中学受験の算数 円柱と円錐の展開図—底面の円周と側面の長さを対応させる｜武蔵野個別指導塾

円柱の側面を切り開くと、横の長さが底面の円周と重なる長方形になります。円錐ではおうぎ形の弧が底面の円周に等しく、中心角を決めるのは母線です。

よくあるのは、円錐の見取図のわきに「底面の半径4cm、母線10cm」と書いてあるのに、展開図をかく段になっておうぎ形の半径にも4cmと書きこんでしまう場面です。見取図では、頂点から底面のふちまでが母線、底面の中心からふちまでが半径で、長さの違う2本の線です。ところが紙の上で切り開くと、おうぎ形の中心から弧までのびる線は母線の長さを受け継ぎます。この1本を取り違えると、中心角も側面積もずれます。まず図の上で2本を指で分けるところから始めます。

問われ方と条件の読み取り

展開図の問題は、大きく三つの形で問われます。一つ目は、円柱の側面を切り開いてできる長方形の横の長さを問う形です。この横は、底面の円のまわりを一周した長さ、つまり円周と同じになります。二つ目は、円錐の側面を切り開いてできるおうぎ形の中心角を問う形です。弧の長さが底面の円周に等しいという一点から、角の大きさを決めます。

三つ目は、側面積や表面積を求める形です。側面だけを問われることもあれば、底面を足して立体全体の面積を問われることもあります。円柱なら底面は上下に2枚、円錐なら底面は1枚です。どちらの立体か、底面が何枚かで式の形が変わるので、問いの最後まで読んでから手を動かします。

条件の読み取りで見落としやすいのは、半径と直径の区別、母線と高さの区別、円周率の指定です。問題文が「半径」と言えばそのまま使い、「直径」と言えば2で割って半径にします。円錐の「高さ」は頂点から底面の中心までまっすぐ下ろした長さで、「母線」は頂点から底面のふちまでの斜めの長さです。円周率は3.14などと指定された値を使い、途中で丸めません。

解く前に、問題文の長さを図へ書き写します。円柱なら半径と高さ、円錐なら半径と母線を、見取図と展開図の両方に書きます。同じ長さの線を同じ印で結ぶと、どちらが側面に受け継がれるかが見えます。図に書いてから式を立てると、途中で別の長さを代入する誤りが減ります。

用語と考え方—側面の長さが底面の円周と重なる

立体をはさみで切り開いて平らに広げた図を展開図といいます。円柱の側面は、切り開くと長方形になります。この長方形の横の長さは、底面の円のふちを一周した長さと同じです。側面を丸め直すと、長方形の横の2つの端がぴったり出会い、底面の円のふちに沿うからです。

円柱の表面積は、側面の長方形の面積に、上下2枚の円の面積を足して求めます。底面の半径をr、高さをhとすると、側面の横はr×2×円周率、縦はhになります。側面積は(r×2×円周率)×h、底面積は1枚がr×r×円周率です。ここで円周率を3.14とすると、半径5cm、高さ12cmの円柱では、側面の横が31.4cm、側面積が376.8cm²、表面積が533.8cm²になります。数字は後の例題で一から確かめるので、ここでは「横が円周、縦が高さ」という形だけを持ち帰ってください。

展開図をかくときは、側面の長方形を先に置き、その横の長さに合わせて上下に円を付けます。円は長方形の横の辺に接するようにかき、横の両端どうしが丸めたときに出会うことを確かめます。円の位置は横の辺のどこでもかまいませんが、接する長さが円周と等しいことが大切です。円錐では、おうぎ形の弧に底面の円を外側から接するように置きます。弧の長さと円周が等しいので、円を弧に沿って転がすと1周して元の位置に戻ります。

円錐の側面は、切り開くとおうぎ形になります。このおうぎ形の半径は、円錐の母線の長さです。底面の半径ではありません。おうぎ形の弧の長さは、底面の円の円周と等しくなります。頂点から底面のふちまでを1本の線で切って開くと、底面のふちだった部分が弧になり、切り口だった母線がおうぎ形の半径になるからです。

この二つの対応から、おうぎ形の中心角が決まります。中心角が360°のおうぎ形全体の円周は、母線×2×円周率です。そのうち弧の部分は、底面の円周である半径×2×円周率です。割合は(半径×2×円周率)÷(母線×2×円周率)=半径÷母線になります。したがって中心角は、360°×半径÷母線です。半径と母線のどちらをどちらで割るかは、弧が底面の円周に等しいという対応をたどれば、その場で作り直せます。

