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中学受験の算数立方体の切断面—同じ面の二点を結んで切り口を順にたどる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数図形を掘り下げる

三つの点を通る平面が立方体を切ると、同じ面の二点を結ぶ線が切り口の辺になり、向かい合う面では平行な辺が現れます。六つの面を順にたどれば六角形まで数えられる立方体の切断面です。

よくあるのは、立方体の見取図に三つの点が打たれ、切り口の形を答えさせる場面です。点はどれも辺の上にありますが、同じ面にあるとは限りません。お子さまは定規を当て、図でいちばん近い二点をそのまま結んで「三角形です」と答えます。ところが、その線は立方体の面の上を通っていません。切り口の辺は、必ず立方体の面の上にあります。どの点とどの点が同じ面にあるかを見つけ、面ごとに一本ずつ線を置いていく。この順番が、立方体の切断面を解くときの土台になります。

切り口はどの形で問われるか

問題の形は、大きく三つに分かれます。一つ目は、三つの点を示して、切り口が何角形になるかを答える問題です。二つ目は、切り口が辺のどこで交わるかを答える問題で、辺の上にできる点までの長さや、その点が辺を何等分するかを聞かれます。三つ目は、切り口の辺どうしの平行や、何本の辺をもつかを答える問題です。形を書かせる問題でも、聞かれている中身はこの三つのどれかです。

条件として最初に読むのは、点が辺の上にあるのか、面の内側にあるのかです。立方体の切断面の問題では、点は辺の上に置かれることがほとんどです。次に、その点がどの面に属しているかを確かめます。一つの点は、たいてい二つの面に属しています。辺の上の点は、その辺を共有する二つの面のどちらにもある、と考えると整理できます。

三つの点が一直線に並んでいると、平面は一つに決まりません。まっすぐな線をいくら通しても、その線を含む平面は無数にあるからです。三点が一直線でないことを確かめてから、切り口を考え始めます。また、切り口の辺の数は、切断面が実際に切った面の数と同じになります。立方体は六つの面をもつので、切り口は三角形から六角形までのどれかになります。

用語と考え方

立方体を一つの平面で切ったとき、その平面を切断面、立方体の面の上に現れる切り口の線分を切り口の辺と呼びます。切り口は、辺の上にできた点を頂点とした多角形です。頂点は立方体の辺の上にあり、辺は立方体の面の上にあります。この二つを分けて考えると、図のどこをたどればよいかが見えてきます。

三つの点が同じ直線上になければ、その三点を通る平面は一つだけあります。これは、椅子の三本足が床に安定して立つことと同じ仕組みです。三点を結んでできる三角形が一つの平面を決め、その平面が立方体を切った断面が切り口になります。四点目以降は、その平面が立方体の面と交わる場所として自動的に決まります。ですから、三つの点から出発して、面ごとに交線をたどればよいのです。

同じ面の上にある二点は、そのまま直線で結ぶことができます。その線分は面の内側にあり、切断面にも含まれます。これが切り口の辺になります。逆に、同じ面にない二点を直接結んだ線は、立方体の内部を通るだけで、どの面の上にもありません。切り口の辺にはなりません。この違いが、この単元でいちばん間違えやすいところです。

向かい合う二つの面にできる切り口の辺は、平行になります。たとえば底面と上面は平行です。切断面がこの二つの面を切ると、底面にできる線と上面にできる線は平行になります。なぜなら、どちらの線も切断面の上にあり、しかも底面と上面が交わらないので、二本の線が交わることもないからです。同じ平面の上にあって交わらない二本の直線は平行です。左右の面、前後の面についても同じことがいえます。

切断面と立方体の共通部分は、へこみのない一つの多角形になります。立方体はへこみのない立体なので、その断面にも穴や分かれ目はできません。ですから、切り口の辺をたどっている途中で形が二つに分かれたり、急に内側へ折れ曲がったりしたら、その線は切り口ではありません。作図の見直しでは、一筆書きで出発点に戻れるかどうかを確かめると早く気づけます。

