中学受験の算数 仕切りのある水そう—水が流れこむ順を分けて水位の表とグラフを読む｜武蔵野個別指導塾

水位の表とグラフで、仕切りの板を越えた水が隣へ移る三つの段階の越流を読む

よくあるのは、仕切りの入った透明の容器に水を注ぎながら、子どもが「もう隣の部屋にも水が入ったかな」と首をかしげる場面です。注いでいる側だけを見ていると、仕切りの板を越えたあとも水位が同じ割合で上がり続けるように思えます。ところが、板を越えた水は隣の部屋へ移るので、注いでいる側の水位は板の高さで止まります。そのあいだに隣の部屋が追いつき、二つの水面が同じ高さになってから、また一緒に上がり始めます。この三つの段階を、表と折れ線グラフで読み分けるのが、仕切りのある水そうの問題です。

問われ方と、問題文で確かめる条件

仕切りのある水そうの問題は、聞かれ方で三つに分かれます。一つ目は、水を注ぎ始めてから水位が仕切りの上端に届くまでの時間です。二つ目は、越流しているあいだの反対側の水位や、反対側が追いつく時刻です。三つ目は、表やグラフだけを見せて、部屋の底面積や仕切りの高さを逆に求めさせる型です。どの型でも、まず時刻が三つの段階のどこに入るかを決めてから式を立てます。

問題文からは、四つの条件を取り出します。水をどちらの部屋へ注ぐか、仕切りの高さは何cmか、水そうの深さは何cmか、水は毎分何cm³入るか、の四つです。板の厚さを考えるかどうかも問題文に書いてあるので、書いていなければ考えません。あふれるかどうかも同じで、あふれない条件があるときだけ、最後まで水位が上がります。

単位はcmとcm³の二つが混ざります。長さはcm、水の量はcm³、水位はcmで書き、面積はcm²でそろえます。問題を読んだら、まず水そうの見取り図に、左右の底面積と仕切りの高さを書き込みます。数字を書き込んだ図があると、いま水がどちら側に広がっているかを間違えにくくなります。

図は形を確かめるためのもので、長さを測るためのものではありません。左の部屋が広く見えても、数字が書いてあれば数字を使います。仕切りの位置が図の中央に見えても、左端から何cmと書いてあればその値で底面積を出します。見た目の広さと数字が食い違って見えるときは、数字を優先します。

水そうの深さより仕切りが高い場合も、段階は二つで終わります。左右が同じ高さになる前に水面が水そうの上端に届き、そこからあふれるからです。あふれる条件がある問題では、満水になった時刻で計算を止め、それ以上は水位が上がらないものとして表を作ります。

水位を決めるのは、水が広がる面積

水位は、たまっている水の量を、そのとき水が広がっている面積で割ると求められます。水そうの底全体に水が広がっていれば底面積は全体、片側だけならその部屋の底面積です。同じ量の水でも、広がる面積が半分になれば、水位は二倍上がります。この「いま水面はどこにあるか」を毎回確かめることが、仕切りのある水そうの計算の土台になります。

水を左の部屋へ注ぎ始めたとき、右の部屋にはまだ水がありません。仕切りの板がじゃまをして、水は右へ移れないからです。この段階では、左の部屋の底面積だけで水位が上がります。左の部屋の底面積を480cm²、毎分の給水を240cm³とすると、水位は毎分0.5cmずつ上がります。

水位が仕切りの上端に届くと、そこから先の水は板を越えて右の部屋へ流れこみます。このとき、左の部屋の水位は板の高さより高くなれません。左が板より高くなれば、その分は必ず板を越えて流れ出るからです。給水は続いているのに、左の水位は板の高さで止まったままになります。そのあいだ、右の部屋の水位は0cmから上がり、右の部屋の底面積で割った割合で上がります。

右の部屋の水位も板の高さに届くと、二つの水面は同じ高さになります。ここから先は、二つの部屋を合わせて一つの水面とみなせます。水位は、左右の底面積を足した面積で割った割合で上がります。左480cm²、右320cm²なら、合わせて800cm²です。同じ給水240cm³でも、水位の上がり方は毎分0.3cmになり、最初の段階の0.5cmよりゆるやかになります。

二つの水面が同じ高さになったあと、片方だけが先に上がることはありません。高い側から低い側へ水が移り、すぐに同じ高さに戻るからです。だからこの段階では、二つの部屋を一つの水そうとみなし、底面積を足して考えます。板の厚さを考える問題では、板の分だけ水が入る幅が減るので、その幅を引いてから底面積を出します。

