中学受験の算数 切断した立体の体積—取り除いた錐体と残る部分を分けて求める｜武蔵野個別指導塾

直方体の角を切り落とすと、切り口の三角形の内側に小さな三角錐が残ります。三つの辺の目盛りを手がかりに切り口の位置を決めて立体を切断します。

よくあるのは、直方体の角を切り落とした図を前にして、辺に書きこまれた「半分」の印を、そのまま体積の半分と読んでしまう場面です。切り口の三角形は図の上では小さく見えるのに、書いた答えだけが大きくなり、どこで道を外したのか分からなくなる。辺の目盛りは読めているのに、その目盛りが体積へ届く道筋が見えていないのです。切り口が作る三角錐を一つ取り出し、三つの長さがどの順で掛かるのかを、図を分けながらたどります。

問われる形は三つに分かれる

一つ目は、切り落としてできた三角錐そのものの体積です。直方体や立方体の一つの頂点から三本の辺に点が示され、その三点を通る平面で切り落とす形で出ます。三本の辺の長さがそのまま与えられることもあれば、「頂点から一対二の比」のように位置だけが示されることもあります。

二つ目は、切り落とした後に残った立体の体積と、全体に対する割合です。取り除いた分を全体から引く道と、残った部分をいくつかに分けて足す道の二つがあり、両方の答えがそろえば計算の筋が通っています。割合を分数で答える問題では、最後に約分できるかどうかまで確かめます。

三つ目は、水平に切ったときの上部と下部の体積です。四角錐や三角錐を底面に平行な平面で切ると、上部は元の形と相似な小さい錐体になり、下部はその分だけ減った立体になります。上部と下部の体積比から、切る高さを逆に求める形も出ます。

切り口が四角形になる場合との区別も必要です。平面が直方体の四本の辺を横切ると、切り口は四角形になり、頂点側は三角錐ではなくなります。一つの頂点から出る三本の辺の上に三点があるときだけ、頂点側は三角錐です。図を見て、切り口の頂点が一つの角に集まっているかを確かめます。

条件の読み取りでは、まず基準の頂点を確かめます。「頂点 A から」と書かれているのか、「辺 AB の B に近い方から」と書かれているのかで、目盛りの向きが逆になります。次に、与えられたのが長さか比かを見ます。比であれば、比の合計が辺全体の何分の何にあたるかを一度計算してから、長さに直して使います。最後に、切り口が頂点側を切り離しているかを確かめます。切り口の三点が一つの頂点から出る三本の辺の上にあれば、頂点側は三角錐になります。

「頂点を切り落とした」という一言だけでは、体積は決まりません。どの辺のどの位置で切ったかが決まって、初めて切り口の大きさが定まります。図に長さも比も書かれていないときは、数字を作らずに、何が足りないかを見つける問いとして読みます。

切り口が作る三角錐を、三つの長さで見る

直方体 ABCD-EFGH を置きます。底面が ABCD、上面が EFGH で、頂点 A から出る三本の辺は AB、AD、AE です。この三本は、頂点 A で互いに垂直に交わっています。直方体の辺どうしが頂点で直角に交わることは、定義からそのまま使えます。

辺 AB の上に点 P、辺 AD の上に点 Q、辺 AE の上に点 R をとり、三点 P、Q、R を通る平面で切ります。この平面を切断面、切り取られてできる面を切り口と呼びます。頂点 A を含む側は、A、P、Q、R を頂点とする三角錐になります。図1のように、切り口の三角形はこの三角錐の一つの面です。

この三角錐の体積を、底面積と高さから求めます。底面を三角形 APQ と見ると、角 PAQ は長方形の角なので直角です。三角形 APQ の面積は、AP と AQ を直角をはさむ二辺とする三角形として、AP×AQ÷2 で求められます。

高さは AR です。AR は辺 AE の一部で、AE は AB とも AD とも垂直です。底面 APQ は AB と AD を含む平面の上にあるので、AR は底面に垂直に立っています。底面に垂直な辺がそのまま高さになることを確かめてから、三角錐の体積の公式、底面積×高さ÷3 に当てはめます。この三分の一は、同じ底面と同じ高さの三角柱を三つの三角錐に分けると、どれも底面と高さが同じになることから来ています。

