中2数学 長方形とひし形と正方形—対角線の条件から四角形の関係を説明する｜武蔵野個別指導塾

平行四辺形の対角線の等しさと垂直を調べ、前提を欠く反例も検討します。両方が成り立つ形は正方形です。

よくあるのは、対角線が等しいだけで長方形と断定する場面です。2本の線が同じ長さに見えると、向かい合う辺も平行に見えてしまうかもしれません。しかし、対角線の長さが等しい四角形の中には、直角を持たない形もあります。どこまでが問題で与えられ、どこからが証明によって言えるのかを分けてみましょう。

平行四辺形であることが先にわかっていれば、対角線の長さや交わる角から、長方形やひし形へと判断を進められます。両方の条件がそろったときは正方形です。見た目に頼らず、前提と結論を言葉で結ぶことを目指します。学習範囲は、中学2年の図形の性質と論証に当たります。

何を手がかりに形を決めるか

出方の1つは、平行四辺形の対角線が等しい、または垂直であるという情報から形を判定する問題です。もう1つは、対角線の半分の長さを式で表し、交点で半分に分かれる性質を使って値と形を求める問題です。さらに、前提を省いた主張が正しいか、反例で検討する問題もあります。

どの場合も最初に見るのは「平行四辺形か」です。対角線の条件を調べる前に、問題文にその名前があるか、または平行四辺形と証明できる条件が与えられているかを確認します。対角線は向かい合う頂点を結ぶ線分です。四角形ABCDの対角線はACとBDで、辺ABやBCとは役割が違います。

既習の道具として、平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さも等しいこと、対角線はそれぞれの中点で交わることを使います。また、三角形の合同条件や、二等辺三角形の底角、平行線の同側内角の和が180°であることを使います。合同な三角形を見つけたら、頂点の対応を順にそろえてから対応する角や辺を読み取ります。

対角線が教えることと、教えないこと

図1のように、長方形とひし形はそれぞれ平行四辺形の仲間です。長方形は4つの角が直角の四角形、ひし形は4つの辺が等しい四角形です。正方形は4つの角が直角で、4つの辺が等しい四角形なので、長方形でもあり、ひし形でもあります。名前が2つ当てはまることは矛盾しません。

図1の重なりは、正方形が両方の条件を満たすことを表しています。長方形のうち、隣り合う辺が等しくないものは正方形ではありません。同様に、ひし形のうち、角が直角でないものも正方形ではありません。包含の図は「長方形なら平行四辺形」という向きで読めますが、その逆は一般には成り立ちません。

長方形やひし形になる条件を調べるため、平行四辺形ABCDに対角線AC、BDを引きます。この2本が交わる点にOと名前を付けます。対角線はそれぞれの中点で交わるので、AO = CO、BO = DOです。ここへ次の条件を重ねます。

• AC = BDなら長方形です。
• ACとBDが垂直ならひし形です。
• AC = BDで、しかもACとBDが垂直なら正方形です。

なぜ等しい対角線から長方形になるのでしょう。AC = BDで、それぞれを半分に分けるのでAO = BOです。AO = COもあるため、AO、BO、COは等しくなります。△AOBと△BOCでは、AO = CO、BOは共通、AB = BCです。最後の等式はまだわかっていないので、この組み合わせで合同と言うことはできません。そこで、辺を共通に持つ別の三角形を選びます。

△ABCと△BADでは、ABは共通、平行四辺形の向かい合う辺よりBC = AD、条件よりAC = BDです。3組の辺がそれぞれ等しいので、△ABCと△BADは合同です。対応する角から∠ABC = ∠BADです。一方、ADとBCは平行なので、同側内角∠ABCと∠BADの和は180°です。等しい2つの角の和が180°ですから、どちらも90°です。平行四辺形の残る角も直角になり、長方形とわかります。

次に垂直の場合です。△AOBと△COBは、AO = CO、BOは共通、∠AOB = ∠COB = 90°です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AOBと△COBは合同です。したがってAB = CBです。平行四辺形では向かい合う辺も等しいので、4辺が等しく、ひし形です。2本の対角線の長さが等しいとは、この段階では言っていません。

長方形の対角線が等しいことも、ひし形の対角線が垂直であることも、それぞれ成り立ちます。逆向きに使うときは平行四辺形という前提を添えることが要点です。例えば対角線が同じ長さの四角形でも、それぞれを半分に分けて交わるとは限りません。その違いは後の反例で確かめます。

基本例題：半分ずつをつなぐ

問題。図2の平行四辺形ABCDで、対角線ACとBDの交点をOとします。AO = 5 cm、BD = 10 cmです。四角形ABCDは長方形、ひし形、正方形のうち必ずどれに当てはまりますか。また、対角線の長さの関係と、ひし形と正方形まで決められるかを理由とともに答えてください。