図1のように、水そうの長さと仕切りの位置、仕切りの高さを図に書きこむと、三つの段階を切り替える場所が見えます。図1では、左の部屋の長さ24cm、右の部屋の長さ16cm、水そうの深さ18cm、仕切りの高さ12cmとしています。幅が20cmなら、左の底面積は24×20で480cm²、右は16×20で320cm²です。

表を作るときは、時刻、左の水位、右の水位、そのとき水が広がっている面積の四つを列にします。面積の列があると、どの数字で割るかが目で追えます。グラフは、給水している側の水位を縦軸、時間を横軸にして、折れ線の勾配が変わる点に印を付けます。勾配が変わる点は、水位が仕切りの上端に届いた時刻と、左右が同じ高さになった時刻の二か所です。

基本例題　板の高さまでの時間と、そのあとの水位

長さ40cm、幅20cm、深さ18cmの直方体の水そうがあります。長さの方向に仕切りを立て、左の部屋の長さを24cm、右の部屋の長さを16cmにしました。仕切りの高さは12cmで、板の厚さは考えません。左の部屋へ毎分240cm³の割合で水を注ぎ、水はあふれないものとします。次の四つを求めなさい。

1. 左の水位が仕切りの上端に届くのは、注ぎ始めてから何分後ですか。
2. 右の水位が仕切りの上端に届くのは、何分後ですか。
3. 水そうが満水になるのは、何分後ですか。
4. 50分後の左右の水位は、それぞれ何cmですか。

まず底面積を出します。左は24×20で480cm²、右は16×20で320cm²、合わせて800cm²です。

(1)では、左だけに水が広がります。仕切りの高さ12cmまでにたまる水の量は、480×12で5760cm³です。毎分240cm³ずつ入るので、5760÷240を計算して24分後になります。

(2)では、24分から先の動きを追います。左の水位が12cmで止まり、右が0cmから上がります。右が12cmまでにたまる量は320×12で3840cm³です。3840÷240は16分なので、24+16で40分後になります。

(3)では、40分から先を考えます。左右が同じ高さで上がるので、12cmから満水の18cmまで6cm上げるのに必要な量は、800×6で4800cm³です。4800÷240は20分なので、40+20で60分後になります。

(4)では、50分がどの段階かを先に決めます。40分より後なので、左右が一緒に上がる段階です。この段階では4800cm³を20分で割った毎分240cm³を、800cm²で割って毎分0.3cmずつ上がります。40分から10分後なので3cm上がり、左右とも12+3で15cmになります。

最後に、水の量で確かめます。60分で入れた水は240×60で14400cm³です。満水の水そうに入る量は800×18で14400cm³なので、一致します。水位だけでなく、入れた水の量と容積の両方から確かめると、途中の計算の誤りが見つかりやすくなります。

表にまとめると、次のようになります。

図2のように、給水している左の水位を折れ線にすると、0分から24分まで上がり、24分から40分まで平らに止まり、40分からまた上がります。平らな部分があることを式よりも先にグラフで確かめておくと、計算の順番を間違えにくくなります。

表から別の時刻の水位を読み取ることもできます。たとえば40分から50分の10分間は、左右とも同じ割合で上がっています。表の隣り合う時刻の差をとり、その間に入った水の量を面積で割れば、表にない時刻の水位も求められます。

標準例題　越流の途中の水位を二通りで求める

長さ54cm、幅20cm、深さ14cmの水そうがあります。仕切りは左端から30cmのところに立て、仕切りの高さは10cmです。板の厚さは考えません。左の部屋へ毎分240cm³の割合で水を注ぎ、水はあふれないものとします。40分後の左右の水位と、満水になる時刻を求めなさい。

左の底面積は30×20で600cm²、右は24×20で480cm²、合わせて1080cm²です。最初の段階は左だけで、10cmまでに600×10で6000cm³たまります。6000÷240は25分です。次の段階は右だけで、10cmまでに480×10で4800cm³たまります。4800÷240は20分なので、25+20で45分に右が追いつきます。

40分は25分より15分後で、まだ右が上がっている途中です。左は10cmで止まっています。右は毎分240÷480で0.5cmずつ上がるので、15分で7.5cmです。答えは左10cm、右7.5cmです。

満水までは、10cmから14cmまでの4cmを左右一緒に上げます。1080×4で4320cm³、4320÷240は18分です。45+18で63分後に満水になります。

