数検2級 増減と極値—導関数の符号を増減表へ移して山谷を判断する｜武蔵野個別指導塾

導関数が0でも山や谷とは限りません。三次・四次の符号表から停留点を見極め、増減と極値を読み解きます。

よくあるのは、受検者が導関数を0にする値を見つけ、その点を必ず極大または極小と決める場面です。接線が水平でも、グラフがそこで折り返すとは限りません。前後で上り続けることもあります。式を解いた後に左右の符号を調べると、山、谷、水平に通過する点を区別できます。手元の増減表には、値を入れる前に、どの区間で何の符号を見るのかを書いておきましょう。

増減表で問われる判断

増減と極値の問題では、関数を微分し、導関数が0となる点を境に符号を調べます。その結果から、関数が増加する区間と減少する区間、極大値と極小値を答えます。答えに必要なものは問題文によって異なります。極値を求めるなら、変化する位置を表す x の値に加えて、元の関数の値も計算します。

自作問題の型としては、三次式の導関数を因数分解して2つの境目を調べる型、四次式から3つの境目を並べる型、重なった因数がある停留点で符号が変わるかを見分ける型があります。どの型でも、微分の計算と符号の判定は別の作業です。式が正しくても符号の行を逆にすれば、山と谷も逆になります。

ここで扱うのは実数全体で定義された三次・四次多項式です。区間を限定した最大値・最小値の比較は扱いません。極大値は近くの点と比べた山の高さであり、実数全体で最も大きい値を意味するとは限りません。極小値も同じように、近くの点と比べた谷の高さです。

導関数の符号を言葉にする

関数 y = f(x) の導関数を f′(x) と書きます。ある区間で f′(x) が正なら、その区間で f(x) は増加します。負なら減少します。図1のように、左から右へ進んだとき、正から負に変われば山、負から正に変われば谷です。正負が変わらない場合は、そこで水平になっても山や谷にはなりません。

図1では、符号を先に読み、その下に元の関数の動きを置いています。極大・極小という言葉は最後に付けます。たとえば導関数が正から負へ変わる点では、左側からは値が上がってきて、右側では下がっていきます。その点の関数値が極大値です。負から正なら逆に極小値になります。

導関数が0になる点を停留点と呼びます。ここでは x の値と、グラフ上の点の座標を区別します。x = a が停留する位置なら、点は (a, f(a)) です。極値は f(a) であり、a そのものではありません。両者が偶然同じ数になる問題もあるため、意味を添えて書くと取り違えにくくなります。

符号を調べるには、導関数を因数分解して0になる値を小さい順に並べ、それらの間から代表の数を1つずつ選ぶ方法が使えます。多項式の符号は、0になる点を含まない区間の途中で変わりません。境目そのものに代入すると0になり、左右の正負が判定できないので、必ず区間の内部の数を選びます。

因数が平方になっているときも注意します。例えば (x − a)² は x = a 以外で正です。その因数は境目の左右で負になりません。別の因数の符号も合わせて判断する必要があり、平方の因数を見つけただけで結論を出すのではなく、積全体を確かめます。

増減表は、横に x の境目を並べ、その下に導関数の符号、さらに下に元の関数の矢印を記す表です。境目に0を書く行は導関数の行であり、関数の行には必要に応じてその点の関数値を書きます。矢印の先に0があるから極値が0だと読むのではなく、どの行の数かを確かめます。

符号表を作る際、代表値の計算で0が出た場合は、その数が境目を選んでいないか調べます。因数分解を間違えた場合にも、予想と異なる値が出ます。元の導関数を展開して一致するか確認し、積の符号を各因数に分けて追い直します。境目が1つもない場合は、実数全体で符号を調べます。なお、多項式では導関数が定義されない点はありません。

極大値と極小値が同じ問題に両方現れるとは限りません。四次式には2つの谷と1つの山を持つものもあれば、山を持たず谷を1つ持つものもあります。答えの個数を先に決めず、符号が変化する場所を順番に拾います。増減表を仕上げてから、求められた値を元の式で計算する手順にすると、水平に通過する位置を誤って答えに含めずに済みます。

