中学受験の算数 角柱と円柱の体積—底面積と高さから容積を求め単位をそろえる｜武蔵野個別指導塾

水そうに入る水の量は、外側の寸法ではなく内側の縦と横と深さをかけ合わせた体積が、その容器の容積です。

【舞台】家庭科室の流しで、たて40cm、横30cm、高さ25cmのふた付きのプラスチック容器を手にした小学生が「この箱には水が30L入ります」と言いました。40×30×25を計算すると30000㎤になり、1000で割れば30Lになるからです。ところが、この容器の板の厚さはどこも1cmあります。内側を測ると、たて38cm、横28cm、深さ23cmしかありません。外側の数字で出した量と、実際に入る水の量は、同じではないのです。

問われ方の三つの型と、条件の読み取り

角柱と円柱の体積は、大きく三つの形で問われます。どの型でも、最後は「底面積×高さ」に戻ります。違うのは、底面積をどう出すかと、どの寸法を使うかです。

第一の型は、柱そのものの体積を求める問題です。底面が直角三角形、台形、ひし形、円のいずれかで、柱の高さが与えられます。まず底面の面積を計算し、そのあとに柱の高さをかけます。底面の形が変わっても、二段階の手順は変わりません。底面が三角形なら÷2を、円なら円周率を、それぞれ面積の段階で片づけておきます。

第二の型は、容器に入る水の量を問う問題です。「この水そうに水は何L入りますか」と聞かれ、外側の寸法と板の厚さが示されます。外側の寸法をそのままかけ合わせると、板の部分まで水が入る計算になり、答えは実際より大きくなります。板の厚さを引いて内側の寸法に直すところが、この型の分かれ目です。

第三の型は、断面がL字や凸の形をした複合柱体です。小さな長方形に分けて足す方法と、大きな長方形から欠けた部分を引く方法の両方が使えます。二つの方法で同じ値になれば、計算の筋道が正しいと確かめられます。どちらか一方だけを書いて終えると、切り欠きの位置を読み違えたときに気づけません。

条件を読むときに見落としやすいのは、高さがどの辺かという点と、単位がcmかmかという点です。斜めの辺や側面の対角線は高さではありません。また、mで与えられた寸法が一つ混じると、答えは1000倍ずれます。図に書き込む前に、まず単位をそろえる習慣をつけると、この種の取り違えは減ります。

問題に図が添えられているときは、図の見た目ではなく、図に書き込まれた数字を読みます。図は形の関係を示すために描かれたもので、長さの比まで正確とは限りません。印刷された図に定規を当てて測った長さで計算すると、問題文の数字と食い違うことがあります。数字が書かれていない辺は、書かれている辺との関係から求めるか、条件が足りているかを疑います。

底面積と高さが体積になる理由

角柱は、二つの底面が合同で平行に並び、側面がすべて長方形である柱です。円柱は、二つの底面が合同な円で平行に並び、側面が曲面になっている柱です。どちらも、どの高さで切っても切り口が底面と同じ形になります。この性質があるから、底面の面積と高さだけで体積が決まります。

体積が底面積×高さになる理由は、1㎠の板を積み上げる場面を考えると見えてきます。底面に1㎠の板をすき間なく並べると、並ぶ枚数は底面の面積と同じ数になります。その板を1cmずつ積むと、高さが何cmであれば段数も同じ数になります。一段に並ぶ枚数と段数をかけた数が、1㎤の立方体の個数です。1㎤の立方体が何個入るかが体積なので、底面積×高さが体積になるのです。

図1のように、直方体の底面を青く塗って考えるとわかりやすくなります。底面に並ぶ板の枚数が底面積、板を積む段数が高さです。底面積が20㎠で高さが6cmなら、20枚の板が6段積まれて、体積は120㎤になります。かけ算の順序を入れ替えても値は変わりませんが、意味としては「まず底面、次に高さ」の順で読むと、式の立て方を間違えにくくなります。

図1で確かめてほしいのは、高さの矢印が底面に垂直に立っていることです。立体を斜めに描いた図では、いちばん長い辺が高さに見えてしまいます。高さは、底面を水平な机に置いたときの、上の底面までの垂直な距離です。底面が平らで、その向きにまっすぐ伸びている柱にだけ、この式が使えます。途中で太さが変わったり、傾いて伸びたりする立体は、角柱や円柱ではありません。

円柱でも、同じ考え方で体積を求められます。円の面積を1㎠のマスに分けることはできませんが、円を細い扇形に切り分けて並べ替えると、ほぼ長方形になります。その長方形の面積が円の面積で、それを高さの分だけ積み重ねたものが円柱の体積です。扇形を細かくしていくほど長方形に近づくので、円柱でも底面積×高さが成り立つと考えられます。