図1の左は、手前右上の頂点のまわりの三つの面で、それぞれ二点を結んだところです。点Pと点Qは上面、点Pと点Rは右面、点Qと点Rは正面にあるので、三本の線が面の上に引けます。図1の右は、上面と底面に現れる切り口が平行になることを示しています。どちらの面でも、切り口の線は同じ傾きで並びます。

面を広げて延長して考えることも必要です。立方体の面は、その面を含む平面の一部です。切り口の線を面の内側で延ばしていくと、辺の延長と交わる点ができます。その点は、隣の面を広げた平面にも属しています。そこで、同じ平面上の別の点と結べば、次の面にできる切り口の線が決まります。延長した線そのものは切り口の辺ではありませんが、辺の位置を決めるための補助線として使えます。この補助線の使い方が、四角形や六角形の切り口を作図するときの中心になります。

基本例題（三角形の切り口）

立方体ABCD-EFGHがあります。辺の長さは6 cmです。辺ABの真ん中の点をP、辺ADの真ん中の点をQ、辺AEの真ん中の点をRとします。この三点を通る平面で立方体を切るとき、切り口は何角形になるか、また切り口の辺はそれぞれどの面の上にあるかを答えなさい。

まず、点Pと点Qに注目します。Pは辺ABの上、Qは辺ADの上にあり、どちらも底面ABCDの上です。同じ面にある二点なので、そのまま結びます。線分PQは底面の上にあり、切り口の一本目の辺になります。

次に、点Pと点Rを見ます。Pは辺ABの上、Rは辺AEの上にあり、どちらも正面ABFEの上です。同じ面の二点なので、線分PRを引きます。これが二本目の辺です。

続いて、点Qと点Rを見ます。Qは辺ADの上、Rは辺AEの上にあり、どちらも左面ADHEの上です。線分QRを引くと、三本目の辺になります。

三本の線分は、P、Q、Rの三つの点で閉じています。切り口は三角形PQRです。辺PQは底面ABCD、辺PRは正面ABFE、辺QRは左面ADHEの上にあります。一つの面に一つの辺が対応していることも確かめてください。

この切り口がほかの面に広がらない理由も見ておきます。正面ABFEの上で、線分PRを延ばしても、辺ABと辺AEのところで面の外に出てしまい、上の辺EFには届きません。底面のPQも辺ABと辺ADの間で終わり、左面のQRも辺ADと辺AEの間で終わります。三つの面の上で線が閉じているので、上面、右面、後面には切り口の辺ができません。頂点Aのまわりを三角おにぎりのように包む形です。

図2のように、三つの点を面ごとに結ぶと、三角形の切り口になります。

標準例題（四角形の切り口）

立方体ABCD-EFGHの辺の長さを12 cmとします。辺ABの真ん中の点をP、辺BCの真ん中の点をQ、辺FGの真ん中の点をRとします。この三点を通る平面で切ったとき、切り口が辺EFと交わる点をSとして、Sの位置と四角形PQRSの形を答えなさい。

最初に、点Pと点Qを結びます。Pは辺ABの上、Qは辺BCの上にあり、どちらも底面ABCDの上です。線分PQは底面にできる切り口の辺です。

次に、点Qと点Rを結びます。Qは辺BCの上、Rは辺FGの上にあり、どちらも右面BCGFの上です。線分QRは右面にできる切り口の辺になります。ここで、QRは辺BFや辺CGと同じ向きのまっすぐな線です。QとRはどちらも、右面の同じ高さの位置にあります。

上面と底面は平行なので、上面にできる切り口の辺は、底面にできるPQと平行になります。点Rを通り、PQに平行な線を上面に引きます。この線が辺EFと交わる点がSです。PQは、PからQへ向かって右へ6 cm、奥へ6 cm進む線です。Rは辺FGの真ん中なので、Fから6 cm、Gから6 cmの位置にあります。Rから同じ進み方で左へ6 cm、手前へ6 cm戻ると、辺EFの真ん中に着きます。したがってSはEFの真ん中で、ESは6 cmです。

