数検2級 微分と最大最小—閉区間の端点と極値を比較して答えを決める｜武蔵野個別指導塾

端点の値を比べ、長方形の辺から定義域を立てて考えるのが、微分による最大最小です。

よくあるのは、受検者が増減表の山と谷を見つけ、その値だけを比べて答案を閉じる場面です。指定された区間の端に、山より高い点や谷より低い点があるかもしれません。グラフ全体の形を想像する前に、動ける範囲の両端と、その間の候補を並べます。端点を含む問題では、端点の値も答えを決める材料です。

最大値を決める問いの形

最大値は、指定された範囲で関数が実際にとる値のうち、どの値よりも小さくない値です。最小値はその逆です。どこでその値をとるかという x の値と、関数の値そのものは別のものなので、問題が両方を求めるなら両方を書きます。例えば「x = 2 で最大値 5」と書けば、位置と高さを区別できます。

問いの形には、式と閉区間が与えられて最大値と最小値を求めるものがあります。また、区間の端が文字で表され、候補が区間に入るかを場合分けするものも考えられます。長さや面積の問題では、まず場面から変数の範囲を決め、量を関数にするところから始めます。どの形でも、微分して終わりではありません。範囲に入る点で元の関数の値を計算し、比べて初めて答えが決まります。

ここで扱うのは多項式の閉区間での最大最小と、長さを使った簡単な最適化です。区間の端を含まない場合は、端に近づいたときの値を実際にとれるとは限りません。閉区間の手順をそのまま当てはめず、端が含まれるかから確認します。

端点と停留点を候補にする

閉区間 a ≦ x ≦ b は、両端の a と b を含む範囲です。多項式はこの範囲で連続なので、最大値と最小値をとります。区間の内部で最大や最小になる点では、導関数が 0 です。一方、端点では片側にしか動けないため、導関数が 0 でなくても最大や最小になれます。

導関数が 0 となる内部の点を停留点と呼びます。停留点は候補ですが、必ず極大や極小になるわけではありません。導関数の符号が正から負に変われば極大、負から正に変われば極小です。符号が変わらない停留点もあるので、極値の判定には前後の符号が必要です。

図1のように、まず両端を候補として確保し、導関数が 0 となる点のうち区間の内部にあるものを加えます。候補の値をすべて比較する方法なら、停留点が極値かどうかを先に判定しなくても最大値と最小値を決められます。増減表を使うと、なぜその候補でよいかも見えます。

図1では左右の端点と内部の停留点が候補です。区間の外の解は、導関数が 0 でも比較に入れません。端点と停留点が一致する場合も、同じ点を重ねて計算する必要はありません。候補の数を増やすことより、範囲内の候補を落とさないことが重要です。

基本例題：3つの値を比較する

問題：関数 f(x) = x³ − 3x の、閉区間 0 ≦ x ≦ 3 における最大値と最小値を求め、それぞれをとる x の値も整数で答えなさい。

まず範囲は 0 から 3 までで、どちらの端も含みます。両端の x = 0、x = 3 を候補に書いてから、内部の候補を探します。

1. f(x) を微分すると f′(x) = 3x² − 3 です。
2. 右辺を因数分解すると f′(x) = 3(x − 1)(x + 1) です。
3. f′(x) = 0 を解くと x = 1、-1 です。
4. このうち区間の内部にあるのは x = 1 です。x = -1 は範囲外なので除きます。
5. 左端では f(0) = 0³ − 3・0 = 0 です。
6. 停留点では f(1) = 1³ − 3・1 = -2 です。
7. 右端では f(3) = 3³ − 3・3 = 18 です。
8. 0、-2、18 を比べると、最大値は 18、最小値は -2 です。

したがって、x = 3 で最大値 18、x = 1 で最小値 -2 です。図2のように、右端の値は内部の谷の値と同じ候補の列に入れます。値 3 は右端の位置であり、最大値 18 とは異なります。

図2の候補を増減でも確認します。0 < x < 1 では f′(x) < 0、1 < x < 3 では f′(x) > 0 なので、関数は 1 まで減少し、その後増加します。谷が最小になることは符号からも確認できます。ただし、両端のどちらが高いかは増減表の形だけで決めず、0 と 18 を比べます。

