中学受験の算数 円の転がり—中心の道のりと回転数を分けて数える｜武蔵野個別指導塾

中心が動く道のりと円が回る回数を分けて求め、角で増える弧まで図で確かめるのが円の転がりです

【舞台】よくあるのは、硬貨を長方形のカードのまわりに沿って転がし、何回転したかを数える場面です。カードの外周の長さを円周で割れば回転数が出ると考え、角のところを数えずに答えを書いてしまいます。ところが、円が角にさしかかると、円は頂点にふれたまま向きを変え、その間も回り続けます。外周の長さだけでは足りないのは、この角の分です。

1. 問われ方と条件の読み取り

円の転がりは、大きく三つの形で問われます。

一つ目は、直線上を転がる円の回転数を求める形です。このときは、円が接して進んだ道のりが、そのまま中心の道のりになります。円周の何倍進んだかが回転数です。

二つ目は、長方形や正方形の外側を円が一周する形です。中心が動く道のりと、円が回る回数が続けて問われます。角で中心が描く弧を足せるかどうかで差がつきます。

三つ目は、回転数から長さを逆に求める形です。円が何回転したかが先にわかっていて、進んだ道のりや図形の外周を求める場面です。回転数の式を逆にたどるので、式の組み立てを間違えると答えが大きくずれます。

どの形でも、最初に確かめる条件は同じです。半径が与えられているのか、直径なのか。円周率はいくつで計算するのか。円はすべらずに転がるのか。円は図形の外側を回るのか、内側を回るのか。一周なのか、二周なのか。角はとがっているのか、丸いのか。これらを取り違えると、式の形は合っていても答えがずれます。問題文に「すべらずに」とあれば、接した道のりと円周をそのまま対応させてよい合図です。

問題文を読むときは、半径・円周率・外側か内側か・周回数の四つを、問題のすぐ横に短く書き出します。図に半径を書き込むと、直径と半径の取り違えも減ります。円が通る道を鉛筆でなぞり、直線の部分と角の部分を分けておくと、式を立てる順番が決まります。この下ごしらえをしないまま式を立てると、角の弧を足し忘れても気づけません。

2. 円周と中心の道のり

円周と回転数の関係

円が一回転すると、円は自分の円周と同じ長さだけ進みます。半径をrとすると、円周は 2×r×3.14 です。半径2cmの円なら、2×2×3.14=12.56cm になります。

すべらずに転がるというのは、接している場所が動かないということです。円は接した部分を次々に地面へ置いていき、そのぶんだけ自分の円周を使います。だから、接した道のりが円周の何倍かが、そのまま回転数になります。円周が9.42cmの円が28.26cm進めば、28.26÷9.42=3 で、3回転ということです。

中心の道のり

円の中心が通った線の長さを、中心の道のりと呼びます。直線上を転がるとき、中心は地面から半径の高さを保ったまま、地面と平行に進みます。このとき中心の道のりは、接した道のりと等しくなります。

角があると、この関係は崩れます。円が長方形の角にさしかかると、円は頂点に接したまま、頂点を中心にして向きを変えます。この間、円の中心は頂点から半径だけ離れた位置を保ちます。そのため中心が描く線は、頂点を中心とし、転がる円の半径と同じ半径をもつ円の一部になります。角が90度なら、中心が描くのは4分の1円です。

中心の道のりを図に描くときは、円の中心に鉛筆を置き、円を転がす向きに少しずつ動かして線を引きます。円のふちではなく中心を動かすのがこつです。中心の線は、地面から半径の高さを保つので、地面と平行なまっすぐな線になります。角の手前まで来たら、中心の線は頂点を中心とした弧に切り替わります。この切り替わりを図の上で見つけられるかどうかが、角の弧を数えられるかどうかの境目です。

長方形の外側を一周するとき

長方形の外側を円が一周するとき、中心の道のりは二つに分かれます。四つの辺に沿って進む部分と、四つの角で描く弧の部分です。辺に沿う部分の合計は、長方形の外周と同じ長さになります。角の弧は、直角が四つで360度になるので、合わせてちょうど円1つ分、つまり円周と同じ長さです。したがって、中心の道のりは「外周+円周」になります。

回転数は、中心の道のりを円周で割って求めます。中心の道のりが外周+円周なので、外周÷円周+1と書いても同じ答えになります。この形は、角の1回転分を先に足しておく考え方です。どちらの式でも同じ値になることを、後の例題で確かめます。

なぜ角で1回転分が増えるのか

角を回るとき、円は頂点にふれたまま回ります。頂点にふれている点は動かないので、円は頂点のまわりを転がるように回転します。円が向きを変える角度と、円自身が回る角度は等しくなります。四角形の外側を一周すると、円の向きは合計で360度変わります。360度の回転は1回転ですから、角のところだけで円は1回転ぶん多く回ることになります。