最後に、点Sと点Pを結びます。Sは辺EFの上、Pは辺ABの上にあり、どちらも正面ABFEの上です。線分SPは正面にできる切り口の辺です。これで四本の辺が閉じ、四角形PQRSができます。切り口は底面、右面、上面、正面の四つの面を切っているので、辺の数も四本です。

作図が終わったら、最後の辺SPが本当に正面の上にあるかを確かめます。Sは辺EFの上、Pは辺ABの上にあり、どちらも正面ABFEの辺です。四本の辺が一つの面ずつに乗り、最後にPへ戻れば、切り口は閉じています。

四角形の形を調べます。QRは右面をまっすぐ上へ進む線で、PQは底面の上の線です。右面と底面は直角に交わっているので、QRとPQも直角に交わります。PQとSRは平行、QRとSPも平行です。四つの角が直角で、向かい合う辺が平行なので、四角形PQRSは長方形です。QRとSPはどちらも12 cmになります。

発展例題（六角形の切り口）

立方体ABCD-EFGHの辺の長さを6 cmとします。辺ABの真ん中の点をP、辺BCの真ん中の点をQ、辺EHの真ん中の点をRとします。この三点を通る平面で切ったとき、切り口は何角形になるか、また切り口がほかの辺と交わる位置を答えなさい。

最初に、点Pと点Qを結びます。どちらも底面ABCDの上にあるので、PQは底面の切り口の辺です。

次に、上面と底面は平行なので、上面の切り口はPQと平行になります。点Rを通り、PQに平行な線を上面に引きます。Rは辺EHの真ん中です。この線は辺HGと交わり、その交点をSとします。SはHGの真ん中になります。

ここで、PQをQの側へ延ばします。PからQへ進んだのと同じだけ、右へ3 cm、奥へ3 cm進むと、辺DCをCの側へ延ばした直線と交わります。この交点をXとすると、CXは3 cmです。Xは、背後の面DCGHを広げた平面の上にあり、同時に切断面の上にもあります。Sも背後の面の上にあり、切断面の上にあります。二つの平面が共有する二点XとSを結ぶ直線が、背後の面にできる切り口です。

線分XSは、辺CGと交わります。その交点をUとします。XからSへは、横へ6 cm進む間に上へ6 cm進みます。Xから横へ3 cm進んだところが辺CGの上なので、そこはCから3 cm上の点です。つまりUはCGの真ん中になります。

同じように、PQをPの側へ延ばします。QからPへ進んだのと同じだけ、左へ3 cm、手前へ3 cm進むと、辺DAをAの側へ延ばした直線と交わります。この交点をYとすると、AYは3 cmです。YとRはどちらも左面ADHEを広げた平面の上にあり、切断面の上にもあります。線分YRが左面にできる切り口で、辺AEと交わる点をTとします。YからRへは、奥へ6 cm進む間に上へ6 cm進みます。Yから奥へ3 cm進んだところが辺AEの上なので、TはAEの真ん中で、ATは3 cmです。

これで六つの頂点がそろいました。P、Q、U、S、R、Tの順に結ぶと、切り口は六角形になります。六つの頂点は、辺AB、BC、CG、GH、EH、AEのそれぞれ真ん中です。辺PQは底面、辺QUは右面、辺USは後面、辺SRは上面、辺RTは左面、辺TPは正面の上にあります。六つの面を一面ずつ切っているので、辺の数も六本です。

六角形の向かい合う辺は、三組とも平行になります。PQとSR、QUとTR、USとPTです。底面と上面、右面と左面、後面と正面がそれぞれ平行なので、そこにできる切り口の辺も平行になるからです。六角形の形を確かめるときは、この三組の平行を指でなぞると見落としが減ります。