この三分の一を、三角柱の分割でも確かめられます。三角柱を、一つの側面の対角線と向かい合う頂点を使って三つの三角錐に分けると、どの三角錐も底面と高さが元の三角柱と同じになります。三つとも同じ大きさなので、一つ分は三分の一です。公式を覚えるだけでなく、この分け方を一度図に描いておくと、錐体の体積を柱体と比べて見積もれるようになります。

切り口の三点が同じ頂点から出る三本の辺の上にあっても、その三本が互いに垂直でなければ、AR をそのまま高さにはできません。三角柱の角を切る場合は、切り口の辺と底面の関係をもう一度確かめる必要があります。直方体の辺は頂点で直角に交わるので、この単元では高さの判断が単純になります。

三つをまとめると、取り除く三角錐の体積は、AP×AQ÷2×AR÷3、つまり AP×AQ×AR÷6 です。この形を見ると、三つの長さが対等に掛かっていることが分かります。どれか一つが半分になれば体積も半分、二つが半分なら四分の一、三つとも半分なら八分の一です。

直方体全体と比べるときは、もう一段あります。AP、AQ、AR を三辺とする小さい直方体を考えると、その中の三角錐は六分の一です。だから全体に対する割合は、三つの比の積を、さらに 6 で割った数になります。基本例題では、この一段を忘れるかどうかが答えを大きく分けます。

水平に切る場合も、同じ掛け算の段が使えます。頂点から切り口までの高さが、元の高さの k 倍だとします。頂点と底面の中心を通る縦の断面を考えると、切り口の辺は底面の辺に平行で、二つの三角形が相似になります。相似比が k なので、切り口の図形は底面と相似で、辺の比は k、面積の比は k×k、体積の比は k×k×k です。

この比が使えるのは、切り口が底面に平行で、高さを頂点から測っているときです。斜めに切ると切り口は底面と相似にならないので、この掛け算は使えません。問題文に「底面に平行に」とあるかを、必ず確かめます。

基本例題　三つの辺の真ん中で角を切り落とす

直方体 ABCD-EFGH があり、AB が 8cm、AD が 6cm、AE が 4cm です。辺 AB の真ん中の点 P、辺 AD の真ん中の点 Q、辺 AE の真ん中の点 R を通る平面で、頂点 A を切り落とします。取り除いた三角錐の体積と、残った立体の体積を求めます。

図2に、直方体の切り口と、取り出した三角錐の三つの長さを書き入れます。

1. 三つの点はどれも辺の真ん中なので、AP は AB の半分で 4cm、AQ は AD の半分で 3cm、AR は AE の半分で 2cm です。
2. 底面を三角形 APQ と見ます。角 PAQ は直角なので、面積は 4×3÷2 で 6cm² です。
3. 高さは AR で 2cm です。AR は底面 APQ に垂直なので、そのまま高さに使えます。
4. 三角錐の体積は、6×2÷3 で 4cm³ です。
5. 直方体全体の体積は、8×6×4 で 192cm³ です。
6. 残った立体は、192 から 4 を引いて 188cm³ です。
7. 取り除いた割合は、4÷192 で 48分の1 です。

割合を比の積で確かめます。三つの辺はどれも半分なので、積は 2分の1×2分の1×2分の1 で 8分の1。これは三辺 AP、AQ、AR の直方体が、全体の 8分の1 であることを示します。その直方体の六分の一が三角錐なので、8分の1×6分の1 で 48分の1。192×48分の1 は 4cm³ で、手順4と一致します。

同じ直方体で、切る位置だけを変えたときの見当も立てておきます。三つの辺をどれも 4分の1 の位置で切ると、AP は 2cm、AQ は 1.5cm、AR は 1cm となり、体積は 2×1.5×1÷6 で 0.5cm³。全体の 384分の1 です。切り口を半分の位置からさらに半分へ動かすと、体積は 8分の1 ずつ小さくなる。この感覚があると、答えが 96cm³ のような大きな数になったときに、すぐ違和感を持てます。

切り口の三角形 PQR の辺の長さは、この単元では問いません。体積に必要なのは、頂点から三方向に伸びる AP、AQ、AR の三つだけです。切り口の面積や辺の長さを求める問題は、相似や面積比の考え方を使う別の場面になります。

