中学受験の算数 点の移動と面積—頂点が辺を移る区間ごとに面積の変化を読む｜武蔵野個別指導塾

長方形の周を一定の速さで動く点が角を曲がるたびに面積の増え方が変わる理由を、区間ごとの表で読み取るのが点の移動です。

よくあるのは、長方形のまわりを点が一定の速さで動く問題で、角を曲がった後も面積が同じ割合で増え続けると答えてしまう場面です。図の上では点がまだ横へ進んでいるように見えるため、高さがもう伸びていないことに気づきにくいのです。点がどの辺の上にあるかによって、面積の変わり方は増える・止まる・減る・動かないの四つに分かれます。この四つを区間ごとに切り分けて読むことが、点の移動と面積の問題の中心になります。

問われ方と条件の読み取り

点の移動と面積の問題は、三つの形で問われます。一つ目は、出発から何秒後の三角形の面積かを求める形です。二つ目は、面積がある値になる時刻を逆に求める形で、増える区間と減る区間の両方に答えが現れることがあります。三つ目は、時間と面積の表や折れ線を見て、面積の増え方や止まり方を説明する形です。

どの形でも、最初に確かめる条件は同じです。点がどの頂点を出発するか、どちらの向きに進むか、1秒に何cm進むか、長方形の各辺が何cmか、そしてどの三角形の面積を考えるかです。速さと辺の長さがそろって初めて、時刻と面積の関係が決まります。速さが示されていなければ、面積が48cm²になる時刻を決めることはできません。図の見た目だけで「ちょうど真ん中だから面積は半分」と決めないことが、正しい出発点になります。

表が与えられた問題では、時間の列と面積の列を見比べます。面積が増えている区間、同じ値が続く区間、減っている区間を順に印で囲むと、点がどの辺の上を通ったかの見当がつきます。面積が同じ値のまま続く区間があれば、その間は高さが変わっていないので、点は底辺から一定の距離にある辺の上を動いています。表の値から点の位置を逆に読む練習をしておくと、折れ線をかく問題にも強くなります。

また、面積の単位と時刻の単位をそろえることも欠かせません。速さが毎秒2cmなら、時間は秒で数え、面積はcm²で答えます。分で聞かれているのに秒のまま計算すると、数は合っていても答えの形が崩れます。問題文が「何秒後か」と聞いているのか、「何分後か」と聞いているのかを、式を立てる前に指で押さえると取り違えが減ります。

用語と考え方

長方形ABCDの辺の長さを、AB=12cm、BC=8cmとします。点Pは頂点Aを出発し、AからB、BからC、CからD、DからAの順に、長方形の周りを毎秒2cmの一定の速さで進みます。このとき、三角形APDの面積が時間とともにどう変わるかを考えます。底辺を辺ADに固定すると、面積は「底辺×高さ÷2」で求めることができ、底辺はいつも8cmです。変わるのは高さだけです。

高さは、点Pから辺ADに垂直に引いた線の長さです。辺ADは長方形の左側の辺で、辺ABと辺CDはどちらも辺ADに垂直です。そのため、点Pから辺ADまでの高さは、図1のように横方向の距離として測ることができます。

図1のように、点Pが辺ADからどれだけ離れているかが高さになります。ここがこの単元の中心です。点の道のりではなく、底辺に垂直な向きの距離を見る、と覚えると迷いません。

三角形の面積を底辺×高さ÷2で求める理由は、同じ三角形を二つ組み合わせると、底辺と高さが同じ平行四辺形になるからです。平行四辺形の面積は底辺×高さで、三角形はその半分になります。底辺を辺ADに固定したまま、高さだけが時間とともに変わる、という見方ができると、この単元の計算は同じ形で進みます。

一定の速さとは、同じ時間に同じだけ進むということです。毎秒2cmなら、1秒で2cm、2秒で4cm、3秒で6cmと進みます。この関係は「道のり=速さ×時間」で表せます。逆に、道のりから時間を出すときは「時間=道のり÷速さ」を使います。辺の長さを速さで割ると、その辺を進むのにかかる秒数が出ます。

速さが途中で変わる問題では、区間ごとに速さを確かめます。毎秒2cmのままなら境目の時刻は辺の長さを2で割った値ですが、毎秒3cmに変われば割る数も変わります。速さの指定が一つの問題でも、区間の数だけ確かめ直すと安心です。

点Pの位置を区間ごとに分けると、四つの場面になります。AからBまでの6秒間は、高さが0cmから12cmまで毎秒2cmずつ増えます。面積は高さの4倍なので、毎秒8cm²ずつ増えます。BからCまでの4秒間は、点Pが辺ADから12cm離れた辺BCの上を動くため、高さは12cmのままです。面積も48cm²のまま変わりません。CからDまでの6秒間は、高さが12cmから0cmまで毎秒2cmずつ減り、面積は毎秒8cm²ずつ減ります。DからAまでの4秒間は、点Pが辺ADの上にあるため高さは0cmで、面積も0cm²のままです。

