中学受験の算数 立方体と直方体の展開図—組み立てた後の面と辺と頂点の対応を追う｜武蔵野個別指導塾

十字に並べた6つの正方形を折ると、紙の上で離れていた角が1つの頂点に集まります。向かい合う面を1つ飛ばしでたどって確かめられるのが立方体です。

よくあるのは、机の上に切り取った展開図を広げ、まだ折る前から「この面の向かいはどこだろう」と指を止める場面です。紙の上では遠く離れた二つの角が、組み立てると同じ頂点に集まることに、折ってから初めて気づくお子さまもいます。ここでは、折る前に面と辺と頂点の行き先を書き込み、組み立てた後と見比べる手順を、番号の付いた展開図でたどります。

展開図の問題で問われる三つの型

展開図の問題は、大きく三つの型に分かれます。一つ目は、指定された面と向かい合う面を答える型です。「1の向かいはどれですか」と聞かれ、6つの面から一つを選びます。二つ目は、立方体を置いたときの向きを決める型です。「1を上、2を手前にしたとき、3はどこに来ますか」のように、二つの面の位置から残りを決めます。三つ目は、紙の上で離れた辺や角の行き先を答える型です。「この辺と重なる辺はどれですか」「この角と同じ頂点になる角はどれですか」と聞かれます。

どの型でも、最初に確かめるのは条件です。面は6つ、辺は12本、頂点は8つで、この数はどんな展開図でも変わりません。次に、その展開図が本当に立方体になるかを確かめます。正方形が6つつながっていても、折ると2枚の面が同じ場所に重なってしまう形は、立方体の展開図ではありません。正方形が2つ×2つに固まって並ぶ形は、折ると面どうしがぶつかるので使えません。

もう一つ、先に押さえておきたいことがあります。展開図だけでは「どの面が上か」は決まりません。決まるのは、面どうしの相対的な位置関係です。上にする面を決めれば、残りの面の位置は自動的に決まります。問題文に「上」「手前」とあれば、それは置き方の指定であって、展開図から読み取る情報ではありません。この区別がつくと、向きを問う問題で迷いにくくなります。

問題文では、展開図に面の番号や記号が付いて渡されます。番号は、対面を答えるための目印です。まず、同じ番号や記号が2回出てこないかを確かめてください。6つの面に1から6までが1回ずつ付いていれば、数え間違いは起きません。記号がア、イ、ウ、エ、オ、カの6種類であれば、同じように1回ずつです。展開図の形は問題ごとに違いますが、面の数え方と記号の確かめ方は変わりません。

面の並びを読む三つのきまり

用語をそろえます。平らな紙に正方形を6つつなげて描いた図を展開図といいます。隣り合う正方形の間の線を折り目といい、折り目は5本あります。折ったときに外側に来る面どうしを向かい合う面、辺を共有する面を隣り合う面といいます。展開図の外側の辺は、折ると2本ずつ重なって1本の辺になります。

第一のきまりは、一直線に3つ以上並んだ面では、1つ飛ばしの2面が向かい合う、というものです。理由は折り方にあります。折り目で90度ずつ曲げると、並んだ面の向きは正面、上、背面、下と90度ずつ回ります。1つ飛ばしの面は、ちょうど正面と背面のように反対を向きます。4つ並べば、1番目と3番目、2番目と4番目が向かい合います。たとえば縦に1、3、6、4と並んだ列を折ると、面3を正面にしたとき、面1は上、面6は下、面4は奥へ回ります。4つの面が順に90度ずつ向きを変えるので、2つ離れた面は必ず反対を向きます。

第二のきまりは、同じ面の上下、または左右に付いた2面は向かい合う、というものです。1枚の面を正面に置くと、その上に付いた面は上へ、下に付いた面は下へ回ります。上と下は反対の位置なので、この2面は向かい合います。

第三のきまりは、辺を共有する2面は向かい合わない、というものです。辺を共有する面は、折り目をはさんで90度の角度で出会います。向かい合う面どうしは、必ず1枚以上の面をはさんで離れています。このきまりは、答えが2つ出たときの点検に使えます。