円柱の底面積は、円の面積の求め方を使います。半径×半径×3.14です。半径が10cmなら10×10×3.14で314㎠になります。直径が与えられているときは、まず2で割って半径に直してから計算します。直径20cmの円柱を20×20×3.14と計算すると、面積が4倍になり、体積も4倍になってしまいます。

単位の関係も、ここで確かめておきます。1辺1cmの立方体の体積は1㎤です。1辺10cmの立方体は10×10×10で1000㎤になり、これが1Lです。1000㎤が1L、100㎤が1dL、1㎤が1mLです。mで与えられた寸法は、まずcmに直してからかけます。1m×1m×1mは1000000㎤で、1000Lになります。

容積と体積は同じ量を表す言葉ですが、使う場面が違います。容積は容器の内側に収まる量を指し、容器の外側の体積とは別の値になります。板の厚さがある容器では、外側の体積から板の体積を引いた残りが容積です。だから容器の問題では、外側の寸法を見てから、板の厚さを引いた内側の寸法を先に決め、そのあとでかけ算に入ります。

基本例題　三角形を底面にした角柱

底面が直角三角形で、直角をはさむ二辺が6cmと8cm、柱の高さが20cmの角柱があります。この角柱の体積を求めなさい。

まず、底面の三角形の面積を出します。直角三角形の面積は、直角をはさむ二辺を底辺と高さとみなして、6×8÷2で求めます。6×8は48で、これを2で割ると24㎠です。三角形の面積で÷2を忘れると、このあとの計算がすべて2倍になるので、底面積の段階でいったん手を止めて確かめます。

次に、底面積に柱の高さをかけます。24×20を計算します。20×20が400、4×20が80なので、合わせて480㎤です。20をかける計算は、10倍してから2倍しても同じ値になります。24を10倍して240、それを2倍して480です。どちらの道順でも同じ答えになることを、筆算の横に小さく書いておくと安心です。

図2のように、この角柱は三角形の板を20cmの厚さで積み重ねた形です。三角形の板1枚の面積が24㎠で、それが20枚分あるので480㎤になります。図の三角形の底辺が8cm、高さが6cm、奥へ伸びる長さが20cmであることを、本文の数字と一つずつ照らし合わせてください。

答えは480㎤です。確かめとして、体積を底面積で割ってみます。480÷24は20で、問題文の高さ20cmに戻ります。底面積で割った値が高さになることを確かめておくと、かけ算の順序を入れ替えたときや、底面の面積を取り違えたときに気づけます。

この問題で間違えやすいのは、三角形の面積を出すときの÷2を忘れることです。÷2を忘れると底面積が48㎠になり、体積は960㎤と2倍になります。また、図の斜めの辺を高さと取り違えると、8cmや6cmの代わりに斜辺の長さを使ってしまい、答えが合いません。高さは、図の奥へまっすぐ伸びている20cmの辺です。

順序を変えた計算でも確かめられます。先に柱の高さ20cmと辺6cmをかけて120、それに8cmをかけて960、最後に2で割って480㎤とする道順です。÷2を最後に回すと途中の数は大きくなりますが、答えは同じになります。どちらの順序でも、÷2を使うのは1回だけです。

標準例題　円柱と、内側の寸法で求める容積

標準例題1　円柱の水そうに入る水の量

底面の半径が10cm、深さが30cmの円柱の水そうがあります。円周率は3.14として、この水そうに入る水の量を求めなさい。LとdLでも表しなさい。

底面の円の面積を出します。円の面積は半径×半径×3.14です。10×10×3.14を計算すると、100×3.14で314㎠になります。次に底面積に深さをかけます。314×30は、300×30が9000、14×30が420なので、合わせて9420㎤です。この水そうは内側の寸法がそのまま与えられているので、9420㎤がそのまま容積になります。

単位を直します。1000㎤が1Lなので、9420を1000で割って9.42Lです。9420㎤は9Lと420mLでもあります。dLで表すときは、100㎤が1dLなので、9420を100で割って94.2dLです。同じ量を三つの単位で表せることを、答えの横に並べて書いておくと、換算の関係が定着します。

確かめをします。9.42LをmLに直すと9420mLです。1mLは1㎤なので、9420mLは9420㎤となり、元の体積に戻ります。円柱の体積は、底面積を出した時点で小数が出やすいので、最後にかけ算をしてから単位を直す順序を守ります。途中で9.42や94.2に直してからかけ算をすると、桁を落としやすくなります。

円周率は、問題文で指定された値を使います。3.14と指定されていれば3.14で計算し、途中で答えを丸めません。ためしに3.1で計算すると、底面積は310㎠、体積は9300㎤となり、9420㎤と120㎤ずれます。指定の数字を勝手に変えないことが、答えを合わせる近道です。