ここで混同しやすいのが、点が進んだ道のりと高さの違いです。8秒後の道のりは16cmですが、高さは12cmです。道のりは辺の上をたどった長さで、高さは底辺ADから垂直に測った距離です。この二つは、点が辺ABの上にある間だけ同じ値になります。角を曲がると、道のりは増え続けても高さは増えないことがある、と理解しておきます。

面積は高さの4倍です。高さが毎秒2cm増えるので、面積は毎秒8cm²増えます。この4という数は、底辺8cmの半分です。底辺が変わればこの倍率も変わります。底辺が4cmなら、面積は高さの2倍になり、毎秒4cm²ずつ増えます。

移動にかかる時間は、辺の長さを速さで割って求めます。ABは12cmなので12÷2=6秒、BCは8cmなので8÷2=4秒、CDは12cmなので6秒、DAは8cmなので4秒です。四つを合わせると20秒で、これが1周の時間です。区間の境目は6秒後、10秒後、16秒後、20秒後になります。境目の時刻を先に書き出すと、面積の折れ線をかくときに迷いません。

面積の変化を言葉にすると、AからBでは時間の8倍、BからCでは48cm²、CからDでは48cm²から毎秒8cm²ずつ減った分を引いた値、DからAでは0cm²です。式を覚えるのではなく、高さが毎秒2cm変わり、面積はその4倍で変わる、という関係からその場で作れるようにします。

四つの区間を、秒数と高さ、面積の変わり方で整理すると次の表になります。秒数と高さの関係が見えると、面積の変わり方も同時に読めます。

時間と面積の対応を表にすると、次のようになります。数値の並びから、面積が止まる区間を確かめます。

表の6秒後と10秒後の値が同じ48cm²であることに注目します。この二つの時刻の間は、点が辺BCを上へ進んでいる間で、底辺ADから横に12cm離れた位置を保っています。面積が同じでも、点の位置は変わっているのです。

折れ線の上がり方は、1秒あたりの面積の増え方を表します。0秒から6秒までは毎秒8cm²ずつ増え、10秒から16秒までは毎秒8cm²ずつ減ります。6秒から10秒までと16秒から20秒までは面積が変わらないので、線は平らになります。増えているか、減っているか、変わらないかを見分けることが、表の数値を折れ線に変えるときの手がかりです。

基本の例題

例題1は、出発から3秒後の三角形APDの面積を求める問題です。

1秒に2cm進むので、3秒では2×3=6cm進みます。ABは12cmなので、点Pは辺ABの上にあります。辺ADを底辺とすると、高さは点Pから辺ADまでの横の距離で、これはAPと同じ6cmです。面積は8×6÷2=24cm²です。確かめに、1秒あたり8cm²ずつ増える関係を使うと、8×3=24cm²となり、同じ値になります。答えは24cm²です。

例題2は、出発から8秒後の三角形APDの面積を求める問題です。

8秒で進む道のりは2×8=16cmです。ABが12cmなので、点PはBを越えて4cm進み、辺BCの上にあります。辺BCは辺ADから12cm離れているので、高さは12cmです。面積は8×12÷2=48cm²です。ここで、角を曲がる前の増え方を使って8×8=64cm²としないようにします。8秒後の高さは12cmで止まっており、そこから先は増えません。答えは48cm²です。

図2のように、時間と面積の関係を折れ線にすると、0秒から6秒まで上がり、6秒から10秒まで平らになり、10秒から16秒まで下がり、16秒から20秒までは0のままです。平らな部分があることが、この問題の特徴です。

折れ線を読むときは、横軸の時間から縦に線をたどり、折れ線に当たった位置から横へ線をたどって面積を読みます。3秒後なら、横軸の3から上へ進み、折れ線に当たったところで左へ戻ると24cm²です。8秒後なら、折れ線の平らな部分に当たるので、48cm²になります。表の値と折れ線の高さが同じであることを、指でなぞって確かめます。

標準と発展の例題

例題3は、面積が32cm²になるのは出発から何秒後か、すべて求める問題です。

増える区間では、面積は毎秒8cm²ずつ増えます。32cm²になるのは32÷8=4秒後です。4秒後はAB上で、AP=8cm、高さ8cm、面積は8×8÷2=32cm²で条件に合います。一定の区間は48cm²のままなので、32cm²にはなりません。減る区間では、Cに着く10秒後から面積が毎秒8cm²ずつ減ります。48cm²から32cm²まで16cm²減ればよいので、16÷8=2秒後です。10+2=12秒後になります。12秒後はCから2秒進んだ位置で、高さは12-4=8cm、面積は8×8÷2=32cm²です。DからAの区間は0cm²なので該当しません。答えは4秒後と12秒後です。