40分後の右の水位は、全体の水の量からも求められます。40分で入れた水は240×40で9600cm³です。このうち左の部屋が10cmまでにたくわえる量は600×10で6000cm³です。残りの3600cm³が右の部屋にあり、3600÷480で7.5cmになります。どちらの求め方でも同じ答えになるので、計算のあとの確かめに使えます。

もし40分後に左の水位を16cmと答えたら、仕切りの高さ10cmを超えています。越流しているあいだは、左が10cmより高くなることはありません。式を立てる前に、その時刻がどの段階かを決めることが、この型の分かれ目です。

発展例題　グラフから底面積と仕切りの高さを読み取る

ある水そうの左の部屋へ、毎分180cm³の割合で水を注ぎました。左の部屋の水位は、0分から15分まで上がって9cmになり、15分から27分まで9cmのままで、27分から39分まで上がって13cmになりました。水そうは13cmで満水です。板の厚さは考えません。次の四つを求めなさい。

1. 左の部屋の底面積
2. 右の部屋の底面積
3. 仕切りの高さ
4. 満水までに入れた水の量が、水そうの容積と一致するか

左の底面積は、0分から15分の動きから求めます。180×15で2700cm³入り、水位が9cm上がったので、2700÷9で300cm²です。

右の底面積は、15分から27分の12分から求めます。この間、左は9cmで止まり、右が0cmから9cmまで上がりました。入った水は180×12で2160cm³です。2160÷9で、右の底面積は240cm²になります。

折れ線が平らになった高さが、そのまま仕切りの高さです。9cmです。平らな部分の長さは、反対側の部屋が満ちるまでの時間を表しています。平らな部分が長いほど、反対側の底面積が大きいか、仕切りが高いかのどちらかです。

最後に、27分から39分を確かめます。左右一緒に9cmから13cmまで4cm上がるので、300+240で540cm²、540×4で2160cm³必要です。180×12で2160cm³なので、時間と合います。全体では180×39で7020cm³、容積は540×13で7020cm³となり、一致します。

この型では、グラフの形が先に与えられ、面積や高さが後から分かります。平らな部分の高さを仕切りの高さ、平らな部分の前後の傾きをそれぞれの部屋の底面積、と対応させて読むのがこつです。

別の求め方もあります。左は15分で9cm上がったので、1分あたり0.6cmです。毎分180cm³を0.6cmで割って300cm²になります。右は12分で9cm上がったので1分あたり0.75cm、180÷0.75で240cm²です。どちらも同じ面積になり、計算の確かめになります。

よくある誤答と直し方

誤答は、どの段階の話かを取り違えるところから生まれます。三つの例で、式のどこが違うかを見ます。

一つ目は、越流しているあいだも給水側の水位が上がり続けると考えた答案です。基本例題の40分後を、240×16÷480で8cm上げ、左を20cmとしていました。しかし仕切りの高さは12cmなので、20cmはありえません。板を越えた水は右へ移るため、左は12cmで止まります。段階を確かめずに、給水した量を全部その部屋の底面積で割ったことが誤りです。

二つ目は、最初から左右の合計の底面積で割った答案です。基本例題で、800×12÷240を計算して40分としていました。正しくは左だけに水が広がるので、480×12÷240で24分です。右の部屋にはまだ水がないのに、右の面積を足してしまったことになります。水が広がる面積は、時間とともに変わるのだと意識すると防げます。

三つ目は、表の読み違いです。50分後の左の水位を、240×50÷480で25cmとしていました。40分から先は左右が同じ高さで上がるので、使う面積は800cm²です。50分は40分から10分後で、240×10÷800で3cm上がり、15cmになります。前半の割合を後半にもそのまま使うと、この誤りが起こります。

条件が足りない問題にも注意します。仕切りの高さが書かれていなければ、水位の計算はできません。グラフや表が添えられているときは、平らになった高さを仕切りの高さとして読みます。板の厚さを考えるかどうかが書かれていなければ、考えないのが約束です。書かれていない条件を勝手に決めると、答えの数字が変わってしまいます。

折れ線の傾きの見た目で速さを決めるのも危ない判断です。傾きが急に見えても、縦軸と横軸の目盛りが違えば、実際の上がり方は別になります。目盛りを読んで、1分あたり何cm上がるかを計算してから比べます。

図3のように、正しい折れ線は24分から40分まで平らになります。誤った折れ線は、その区間も同じ割合で上がり続け、水そうの深さを超えてしまいます。自分の答案がどちらの線になるかを、時刻ごとに確かめるのが直し方です。