おうぎ形の面積も、中心角の割合で求められます。半径が母線と同じ円の面積に、中心角÷360を掛けるだけです。側面積の式を丸暗記しようとすると、母線と半径のどちらを掛けるかで迷います。中心角の割合を先に決め、円の面積にその割合を掛ける順にすれば、迷う場所が減ります。

円錐の展開図をかく手順も、同じ順番です。底面の円周を計算し、母線を半径とする円の円周を計算し、その割合から中心角を出します。中心角を分度器でとり、母線の長さでおうぎ形をかき、弧の長さが底面の円周と等しいことを確かめます。中心角を先に決めてからおうぎ形をかくと、弧の長さが合わないときに直す場所がはっきりします。

二つの立体の対応を表にまとめると、次のようになります。

円錐の「高さ」と「母線」も別の長さです。高さは頂点から底面の中心までまっすぐ下ろした長さで、母線は頂点から底面のふちまで斜めにのびる長さです。展開図のおうぎ形に受け継がれるのは母線だけです。高さが与えられていて母線が問われている場面では側面の直角三角形を使いますが、この単元では母線が問題文で与えられる形を扱います。

図1のように、円柱では側面の長方形の横が底面の円周に、円錐ではおうぎ形の弧が底面の円周に重なります。どちらも「曲がったふちをまっすぐに伸ばした長さ」が同じになる、という一つの考え方です。図1の左で長方形の横をなぞり、右で弧をなぞると、対応する場所が目で追えます。この対応を保つには、円錐を頂点が底面の中心の真上にあるまっすぐな円錐として扱い、側面を母線に沿って1本の直線で切ることが条件です。

図1の左側では、円柱の側面だった長方形の横が底面の円のふちと同じ長さになっています。右側では、円錐の側面だったおうぎ形の半径が母線に、弧が底面の円周になっています。

基本例題—円柱の側面を長方形に開く

底面の半径が5cm、高さが12cmの円柱があります。円周率は3.14とします。この円柱の展開図で、側面の長方形の横の長さ、側面積、表面積を求めなさい。

まず、底面の円周を求めます。円周は直径×円周率なので、5×2=10cmの直径に3.14を掛けて、31.4cmです。この31.4cmが、側面の長方形の横の長さになります。側面を丸め直すと、長方形の横の2つの端が底面の円のふちに重なるからです。長方形の縦は、円柱の高さそのものなので12cmです。

次に、側面積を求めます。長方形の面積は横×縦なので、31.4×12=376.8cm²です。31.4×12の計算は、314×12=3768と整数で求めてから、小数点を左に1つ戻して376.8とします。31.4は小数第1位までなので、答えも小数第1位までです。面積の単位はcm²になり、長さのcmと区別して書きます。続いて底面の面積を求めます。半径5cmの円の面積は5×5×3.14=78.5cm²で、底面は上下に2枚あるので78.5×2=157cm²です。最後に側面積と底面積を足して、376.8+157=533.8cm²が表面積です。

検算では、別の順で確かめます。底面積2枚分が157cm²、側面積が376.8cm²で、合わせて533.8cm²です。側面の横31.4cmを円周とみなすと、直径は31.4÷3.14=10cm、半径は5cmに戻ります。問題文の半径5cmと一致するので、横の長さの取り違えはありません。

図2に、この円柱の展開図と寸法を示しました。長方形の横に31.4cm、縦に12cm、円の半径に5cmが入っています。図2の数値をなぞりながら、横が円周、縦が高さであることを確かめてください。

図2のように、長方形の横は底面の円周をそのまま伸ばした長さです。円の半径5cmから円周31.4cmを作り、それを長方形の横に移す順で見ると、式の意味がつながります。

標準と発展の例題—円錐のおうぎ形を読み替える

例題2

底面の半径が4cm、母線が10cmの円錐があります。円周率は3.14とします。側面のおうぎ形の中心角と側面積、表面積を求めなさい。

まず、底面の円周を求めます。4×2×3.14=25.12cmです。この長さが、おうぎ形の弧の長さになります。次に、母線10cmを半径とするおうぎ形全体の円周を求めます。10×2×3.14=62.8cmです。

弧の長さが全体の円周のどれだけにあたるかで、中心角が決まります。25.12÷62.8=0.4なので、中心角は360×0.4=144°です。半径÷母線で考えるなら4÷10=0.4で、同じ値になります。

側面積は、半径10cmのおうぎ形の面積の0.4倍です。10×10×3.14=314cm²の0.4倍で、125.6cm²になります。底面積は4×4×3.14=50.24cm²、底面は1枚なので、表面積は125.6+50.24=175.84cm²です。

