中学受験の算数 複合立体の表面積—接した面を除いて外から見える面を数える｜武蔵野個別指導塾

直方体を横に重ねた形では接した面が両側から隠れ、穴をあけた形では入口と出口の面が減ります。外から見える面を足し合わせるのが複合立体の表面積です。

工作の時間に、たて8cm、横6cm、高さ4cmの箱と、たて5cm、横6cm、高さ4cmの箱を、6cm×4cmの面どうしでぴったりくっつけて、一つの長い箱を作ったとします。できた箱の表面を画用紙で覆うとき、くっついた面には画用紙を貼れません。それなのに、二つの箱の表面積をそのまま足してしまうお子さまがいます。外から見えない面を二つ分も数えてしまうので、答えは本当の面積より大きくなります。どの面が隠れたのかを図で確かめることが、この単元の出発点です。

複合立体の表面積は、どの形で問われるか

複合立体の表面積は、大きく三つの形で問われます。第一に、直方体を二つ、あるいは三つ横や上に重ねた形です。問題文には「同じ大きさの面どうしをぴったり合わせる」と書かれることが多く、合わせた面の縦と横の長さがそのまま接した面積になります。第二に、直方体の角や辺を切り欠いて、へこみや溝を作った形です。切り欠いた部分の底と側面が新しく見える面になり、切り口が届いたもとの面はその分だけ減ります。第三に、直方体を四角柱の穴が貫いている形です。入口と出口の二つの面が減り、穴の内側の四面が新しく見える面になります。

どれも、問われているのは体積ではなく表面積です。問題文を読むときは、まず「どの面とどの面が接したか」「切り欠きはどの面まで届いたか」「穴は反対側まで抜けているか」の三つを確かめます。長さの単位がcmでそろっているか、答えの単位がcm²であるかも、式を立てる前に見ておきます。図に印を付けながら条件を拾うと、あとで式のどの項がどの面を表しているかをたどりやすくなります。

三つの形に共通するのは、外から見える面だけを数えるという考え方です。見えない面を足してしまうと答えは大きくなり、見える面を足し忘れると答えは小さくなります。どちらの間違いも、図と式を一対一で対応させることで防げます。問題を解き終えたら、式の一行目がどの立体の表面積で、二行目がどの面の処理かを、声に出して確かめるのが効果的です。

問題文の言い回しにも慣れておくと、条件を取り違えません。「〜の面を合わせて」は接合、「〜を切り欠いて」はへこみ、「〜を貫通させて」は穴の問題です。どれも、最初に求めるのは外から見える面の合計です。立体の向きを変えて置き直しても面積は変わらないので、図は見やすい向きでかまいません。

用語と考え方—外から見える面を数える

立体の表面積は、その立体の表面全体の面積です。直方体なら、向かい合う面が二枚ずつあるので、次の式で求められます。

直方体の表面積 = 2×(たて×横 + たて×高さ + 横×高さ)

この式は、たて×横の面、たて×高さの面、横×高さの面が、それぞれ向かい合って二枚ずつあることから作られています。六つの面をばらばらに足しても同じ結果になりますが、向かい合う面を一組にまとめると計算が短くなります。複合立体でも、この向かい合う面の組を意識すると、数え落としが減ります。

複合立体は、この直方体をいくつか組み合わせた形です。組み合わせると、もとの直方体の面の一部が外から見えなくなります。表面積は外から見える面の面積の合計ですから、見えなくなった面を数えてはいけません。これが複合立体の表面積の中心にある考え方です。

二つの直方体を一つの面で接合したとき、その面は二つの直方体の両方から隠れます。Aの面としてもBの面としても数えられないので、隠れる面積は接した面積の二倍です。したがって、接合した立体の表面積は、それぞれの表面積の合計から接した面積を二回引いて求めます。

接合した立体の表面積 = それぞれの表面積の合計 − 接した面積×2

図1のように、向かい合う二つの面は、くっつけると同じ一つの面になります。二枚が一枚になるのではなく、二枚とも外から見えなくなる、と考えると間違えにくくなります。二枚の厚紙を貼り合わせると、貼った面はどちらの厚紙の表からも見えない、というのと同じです。

図1で色を付けた二つの面は、接合すると外から見えなくなる面です。二枚のうち片方だけを引くと、もう片方が数えに残ります。

へこみや溝を作ったときは、引く面と足す面が両方あります。切り欠いた開口部の面積は、もとの面から引きます。新しく見えるようになった底の面と側面の面積は足します。溝が反対側の面まで届いている場合は、その反対側の面も切り欠いた分だけ減ることを忘れないでください。切り口が三つの面に触れているときは、三つとも計算に入れます。