基本例題：三次式の山と谷

関数 f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 の増加区間、減少区間、極大値と極小値を求めてください。区間は不等号で表し、極値はそれをとる x の値とともに整数で答えます。

まず項ごとに微分します。定数の微分は0です。

f′(x) = 3x² − 6x − 9

共通因数3をくくり、二次式を因数分解します。

f′(x) = 3(x² − 2x − 3)

f′(x) = 3(x + 1)(x − 3)

次に f′(x) = 0 を解きます。積が0となるのは x = -1 または x = 3 です。この2つを小さい順に並べ、実数の範囲を3区間に分けます。図2のように、各区間の符号を調べてから矢印を置きます。

x < -1 では、x + 1 と x − 3 はともに負です。3は正なので、積は正です。例えば x = -2 を入れると f′(-2) = 15 で、確かに正です。

-1 < x < 3 では、x + 1 は正、x − 3 は負です。積は負で、例えば f′(0) = -9 です。x > 3 では2つの因数がともに正なので、積は正です。例えば f′(4) = 15 となります。境目での導関数の値は0ですが、それだけでは山か谷かは決まりません。

したがって f(x) は x < -1 と x > 3 で増加し、-1 < x < 3 で減少します。x = -1 では正から負への変化なので極大、x = 3 では負から正への変化なので極小です。元の式にそれぞれ代入します。

f(-1) = (-1)³ − 3(-1)² − 9(-1) + 5

f(-1) = -1 − 3 + 9 + 5 = 10

f(3) = 3³ − 3・3² − 9・3 + 5

f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = -22

答えは、x = -1 で極大値10、x = 3 で極小値-22です。増減の矢印は、左から上がって10に達し、-22まで下がり、その後は上がる順になります。元の式への代入と符号の並びを照合すると、位置と高さの両方を確認できます。

少し難しい例題：重なった解と2つの境目

関数 g(x) = x⁴ − 4x³ の増加区間、減少区間、極値を求めてください。区間は不等号で表し、極値はそれをとる x の値とともに整数で答えます。

微分すると g′(x) = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3) です。g′(x) = 0 の解は x = 0, 3 です。x² があるので0は重なった解ですが、増減表の境目として0を1回書けば足ります。ここが方法の分かれ目です。解の個数を数える作業を続けるのではなく、各因数の符号を調べます。

1. x < 0 では x² は正、x − 3 は負ですから g′(x) は負です。例えば x = -1 で g′(-1) = -16 です。

2. 0 < x < 3 でも x² は正、x − 3 は負です。例えば x = 1 で g′(1) = -8 となり、符号は負のままです。

3. x > 3 では両方が正です。例えば x = 4 で g′(4) = 64 です。

よって x < 0 と 0 < x < 3 では減少し、x > 3 では増加します。0を挟んでも減少が続くので、まとめて x < 3 で減少と表せます。x = 0 では導関数が0でも極値をとりません。x = 3 では負から正に変わるため極小です。g(3) = 81 − 108 = -27 なので、x = 3 で極小値-27です。極大値はありません。

確認として g(0) = 0 です。その左右の g(-1) = 5、g(1) = -3 と比べると、0の左から右へ値が下がっています。g(3) = -27 は、例えば g(2) = -16 と g(4) = 0 より小さく、谷という符号の判断と一致します。左右の数値の比較は計算の照合には役立ちますが、代表点を1組調べただけで極値の証明を済ませるのではなく、区間の符号を示します。

誤答を直す：0の左右まで見る

「h(x) = x³ では h′(x) = 3x² だから、x = 0 で極小値0」という答えを考えます。微分と代入は合っていますが、極小という判断に必要な符号の変化がありません。図3のように、0の左右で導関数はともに正です。

x が0以外なら x² は正なので、h′(x) は正です。したがって h(x) は0の左でも右でも増加し、0を通り過ぎます。実際に h(-1) = -1、h(0) = 0、h(1) = 1 です。0の近くには0より小さい値と大きい値がともにあり、極大値でも極小値でもありません。