別解として、側面積を母線×半径×円周率で求めることもできます。おうぎ形の面積は半径×弧÷2で、弧は底面の円周である半径×2×円周率です。これを代入すると、母線×(半径×2×円周率)÷2=母線×半径×円周率になります。10×4×3.14=125.6cm²で、同じ答えに届きます。どちらの式も、弧が底面の円周に等しいことから出ています。

例題3

側面のおうぎ形の中心角が120°、母線が9cmの円錐があります。円周率は3.14とします。底面の半径と表面積を求めなさい。

まず、母線9cmを半径とするおうぎ形全体の円周を求めます。9×2×3.14=56.52cmです。中心角が120°なので、弧の長さは56.52×120÷360=56.52÷3=18.84cmです。

この弧の長さが底面の円周に等しいので、底面の円周も18.84cmです。直径は18.84÷3.14=6cm、半径はその半分の3cmになります。中心角の式で確かめるなら、360×3÷9=120°となり、問題文の中心角に戻ります。

側面積は9×9×3.14=254.34cm²の120÷360=3分の1で、84.78cm²です。底面積は3×3×3.14=28.26cm²です。表面積は84.78+28.26=113.04cm²になります。母線×半径×円周率で確かめても、9×3×3.14=84.78cm²で一致します。

例題4

側面の長方形の横が62.8cm、縦が7cmの円柱があります。円周率は3.14とします。底面の半径と表面積を求めなさい。

横の62.8cmが底面の円周なので、直径は62.8÷3.14=20cm、半径は10cmです。縦の7cmは円柱の高さです。底面積は10×10×3.14=314cm²で、2枚分は628cm²です。

側面積は62.8×7=439.6cm²です。表面積は439.6+628=1067.6cm²になります。半径10cmから円周を作り直すと10×2×3.14=62.8cmで、問題文の横の長さに戻ります。

例題2と例題3は同じ円錐でも、与えられる長さが違います。例題2は半径と母線から中心角を出し、例題3は中心角と母線から半径を出します。どちらも「弧の長さ=底面の円周」を出発点にすると、式の向きを間違えません。

例題5

底面の半径が3cmの円柱と円錐があります。円柱の高さは8cm、円錐の母線は9cmです。円周率は3.14とします。円柱の側面の長方形の横の長さと、円錐の側面の弧の長さを比べ、円錐のおうぎ形の中心角と、それぞれの側面積を求めなさい。

二つの立体は底面の円が同じなので、円周はどちらも3×2×3.14=18.84cmです。円柱の側面の横はこの円周そのもので、18.84cmです。円錐の側面の弧も底面の円周に等しいので、18.84cmです。側面の形は違っても、底面に接する部分の長さは同じになるのが面白いところです。

円錐の中心角は、360×3÷9=120°です。円柱の側面積は18.84×8=150.72cm²です。円錐の側面積は3×9×3.14=84.78cm²です。同じ18.84cmでも、円柱は高さ8cmの長方形に、円錐は母線9cmのおうぎ形になり、面積は変わります。長さが同じでも形が違えば面積は違う、という比較になります。

よくある誤答と直し方—半径と母線を同じにしない

一つ目の誤答は、円錐の展開図でおうぎ形の半径を底面の半径と同じにする型です。底面の半径4cm、母線10cmの円錐で、おうぎ形の半径にも4cmと書き、中心角を360°としてしまうと、側面積は16×3.14=50.24cm²になります。正しい側面積は125.6cm²なので、半分にも届きません。原因は、見取図の横に並んだ2本の線を同じ長さと見てしまうことです。直し方は、おうぎ形の中心から弧までを指でなぞり、その線が頂点から底面のふちまでの母線と同じ長さだと確かめることです。

二つ目の誤答は、中心角の割合を逆にする型です。360×母線÷半径として、360×10÷4=900°のような値を作ってしまいます。角度が360°を超えた時点で誤りだと気づけます。直し方は、弧の長さと全体の円周を別々に計算し、小さい方を大きい方で割ることです。25.12÷62.8=0.4のように、割合が1より小さいことを確かめてから360を掛けます。

三つ目の誤答は、円柱の側面の横を半径×円周率とする型です。半径5cmの円柱で5×3.14=15.7cmとしてしまうと、正しい31.4cmの半分になります。円周は直径×円周率なので、半径を2倍してから掛けます。直し方は、半径から直径、直径から円周、円周から長方形の横、と4つの箱を順に埋めることです。

四つ目の誤答は、表面積で底面の枚数を間違える型です。円柱なのに底面を1枚だけ足したり、円錐なのに底面を足し忘れたりします。円柱は上下に2枚、円錐は1枚です。側面積だけを答える問題か、底面も含めた表面積を答える問題かも、問いの言葉で見分けます。