この1回転は、円周の長さとして中心の道のりに現れます。円周12.56cmの円なら、角の4分の1円が四つで12.56cmです。外周が同じでも、円の半径が変わればこの長さも変わります。半径を2倍にすると、角の弧の合計も2倍になります。辺に沿う部分は半径を変えても同じ長さのままなので、半径を変えたときの回転数の変化は、角の分だけずれてきます。

成り立つための条件

この関係が成り立つのは、円がすべらないこと、円が図形から離れずに接し続けること、角がとがっていることの三つです。角が丸い図形では、角で描く弧の長さが変わるので、外周に円周を足すだけでは求められません。また、円が図形の内側を回る場合は、角で弧を描かずに中心が向きを変えるため、中心の道のりは外周より短くなります。外側と内側では式が変わるので、問題文の「外側」「内側」を必ず確かめます。

図1は、直線上を転がる円の中心の道のりを表したものです。円の中心は地面から半径の高さを保ち、地面と平行な線を進みます。

図1のように、中心の道のりは地面から半径だけ上の線になります。円がすべらずに転がるとき、接した道のりと中心の道のりは同じ長さです。この二つの長さを同じものとして扱えることが、直線上の問題を解く出発点になります。

3. 基本例題　長方形の外側を一周する円

たて5cm、よこ9cmの長方形の外側を、半径2cmの円がすべらずに一周します。円の中心が動く道のりと、円が回る回数を求めなさい。回転数は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで答えなさい。円周率は3.14とします。

手順1　円周を求める

半径2cmの円の円周は、2×2×3.14=12.56 より、12.56cmです。この12.56cmが、円が一回転で進む長さになります。

手順2　長方形の外周を求める

たて5cmとよこ9cmをたして2倍します。(5+9)×2=28 より、外周は28cmです。これが、円の中心が辺に沿って進む部分の合計になります。

手順3　角で中心が描く弧を求める

角は4つあり、どれも90度です。1つの角で中心が描くのは、半径2cmの円の4分の1です。12.56÷4=3.14 より、1つの角で3.14cmです。これが4つあるので、3.14×4=12.56cm です。4分の1円を4つ集めると、ちょうど円1つ分になることがわかります。

手順4　中心の道のりを求める

辺に沿う部分28cmと、角の弧12.56cmを合わせます。28+12.56=40.56 より、中心の道のりは40.56cmです。外周だけの28cmより12.56cm長いのは、角で中心が外側へ回り込むためです。

手順5　回転数を求める

中心の道のりを円周で割ります。40.56÷12.56=3.2292… です。小数第2位を四捨五入すると3.2になります。答えは3.2回転です。

答えを書くときは、単位を付けます。中心の道のりはcm、回転数は回転です。回転数に単位を付けない問題もありますが、何を数えた数なのかを言葉で添えておくと、式と答えの対応が確かめやすくなります。

別の求め方

回転数は、外周÷円周+1でも求められます。28÷12.56=2.2292… で、これに角の1回転を足して3.2292… となります。小数第2位を四捨五入して3.2回転です。角の1回転を先に足す考え方なら、中心の道のりを経由せずに回転数だけを出せます。ただし、この+1は外側を回るときだけのものなので、内側を回る問題には使いません。

確かめ

求めた3.2292…回転に円周12.56cmを掛けると、12.56×3.2292…=40.56 となり、中心の道のりに戻ります。中心の道のりから外周を引くと、40.56-28=12.56 で、円周1つ分です。角の分がきちんと入っていることが確かめられます。

図2は、この長方形の外側を円が一周するときの中心の道のりを表したものです。辺に沿う直線の部分と、角の4分の1円の部分を色分けしています。

図2のように、角では中心が外側へふくらむ弧を描きます。この弧の合計が円1つ分になるので、中心の道のりは外周+円周になります。

4. 標準と発展

標準例題1　直線上を転がる円

半径2cmの円が、まっすぐな線の上をすべらずに31.4cm転がりました。円は何回転しましたか。円周率は3.14とします。

円周は2×2×3.14=12.56cmです。直線の上では、接した道のりと中心の道のりが同じなので、31.4÷12.56 を計算します。31.4÷12.56=2.5 より、2.5回転です。

確かめとして、円周12.56cmに2.5回転を掛けます。12.56×2.5=31.4 となり、転がった道のりに戻ります。直線では角の分を足さないことも、この問題で確かめておきましょう。