よくある誤答と直し方

いちばん多い誤りは、同じ面にない二点を直接結んでしまうことです。発展例題で、Pは辺ABの真ん中、Rは辺EHの真ん中にあります。見取図の上ではPとRが近くに見えるので、定規でそのまま結んでしまうお子さまがいます。しかしPは正面と底面の点、Rは上面と左面の点で、二点が共有する面はありません。直接結んだ線は立方体の内部を通り、どの面の上にもありません。切り口の辺にはなりません。

正しくは、PとRの間に、両方と面を共有する点をはさみます。発展例題では、辺AEの真ん中のTがその点です。PとTは正面の上、TとRは左面の上にあるので、PからTへ、TからRへと折れながら進めば、どちらの線分も面の上にあります。図3の赤い破線が直接結んだ誤った線、緑の折れ線が面の上をたどる正しい道です。

二つ目の誤りは、途中で切り口を閉じたと決めてしまうことです。標準例題で、P、Q、Rまで線を引いたところで「三角形」と答えるお子さまがいます。しかしRは上面の点で、Pとは面を共有していません。QとRは右面でつながっていますが、RからPへ戻る線はまだ引けていません。切り口は、最後の頂点から最初の頂点へ、同じ面の上を通って戻れたときに初めて閉じます。閉じる前に角数を決めると、三角形と四角形を取り違えます。

三つ目の誤りは、上面に引く線を底面の線と平行にしないことです。上面と底面は平行なので、そこにできる切り口の辺も平行になります。ところが、見取図の傾きに合わせて線を引くと、上の辺だけが傾いてしまいます。まず底面のPQを引き、次にその傾きを変えずにRを通る線を引く。この順番を守ると、Sの位置も決まります。定規を二本使うか、方眼の升目を数えると、平行を保ちやすくなります。

四つ目の誤りは、切り口の辺を面の外まで延ばしてしまうことです。切り口の辺は、立方体の面の内側で終わります。面の外へ延びるのは、辺の位置を決めるための補助線です。補助線と切り口の辺を同じ色で描くと、どこまでが本当の切り口かわからなくなります。作図のときは、補助線を薄くするか、点線にして区別します。

練習問題

立方体ABCD-EFGHの辺の長さは8 cmです。辺ABの上にAPが3 cmになる点P、辺ADの上にAQが3 cmになる点Q、辺AEの上にARが3 cmになる点Rをとります。三点P、Q、Rを通る平面で切るとき、切り口は何角形で、その辺はどの面の上にありますか。
立方体ABCD-EFGHの辺の長さは10 cmです。辺ABの上にAPが4 cmになる点P、辺BCの上にBQが5 cmになる点Q、辺FGの上にFRが5 cmになる点Rをとります。三点P、Q、Rを通る平面で切るとき、切り口が辺EFと交わる点Sについて、ESの長さを求めなさい。また、四角形PQRSはどんな四角形ですか。
立方体ABCD-EFGHの辺の長さは12 cmです。辺ABの上にAPが4 cmになる点P、辺BCの上にBQが8 cmになる点Q、辺FGの上にFRが2 cmになる点Rをとります。三点P、Q、Rを通る平面で切るとき、切り口が辺EFと交わる点Sについて、ESの長さを求めなさい。また、四角形PQRSで平行になる辺の組を答えなさい。
立方体ABCD-EFGHの辺の長さは6 cmです。辺ADの真ん中の点をP、辺DCの真ん中の点をQ、辺FGの真ん中の点をRとします。三点P、Q、Rを通る平面で切るとき、切り口は何角形ですか。また、切り口が辺CG、EF、AEと交わる点は、それぞれ辺のどこですか。向かい合う辺の平行な組も答えなさい。
立方体ABCD-EFGHの辺の長さは6 cmです。辺ABの上にAPが2 cmになる点P、辺ADの上にAQが2 cmになる点Q、辺EHの上にERが2 cmになる点Rをとります。三点P、Q、Rを通る平面で切るとき、切り口が辺EFと交わる点Sについて、ESの長さを求めなさい。また、四角形PQRSはどんな四角形ですか。

