中1数学 文字式の表し方—掛け算と割り算の省略を数量の意味から読み解く｜武蔵野個別指導塾

長方形の周を辺の和に戻し、積の順序や商の分母、単位の変換を読み解く鍵は文字式です。

よくあるのは、長方形の周を表そうとして、縦の長さと横の長さを表す文字の隣に数字を続けて書く場面です。数字を並べれば辺の本数が伝わりそうですが、文字式では、その並び方自体に約束があります。しかも、周を求めるには隣り合う2辺を掛けるのではなく、4辺の長さを足します。記号を省く前に、何を何回数えるのかを言葉に戻してみましょう。

文字は、決まっていない数や変わる数を表します。文字を使うと、長さがまだ決まっていなくても、周の求め方を一つの式にできます。ここでは式の書き方と数量の意味を扱い、文字に具体的な数を入れて式の値を求める手順は扱いません。

どの操作を省くのか

文字式の問題には、まず、同じ長さが何本あるかを数え、足し算を掛け算にして表す型があります。長方形なら縦が2本、横が2本です。2種類の長さをまとめる足し算と、同じ長さを繰り返す掛け算を区別します。

次に、等しく分けた1つ分を表す型があります。全体を人数で割るとき、割られる量が分子、分ける数が分母です。積と商は省略した姿が異なるため、同じように記号を消すことはできません。

もう一つは、単位をそろえてから数量を表す型です。長さにcmとmが混ざると、数字や文字だけを足しても同じ単位の長さにはなりません。どの単位で答えるかを先に決め、換算を式に残してから省略します。

文字と数字の並びを読む

図1のように、a cmの辺が2本あれば、長さの合計はa + a cmです。同じ量を2回足すので、a × 2 cmと書けます。掛け算では順序を入れ替えられるので、2 × a cmとも書けます。文字式では掛け算の記号を省き、数を文字の前に置いて2a cmと表します。

図1の2aは「2とaを掛けた数」です。2とaを足した2 + aではありません。aの前の2は、文字に掛けられた数で、係数と呼びます。aは1 × aなので、係数1を省いて書いた形です。反対に、0を掛けた結果は0です。0aと残さず0とします。

a × bは、掛け算の記号を省いてabと書きます。数字と文字の積では、文字の後に数字を書かず、数字を前にします。例えばa × 3は3aです。文字と数字をただ連結するのではなく、間に掛け算が隠れていると読んでください。数同士の掛け算の記号は、数字を続けて別の数に見えないよう省きません。2 × 3は23ではなく6です。

同じ文字の積a × aはa²と表します。上の小さな2はaを2回掛ける意味で、2aの2はaを2倍する意味です。a²と2aは見た目が似ていますが、同じ長さを2回掛けることと、2回足すことは別の操作です。長さの和を求める場面で、辺が2本あることをa²で表してはいけません。

割り算は分数を使います。aを4等分した1つ分はa ÷ 4、つまりa/4です。分子が全体、分母が等しく分ける数です。a ÷ bならa/bと表し、割る数bは0ではありません。0等分という分け方はできず、0で割る計算もできないからです。4 ÷ aは4/aであり、a/4とは割る順序が反対です。

括弧は、まとまりを示すために残します。a + bを3倍するときは3(a + b)です。3a + bはaだけを3倍してからbを足す式なので、同じ意味にはなりません。括弧を省く前に、掛ける対象が一つの文字なのか、和全体なのかを確かめます。

式を声に出して読むことも、操作を選ぶ助けになります。たとえば3(a + b)は「aとbの和の3倍」です。一方、3a + bは「aの3倍とbの和」です。和を作ってから倍にするのか、一方だけを倍にしてから足すのかを区別できます。文字が複数あるときも、先に演算記号を補えば、どの量がまとまりになっているかを確かめられます。

割り算でも、分数線は上下のまとまりを表します。a + bの合計を4等分するなら(a + b)/4です。a + b/4では、bを4等分してからaを足します。分ける対象を言葉で決めてから分数に直せば、分子にどこまで入れるか迷いにくくなります。