答えを問題の場面へ戻して確かめます。AP を 4cm、AQ を 3cm、AR を 2cm として三角錐を作り直すと、底面積は 6cm²、高さは 2cm、体積は 4cm³。取り除いた分と残った 188cm³ を足すと 192cm³ で、元の直方体に戻ります。数が合うだけでなく、切り口の三角形が三つの辺の真ん中を通ることも、図の上で点の位置を数えて確かめます。

標準例題　比がそろわない切り方

直方体 ABCD-EFGH で、AB が 9cm、AD が 8cm、AE が 6cm とします。辺 AB 上の点 P は AP と PB の比が 2 対 1、辺 AD 上の点 Q は AQ と QD の比が 3 対 1、辺 AE 上の点 R は AR と RE の比が 1 対 2 を満たします。頂点 A を切り落とすとき、取り除く三角錐の体積、残った立体の体積、取り除いた割合を求めます。

1. 比を長さに直します。AB の 9cm を 2 対 1 に分けると、AP は 6cm。AD の 8cm を 3 対 1 に分けると、AQ は 6cm。AE の 6cm を 1 対 2 に分けると、AR は 2cm です。
2. 底面の三角形 APQ の面積は、6×6÷2 で 18cm² です。
3. 高さは AR の 2cm です。
4. 三角錐の体積は、18×2÷3 で 12cm³ です。
5. 直方体全体は、9×8×6 で 432cm³ です。
6. 残った立体は、432 から 12 を引いて 420cm³ です。
7. 取り除いた割合は、12÷432 で 36分の1 です。

比の積でも同じ数になります。AP は AB の 3分の2、AQ は AD の 4分の3、AR は AE の 3分の1。この三つを掛けると 6分の1 で、三辺 AP、AQ、AR の直方体が全体の 6分の1 だと分かります。三角錐はその直方体の 6分の1 なので、全体の 36分の1。432 の 36分の1 は 12 です。

ここで条件を一つ変えてみます。AQ と QD の比が 1 対 3 だったら、AQ は 2cm になります。すると底面積は 6×2÷2 で 6cm²、体積は 6×2÷3 で 4cm³ です。比の向きを逆に読むだけで、答えは 12cm³ から 4cm³ へ変わります。比が書かれていたら、どちら側から測った比かを指で押さえてから式を立てます。

残った立体を二つの道で確かめます。一つは全体から三角錐を引く道で、432 から 12 を引いて 420cm³。もう一つは、残った立体を切り口 PQR より下の部分と、頂点側を除いた残りの部分に分けて足す道です。切り口より下の立体は、底面 ABCD から切り口までの高さが場所によって変わるので、そのままでは直方体になりません。それでも、その立体と三角錐を合わせると元の直方体に戻る、という関係は使えます。二つの道の合計が 432cm³ に戻れば、引き算の向きも間違っていません。

発展例題　水平に切った四角錐

底面が一辺 18cm の正方形で、高さが 12cm の正四角錐 O-ABCD があります。頂点 O から 4cm のところで、底面に平行な平面で切ります。上部の小さい四角錐の体積と、下部の立体の体積を求めます。さらに、上部と下部の体積比が 1 対 7 になるのは、O から何 cm のところで切ったときかを考えます。

上部の小さい四角錐から求めます。高さの比は 4÷12 で 3分の1 です。縦の断面の三角形が相似になるので、切り口の正方形の一辺も底面の 3分の1 で、18×3分の1 の 6cm です。上部の体積は、6×6×4÷3 で 48cm³ になります。

全体の体積は、18×18×12÷3 で 1296cm³ です。下部は、1296 から 48 を引いて 1248cm³。上部と下部の比は 48 対 1248 で、1 対 26 です。上部が全体の 27分の1 になっていることも、1296÷48 で確かめられます。

下部の立体は、大きい四角錐から上部の小さい四角錐を引いた角錐台です。角錐台の体積を別の公式で覚える必要はありません。全体と上部の二つが分かれば、引き算で下部が出ます。上部を先に求めるのは、相似比が高さの比からすぐに読めるからです。下部から先に求めようとすると、切り口の一辺と底面の一辺の両方が必要になり、手間が増えます。

次に、体積比が 1 対 7 になる高さを求めます。上部と下部が 1 対 7 なら、上部は全体の 8分の1 です。体積の比は高さの比の三乗なので、8分の1 になる高さの比は 2分の1。O から 12×2分の1 で 6cm のところです。