解答と解き方

切り口は三角形PQRです。PとQは底面ABCD、PとRは正面ABFE、QとRは左面ADHEの上にあるので、三本とも面の上に引けます。辺PQは底面、辺PRは正面、辺QRは左面の上です。三つの面だけで閉じるので、ほかの面には辺ができません。
まずPとQを底面で結びます。次にQとRを右面BCGFで結びます。RはFから5 cmの位置なので、Qの真上にあります。上面では、Rを通りPQに平行な線を引き、辺EFとの交点をSとします。RはQの真上にあります。QからPへは左へ6 cm、手前へ5 cm進むので、同じ進み方をRから行うと、SはEから4 cmの点になります。したがってESは4 cmです。四角形PQRSは長方形で、QRとPSが10 cm、PQとSRが平行です。
PとQを底面で結ぶと、PQは右へ8 cm、奥へ8 cm進む線になります。PQは45度の向きに進む線なので、Rから左へ2 cm、手前へ2 cm進むと、辺EFの上のSに着きます。SはEから10 cmの点です。したがってESは10 cmです。四角形PQRSでは、PQとSRが平行です。QRとSPは同じ向きではないので、平行な組はPQとSRだけです。この四角形は台形です。
切り口は六角形です。まずPとQを底面で結びます。上面では、Rを通りPQに平行な線を引き、辺EFとの交点をSとします。SはEFの真ん中です。次に、線分SRをRの側へ延ばし、辺HGをGの側へ延ばした直線との交点をXとします。XとQを結ぶと、辺CGとの交点Uが得られ、UはCGの真ん中です。最後に、Pを通りRUに平行な線を左面に引き、辺AEとの交点Tをとると、TはAEの真ん中になります。切り口はP、Q、U、R、S、Tを順に結んだ六角形です。向かい合う辺の組は、PQとRS、QUとST、URとTPで、それぞれ平行です。
PとQはどちらも底面ABCDの上にあるので、PQを引きます。QとRはどちらも左面ADHEの上にあるので、QRを引きます。上面と底面は平行なので、上面ではRを通りPQに平行な線を引き、辺EFとの交点をSとします。RはEから2 cmの位置なので、SもEから2 cmの位置になります。したがってESは2 cmです。SとPはどちらも正面ABFEの上にあるので、SPを引くと四角形が閉じます。PQとSRが平行、QRとSPが平行で、QRは底面に垂直なので、四角形PQRSは長方形です。

覚えておくこと

三つの点が一直線でなければ、その三点を通る平面は一つに決まる。
同じ面にある二点は、そのまま結ぶと切り口の辺になる。
向かい合う面にできる切り口の辺は平行になる。
切り口の辺の数は、切断面が切った面の数と同じで、三角形から六角形までになる。
辺の上にできる点の位置は、平行な線と延長の補助線で決める。

つまずきの見分け方

同じ面にない二点を直接結ぶお子さまは、点の位置だけを見て、その点がどの面に属しているかを意識していません。図を指でなぞりながら「この点はどの面の上にあるの」と聞くと、自分の見落としに気づきます。切り口の線を引く前に、各点が属する面を二つずつ言わせると確実です。

上面の線を底面の線と平行に引けないお子さまは、平行な面の規則を覚えていても、作図の順番でつまずいています。先に底面の線を引き、その線を指で押さえたまま、同じ傾きで上の点を通る線を引くように伝えます。何角形かを聞かれたときに辺の数を数え違える場合は、面の数と辺の数を一対一で対応させ、切った面に印を付けながら数えると直ります。

個別指導では、お子さまがどの点から結び始めたかを見ます。最初の一本が同じ面の二点を結んでいれば、考え方の筋は通っています。途中で線が面の外へ出たり、平行が崩れたりしたときは、そこだけ戻ってやり直せば十分です。図と問題文の点の名前を指で確認し、辺の上か面の上か、同じ面かどうかを一つずつ言葉にさせると、見た目に頼る癖がほどけていきます。

切り口の形は、見た目ではなく、面ごとに線を置いた順番が決めます。