図2ではOが両方の対角線の中点です。したがってCO = AO = 5 cmで、ACの長さは次のように求められます。

AC = AO + CO
   = 5 + 5
   = 10 cm

問題のBDも10 cmなので、AC = BDです。平行四辺形の対角線が等しいことから、ABCDは長方形です。式で出した10 cmを元の条件に戻すと、ACの半分は5 cmで、与えられたAOに一致します。BDの半分も5 cmですが、この等しさから交わる角が直角とは限りません。

ひし形、正方形とまで決めるには情報が足りません。例えば10 cmの2本の線分をそれぞれの中点で交わらせ、端を順に結びます。交わる角を直角にすれば正方形、直角以外にすれば正方形ではない長方形ができます。どちらも与えられた対角線とその中点の条件を満たし、後者はひし形ではありません。

したがって、必ず言える答えは長方形です。図が正方形に近く見えても垂直の印がなければ、図の見た目を条件に足さないでください。対角線の長さが等しいという条件と、垂直に交わるという条件は別々に調べます。

標準例題：垂直なら、どの辺が等しくなるか

問題。平行四辺形EFGHの対角線EGとFHは点Pで垂直に交わります。EF = 7 cmのとき、4辺の長さをそれぞれcmで答え、EFGHがどの四角形か説明してください。また、正方形と決まるかも答えてください。

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるのでEP = GPです。△EPFと△GPFに注目すると、EP = GP、PFは共通、∠EPF = ∠GPF = 90°です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△EPFと△GPFは合同です。対応する辺からEF = GFとなります。

さらに平行四辺形の向かい合う辺は等しいので、EF = GH、FG = HEです。EF = 7 cmを代入すると、EF、FG、GH、HEはどれも7 cmです。4辺が等しいのでEFGHはひし形です。得られた4辺を元の条件へ戻すと、EFは確かに7 cmで、向かい合う辺の長さも一致します。

ただし、正方形とは限りません。ひし形には、4辺が等しくても角が直角でないものがあります。例えば1つの角が60°のひし形は条件に合いますが、正方形ではありません。逆に1つの角が90°のひし形も条件に合い、こちらは正方形です。垂直の印は対角線の交点にあるのであって、頂点Eの角に直角の印があるわけではありません。

別の考え方は、平行四辺形で対角線が垂直ならひし形という性質をそのまま使う方法です。その後、ひし形の4辺が等しいことから各辺を求めます。性質を知っている場合は短く書けますが、理由を問われたら上の合同を使って、垂直がどの辺の等しさにつながるかまで説明します。

発展例題：条件がそろう境目

問題。平行四辺形JKLMの対角線JLとKMは点Nで垂直に交わります。JN = 3x − 1 cm、KM = 2x + 6 cmで、xは正の数です。JKLMが正方形となるときのxと、2本の対角線の長さを求めてください。また、その値で確かに正方形となる理由を述べてください。

すでに平行四辺形で対角線が垂直なので、JKLMはひし形です。正方形になるには長方形の条件も必要です。平行四辺形の対角線が等しければ長方形なので、JL = KMとなる場合を調べます。NはJLの中点ですからJL = 2JNです。よって、正方形なら次の式が成り立ちます。

2(3x - 1) = 2x + 6
6x - 2 = 2x + 6
4x = 8
x = 2

ここでは正方形ならx = 2とわかっただけです。反対にx = 2を元の長さへ戻して、正方形になる条件が本当にそろうか確かめます。

JN = 3・2 - 1 = 5 cm
JL = 2・5 = 10 cm
KM = 2・2 + 6 = 10 cm

JL = KMですから、平行四辺形JKLMは長方形でもあります。もともと対角線が垂直で、ひし形でもあるので、4つの角が直角で4辺が等しい正方形です。答えはx = 2、JL = KM = 10 cmです。JNとKMはいずれも正の長さになり、NがJLの中点という条件にも合います。

この問題の分かれ目は、式を作る前にJLをJNの2倍にすることです。JNとKMを直接等しいと置くと、片方は半分、もう片方は全体という異なる長さを比べてしまいます。また、対角線が等しいだけから正方形を結論するのではなく、問題文で与えられた垂直も最後に使います。条件を1つずつ戻して初めて、求めた値が十分であるとわかります。

まちがいを反例と条件で直す

図3のような四角形を考えます。ACとBDは同じ長さですが、交点OはACの中点ではありません。対角線が等しいという事実だけで長方形と判断すると、次のような誤答になります。

誤答1「AC = BDだからABCDは長方形です」。原因は、平行四辺形という前提を落としたことです。図3ではACとBDはどちらも10単位ですが、AO = 8、OC = 2です。平行四辺形の対角線ならそれぞれの中点で交わるはずなので、この四角形は平行四辺形ではありません。長方形なら平行四辺形でもあるため、長方形でもありません。

修正すると「ABCDが平行四辺形で、さらにAC = BDなら長方形」です。対角線がそれぞれの中点で交わることが別に与えられている場合は、まずその条件から平行四辺形であることを示してから使えます。例えばAO = CO、BO = DOなら、対頂角を使って△AOBと△CODが合同となり、対応する角からABとCDが平行になります。もう一組も同じように示せます。