基本例題：4辺をたどる

縦がx cm、横が7 cmの長方形があります。周の長さをcmを単位とする文字式で表してください。

図2のように、周は外側の4辺の長さの合計です。向かい合う辺は同じ長さなので、x cmが2本、7 cmが2本あります。まず辺を順に一周して足します。

x + 7 + x + 7
= x × 2 + 7 × 2
= 2 × x + 14
= 2x + 14

答えは2x + 14 cmです。最初の式は4本の辺をそのまま並べたもので、次の式では同じ長さが2本ずつあることを使っています。図2の横の7も2回数えるので、2x + 7では1本分が抜けます。xと7を掛ける式は縦と横の積を表し、4辺の和にはなりません。

別のたどり方もあります。隣り合う縦と横を合わせた長さがx + 7 cmで、その組が2組あります。したがって、記号のある式は(x + 7) × 2、省略すると2(x + 7) cmです。括弧の中の両方を2回数えるので、2x + 14 cmと同じ周を表します。どちらの形も、4辺へ戻すとx + 7 + x + 7です。式の形が違っても、同じ辺を過不足なく数えたかで確認できます。

もし縦がx cmではなく、横より3 cm長いと条件が変われば、縦の長さそのものを文字で表すところからやり直します。文字がどの辺を示すかを変えずに、数字だけを足すことはできません。図のラベルと式の各部分を指で対応させると、見落としを探しやすくなります。

標準例題：等しく分けてから集める

長さがa cmのリボンを、切りしろを考えずに5等分します。そのうち3本を、重ねずにつなぎます。つないだ長さをcmを単位とする文字式で表してください。

まず1本は、全体の長さを5で割ったa ÷ 5 cmです。それを3本つなぐので、1本分を3回足します。式にすると次の順序です。

a ÷ 5 + a ÷ 5 + a ÷ 5
= (a ÷ 5) × 3
= (a/5) × 3
= 3a/5

答えは3a/5 cmです。分母の5は等分した数、分子の3はそのうち使う本数に対応します。a ÷ 3では、使う3本で全体を等分したことになり、切り分ける条件が変わってしまいます。また、a/5 + 3では、長さに本数の3を足しており、3本分を集めた式になりません。

答えを場面に戻すと、a/5が3本分です。使わない2本と合わせればa/5が5本となり、元のa cmに戻ります。全体を5等分したという条件と、3本を選んだという条件の両方が、式に残っています。

逆に、a cmずつのリボンが5本あるなら、全体は5a cmです。等分した1本を求める場面と、同じ長さのものを集める場面では、5の役割が違います。数だけを見る前に、全体から1つ分へ進むのか、1つ分から全体へ進むのかを言葉で決めましょう。

発展例題：単位をそろえて周を表す

縦がy cm、横がz mの長方形があります。周の長さをcmを単位とする文字式で表してください。yとzは長さを表す正の数とします。

縦と横を足す前に、横をcmに直します。1 mは100 cmなので、z mは100 × z cm、つまり100z cmです。4辺を順にたどると、周は次のようになります。

y + 100z + y + 100z
= y × 2 + 100z × 2
= 2y + 200z

答えは2y + 200z cmです。縦2本は2y cm、横2本は200z cmで、どちらもcmにそろっています。yとzをそのまま足して2(y + z) cmとすると、横のmをcmとして数えてしまいます。単位が異なる量の数字や文字を、換算せずに足すことはできません。

別の確かめ方として、周をmで考えます。縦のy cmはy/100 m、横はz mです。隣り合う2辺の組を2回数えるので、周は2(y/100 + z) mです。これをcmに直すと、縦2本は2y cm、横2本は200z cmとなり、先の式に戻ります。両方の辺を同じ単位に直したうえで、各辺が2本ずつあるかを確かめることが大切です。

条件を変えて横がz cmと示された場合は換算が不要です。そのときは2(y + z) cmになります。記号zが同じでも、そこに付いた単位が変われば、式に必要な換算も変わります。

間違えた行から戻す

縦がp cm、横が4 cmの長方形の周について、p4 + p4と書いたとします。図3のように、まず何を数えたかったのかを4辺に戻してみます。pと4は異なる辺の長さです。隣に置いたp4は、辺の長さの和を表す書き方ではありません。