貫通穴も同じです。穴の入口と出口では、もとの面から穴の断面積を引きます。穴の内側には四面の壁が現れるので、その面積を足します。断面がたてacm、横bcmの長方形で、穴の長さがhcmなら、内側の面積は周の長さ2×(a+b)にhを掛けた値になります。円の穴はこの単元では扱いません。長方形の穴だけを考えます。

この計算が成り立つのは、接した面が平らで、二つの立体がすき間なく重なりなく合わさっているときです。面の一部だけが接するときは、重なった部分の面積だけを引きます。また、同じ場所を二重に数えないように、接した面の形と大きさを図で確かめます。長さの単位がcmとmで混ざっているときは、先にcmへそろえてから面積を計算します。

確かめるときは、二つの道筋で計算します。一つは、もとの立体の表面積から隠れる面を引き、新しく見える面を足す道筋です。もう一つは、前後・左右・上下の六つの向きごとに、外から見える面を数え上げる道筋です。二つの答えが一致すれば、接した面や切り欠いた面の取り扱いを間違えていません。

表面積を求める順序は、次の三つです。まず、もとの立体がどんな直方体からできているかを分けます。次に、接した面や切り欠いた面を、もとの面から引くものと新しく足すものに振り分けます。最後に、向きごとに数えた面積と式の答えを比べます。この順序を毎回同じように使うと、問題の形が変わっても手が止まりません。

面積の計算では、同じ長さを二回掛けて縦×横の面を作ります。三つの長さを全部掛けると体積になるので、表面積の式では掛けるのは二つまでです。式を書いたら、項がどれも面積の単位になっているかを確かめます。長さの単位がそろっていれば、面積の単位はcm²になります。

基本例題—二つの直方体を横に接合する

たて8cm、横6cm、高さ4cmの直方体Aと、たて5cm、横6cm、高さ4cmの直方体Bを、6cm×4cmの面どうしでぴったりくっつけました。できた立体の表面積は何cm²ですか。

まず、それぞれの直方体の表面積を求めます。Aは、8×6=48、8×4=32、6×4=24の三つの面が二枚ずつあるので、2×(48+32+24)=2×104=208cm²です。Bは、5×6=30、5×4=20、6×4=24なので、2×(30+20+24)=2×74=148cm²です。二つの合計は208+148=356cm²です。

次に、接した面を調べます。接した面は6cm×4cmの長方形で、面積は24cm²です。この面はAからもBからも見えません。Aの表面積にもBの表面積にもこの面が含まれているので、二つ分を引きます。356-24×2=356-48=308cm²です。

図2のように、二つの直方体は横に並び、全体ではたて13cm、横6cm、高さ4cmの一つの直方体になります。8+5=13です。この一つの直方体として計算すると、2×(13×6+13×4+6×4)=2×(78+52+24)=2×154=308cm²となり、同じ答えになります。接した面を二回引く計算は、二つを合わせて一つの直方体にする操作と同じなのです。

図2の赤い破線が、二つの直方体の接した面の位置です。ここで確かめておきたいのは、接した面の縦と横がどちらも二つの直方体に共通していることです。Aの6cm×4cmの面とBの6cm×4cmの面は同じ大きさで、ずれなく重なっています。大きさの違う面を合わせた場合は、重なった部分だけが接した面積になります。式の一項目がA、二項目がB、三項目が接した面の処理だと、指でなぞりながら読むとよいでしょう。

この例では、全体が一つの直方体になるため、外から数える道筋でも同じ答えを短く出せます。複合立体の表面積では、このように別の道筋で確かめられる形を選ぶと、計算の誤りに気づきやすくなります。接した面を一回だけ引くと、Aの面とBの面のどちらかが残ってしまうので、答えは24cm²だけ大きくなります。二回引く理由を、この差で覚えておくと忘れません。

答え 308cm²

標準例題と発展例題—段のある形と貫通穴

標準例題 上に小さな直方体をのせる

たて10cm、横8cm、高さ6cmの直方体Aの上に、たて4cm、横8cm、高さ3cmの直方体Bを、Aの一方の端にそろえて置きました。表面積は何cm²ですか。

Aの表面積は2×(10×8+10×6+8×6)=2×(80+60+48)=2×188=376cm²です。Bは2×(4×8+4×3+8×3)=2×(32+12+24)=2×68=136cm²です。合計は512cm²です。

接した面はBの底面4cm×8cmで、面積は32cm²です。二つ分を引くと512-64=448cm²です。

外から数えて確かめます。下の面は10×8=80cm²です。上の面は、Aの見えている部分が(10-4)×8=48cm²、Bの上が4×8=32cm²で、合わせて80cm²です。前と後ろの面は、Aの10×6=60cm²とBの4×3=12cm²が合わさって72cm²ずつなので、二面で144cm²です。左の面はAの8×6=48cm²とBの8×3=24cm²で72cm²、右の面はAの8×6=48cm²とBの8×3=24cm²で72cm²です。全部を足すと80+80+144+72+72=448cm²となり、一致します。