一つの面積に対して時刻が二つ出るのは、折れ線が山の形をしているためです。上がる途中と下がる途中で同じ高さを通ります。答えを一つ見つけて終わりにせず、反対側の坂にも同じ面積がないかを確かめる習慣が大切です。

別の見方もあります。この折れ線は8秒後のところで折り返すと、左右が同じ形になります。4秒後は8秒後の4秒前、12秒後は8秒後の4秒後で、山の頂上から同じだけ離れた位置です。この対称性に気づくと、片方の時刻を見つけた後、もう片方を引き算で求められます。ただし、平らな区間の長さが左右で違う問題では使えないので、区間の長さを確かめてから使います。

例題4は、三角形APDの面積が48cm²のまま変わらないのは出発から何秒後から何秒後までか、またその面積が長方形ABCDの面積のどれだけにあたるかを求める問題です。

高さが12cmになるのは、点Pが辺ADから最も離れた辺BCの上にある間です。Bに着くのは6秒後、Cに着くのは10秒後なので、6秒後から10秒後までの4秒間は面積が48cm²のままです。長方形の面積は12×8=96cm²で、48÷96=1/2ですから、長方形の面積の半分にあたります。答えは6秒後から10秒後までで、長方形の面積の半分です。

例題5は、1周の20秒間のうち、三角形APDの面積が24cm²以下になる時間の合計を求める問題です。

増える区間では、24cm²になるのは24÷8=3秒後なので、0秒から3秒までの3秒間が当てはまります。一定の区間は48cm²なので当てはまりません。減る区間では、48cm²から24cm²まで24cm²減ればよいので、24÷8=3秒後です。16秒の3秒前なので13秒後から16秒までの3秒間が当てはまります。DからAの区間は0cm²で、16秒から20秒までの4秒間が当てはまります。合計は3+3+4=10秒です。答えは10秒です。

例題5の答えは、表の値と照らし合わせても確かめられます。0秒の0cm²から3秒の24cm²までは24以下で、6秒の48cm²と10秒の48cm²は範囲の外です。13秒の24cm²から16秒の0cm²までと、16秒から20秒の0cm²は範囲に入ります。表の行を指で追うだけでも、合計が10秒になることが見えます。

よくある誤答と直し方

よくある誤答の一つは、8秒後の面積を64cm²と答えるものです。3秒後の24cm²から、1秒に8cm²ずつ増えると考え、8×8=64とした計算です。この考え方は、角を曲がった後も高さが増え続けると仮定しています。しかし8秒後は辺BCの上で、辺ADまでの横の距離は12cmのままです。図3のように、正しい折れ線は6秒後から平らになります。誤答の折れ線はそのまま右上に伸びてしまいます。直し方は、まず点Pがどの辺の上にあるかを確かめ、次にその辺が底辺からどれだけ離れているかを図に書き込むことです。

図3では、正しい折れ線が6秒後から10秒後まで平らになるのに対し、誤った折れ線は同じ割合で上がり続けています。8秒後の値の差が、そのまま考え方の違いになります。

道のりと高さを取り違える誤答もあります。8秒後の道のり16cmをそのまま高さと考え、8×16÷2=64cm²とする計算です。数は先の誤答と同じ64cm²になりますが、誤りの場所は違います。高さは底辺に垂直な距離で、辺BCの上では12cmです。式のどの数が高さなのかを、図のどこを指すのかと一緒に確かめます。

二つ目の誤答は、面積が32cm²になる時刻を4秒後だけと答えるものです。増える区間だけを見て、減る区間の折れ線を読み飛ばしています。面積は山の形に変わるので、同じ値になる時刻が二つある場合があります。表や折れ線の下り坂にも目を向けることで防げます。

三つ目の誤答は、図の見た目で判断するものです。「点Pが真ん中あたりに見えるから面積は半分」と考えても、速さや辺の長さが示されていなければ時刻は決まりません。見た目は図を読む手がかりにはなりますが、答えを決める根拠にはなりません。条件に書かれた数だけを使い、図はその数を確かめるために使います。

練習問題

長方形EFGHがあります。EF=10cm、FG=6cmで、点Qは頂点Eを出発し、EからF、FからG、GからH、HからEの順に、毎秒2cmの一定の速さで進みます。三角形EQHの面積について、次の問いに答えます。辺EHは6cmで、点Qから辺EHまでの高さは横方向の距離です。