原因は、文字の隣に数字を置けば「横の辺もある」と表せると思ったことです。修正するには、縦と横をそれぞれ2本ずつ足します。

p + 4 + p + 4
= p × 2 + 4 × 2
= 2p + 8

図3の正しい式を読み戻すと、2pはp cmの辺2本、8は4 cmの辺2本の合計です。2(p + 4)も同じ周を表します。掛け算を省く場所と、異なる長さを合わせる足し算の場所を分ければ、どちらの式も説明できます。

もう一つの誤りは、全体を分ける式で分子と分母を逆にすることです。長さq cmを6等分した1本はq/6 cmであり、6/q cmではありません。前者はqを6で割る式です。6本を集めると元のq cmに戻ることから、分ける前後の対応を確かめられます。割る数が文字のときは0でない条件も確かめます。計算できない条件を見落としたまま、記号だけを分数に置き換えないようにします。

練習：式を作り、言葉へ戻す

次の5問はそれぞれ独立した問題です。長さや個数を表す文字は、その場面に合う正の数とします。個数を表す場合は整数です。求める式は掛け算の記号を省き、割り算は分数で表してください。

1. 1辺がt cmの正方形の周を、cmを単位とする式で表してください。
2. 1冊の厚さがh mmの同じ本を8冊重ねます。重ねた厚さをmmを単位とする式で表してください。
3. 重さがw gの粘土を7等分し、そのうち2つを合わせます。合わせた重さをgを単位とする式で表してください。
4. 縦がm cm、横がn mmの長方形の周を、mmを単位とする式で表してください。
5. 1袋にc個の石が入っています。同じ袋がd袋あり、それらを全部合わせて9人に同じ個数ずつ分けます。余りなく分けられるとき、1人分の個数を式で表し、分母の意味を説明してください。

解答とたどり直し

1. 答えは4t cmです。4辺を足してt + t + t + t、同じ長さの4回分なのでt × 4、すなわち4tです。4tを辺に戻すとt cmが4本で、正方形の周の条件に合います。t²は2つのtの積であり、4辺の和ではありません。

2. 答えは8h mmです。厚さを順に重ねるので、hを8回足し、h × 8 = 8hとします。8hはh mmの本8冊分と読み戻せます。h + 8では、8冊分を足したことにはなりません。数の8は本の厚さではなく冊数を表しています。

3. 答えは2w/7 gです。1つの重さはw ÷ 7 = w/7 gです。2つを合わせると(w/7) × 2 = 2w/7 gです。残りの5つと合わせれば、w/7が7つ分で元のw gに戻ります。2は選んだ個数、7は全体を等分した数です。

4. 答えは20m + 2n mmです。1 cmは10 mmなので縦は10m mmです。4辺を一周すると、10m + n + 10m + n = 20m + 2nです。縦2本が20m mm、横2本が2n mmで、どちらも元の辺を2回ずつ数えています。換算せずにm + nと足さないようにします。

5. 答えはcd/9個です。全体はc × d = cd個で、1人分はcd ÷ 9 = cd/9個です。分母の9は等しく分ける人数です。1人分を9人分集めるとcd個に戻り、袋の中の石の総数と一致します。余りなく分けられるという条件があるので、1人分も整数です。条件がなければ整数になるとは限りません。

覚えておきたいこと

• 文字と数の積は数を前に置き、掛け算の記号を省きます。
• 商は割られる数を分子、0でない割る数を分母にします。
• 和全体に掛けるときは括弧でまとまりを示します。
• 長さを足す前に単位をそろえ、式を元の数量へ戻します。

式の書き方につまずいたときは、まず演算記号のある式に戻せるかを見ます。戻せるのに順序を間違える場合は表記の約束を確認し、戻せない場合は、辺や本数を図に書き込んで何を足し、何で割るかから確かめます。個別指導で確かめるなら、お子さまに式の各部分が場面のどの量かを指して説明してもらい、抜けた辺や単位の違いを一緒にたどると、次に直す箇所が見えてきます。省略された記号の向こうに、数量の関係が残っています。