図1は、正方形を十字に並べた展開図です。番号1から6の面に、向かい合う組を同じ色の点で示しました。縦の列は1、3、6、4と4つ並んでいますから、1つ飛ばしの1と6、3と4が向かい合います。横の列は2、3、5の3つですから、両端の2と5が向かい合います。点の色は、赤が1と6、緑が2と5、橙が3と4です。三つの組を合わせると、6つの面がちょうど1回ずつ出てきます。

図1のように、向かい合う組は、面の番号を足すと7になります。1と6、2と5、3と4です。さいころの向かい合う面の数も足すと7になりますから、見慣れた並びです。ただし、番号の付け方は自由です。足して7になるのは、この図の番号の付け方の特徴であって、どんな展開図にも当てはまる決まりではありません。

折り目の本数と辺の本数も確かめておきます。正方形6つが辺で5か所つながっていますから、折り目は5本です。外側の辺は、6つの正方形の辺24本から、折り目に使った10本を引いて14本あります。折ると、この14本が2本ずつ重なって7本の辺になります。5本の折り目と7本の辺を合わせると12本で、立方体の辺の数と一致します。頂点も、展開図の外側の角が3つずつ集まって8つになります。

回転や裏返しを同じとみなすと、立方体の展開図は11種類あります。形は違っても、上の三つのきまりは同じように使えます。見慣れない形が出てきたときも、まず一直線に並んだ面を探すところから始めれば、対面の組は決まります。

展開図が立方体になるかどうかは、面が輪になって閉じていないかで見当がつきます。正方形が2つ×2つに固まって並ぶと、4つの面が輪のようにつながり、折っても平らなまま重なってしまいます。立方体の展開図では、6つの面が木のように枝分かれしてつながり、輪ができません。折り目が5本なのは、そのためです。見慣れない形を見たときは、2つ×2つの固まりがないかを先に探すと、使えない展開図を早く除けます。

基本例題　横に4つ並んだ展開図で向かい合う面を決める

正方形を横に4つ並べ、左から3番目の面の上と下に1つずつ付けた展開図があります。6つの面に、左から順にア、イ、ウ、エ、上の面にオ、下の面にカと名前を付けました。向かい合う面の組を3組、答えなさい。

解き方は次の順に進みます。まず、横に並んだ4面を確かめます。ア、イ、ウ、エの順です。次に、一直線に並んだ4面では1つ飛ばしが向かい合うので、アとウが組になります。同じきまりで、イとエが組になります。残った2面はオとカです。オはウの上、カはウの下に付いています。同じ面の上下に付いた2面は向かい合うので、オとカが組になります。

答えは、アとウ、イとエ、オとカです。点検として、三つの組に6面が1回ずつ入っているかを数えます。ア、ウ、イ、エ、オ、カで6面そろっています。

図2は、この展開図と三つの組を色の点で示したものです。アとウが赤、イとエが緑、オとカが橙です。図2のように同じ色の点が向かい合う組ですから、向かい合う組は、見た目の近さではなく、折り目の回り方で決まると言えます。

もう一つの確かめ方をします。ウを正面に置いて折ると、イが左、エが右、オが上、カが下、アが奥になります。この配置で向かい合う組を読み取ると、正面のウと奥のア、左のイと右のエ、上のオと下のカです。三つの組は、最初に求めた組と一致します。面の名前を変えても、きまりを2通りで使えば答えが同じになるので、計算の確かめと同じように、解き方の確かめになります。

この形では、オとカは辺を共有していません。オはウの上、カはウの下に付いているので、オとカの間にはウが1枚はさまっています。辺を共有するのは、折り目で直接つながっている面だけです。オと辺を共有するのは、折り目でつながっているウだけです。ほかの面とは、折った後に辺で接することがあっても、紙の上では離れています。この区別をしておくと、オとカを隣の面と取り違える間違いが減ります。