五つ目の誤答は、小数の位取りを落とす型です。31.4×12を314×12=3768として、そのまま3768cm²と答えてしまいます。31.4は小数第1位までなので、整数の計算のあと小数点を左に1つ戻し、376.8とします。直し方は、式の横に「小数第1位」とメモし、答えの位取りを声に出して確かめることです。

図3の左は、円錐の母線と半径を同じ4cmとした誤りです。右は、母線10cmと半径4cmを分け、中心角144°とした正しい対応です。図3のように、母線と半径を別の役割の線として書き分けると、取り違えは減ります。

図3の左では、頂点から底面のふちまでと、底面の中心からふちまでが同じ長さでかかれています。右では母線が10cm、半径が4cmと分かれ、弧の長さが底面の円周に等しくなっています。

練習問題

次の5問を解いてください。円周率はすべて3.14とします。

1. 底面の直径が8cm、高さが14cmの円柱があります。側面の長方形の横の長さと側面積を求めなさい。
2. 底面の半径が3cm、高さが10cmの円柱があります。表面積を求めなさい。
3. 底面の半径が6cm、母線が15cmの円錐があります。側面のおうぎ形の中心角と側面積を求めなさい。
4. 側面のおうぎ形の中心角が90°、母線が12cmの円錐があります。底面の半径と表面積を求めなさい。
5. 側面の長方形の横が43.96cm、縦が9cmの円柱があります。底面の半径と表面積を求めなさい。

解答と解き方

1. 底面の円周は8×3.14=25.12cmで、これが長方形の横です。側面積は25.12×14=351.68cm²です。

2. 底面の円周は3×2×3.14=18.84cm、側面積は18.84×10=188.4cm²です。底面積は3×3×3.14=28.26cm²で2枚分は56.52cm²です。表面積は188.4+56.52=244.92cm²です。

3. 底面の円周は6×2×3.14=37.68cm、母線15cmのおうぎ形全体の円周は15×2×3.14=94.2cmです。37.68÷94.2=0.4なので中心角は360×0.4=144°です。側面積は6×15×3.14=282.6cm²です。

4. 母線12cmのおうぎ形全体の円周は12×2×3.14=75.36cm、中心角90°の弧は75.36×90÷360=18.84cmです。これが底面の円周なので直径は18.84÷3.14=6cm、半径は3cmです。底面積は3×3×3.14=28.26cm²、側面積は12×12×3.14×90÷360=113.04cm²です。表面積は28.26+113.04=141.3cm²です。

5. 横の43.96cmが底面の円周なので、直径は43.96÷3.14=14cm、半径は7cmです。底面積は7×7×3.14=153.86cm²で2枚分は307.72cm²です。側面積は43.96×9=395.64cm²です。表面積は395.64+307.72=703.36cm²です。

どの問題も、出した答えを問題文の条件に戻して確かめられます。円柱なら半径から円周を作り、長方形の横と一致するかを見ます。円錐なら半径と母線から中心角を作り、問題文の中心角と一致するかを見ます。表面積は、側面積と底面積の合計を別の順で足し直しても同じ値になります。

覚えておくこと

• 円柱の側面の長方形の横は、底面の円周と同じ長さになる。
• 円錐の側面のおうぎ形の半径は母線で、弧の長さは底面の円周に等しい。
• 円錐のおうぎ形の中心角は、360°×底面の半径÷母線で求められる。
• 表面積は側面積に底面を足す。円柱は底面2枚、円錐は底面1枚。
• 問題文の半径・直径・母線・高さのどれが与えられているかを先に読む。

つまずきの見分け方と確かめ方

おうぎ形の半径に底面の半径を書きこむ誤りは、図の上で母線をなぞらせると見つかります。「この線は頂点からどこまでか」と尋ね、底面のふちまでと答えられれば用語は分かっています。答えられないときは、見取図と展開図を並べ、同じ長さの線を同じ色で塗ります。

中心角の計算で止まる場合は、弧の長さと全体の円周を別の行に書かせます。2つの数を並べると、どちらをどちらで割るかが目で決まります。表面積の誤りは、底面を塗り分けさせ、何枚あるかを声に出して数えさせると分かります。

計算の前に「展開図のどの線が底面の円周になるか」を指で示させる時間を、1問につき10秒ほど取ります。この10秒が、式を立てた後の迷いを減らします。

ノートの書き方も手がかりになります。側面の長方形の横に半径の値をそのまま書いていたら、円周を作る途中で止まっています。おうぎ形の半径のそばに底面の半径を書いていたら、母線との区別がついていません。誤りの形から、どの用語でつまずいているかを推測し、その用語の図を1枚かいて説明します。

おうぎ形の弧を指でたどって底面の円に巻きつけると、中心角の式は覚えていなくても、その場で組み立てられます。