この形で見落としやすいのは、Bの側面です。BはAの端にそろえて置かれているので、Bの左右の面のうち片方はAの端の面とつながって一つの平らな面になり、もう片方は段の垂直な面として外から見えます。段の垂直な面を数え忘れると、Bの高さ3cmと横8cmで作られる24cm²だけ答えが小さくなります。

置き場所を変えても表面積が変わらないことも、確かめておきます。BをAの中央に置いても、接した面積は32cm²のままです。Aの上面の見えている面積は48cm²で変わらず、Bの四つの側面が見える面積も、Aの端に寄せたときと合計が同じになります。接した面積と、外から見える面の合計が変わらないからです。ただし、BがAの上面からはみ出すと接した面積が減るので、この性質は使えません。

答え 448cm²

発展例題 貫通穴のある直方体

たて12cm、横10cm、高さ8cmの直方体の中央に、一辺4cmの正方形の穴を上から下までまっすぐ開けました。穴は底面まで貫通しています。表面積は何cm²ですか。

もとの直方体の表面積は2×(12×10+12×8+10×8)=2×(120+96+80)=2×296=592cm²です。穴の入口は上の面にあり、面積は4×4=16cm²です。出口は下の面にあり、同じく16cm²です。この二つを引きます。592-16-16=560cm²です。

穴の内側は四面の壁です。穴の断面は一辺4cmの正方形なので、周の長さは4×4=16cmで、長さは高さと同じ8cmです。内側の面積は16×8=128cm²です。これを足すと560+128=688cm²です。

向きごとに数えても確かめられます。上下の面はそれぞれ12×10-4×4=120-16=104cm²で、二面で208cm²です。前後の面は12×8=96cm²ずつ、左右の面は10×8=80cm²ずつで、外側の四面は96×2+80×2=352cm²です。穴の内側は128cm²です。208+352+128=688cm²となり、一致します。

内側の壁の面積は、穴の断面の周の長さに穴の長さを掛けて求めます。入口と出口の面積を引く計算と、内側の壁を足す計算は別の操作です。入口を引いたときに内側の壁まで引いてしまわないように、式を分けて書きます。

条件が変わると計算も変わります。穴が底まで届かず、途中で止まっている場合は、入口の16cm²だけを引き、穴の底の16cm²を足します。このとき内側の壁の長さは穴の深さになります。穴が側面に接して溝のようになった場合は、内側の壁の数が変わるので、この単元では中央に開いた貫通穴として扱います。問題文の「貫通しています」という一言を読み落とさないことが大切です。

答え 688cm²

よくある誤答—接した面を足してしまう

たて7cm、横6cm、高さ4cmの直方体Aと、たて5cm、横6cm、高さ4cmの直方体Bを、6cm×4cmの面で接合した問題を考えます。Aは2×(42+28+24)=188cm²、Bは2×(30+20+24)=148cm²で、合計は336cm²です。接した面は24cm²なので、正しい表面積は336-24×2=288cm²です。

よくある誤答は、この336cm²をそのまま答えにしてしまうものです。二つの直方体の表面積を足しただけで、接した面を引いていません。接した面は外から見えないので、表面積に含めてはいけません。図3の一番上の式がこの間違いを表しています。

もう一つの誤答は、24cm²を一回だけ引いて312cm²とするものです。接した面はAにもBにもあるので、二回引く必要があります。一回だけ引くと、片方の直方体に残ったままの面を数えていることになります。

へこみの問題でも似た間違いが起きます。切り欠いた底の面だけを足して、側面を足し忘れると、側面の面積だけ足りません。溝が反対側の面まで届いているのに、その面が減ることを忘れると、今度は答えが大きくなります。

直し方は、式を三つに分けて書くことです。一つ目はもとの立体の表面積の合計、二つ目は外から見えなくなる面、三つ目は新しく見える面です。図3の緑の288cm²が、二面分を引いた正しい答えです。最後に外から数え直して、二つの道筋の答えを比べます。答えが合わないときは、どの面を二重に数えたか、どの面を数え忘れたかを、図に戻って探します。

単位の混同もよく起きます。表面積はcm²、体積はcm³です。長さをcmでそろえたのに、答えをcm³で書いていないか、式の最後で確かめます。面積の計算なのに三つの長さを掛けてしまう誤りは、縦・横・高さのうち二つだけを掛けているかを見直すと見つかります。式の各項が面積の単位になっているかを、項ごとに確かめるのも有効です。

練習五問

一問目です。たて7cm、横5cm、高さ3cmの直方体と、たて4cm、横5cm、高さ3cmの直方体を、5cm×3cmの面どうしで接合しました。表面積は何cm²ですか。