標準例題2　板の厚さを引いて内側の寸法にする

ふたのない直方体の水そうがあります。外側のたてが24cm、横が18cm、高さが12cmで、板の厚さはどこも2cmです。底の板も2cmです。この水そうに入る水の量は何Lですか。また何dLですか。

内側の寸法を出します。たては、外側の24cmから板の厚さ2cmを両側の分だけ引きます。2cmを2回引いて20cmです。横も同じで、18cmから2cmを2回引いて14cmです。深さは、底の板の厚さ2cmを1回だけ引きます。12cmから2cmを引いて10cmです。ふたがないので、上側には板がありません。ここで2cmを2回引いてしまうと、深さが8cmになり、実際より小さくなります。

内側の容積は20×14×10です。20×14が280で、280×10が2800㎤です。Lに直すと2800を1000で割って2.8L、dLに直すと2800を100で割って28dLです。答えは2.8L、28dLです。2.8Lは2Lと800mLでもあります。

確かめをします。外側の寸法で計算した体積は24×18×12で5184㎤です。内側の2800㎤はこれより小さく、差の2384㎤が板の体積に当たります。容器の内側が外側より小さいという向きが合っていれば、引き算の回数を間違えていません。板の厚さが2cmと1cmで違う問題では、どちらの数字を何回引くかを図に書き込んでから計算します。

標準例題3　断面がL字の角柱

断面がL字の角柱があります。断面は、横9cm、たて12cmの長方形から、右上の横5cm、たて4cmの長方形を切り欠いた形です。柱の高さは10cmです。この角柱の体積を求めなさい。二通りの分け方で確かめなさい。

方法1は、大きな長方形から欠けた部分を引くやり方です。9×12で108㎠、切り欠いた部分は5×4で20㎠です。108から20を引いて88㎠になります。これに柱の高さ10cmをかけて880㎤です。

方法2は、二つの長方形に分けて足すやり方です。左側の長方形は、横が9cmから5cmを引いて4cm、たてが12cmなので、4×12で48㎠です。右側の下の長方形は、横が5cm、たてが12cmから4cmを引いて8cmなので、5×8で40㎠です。48と40を足して88㎠、10cmをかけて880㎤です。

答えは880㎤です。Lに直すと0.88L、mLで表すと880mLです。確かめとして、外側の長方形だけで計算した体積を出します。9×12×10で1080㎤、切り欠いた部分は5×4×10で200㎤です。1080から200を引くと880㎤になり、方法1と一致します。断面を分ける位置を変えても底面積が88㎠でそろうので、L字の読み取りは正しいと判断できます。

この型では、切り欠きの位置を辺の長さと取り違える誤りがよく起きます。横5cm、たて4cmの切り欠きが右上にあるとき、残った部分の右上の辺は5cmと4cmではなく、9cmから5cmを引いた4cmと、12cmから4cmを引いた8cmです。分けて足す方法では、この引き算を必ず1行書いてからかけ算に進みます。

よくある誤答と、直し方

誤答1は、外側の寸法で水の量を計算してしまう誤りです。40×30×25を計算して30000㎤、30Lと答えると、容器の板の部分まで水が入る計算になります。板の厚さの分だけ、水の入らない場所を数えているからです。直し方は、外側の寸法から板の厚さを引いて内側の寸法に直すことです。たて38cm、横28cm、深さ23cmで計算すると24472㎤、約24.5Lになります。30Lと24.5Lでは5L以上の差が出ます。

図3のように、外側の線と内側の線を重ねて描くと、板の厚さがどこの長さを削っているかが見えます。たてと横は両側の板の分だけ縮み、深さは底の板の分だけ縮みます。ふたがある容器では、深さも上下の板の分だけ縮みます。

誤答2は、斜めの辺を高さにしてしまう誤りです。角柱を斜めに描いた図では、いちばん長い辺が高さに見えます。高さは底面に垂直な長さです。底面を水平に置き、反対側の底面までの垂直な距離を測ります。図に直角の印を書き込むと、どの辺が高さかがはっきりします。

誤答3は、円柱で直径を半径として使う誤りです。直径20cmと書かれているのに、20×20×3.14で計算すると、底面積は1256㎠になります。半径は直径の半分なので、正しくは10×10×3.14で314㎠です。直径を使うと面積が4倍になり、体積も4倍になります。

誤答4は、1Lを100㎤と覚え違える誤りです。1辺10cmの立方体が1000㎤で1Lです。100㎤は1dLです。水の量をLで答える問題で桁がずれたら、まずこの関係に戻って、1000で割るのか100で割るのかを確かめます。答えが10倍ずれているときは、mLとdLの取り違えも疑います。

誤答5は、図の見た目で底面を決めてしまう誤りです。手前に描かれた面が、いつも底面とは限りません。柱を立てた向きで描いているのか、横に倒した向きで描いているのかを、平行な二つの面を探して判断します。合同な面が二つあり、その間を長方形がつないでいれば、その二つの面が底面です。見た目の面積の大小で選ぶと、高さの向きも一緒にずれます。