標準例題　置き方を決めて、残りの面の位置を出す

図1の立方体で、面1を上、面2を手前にして置きます。面3、面4、面5、面6は、それぞれ右、左、奥、下のどこに来ますか。

向きの問題は、次の順で解きます。まず、向かい合う組を3組書きます。次に、指定された2面の位置から、残りの面の向きを決めます。最後に、左右の2面だけを折り目で決めます。この順にすると、6つの面を一度に考えなくて済みます。左右を逆に答える間違いが多いので、決めた後で、手前の面の右どなりがどちらへ回るかを、もう一度確かめます。

最初に向かい合う組を使います。1と6、2と5、3と4です。面1が上なので、向かい合う面6は下です。面2が手前なので、向かい合う面5は奥です。残る3と4が左右になります。

どちらが右かは、折り目の回り方で決まります。面1を上にすると、手前に来た面2は、紙に描いた向きのままこちらを向きます。このとき、紙の上で面2の右どなりにある面3は、折り目で90度曲がって右の面になります。つまり面3が右で、面4が左です。

答えは、面3が右、面4が左、面5が奥、面6が下です。点検すると、上1、下6、手前2、奥5、右3、左4となり、向かい合う組がすべて反対の位置にあります。辺で接する面どうしも、隣り合う位置に収まっています。

別の求め方も紹介します。面3を正面にした立方体を先に作ります。このとき面1は上、面2は左、面5は右、面6は下、面4は奥です。次に、面2が手前に来るように、立方体を横へ90度回します。左だった面2が手前へ来て、正面だった面3は右へ移ります。回した後の配置は、上1、下6、手前2、奥5、右3、左4で、同じ答えになります。向きの問題は、一度基準の置き方を作ってから回すと、頭の中でも追いやすくなります。

標準例題　直方体の展開図は、同じ面積の面が2枚ずつ

縦2cmで、横の長さが3cmと4cmの面を横に並べた展開図があります。並びは左から3cm×2cm、4cm×2cm、3cm×2cm、4cm×2cmで、2番目の面の上と下に4cm×3cmの面が1枚ずつ付いています。この直方体の向かい合う面を3組、面積とともに答えなさい。

まず、面を書き出します。3cm×2cmが2枚、4cm×2cmが2枚、4cm×3cmが2枚です。同じ面積の面が2枚ずつあるので、その2枚が向かい合う候補になります。次に、横に並んだ4面を見ます。3cm×2cm、4cm×2cm、3cm×2cm、4cm×2cmの順です。1つ飛ばしで、1番目と3番目の3cm×2cmどうし、2番目と4番目の4cm×2cmどうしが向かい合います。

残った4cm×3cmの2枚は、2番目の面の上と下に付いています。同じ面の上下なので向かい合います。三つの組で6面がちょうど1回ずつ出てくるので、数え落としはありません。

答えは、3cm×2cmの面どうしで6平方センチメートル、4cm×2cmの面どうしで8平方センチメートル、4cm×3cmの面どうしで12平方センチメートルです。組み立てると、4cm×3cmの面が上下、4cm×2cmの面が前後、3cm×2cmの面が左右になります。立方体と同じで、回せばどの面でも上にできますから、上下は見た目では決まりません。

直方体では、同じ形で同じ面積の面が必ず2枚ずつあります。立方体は、その3組がすべて同じ正方形になった特別な場合です。面積の組を先に作ると、向かい合う面の組はほとんど決まったようなものです。辺の長さが違う面どうしが向かい合うことはありません。

展開図の辺の長さも確かめます。横に並んだ面は、となり合う辺の長さがそろっていなければつながりません。3cm×2cmの面の右の辺は2cm、4cm×2cmの面の左の辺も2cmですから、縦の長さがそろっています。4cm×2cmの面の上の辺は4cm、4cm×3cmの面の下の辺も4cmですから、ここもそろっています。辺の長さが合わない展開図は、その時点で組み立てられません。面積の組を見つけた後で、辺の長さを確かめると、向かい合う面の組み合わせが正しいかを二重に点検できます。