標準例題2　回転数から道のりを求める

半径3cmの円が、まっすぐな線の上をすべらずにちょうど4回転しました。進んだ道のりを求めなさい。円周率は3.14とします。

まず円周を求めます。2×3×3.14=18.84 より、18.84cmです。一回転で18.84cm進むので、4回転では18.84×4=75.36cm です。答えは75.36cmです。

確かめとして、75.36÷18.84=4 となり、回転数に戻ります。回転数を求めるときは割り算、道のりを求めるときは掛け算です。どちらを聞かれているのかを、式を立てる前に確かめます。

発展例題　半径を変えて比べる

たて6cm、よこ10cmの長方形の外側を、半径2cmの円がすべらずに一周します。

1. 中心の道のりと回転数を求めなさい。回転数は小数第3位を四捨五入して小数第2位まで答えなさい。

2. 円の半径を4cmに変えると、中心の道のりと回転数はそれぞれ何倍になりますか。小数第3位を四捨五入して小数第2位まで答えなさい。

3. 外周は(6+10)×2=32cmです。円周は2×2×3.14=12.56cmです。角の弧は4つで円1つ分なので12.56cmです。中心の道のりは32+12.56=44.56cmです。回転数は44.56÷12.56=3.5477… で、小数第3位を四捨五入すると3.55回転です。

4. 半径4cmの円周は2×4×3.14=25.12cmです。中心の道のりは32+25.12=57.12cmです。回転数は57.12÷25.12=2.2738… で、2.27回転です。中心の道のりは57.12÷44.56=1.2818… より約1.28倍、回転数は2.2738÷3.5477=0.6409… より約0.64倍になります。

ここで注目したいのは、半径を2倍にしても回転数が半分にならないことです。外周÷円周+1の式で見ると、外周÷円周の部分は半径が2倍になると半分になりますが、角の+1はそのまま残ります。32÷12.56=2.5477… が32÷25.12=1.2738… になる一方で、+1は変わらないので、3.5477… と2.2738… になります。角の1回転分が残るぶん、半分より少し多い回転数になるのです。

別解　角の1回転を先に引く

(2)の回転数は、中心の道のりを先に求めなくても出せます。外周÷円周+1の式に、半径4cmの円周25.12cmを入れます。32÷25.12=1.2738… に1を足して2.2738… です。中心の道のりを求める計算を省きたいときは、この形が使えます。ただし、この式は外側を一周するときのものです。二周するときは角の1回転も2回になるので、+2にしなければなりません。

二周する問題では、辺に沿う部分も2倍になります。中心の道のりは(外周+円周)×2です。一周の式を覚えたら、まず周回数を掛ける位置を確かめ、そのあとに角の分を足します。順番を逆にすると、角の分だけを2倍し忘れたり、外周だけを2倍して角を1回分にしたりと、迷いが生まれます。

5. よくある誤答と直し方

誤答1　外周÷円周で止める

たて5cm、よこ9cmの長方形の外側を半径2cmの円が一周するとき、28÷12.56=2.2292… を計算して2.2回転と答える誤りです。式の形は合っていますが、中心の道のりを外周と取り違えています。

中心は辺の外側を半径だけ離れて通るので、中心の道のりは外周より長くなります。角では中心が外側へ回り込むので、その弧の分だけ余分に進みます。この問題では12.56cm足りていません。直し方は、角の4分の1円を4つ集めて円1つ分にし、28+12.56=40.56cm としてから割ることです。40.56÷12.56=3.2292… で、3.2回転が正しい答えです。

誤答2　角の弧を半円と数える

角で円が90度向きを変えることを、半円と取り違える誤りです。4つの角で半円が4つ、つまり円2つ分として25.12cmを足すと、中心の道のりは28+25.12=53.12cm、回転数は53.12÷12.56=4.2292… で4.2回転になります。これは角を回りすぎた数え方です。

角の外側を回るとき、円の向きが変わる角度は、角の外角と同じ90度です。中心が描く弧は、90度ぶんの4分の1円です。半円は180度なので、2倍に数えていることになります。直し方は、角の数を数え、1つの角で向きが変わる角度を確かめてから、その角度ぶんの弧を足すことです。

誤答3　半径と直径を取り違える

半径2cmの円の円周を、2×3.14=6.28cm と計算してしまう誤りです。2を半径のまま使ってしまい、直径を掛けていません。半径2cmの円の直径は4cmなので、正しい円周は4×3.14=12.56cmです。

この誤りは、回転数を2倍にしてしまいます。中心の道のり40.56cmを6.28cmで割ると6.4585… となり、正しい3.2回転のおよそ2倍です。答えが大きくずれたときは、まず円周の計算を見直します。半径から直径へ2倍する操作を、式の中に書き残しておくと防げます。