二問目です。たて10cm、横8cm、高さ6cmの直方体の上面に、横8cmの向きにまっすぐな溝を掘りました。溝の幅は2cm、深さは2cmで、溝は前後の面まで届いています。表面積は何cm²ですか。

三問目です。たて9cm、横7cm、高さ5cmの直方体の中央に、一辺3cmの正方形の穴を上から下まで貫通させました。表面積は何cm²ですか。

四問目です。一辺6cmの立方体を二つと、たて3cm、横6cm、高さ6cmの直方体を一つ用意し、横一列に面どうしをぴったり合わせました。表面積は何cm²ですか。

五問目です。たて12cm、横8cm、高さ5cmの直方体の横の面に、たて4cm、横4cm、高さ5cmの直方体を、底面をそろえて接合しました。表面積は何cm²ですか。

練習の答えと解き方

一問目。7×5×3の直方体は2×(35+21+15)=2×71=142cm²、4×5×3の直方体は2×(20+12+15)=2×47=94cm²です。合計は236cm²です。接した面は5×3=15cm²で、二つ分を引くと236-30=206cm²です。全体はたて11cm、横5cm、高さ3cmの直方体になるので、2×(55+33+15)=2×103=206cm²と確かめられます。答え 206cm²。

二問目。もとの直方体は2×(80+60+48)=376cm²です。溝の開口部は上面の2×8=16cm²で、これを引きます。溝は前後の面まで届いているので、前後の面もそれぞれ2×2=4cm²ずつ減ります。次に、溝の底の2×8=16cm²と、溝の両側の壁2×8=16cm²ずつを足します。376-16-8+16+32=400cm²です。外から数えると、下80cm²、上64cm²、左右96cm²、前後112cm²、溝の中48cm²で、合計400cm²です。答え 400cm²。

三問目。もとの直方体は2×(63+45+35)=2×143=286cm²です。穴の入口と出口はそれぞれ3×3=9cm²なので、286-18=268cm²です。穴の内側は周の長さ12cmに高さ5cmを掛けて60cm²です。268+60=328cm²です。外から数えると、上下はそれぞれ63-9=54cm²で108cm²、外側の四面は2×(9×5+7×5)=160cm²、内側は60cm²で、合計328cm²です。答え 328cm²。

四問目。立方体は一辺6cmなので、一つの表面積は6×6=36cm²の面が六つで216cm²です。二つで432cm²です。3×6×6の直方体は2×(18+18+36)=144cm²です。合計は576cm²です。接した面は6×6=36cm²で、二か所あるので、36×2×2=144cm²を引きます。576-144=432cm²です。全体はたて15cm、横6cm、高さ6cmの直方体なので、2×(90+90+36)=432cm²と一致します。答え 432cm²。

五問目。12×8×5の直方体は2×(96+60+40)=392cm²です。4×4×5の直方体は2×(16+20+20)=112cm²です。合計は504cm²です。接した面は4×5=20cm²で、二つ分を引くと504-40=464cm²です。外から数えると、上下はそれぞれ96+16=112cm²で224cm²、左端40cm²、右端20cm²、接合した面の残り20cm²、前60cm²、後ろ60cm²、小さな直方体の前後の側面20cm²ずつで40cm²です。224+40+20+20+60+60+40=464cm²です。答え 464cm²。

覚えておくこと

• 表面積は、外から見える面の面積の合計です。
• 接合した面は二つの立体の両方から隠れるので、接した面積を二回引きます。
• へこみは、開口部を引いて、底と側面を足します。
• 溝や穴が別の面まで届くときは、届いた面の面積も減ります。
• 最後に外から数え直し、二つの道筋の答えを比べます。

つまずきの見分け方と確かめ方

接合面の引き忘れは、答えが接した面積の二倍だけ大きくなることで見分けられます。一回だけ引いている場合は、接した面積の一倍だけ大きくなります。へこみの側面を忘れている場合は、溝の深さと長さから作られる側面の面積だけ小さくなります。貫通穴の内側を忘れている場合は、穴の周の長さに高さを掛けた分だけ小さくなります。体積と混同している場合は、答えの単位がcm³になっていないかを確かめます。

指導では、接した面に指を置かせて「外から見えるか」と問いかけます。見えないと答えられたら、その面の面積を二回引く理由を自分の言葉で説明させます。式を書かせるときは、どの項がどの面を表すかに色を塗らせると、抜けが目で見つかります。接した面を赤、新しく見える面を緑、もとのままの面を青に分け、色ごとの面積を足し引きしてから全体の式と比べる方法も、抜けを防ぎます。最後に、向きごとに数えた面積と式の答えを比べさせ、一致しなければ図に戻ります。

外から見える面を一枚ずつ指でなぞり、その合計として面積を書き切ることが、複合立体を苦手にしない近道です。