元の条件へ戻すと、答えの x = 3 と x = 1 はどちらも 0 以上 3 以下です。元の式に代入した値がそれぞれ 18 と -2 であり、範囲外の x = -1 を答えに混ぜていません。導関数に代入して得た 0 は傾きを示す値で、元の関数の高さではない点にも注意します。

長方形の面積を最大にする

問題：周の長さが 24 cm の長方形を作ります。1辺の長さを x cm とするとき、面積の最大値を整数で、最大となるときの2辺の長さを整数で求めなさい。辺の長さは正とします。

周の長さから、もう1辺を y cm とすると 2x + 2y = 24 です。両辺を 2 で割って x + y = 12、したがって y = 12 − x です。2辺が正なので x > 0 かつ 12 − x > 0、つまり 0 < x < 12 です。ここでは端を含まないことが、閉区間での例との分かれ目です。

面積を S cm² とすると S = x(12 − x) = -x² + 12x です。微分して S′ = -2x + 12 となり、S′ = 0 から x = 6 です。この点は 0 < x < 12 に入ります。0 < x < 6 では S′ > 0、6 < x < 12 では S′ < 0 なので、面積は増加してから減少します。よって x = 6 で最大です。

もう1辺は 12 − 6 = 6 cm、最大面積は 6・6 = 36 cm² です。元の場面に戻すと、2辺はともに正で、周は 2・6 + 2・6 = 24 cm です。面積も 6・6 = 36 cm² と一致します。

別の見方として S = -(x − 6)² + 36 と平方完成しても、最大値とその位置が出ます。ただし、頂点の x = 6 が実際の範囲に入る確認は必要です。仮に頂点が範囲外なら、その値を答えにできません。また、この問題の x = 0 や 12 は面積を 0 と計算できても、正の辺を持つ長方形の条件を満たしません。端を含む場合と含まない場合を区別します。

端点を落とした答えを直す

次の誤答を考えます。基本例題で f′(x) = 0 から x = 1 を得て、「最小値は -2、最大値はない」とする答えです。区間内の停留点は谷ですが、それは内部での変化の話です。右端に行き着いた点を見ないまま、指定された範囲全体の最大値を判断しています。

図3のように、誤答には右端 x = 3 の代入を追加します。f(3) = 18 と、左端の f(0) = 0、谷の f(1) = -2 を並べれば、最大値 18 が見つかります。端点は導関数が 0 でなくても候補です。図3で追加した値が、最大値を決めています。

もう一つの誤りは、f′(1) = 0 を見て最小値を 0 と書くことです。0 は接線の傾きであり、関数の値は f(1) = -2 です。修正するときは、導関数に入れる段階と元の関数に入れる段階を別の行にします。候補の x の値を先に列挙し、その横に f(x) の値を書くと、位置と高さを混同しにくくなります。

導関数の解が区間の外にある場合は、解が出たからといって採用しません。逆に、内部に解がない場合でも端点は残ります。たとえば区間内で単調に増加する関数なら、左端が最小、右端が最大です。候補が端点しかないことと、答えがないことは別です。

練習問題

次の問題は、先に3問とも自分で候補と範囲を整理してから解答を見てください。最大値と最小値が求められる場合は、それをとる x の値も指定された形で書きます。

1. f(x) = x² − 4x + 1 の閉区間 0 ≦ x ≦ 5 での最大値と最小値、およびそれぞれをとる x の値を整数で求めなさい。
2. g(x) = x³ − 3x² の閉区間 -1 ≦ x ≦ 3 での最大値と最小値、およびそれぞれをとる x の値を整数で求めなさい。
3. 壁に沿って長方形の区画を作ります。壁と反対側の1辺と、壁に垂直な2辺に合わせて 20 m の柵を使います。壁に垂直な辺を x m とし、辺の長さは正とします。面積の最大値を整数で、そのときの2種類の辺の長さを整数で求めなさい。壁側に柵は使いません。

