最大値で説明できるかを見ます。例えば表の1行が抜けていれば、分子と分母の両方が変わることがあります。条件に合う組だけを探す前に、まず盤の各区画が表に現れるかを見直します。分母の根拠は、どの結果を同じ重さで数えたかにあります。