逆算の形では、体積比から高さの比を開きます。1 対 26 なら上部は全体の 27分の1 で、27 は 3×3×3 なので高さの比は 3分の1。1 対 7 なら 8分の1 で、8 は 2×2×2 なので 2分の1。全体を上部と下部の合計で割った数が、立方数になっているかを確かめてから、三乗を開きます。立方数でなければ、相似比の読み方がどこかでずれています。

答えを場面へ戻して確かめます。O から 6cm で切ると、切り口の一辺は 9cm、上部の体積は 9×9×6÷3 で 162cm³。全体 1296cm³ の 8分の1 も 162cm³ です。下部は 1296 から 162 を引いて 1134cm³ で、162 対 1134 は 1 対 7。三つの道がそろいました。

条件の分かれ目は、高さをどこから測るかです。「O から 4cm」と「底面から 4cm」では切る位置が違います。底面から 4cm なら、O からは 12 から 4 を引いた 8cm で、高さの比は 3分の2、体積の比は 27分の8 です。上部は 1296×27分の8 で 384cm³ になり、48cm³ とは大きく違います。切断の位置を読むときは、基準が頂点か底面かを、問題文の言葉で確かめます。

誤答と直し方　辺の比をそのまま体積の比にしない

基本例題で、次の答えをよく見ます。「三つの辺とも真ん中で切ったので、取り除く三角錐は直方体の半分。192÷2 で 96cm³」。実際の答えは 4cm³ なので、24倍もの差があります。

理由は二つ重なっています。一つは、縮む向きを一つしか数えていないことです。AP も AQ も AR も半分になると、底面積は二方向の積で 4分の1、高さは残りの一方向で 2分の1。三つを掛けて 8分の1 です。もう一つは、三角錐と直方体の間にある 6分の1 の段を飛ばしていることです。三辺 AP、AQ、AR の直方体は 4×3×2 で 24cm³。その 6分の1 が三角錐で、4cm³ です。直方体全体 192cm³ の半分ではありません。

図3のように、辺の比、面積の比、体積の比を三段に分けて書くと、どこで 6分の1 を掛けるのかが見えます。

直し方は、比の積を先に書くことです。2分の1×2分の1×2分の1 で 8分の1。次に、それが三辺 AP、AQ、AR の直方体の話だと確かめ、三角錐にするために 6分の1 を掛けて 48分の1。最後に全体の 192cm³ に掛けて 4cm³。数字を書く前に、どの立体の話をしているかを一文で言う習慣が、この型の誤答を減らします。

単位の混同も同じ場所で起きます。底面積は 6cm²、体積は 4cm³ で、数字だけを見ると近いのに、表している量は違います。面積に高さを掛けて三分の一にしたか、を式の一行目で確かめます。

見た目で決める誤りもあります。切り口の三角形が図の中で小さく描かれていると、取り除く体積も小さいと感じます。しかし図の縮尺は体積の比を表していません。長さの比が半分でも体積の比は 8分の1 になるように、長さと体積は同じ段では比べられません。

条件が足りない場合も書きます。「直方体の頂点を切り落とした」とだけ示され、切る位置が書かれていないときは、取り除く体積は決まりません。切り口が三角形になることだけは決まりますが、大きさは三つの辺のどこで切るかで変わります。答えを求める前に、三点の位置が与えられているかを確かめます。

練習問題

五問は、角を切る形が三問、水平切断が一問、八つの角をまとめて切る形が一問です。まず図を書き、三つの長さを書き込んでから解きます。答えは次の節にまとめます。

1. 直方体 ABCD-EFGH で、AB が 10cm、AD が 9cm、AE が 6cm です。辺 AB 上に AP が 5cm の点、辺 AD 上に AQ が 3cm の点、辺 AE 上に AR が 2cm の点をとり、頂点 A を切り落とします。取り除く三角錐と、残った立体の体積を求めなさい。
2. 一辺 6cm の立方体で、一つの頂点から出る三本の辺の上に、その頂点から 2cm の点をとります。三点を通る平面で頂点を切り落とすとき、取り除く三角錐は立方体全体の何分の1か。分数で答えなさい。
3. 直方体で、頂点 A から出る三本の辺について、AP と AB の比が 1 対 2、AQ と AD の比が 1 対 3、AR と AE の比が 1 対 2 です。取り除く三角錐は直方体全体の何分の1か。また、直方体の体積が 864cm³ のとき、取り除く体積を求めなさい。
4. 底面が一辺 15cm の正方形で、高さが 9cm の正四角錐があります。頂点から 3cm のところで底面に平行に切るとき、上部の四角錐と下部の立体の体積を求めなさい。
5. 一辺 12cm の立方体があります。八つの頂点それぞれについて、その頂点から出る三本の辺の真ん中の点を通る平面で切り落とします。残った立体の体積を求めなさい。