練習問題

1. 底面が台形の角柱があります。台形の上底は5cm、下底は9cm、台形の高さは4cmで、柱の高さは18cmです。この角柱の体積を求めなさい。
2. 底面の半径が5cm、高さが20cmの円柱があります。円周率を3.14として、体積を求めなさい。
3. ふたのない直方体の水そうがあります。外側のたてが22cm、横が17cm、高さが12cmで、板の厚さはどこも1cm、底の板も1cmです。この水そうに入る水の量を求めなさい。LとdLで表しなさい。
4. 断面がL字の角柱があります。断面は横10cm、たて8cmの長方形から、右上の横3cm、たて4cmの長方形を切り欠いた形です。柱の高さは15cmです。この角柱の体積を求めなさい。
5. 内側のたてが25cm、横が12cm、深さが15cmの水そうがあります。この水そうに入る水の量を求めなさい。LとmLで表しなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 台形の面積を先に出します。上底と下底を足して14、それに台形の高さ4をかけて56、2で割って28㎠です。柱の高さ18cmをかけて、28×18を計算します。28×10が280、28×8が224なので、合わせて504㎤です。答えは504㎤です。確かめに504を28で割ると18になり、柱の高さに戻ります。

2. 底面積は5×5×3.14です。25×3.14は78.5㎠になります。これに高さ20cmをかけて、78.5×20を計算します。78.5を10倍して2倍すると考えて、785×2で1570㎤です。答えは1570㎤です。確かめに1570を78.5で割ると20になり、高さに戻ります。小数が出たときは、最後に割り算で戻して確かめます。

3. 内側の寸法を出します。たては22cmから1cmを2回引いて20cm、横は17cmから1cmを2回引いて15cm、深さは12cmから底の板の1cmを1回引いて11cmです。20×15が300、300×11が3300㎤です。Lに直すと3300を1000で割って3.3L、dLに直すと3300を100で割って33dLです。答えは3.3L、33dLです。

4. 大きな長方形は10×8で80㎠、切り欠きは3×4で12㎠です。80から12を引いて68㎠、これに柱の高さ15cmをかけて1020㎤です。別の分け方でも確かめます。左の長方形は横が10cmから3cmを引いて7cm、たて8cmなので7×8で56㎠です。右下の長方形は横3cm、たてが8cmから4cmを引いて4cmなので3×4で12㎠です。56と12を足して68㎠となり、同じ値です。

5. 内側の寸法がそのまま与えられているので、25×12を計算して300㎠、これに深さ15cmをかけて4500㎤です。Lに直すと4500を1000で割って4.5Lです。mLに直すと、1mLが1㎤なので4500mLです。4Lと500mLと書いても同じ量です。確かめに4.5Lを1000倍すると4500mLになり、体積の4500㎤と一致します。

覚えておくこと

• 角柱と円柱の体積は、底面積×高さで求める。
• 高さは底面に垂直な長さで、斜めの辺ではない。
• 容器に入る水の量は内側の寸法で計算し、外側の寸法では求めない。
• 1000㎤が1L、100㎤が1dL、1㎤が1mLである。
• 断面が複合の形なら、分けて足す方法と、大きく作って引く方法で確かめる。

つまずきの見分け方と、確かめる場所

つまずきは、答えの現れ方で見分けられます。答えの桁が大きくずれるときは、単位の換算か、内寸と外寸の取り違えです。答えが2倍や4倍になるときは、三角形の÷2の忘れか、直径と半径の混同を疑います。式は合っているのに値が合わないときは、高さに斜めの辺を選んでいます。図に底面と垂直の印を書き込ませると、どの辺を高さと見ているかがわかります。

個別指導では、まず図のどこが底面かを指でなぞらせます。次に、その底面に垂直な辺を鉛筆でなぞらせ、最後に式を声に出して読ませます。「底面積かける高さ」と言えれば、式の順序は身についています。容器の問題では、外側の線と内側の線を色を変えて重ねさせ、内側の数字を図の横に書き込ませます。答えを出したあとに、体積を底面積で割って高さに戻るかを確かめる習慣がつくと、かけ算の取り違えはその場で見つかります。

発言では「面積が大きいからこっちが底面」という言葉にも注意します。底面は面積の大小ではなく、合同で平行な二つの面かどうかで選びます。答え合わせのときは、式だけでなく、どの長さを底面積と高さに選んだかを図の上で指させる時間を1分取ります。同じ誤りが次の問題で減るかどうかは、この指さしを飛ばさずにやったかで変わります。

数字を写す前に図の内側と外側を指でなぞる一手間が、水の量の答えを正しい向きへ運びます。