誤答2「平行四辺形の対角線が垂直だから、長方形です」。原因は、垂直という条件を頂点の直角と取り違えたことです。縦に長いひし形を描くと、対角線は垂直に交わりますが、頂点の角は直角ではありません。垂直からわかるのはひし形であることです。長方形とするには対角線が等しいなど、さらに直角を導く情報が必要です。

誤答3「長方形は正方形ではない」。原因は、図形の名前を互いに重ならない箱として覚えたことです。4つの角が直角という長方形の条件を正方形も満たします。ただし、長方形がいつも正方形になるわけではありません。長方形の中に正方形を含め、辺の等しさが加わるかを調べると、向きの違いがはっきりします。

練習：条件を読み替えて考える

次の5問を先に解き、答えと理由をノートにまとめてから、後の解答を読んでください。必要な長さはcmで答えます。

1. 平行四辺形PQRSの対角線PRとQSの交点をTとします。PT = 6 cm、QS = 12 cmです。必ず長方形といえるか、理由とともに答えてください。正方形と決まるかも答えてください。
2. 平行四辺形UVWXの対角線UWとVXは垂直に交わります。UV = 9 cmです。4辺の長さと、この四角形が必ず当てはまる名前を答えてください。
3. 平行四辺形ABCDの対角線は等しく、垂直に交わります。AB = 8 cmです。四角形の名前とBC、CD、DAの長さを答え、理由を述べてください。
4. 四角形EFGHの対角線EGとFHは等しい長さです。「EFGHは必ず長方形である」という主張が正しいか答えてください。正しくなければ、対角線が等しいが長方形ではない四角形を1つ挙げてください。
5. 平行四辺形KLMNの対角線KMとLNは垂直に交わり、交点をOとします。KO = 2x + 1 cm、LN = 3x + 5 cmです。KLMNが正方形となるときのxと、対角線KM、LNの長さを求め、逆にその値で正方形になることも説明してください。

練習の答えと考え方

1. 必ず長方形です。TはPRの中点なので、TR = PT = 6 cmです。したがってPR = 12 cmで、与えられたQS = 12 cmと等しくなります。平行四辺形の対角線が等しいので長方形です。PRの半分は6 cm、QSの全体は12 cmとなり、元の条件に戻ります。対角線が垂直かどうかは与えられていないため、正方形とは決まりません。横長の長方形と正方形のどちらも対角線を12 cmにできます。

2. UV = VW = WX = XU = 9 cmで、ひし形です。平行四辺形の対角線が垂直なので、先ほどの合同の理由から隣り合う辺が等しくなります。向かい合う辺も等しいため4辺は9 cmです。答えのUVは与えられた9 cmに戻り、向かい合う辺の長さも一致します。直角の頂点があるとは限らないので、正方形とは限りません。

3. 正方形で、BC = CD = DA = 8 cmです。平行四辺形で対角線が等しいので長方形、垂直なのでひし形です。4角が直角で4辺が等しく、正方形になります。ABも8 cmであり、答えを戻すと4辺がすべて等しい条件に合います。正方形の対角線は等しく垂直なので、問題の2つの条件とも矛盾しません。

4. 主張は正しくありません。例えば上底と下底が平行で、その両端を結ぶ斜めの2辺が等しい、上底と下底の長さが異なる台形を考えます。この形は対角線が等しくても、向かい合う辺の一方の組が平行ではないので長方形ではありません。具体的には、上の左右の頂点をそれぞれ下の左右の頂点より内側に同じ距離だけずらせば、左右対称になり、対角線も対応して等しくなります。平行四辺形という前提を補う必要があります。

5. 正方形ならKM = LNです。OはKMの中点なのでKM = 2KOです。したがって次のように解きます。

2(2x + 1) = 3x + 5
4x + 2 = 3x + 5
x = 3

x = 3を元に戻すとKO = 7 cm、KM = 14 cm、LN = 14 cmです。長さは正で、KMの半分も与えられたKOに一致します。対角線が等しいので長方形、与えられた垂直の条件からひし形でもあります。よって逆にx = 3なら正方形です。

覚えておきたい3行

平行四辺形で対角線が等しければ長方形、垂直ならひし形です。 両方が成り立てば正方形で、正方形は長方形でもひし形でもあります。 前提がないときは、対角線の条件だけから同じ結論を出せるか反例で調べます。

答えまでの道筋を見直す

お子さまが形の名前を間違えたときは、まず「何が与えられたか」に印を付けてもらいます。平行四辺形の語を見落としたのか、対角線の等しさと垂直を混同したのかで、戻る場所が変わります。答えが合っていても、図の見た目から正方形と推測していたなら、長方形で正方形ではない例も描いて比べると判断の根拠が見えます。

個別指導で確かめるなら、対角線の交点に等しい部分を記入し、合同に使う三角形の頂点を対応順に読んでもらうとよいでしょう。式を使う場合は、半分の長さと全体の長さを線分名で書き分け、求めた値を最初の条件へ戻します。前提と結論の間にある一歩を言葉にできれば、四角形の名前は理由とともに選べます。