誤答4　角を2回数える

一つの角で、円が頂点に近づくときと離れるときの両方を足してしまい、弧を2つ分に数える誤りもあります。角は頂点が1つで、円の向きが変わるのはその1回だけです。2回分に数えると、4つの角で8つ分、つまり円2つ分の弧を足すことになり、誤答2と同じ答えになります。図で角に丸印を付け、印の数だけ弧を数えると防げます。

図で確かめる

図3は、長方形の角で円の中心が弧を描く様子を表したものです。円が角に近づく前、角にふれている間、角を回り終えた後の三つの位置を並べています。

図3のように、角では中心が頂点から半径だけ離れたまま動くので、中心の線は4分の1円になります。角のところを折れ線のまま数えると、この弧の分が抜け落ちます。図を描くときは、円そのものではなく、円の中心が通る線を鉛筆でなぞると確かめやすくなります。

6. 練習問題

次の5問を解いてみてください。円周率はすべて3.14とします。答えは問題の後にまとめて置いています。

1. 半径2cmの円が、まっすぐな線の上をすべらずに43.96cm転がりました。何回転しましたか。

2. 半径3cmの円が、まっすぐな線の上をすべらずにちょうど5回転しました。進んだ道のりを求めなさい。

3. 半径2cmの円が、たて4cm、よこ7cmの長方形の外側をすべらずに一周します。中心の道のりと回転数を求めなさい。回転数は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで答えなさい。

4. ある長方形の外側を、半径3cmの円がすべらずにちょうど3回転して一周しました。この長方形の外周の長さを求めなさい。

5. 半径2cmの円が長方形の外側を一周するとき、4つの角を回る間に円は合わせて何回転しますか。また、その間に円の中心が動く道のりは何cmですか。

解答と解き方

1. 円周は2×2×3.14=12.56cmです。43.96÷12.56=3.5 より、3.5回転です。確かめとして、12.56×3.5=43.96 となり、転がった道のりに戻ります。直線なので角の分は足しません。

2. 円周は2×3×3.14=18.84cmです。一回転で18.84cm進むので、5回転では18.84×5=94.2cm です。確かめとして、94.2÷18.84=5 となり、回転数に戻ります。答えは94.2cmです。

3. 外周は(4+7)×2=22cmです。円周は2×2×3.14=12.56cmです。角の弧は4つで円1つ分なので12.56cmです。中心の道のりは22+12.56=34.56cmです。回転数は34.56÷12.56=2.7515… で、小数第2位を四捨五入すると2.8回転です。確かめとして、12.56×2.7515…=34.56 となり、中心の道のりに戻ります。

4. 中心の道のりは、回転数3に円周18.84cmを掛けて3×18.84=56.52cm です。中心の道のりは外周+円周なので、外周は56.52-18.84=37.68cm です。別の求め方として、角の1回転を先に引いて(3-1)×18.84=37.68cm としても同じです。答えは37.68cmです。外周が37.68cmになる長方形は、たてとよこの和が18.84cmです。

5. 角は4つあり、1つの角で中心が描く弧は4分の1円です。4分の1円を4つ集めると円1つ分になるので、角を回る間の回転数は合わせて1回転です。その間に中心が動く道のりは、円周1つ分の2×2×3.14=12.56cm です。辺に沿う部分は含めず、角の分だけを答える問題なので、長方形の外周は足さないようにします。

7. 覚えておくこと

• すべらない円は、接した道のりのぶんだけ回る。
• 直線では、中心の道のりと接した道のりは同じ長さになる。
• 角では、中心は角を中心とする半径rの弧を描く。
• 外側を一周するときの中心の道のりは、外周+円周1つ分になる。
• 回転数は中心の道のり÷円周。外周÷円周+1でも同じ値になる。

8. つまずきの見分け方

お子さまのノートを見るときは、まず図に中心の通る線が引かれているかを確かめます。円の輪郭だけを描いて終わっていると、中心の道のりと外周を混同していることが多いです。次に、角のところが折れ線で終わっていないか、弧になっているかを見ます。折れ線なら角の弧を落としています。式については、外周÷円周で止まっていないか、半径と直径のどちらを3.14に掛けたかを確認します。答えが2倍や半分にずれているときは、円周の計算を取り違えている可能性が高いです。声をかけるときは「角で円はどこを向いて回るの」と尋ね、頂点にふれたまま向きを変えることを図で指させるのが確実です。

計算の順番を確かめるときは、式を三つに分けて書かせます。円周、中心の道のり、回転数の三つです。どこで止まっているかが一目でわかり、角の弧を足したのかどうかも式の上で見えます。

角の弧を数え落とさない目は、転がる円そのものではなく、円の中心が描く線を指でなぞることで育ちます。