答えと解き方

1. AP が 5cm、AQ が 3cm、AR が 2cm です。底面積は 5×3÷2 で 7.5cm²、三角錐は 7.5×2÷3 で 5cm³。全体は 10×9×6 で 540cm³、残りは 540 から 5 を引いて 535cm³。検算として、比の積は 2分の1×3分の1×3分の1 で 18分の1、その 6分の1 が 108分の1、540×108分の1 は 5cm³ です。
2. 三辺とも 2cm なので、三角錐は 2×2×2÷6 で 3分の4cm³。立方体全体は 6×6×6 で 216cm³。割合は 3分の4÷216 で 162分の1 です。比の積では 3分の1×3分の1×3分の1 で 27分の1、その 6分の1 が 162分の1。二つの道が一致します。残りを求めるなら、216 から 3分の4 を引いて 3分の644、つまり 214と3分の2cm³ です。
3. 比の積は 2分の1×3分の1×2分の1 で 12分の1。その 6分の1 が 72分の1 です。864cm³ の 72分の1 は 12cm³。長さに直して確かめると、AB を 12cm、AD を 9cm、AE を 8cm とすれば、AP は 6cm、AQ は 3cm、AR は 4cm。三角錐は 6×3×4÷6 で 12cm³ です。
4. 高さの比は 3÷9 で 3分の1。切り口の一辺は 15×3分の1 で 5cm。上部は 5×5×3÷3 で 25cm³。全体は 15×15×9÷3 で 675cm³、下部は 675 から 25 を引いて 650cm³。上部と下部の比は 25 対 650 で 1 対 26 です。
5. 一つの角で切り落とす三角錐は、三辺とも真ん中の 6cm なので、6×6×6÷6 で 36cm³。八つの角で 36×8 で 288cm³。立方体全体は 12×12×12 で 1728cm³。残りは 1728 から 288 を引いて 1440cm³ です。検算として、残りの割合は 1440÷1728 で 6分の5、八つの角の合計は全体の 6分の1 になります。

覚えておくこと

• 頂点を切る切り口は、三つの辺の長さの積を 6 で割った体積の三角錐を残す。
• 三方向の比は掛け算で重なる。半分が三つなら体積は 8分の1。
• 直方体全体に対する割合は、比の積をさらに 6 で割る。
• 水平切断では、高さの比が k なら体積比は k×k×k。
• 残った体積は、全体から引く道と分けて足す道の二つで確かめる。

つまずきの見分け方と確かめる場所

見分け方は三つあります。一つ目は、図に長さを書き込まずに式を立てていること。比が出てきたら、まず三本の辺に目盛りを書き込ませます。二つ目は、三方向のうち一つしか見ていないこと。指で三本の辺を順になぞらせ、それぞれの比を声に出させます。三つ目は、答えが全体の半分など大きすぎる数になっていること。そのときは、6分の1 の段を飛ばした可能性を疑います。

声に出した言葉も手がかりになります。「半分だから半分」と言ったら、何が半分かを聞き返します。辺が半分なのか、面積が四分の一なのか、体積が八分の一なのかを、図の上で指させます。

個別指導では、次の順で確かめます。まず「どの立体の体積を求めているか」を一文で言わせます。次に、切り口の三角形を別の紙に描き直させ、底辺と高さがどれかを指させます。高さが底面に垂直かどうかを、直方体の辺の直角に戻って説明できるかを見ます。水平切断では、頂点から測った高さを図に書き込ませ、底面から測った数と取り違えていないかを確かめます。最後に、出した答えを全体の体積と比べ、あり得る大きさかを一言で言わせます。

切り口が決まれば、残る量も決まる。三方向の比を掛ける一段を踏めるかどうかが、この単元の分かれ目になります。