練習問題の答えと確かめ

1. 二次関数の両端を比べる

f′(x) = 2x − 4 なので、f′(x) = 0 から x = 2 です。これは指定区間の内部にあります。候補は x = 0、2、5 です。

元の式に代入すると、f(0) = 1、f(2) = 4 − 8 + 1 = -3、f(5) = 25 − 20 + 1 = 6 です。したがって x = 5 で最大値 6、x = 2 で最小値 -3 です。x = 2 から両側へ増える形ですが、左右の端の高さは同じとは限りません。両端の値を計算して比較します。

答えの x はどちらも 0 以上 5 以下です。元の式に戻した値も上の計算と一致するため、範囲と値の対応を確認できます。平方完成すると f(x) = (x − 2)² − 3 となり、最小値は別の方法でも確かめられます。最大値については、端までの距離も比較する必要があります。

2. 内部の山と谷、それぞれの端

微分すると g′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) です。g′(x) = 0 の解は x = 0、2 で、どちらも -1 と 3 の間にあります。候補は両端を加えた x = -1、0、2、3 です。

g(-1) = -1 − 3 = -4、g(0) = 0、g(2) = 8 − 12 = -4、g(3) = 27 − 27 = 0 です。よって最大値は 0 で x = 0、3 のとき、最小値は -4 で x = -1、2 のときです。同じ値をとる位置が複数あるため、位置も両方書きます。

4つの位置は指定区間に入り、代入した値も元の式に合います。x = 0 は内部の山ですが、右端も同じ高さです。x = 2 は内部の谷ですが、左端も同じ高さです。極値が見つかっていても端点を調べなければ、値をとる位置を落とす例になります。

3. 柵の長さから範囲を決める

壁に平行な柵の長さを y m とすると、柵は垂直な2辺と平行な1辺に使うので 2x + y = 20 です。したがって y = 20 − 2x です。辺の長さが正だから x > 0、20 − 2x > 0 で、範囲は 0 < x < 10 です。

面積を A m² とすると A = x(20 − 2x) = 20x − 2x² です。A′ = 20 − 4x から停留点は x = 5 です。範囲内で、x < 5 なら A′ > 0、x > 5 なら A′ < 0 ですから、x = 5 で最大になります。平行な辺は 20 − 2・5 = 10 m、最大面積は 5・10 = 50 m² です。

元の場面で、垂直な2辺と平行な1辺の合計は 5 + 5 + 10 = 20 m です。辺は正で、面積も 5・10 = 50 m² となります。壁側にも柵を使うと立式を変えてしまうので、どの辺に柵があるかを式の各項に対応させます。端の x = 0、10 は正の辺という条件から除かれますが、内部の x = 5 で増加から減少へ変わるため最大値は実際にとれます。

候補が端点に重なるとき

導関数の解がちょうど区間の端にある場合を考えます。たとえば h(x) = x² を 0 ≦ x ≦ 2 で調べると、h′(x) = 2x で、導関数が 0 となる x = 0 は左端です。候補としての x = 0 はすでにありますから、もう一度別の点として数えません。h(0) = 0、h(2) = 4 より、最小値は 0、最大値は 4 です。

この確認は、解の分類を機械的に増やすためではありません。区間の端を最初から候補に入れておけば、端の導関数が 0 かどうかにかかわらず値を比較できます。一方、端点を含まない範囲では、端の値を計算できても実際にとれる値ではないことがあります。問題の不等号を読み直し、範囲に入る位置で答えが実現するかまで確かめます。

覚えておくこと

• 閉区間では両端を候補にし、内部の導関数が 0 の点を加えます。
• 候補は元の関数に代入し、値とその位置を区別して比べます。
• 場面の制約から変数の範囲を立て、端を含むかを調べます。
• 得られた長さや面積を元の条件と単位に戻して確かめます。

つまずいた場所を見分ける

お子さまが増減表を書けるのに答えを落とすときは、候補の行に両端があるかを見ます。端を書いていなければ、導関数の計算を繰り返す前に、指定区間の記号へ戻ります。候補がそろっているのに値が合わなければ、導関数ではなく元の関数に代入したかを確認します。

個別指導では、長方形の図に各辺の長さを書き、周や柵の合計のどの項に対応するかを説明してもらいます。さらに、辺が正という条件から不等式を作れるか、求めた辺を元の長さに戻せるかを順に確かめます。比較の候補と動ける範囲がそろうと、最大最小の答えに根拠がつながります。