発展例題　紙の上で離れた辺と角の行き先を追う

図1の展開図を組み立てます。面1の右の辺と重なる辺は、どの面のどの辺ですか。また、面2の下の辺と重なる辺はどこですか。

まず、面3を正面に固定して折る様子を思い浮かべます。面1は上、面6は下、面2は左、面5は右、面4は奥になります。面1は上の面です。紙に描いたときの面1の右の辺は、折っても上から見て右側の辺になります。上の面の右側の辺は、右に立っている面5と接します。面5は右の面ですから、面1と接するのは面5の上の辺です。

答えは、面5の上の辺です。確かめに、辺の両端の角を比べます。面1の右上の角は、折ると面5の右上の角と面4の右下の角と同じ頂点になります。面1の右下の角は、面3の右上の角と面5の左上の角と同じ頂点になります。面1の右の辺の両端が、面5の上の辺の両端とぴったり一致するので、この2本は組み立てると1本の辺になります。

面2の下の辺も同じように追います。面2は左の面です。左の面の下側の辺は、下の面である面6と接します。面6の4つの辺のうち、左の面と接するのは、紙に描いた向きで左の辺です。答えは面6の左の辺になります。

もう一問、面5の右の辺を追います。面5は右の面です。右の面の右側の辺は、奥の面である面4と接します。面4の4つの辺のうち、右の面と接するのは、紙に描いた向きで右の辺です。答えは面4の右の辺になります。紙の上では、面5の右の辺も面4の右の辺も、それぞれの正方形の右側にある外側の辺です。同じ側にある辺どうしが重なるとは限らないので、先に面の位置を決めてから辺を選びます。

この追い方は、面を1枚ずつ決めていくので、辺が多くても迷いません。紙の上での距離は使いません。使うのは、どの面がどこに立つかという位置関係だけです。角の行き先まで追うと、辺の対応が正しいかを自分で確かめられます。

よくある誤答　近い面・遠い角で判断してしまう

一つ目の誤答は、面3の向かい合う面を面6と答えるものです。理由は「同じ列で1つ下にあり、紙の上でいちばん近いから」というものです。しかし、同じ列では1つ飛ばしが向かい合うので、面3の向かいは面4です。面6は面3と辺を共有する隣の面で、辺を共有する面が向かい合うことはありません。近さで選ぶと、隣の面を対面と取り違えます。

二つ目の誤答は、面2の左上の角と面4の左下の角は、紙の上で離れているから別の頂点になる、というものです。これは、平面上の距離をそのまま組み立てた後の距離だと思い込んでいます。折ると、この2つの角は同じ頂点に集まります。図3のように、面2の左上の角P、面4の左下の角Q、面1の左上の角Rは、紙の上では遠く離れていても、組み立てると1つの頂点で出会います。

三つ目の誤答は、展開図を見ただけで「どの面が上になるか」が決まる、というものです。展開図が決めるのは相対的な位置関係だけです。同じ展開図でも、置き方を変えればどの面でも上にできます。上と下が決まって初めて、残りの面の位置が決まります。

四つ目の誤答は、直方体の細長い面を「側面」と決めつけるものです。回せば細長い面でも上にできます。上下は見た目の形ではなく、置き方で決まります。

五つ目の誤答は、展開図の辺の数を12本と答えるものです。12本は組み立てた後の立方体の辺の数です。展開図の上では、折り目が5本、外側の辺が14本あります。14本が2本ずつ重なって7本になり、折り目5本と合わせて12本になる、という順に数えると間違えません。

六つ目の誤答は、面の数を5枚と数えるものです。展開図の真ん中にある面を、数えるときに1枚足し忘れると起こります。面は必ず6枚で、記号も6種類です。数えたら、6種類の記号が1回ずつ出ているかを確かめます。1種類だけ2回出ていたら、数え方がどこかでずれています。

練習問題

1. 正方形を横に4つ並べ、いちばん左の面の上に1つ、左から2番目の面の下に1つ付けた展開図があります。横に並んだ面を左から1、2、3、4、上の面を5、下の面を6とします。向かい合う面の組を3組、答えなさい。