1. 出発から4秒後の三角形EQHの面積を求めます。
2. 出発から7秒後の三角形EQHの面積を求めます。
3. 三角形EQHの面積が18cm²になるのは、出発から何秒後ですか。すべて求めます。
4. 三角形EQHの面積が30cm²のまま変わらないのは、出発から何秒後から何秒後までですか。
5. 1周の16秒間のうち、三角形EQHの面積が15cm²より小さい時間の合計を求めます。

答えと解き方

1. 4秒で進む道のりは2×4=8cmです。EFは10cmなので、点Qは辺EFの上にあります。高さは8cmで、面積は6×8÷2=24cm²です。答えは24cm²です。

2. 7秒で進む道のりは2×7=14cmです。EFが10cmなので、点QはFを越えて4cm進み、辺FGの上にあります。辺FGは辺EHから10cm離れているので、高さは10cmです。面積は6×10÷2=30cm²です。答えは30cm²です。

3. 増える区間では、面積は毎秒6cm²ずつ増えます。18cm²になるのは18÷6=3秒後です。3秒後はEF上で、高さ6cm、面積は6×6÷2=18cm²です。一定の区間は30cm²なので該当しません。減る区間では、Gに着く8秒後から面積が毎秒6cm²ずつ減ります。30cm²から18cm²まで12cm²減ればよいので、12÷6=2秒後です。8+2=10秒後になります。10秒後はGから2秒進んだ位置で、高さは10-4=6cm、面積は6×6÷2=18cm²です。答えは3秒後と10秒後です。

4. 高さが10cmになるのは、点Qが辺EHから最も離れた辺FGの上にある間です。Fに着くのは5秒後、Gに着くのは8秒後なので、5秒後から8秒後までの3秒間です。答えは5秒後から8秒後までです。

5. 増える区間では、15cm²になるのは15÷6=2.5秒後なので、0秒から2.5秒までの2.5秒間です。減る区間では、30cm²から15cm²まで15cm²減ればよいので、15÷6=2.5秒後です。13秒の2.5秒前なので10.5秒後から13秒までの2.5秒間です。HからEの区間は0cm²で、13秒から16秒までの3秒間です。合計は2.5+2.5+3=8秒です。答えは8秒です。

どの答えも、面積の式に戻して確かめました。1と2は底辺6cmと高さから、3は二つの時刻のそれぞれで6×6÷2=18cm²になることから、4は5秒後と8秒後の高さがどちらも10cmであることから、5は境目の2.5秒後と10.5秒後で面積がちょうど15cm²になることから確かめられます。時刻の境目では面積が等しくなるので、以上・以下・より小さいの言葉に注意します。

練習問題の時間と面積の対応も、表にまとめて確かめます。境目の時刻で面積が0や30になることを、表の上でも確かめられます。

覚えておくこと

• 底辺を固定し、高さがどの辺の上でどう変わるかを見ます。
• 角の前後で区間を分け、各辺の長さを速さで割って境目の時刻を出します。
• 面積の変わり方は、増える・一定・減る・0の四つに分かれます。
• 底辺が固定の区間では、増え方は底辺×速さ÷2で一定です。
• 面積から時刻を求めるときは、上りと下りの両方で逆算します。

つまずきの見分け方

「角を曲がっても同じように増える」と発言するときは、点Pの真下ではなく、底辺に垂直な向きに高さを引かせてみます。高さの線が引けない場合は、底辺と垂直の関係を確かめるところに戻ります。8×8=64と書いた式を見たときは、8秒後の点がどの辺の上かを指で示させ、高さがいくつかを声に出させます。

表や折れ線を読む問題では、平らな部分を読み飛ばしていないかを確かめます。表の値と図の高さが対応しているか、面積の単位がcm²になっているか、時刻の単位が秒のままかを順に点検します。答えを出した後は、その面積を元の三角形に戻し、底辺と高さの数で割り直して同じ値になるかを確かめます。

指導の場では、まず点の位置を辺の名前で言わせます。「今は辺BCの上」と言えれば、高さが一定であることにつながります。次に、高さを図に一本引かせます。底辺ADに垂直な線が引ければ、面積の計算は底辺×高さ÷2に戻せます。最後に、出した面積を元の三角形に戻し、底辺と高さから計算し直させます。この三つがそろえば、角を曲がった後の面積の止まり方も自分で説明できます。

角の位置を確かめずに時間だけを見ている場合は、出発からの道のりを辺の長さと比べさせます。12cmの辺なら6秒、8cmの辺なら4秒という境目の時刻を、紙の端に小さく書いておくと、どの区間の問題かを取り違えません。図の縮尺と実際の長さが違うときは、図の見た目ではなく、問題文の数値だけを使います。

角を曲がるたびに高さの増え方が切り替わることを、図の上で指して説明できるかどうかが、点の移動と面積を自分で解く力の分かれ目です。