誤りを直すときは、導関数が0になる行を消す必要はありません。その行から左右に矢印を伸ばし、それぞれの区間で正か負かを記入します。左右の符号が同じなら、停留点であっても極値にはしません。正負が変わるときに初めて、変わる向きから山か谷かを決めます。

もう一つの誤りは、f′(a) = 0 から極値を0と書くことです。0は接線の傾きを表し、関数値ではありません。基本例題では f′(-1) = 0 ですが f(-1) = 10 です。導関数に代入した結果と元の関数に代入した結果を別の行に書くと、意味が混ざりません。

練習問題

次の3問は実数全体で考えます。各問について増加・減少する区間を不等号で表し、極値があれば、それをとる x の値とともに整数で答えてください。極値がない種類も明記します。先に3問を解いてから、後の解答と照らし合わせましょう。

1. f(x) = x³ − 3x の増減と極値を求めてください。
2. g(x) = x⁴ − 8x² の増減と極値を求めてください。
3. h(x) = -x³ + 6x² − 12x + 7 の増減と極値を求めてください。

解答1

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x + 1)(x − 1) です。境目は -1 と 1 です。各区間の符号は左から正、負、正となります。例えば -2、0、2 をそれぞれ代入すると、導関数の値は 9、-3、9 です。

よって x < -1 と x > 1 で増加し、-1 < x < 1 で減少します。x = -1 では正から負へ変わるので極大、x = 1 では負から正へ変わるので極小です。f(-1) = -1 + 3 = 2、f(1) = 1 − 3 = -2 より、極大値は2、極小値は-2です。それぞれの値を元の式で確認し、増減の順序にも合うと確かめます。

解答2

g′(x) = 4x³ − 16x = 4x(x + 2)(x − 2) です。境目は -2、0、2 です。区間ごとに -3、-1、1、3 を代入すると、導関数の値は順に -60、12、-12、60 です。したがって符号は負、正、負、正と並びます。

x < -2 と 0 < x < 2 で減少し、-2 < x < 0 と x > 2 で増加します。x = -2 と x = 2 では負から正になり、どちらも極小です。x = 0 では正から負になるので極大です。元の式に代入すると g(-2) = 16 − 32 = -16、g(0) = 0、g(2) = 16 − 32 = -16 です。答えは x = -2, 2 で極小値-16、x = 0 で極大値0です。2つの谷の高さが等しいことも、元の式の代入で確かめられます。

解答3

h′(x) = -3x² + 12x − 12 = -3(x − 2)² です。導関数が0となるのは x = 2 です。それ以外では平方が正なので、導関数は負です。左の x = 1、右の x = 3 ではともに h′(x) = -3 となり、符号が変わりません。

したがって実数全体で減少し、極大値も極小値もありません。元の式では h(1) = -1 + 6 − 12 + 7 = 0、h(2) = -8 + 24 − 24 + 7 = -1、h(3) = -27 + 54 − 36 + 7 = -2 です。停留点を挟んで値が下がることが、符号による判断と一致します。左右1点ずつの代入は照合として用い、結論の根拠は区間全体の導関数の符号に置きます。

覚えておくこと

• 導関数が0となる位置で数直線を分け、各区間の符号を調べます。
• 正から負は極大、負から正は極小、符号が変わらなければ極値ではありません。
• 極値の数は、元の関数にその位置を代入して求めます。
• 増減区間と極値をとる位置を区別し、問題で求められた形で答えます。

どこでつまずいたかを見分ける

個別指導では、まず本人が書いた導関数を元の式と照らして、係数と符号を点検します。そこで合っていれば、因数分解から得た境目が小さい順に並んでいるかを見ます。順番が違えば区間を区切り直し、各区間に代表の数を入れて符号を再計算します。

符号は合っているのに極大と極小が逆なら、増減表の矢印をたどり、左から上がって右へ下がるのが山だと確かめます。導関数が0という理由で極値を付けた場合には、両隣の符号を指して変化の有無を説明してもらいます。お子さまが答えの数を出せても、元の関数への代入を省いていないかを確認すると、位置と高さの混同を見つけられます。符号の変化を言葉で読めれば、停留点が山か谷かを自分で判断できます。