2. 図1の展開図で、面2と辺を共有する面をすべて答えなさい。

3. 縦3cmで、横の長さが5cmと6cmの面を横に並べた直方体の展開図があります。並びは左から5cm×3cm、6cm×3cm、5cm×3cm、6cm×3cmで、2番目の面の上と下に6cm×5cmの面が1枚ずつ付いています。面積が等しい面の組を3組と、それぞれの面積を答えなさい。

4. 図1の立方体で、面3を上、面1を手前にして置きます。右、左、奥、下の面をそれぞれ答えなさい。

5. 図1の展開図で、面2の左下の角と組み立てると同じ頂点になる角を、ほかに2つ答えなさい。

答えと解き方

1. 答えは、1と3、2と4、5と6です。横に並んだ4面では1つ飛ばしが向かい合うので、1と3、2と4が組になります。5は1の上、6は2の下に付いています。1を正面に置くと、1の上の面は上へ、2の下の面は下へ回るので、5と6が上下の組になります。

2. 答えは、面1、面3、面4、面6です。面2の向かいは面5です。辺を共有する面は向かい合わないので、面5は入りません。残りの4面が面2と辺を共有します。立方体の1つの面は、4つの面と辺で接しています。

3. 答えは、5cm×3cmの面どうしで15平方センチメートル、6cm×3cmの面どうしで18平方センチメートル、6cm×5cmの面どうしで30平方センチメートルです。横に並んだ4面の1つ飛ばしで5cm×3cmどうしと6cm×3cmどうしが決まり、残った6cm×5cmの2枚は上下の組になります。

4. 答えは、右が面2、左が面5、奥が面6、下が面4です。向かい合う組から、面3の向かいの面4が下、面1の向かいの面6が奥です。残る2と5が左右です。例題2で作った「面1が上、面2が手前、面3が右、面4が左、面5が奥、面6が下」の立方体を、面3が上、面1が手前に来るように回します。右の面3が上へ、上の面1が手前へ移るので、手前の面2は右へ、奥の面5は左へ、下の面6は奥へ、左の面4は下へ移ります。

5. 答えは、面6の左下の角と面4の左上の角です。図1を折ると、面2の左下の角、面6の左下の角、面4の左上の角が1つの頂点に集まります。紙の上で近い角を選ばず、折り目をたどって行き先を決めます。

覚えておくこと

• 一直線に3つ以上並んだ面では、1つ飛ばしの2面が向かい合う。
• 同じ面の上下や左右に付いた2面は向かい合う。
• 辺を共有する面は向かい合わない。近さで対面を選ばない。
• 展開図の折り目は5本、外側の辺は14本で、折ると7組になる。
• 紙の上の距離ではなく、折り目の回り方で角と辺の行き先を決める。

つまずきの見分け方と、確かめる図・発言・式

対面を答えられないときは、一直線に並んだ面を指でなぞらせます。3つ以上並んだ列が見つかれば、1つ飛ばしのきまりで答えが出ます。列が見つからないときは、同じ面の上下に付いた面を探させます。向きの問題で迷うときは、先に向かい合う組を3組書かせます。向かい合う組が書ければ、残りは左右の2面だけになり、迷う範囲が小さくなります。

辺や角の問題で手が止まるときは、実際に紙を折らせます。折った後に、番号を書いた面がどこへ移動したかを言わせると、頭の中の操作と手の操作が結びつきます。辺の本数を12本と答えたときは、折り目と外側の辺を分けて数えさせます。式は使いません。図に印を書き込み、指でたどる確認が、そのまま解き方になります。

確かめる順番も決めておきます。対面の問題なら、向かい合う組を書き、余った面がないかを見ます。向きの問題なら、向かい合う組を書いてから左右を決めます。辺と角の問題なら、どの面がどこに立つかを先に決めます。順番が決まっていると、途中で迷っても戻る場所がわかります。答えを出した後に、同じ展開図を別の向きから見直すと、左右の取り違えにも気づけます。

折った紙を手で回しながら、番号の付いた面がどこへ移るかを声に出す。その一回の確認が、次の展開図を見たときの見通しになります。