練習問題

次の五問を、式と答えの両方で確かめなさい。使う水そうは問題ごとに違うので、まず図をかいて底面積を書きこみます。

1. 長さ36cm、幅25cm、深さ12cmの水そうに、左端から24cmのところへ高さ8cmの仕切りを立てました。板の厚さは考えません。左の部屋へ毎分150cm³の割合で水を注ぐとき、左の水位が仕切りに届く時刻、右の水位が仕切りに届く時刻、満水になる時刻を求めなさい。
2. 1の水そうで、40分後の左右の水位を求めなさい。
3. 別の水そうの左の部屋へ毎分120cm³の割合で水を注ぎました。左の水位は20分で6cmになり、20分から36分まで6cmのままで、36分から60分で10cmになりました。左の部屋の底面積、右の部屋の底面積、仕切りの高さを求めなさい。
4. 左の部屋の底面積が400cm²、右の部屋の底面積が300cm²、仕切りの高さが6cm、水そうの深さが12cmの水そうがあります。左へ毎分200cm³の割合で水を注ぐとき、28分後の水位と、満水になる時刻を求めなさい。
5. 左の部屋の底面積が600cm²、右の部屋の底面積が300cm²、仕切りの高さが6cm、水そうの深さが10cmの水そうがあります。今度は右の部屋へ毎分150cm³の割合で水を注ぎます。右の水位が仕切りに届く時刻、左の水位が仕切りに届く時刻、満水になる時刻を求めなさい。

練習問題の解答と解き方

1. 底面積は左が24×25で600cm²、右が12×25で300cm²、合わせて900cm²です。左だけで8cmまでに600×8で4800cm³、4800÷150で32分です。右だけで8cmまでに300×8で2400cm³、2400÷150で16分なので、32+16で48分です。最後は900×4で3600cm³、3600÷150で24分なので、48+24で72分です。

2. 40分は32分から8分後です。右には毎分150÷300で0.5cmずつ水が上がるので、8分で4cmです。左は仕切りの高さで止まっているので8cmです。答えは左8cm、右4cmです。

3. 左は20分で6cm上がったので、120×20÷6で400cm²です。右は16分で6cm上がったので、120×16÷6で320cm²です。仕切りは平らな部分の高さで6cmです。36分から60分の24分では、120×24で2880cm³入り、400+320で720cm²なので、2880÷720で4cm上がります。6+4で10cmとなり、問題の水位と合います。

4. 左だけで6cmまでに400×6で2400cm³、2400÷200で12分です。右だけで6cmまでに300×6で1800cm³、1800÷200で9分なので、12+9で21分です。28分は21分から7分後で、左右一緒に上がります。200×7で1400cm³を700cm²で割って2cm上がり、6+2で8cmです。最後は700×6で4200cm³、4200÷200で21分なので、21+21で42分です。

5. 右だけで6cmまでに300×6で1800cm³、1800÷150で12分です。左だけで6cmまでに600×6で3600cm³、3600÷150で24分なので、12+24で36分です。最後は900×4で3600cm³、3600÷150で24分なので、36+24で60分です。

覚えておくこと

• 水位は、たまった水の量を、そのとき水が広がっている面積で割って求める。
• 給水側の水位が仕切りの上端に届いたら、越流しているあいだはそこで止まる。
• 反対側は0cmから仕切りの高さまで上がり、そのあいだ給水側は動かない。
• 左右が同じ高さになったら、二つの底面積を足した面積で上がる。
• 折れ線の勾配が変わる二つの点が、段階の変わり目になる。

つまずきの見分け方と、確かめる場所

答案が止まるときは、たいてい「いま水はどこにあるか」が決まっていません。お子さまの横で図を指さし、「この時刻に水面はどちらの部屋にある?」「板を越えた水はどこへ行く?」と聞いてみてください。答えが言葉になれば、あとは底面積を選ぶだけです。

表を書かせるときは、時刻、左、右、水面の合計面積の四列を用意します。合計面積の列が空欄のままなら、どの面積で割るかを決めていない証拠です。グラフをかかせるときは、平らな部分に指を置いて、そこで水位が上がらない理由を言わせます。理由が出てこなければ、仕切りの上端と越流の関係まで戻って確かめます。

計算の答えが仕切りの高さを超えていないかも、毎回見ます。越流している段階で給水側の水位が仕切りの高さより大きくなったら、その時点で段階の選び方が違います。数字を直す前に、どの段階かを言い直させると、同じ間違いが減ります。段階の変わり目を自分の言葉で指させることこそ、この単元で身につけたい力です。