中学受験の算数 並び方の条件—隣り合う組をひとまとまりにして数え分ける｜武蔵野個別指導塾

五枚の札を一列に並べ、決めた二枚をひとまとまりとして数える方法を、内側の入れ替えと隣り合わない並びの引き算まで、表と具体的な例で説明します。決めた二枚が隣接します。

並び方の条件はどんな場面で出るか

「1、2、3、4、5の五枚のカードを一列に並べるとき、2と3が隣り合う並び方は何通りありますか。」この問いに対して、24通りと答えてしまうお子さまがいます。五枚のカードを四つのまとまりとして並べるところまでは正しく進んでいます。しかし、まとまりの内側で2と3を入れ替える場合を数えていないため、正しい48通りの半分で止まっているのです。カードを机に並べる場面は身近でも、条件が一つ加わったとたんに、数える対象が「札そのもの」から「まとまり」へ変わる難しさがあります。

この単元で扱う条件は、大きく三つに分かれます。一つ目は、指定された二枚が隣り合う場合と隣り合わない場合を数える型です。二つ目は、二組のまとまりができる条件を数え分ける型で、両方の組が隣り合う場合と、片方の組だけが隣り合う場合を区別します。三つ目は、端や真ん中など、特定の札の位置が決まっている型です。どの型も、札を一列に並べる場面で考えます。丸い輪のように並べる場合は、始点と終点の区別が変わるため、ここでは扱いません。

見通しを先に置きます。条件のついた並び方を数えるときは、条件を満たす札をひもで結んだつもりで一つのまとまりにします。まとまりを一つの物として並べた数を出し、そのあとでまとまりの内側の入れ替えを掛けます。この二段階を分けて書くことが、数え落としを防ぐ近道です。問題によっては、全体から条件に合う場合を引く引き算の方法も使います。どちらの方法でも同じ答えになることを、表を使って確かめながら進めます。

用語と考え方—ひとまとまりにすると何が変わるか

まず、条件のない並び方を確かめます。三枚のカード1、2、3を一列に並べる場面を考えます。左端に置けるのは1、2、3のどれかで、3通りあります。左端を1に決めたとき、真ん中に置けるのは2か3の2通りです。真ん中を2に決めると、右端は残った3の1通りに決まります。この選び方を全部書き出すと、123、132、213、231、312、321の六つになります。

六つになる理由は、左端の3通りそれぞれに対して、真ん中の2通りが組になり、さらに右端の1通りが続くからです。3×2×1=6と計算できます。同じように、五枚のカードを一列に並べる場合は、5×4×3×2×1=120通りです。位置を左から順に決めていくと、使える札が一枚ずつ減っていきます。この「選べる数が一つずつ減る」ことを、式の順番としてそのまま書きます。

次に、条件が加わったときの考え方です。2と3が隣り合うなら、この二枚は必ず続いた位置に来ます。そこで2と3をひもで結び、一つのまとまりとみなします。まとまりを「23」という一つの札のように扱うと、並べる物はまとまり、1、4、5の四つになります。四つの物を一列に並べる数は、4×3×2×1=24通りです。

ここで終わらせないことが大切です。まとまりの内側では、2の右に3が来る場合と、3の右に2が来る場合の二通りがあります。外側の並びが24通りあり、その一つ一つに対して内側の二通りが組になるので、24×2=48通りになります。まとまりの外側の並びと、内側の入れ替えは、別々に決めることができるのです。図1に、五枚の札を四つのまとまりとして見る流れと、内側の入れ替えを示します。

図1のように、五枚の札のうち2と3だけを一つのまとまりにすると、並べる物の数は五つから四つへ減ります。減った分を式に反映させるのが第一段階です。そのあとで、まとまりの内側の二通りを掛けるのが第二段階です。この二段階を一度に暗算しようとすると、内側の入れ替えを忘れやすくなります。式を二行に分けて書くだけでも、見落としはかなり減ります。

用語を整理します。ここでいう「ひとまとまり」は、隣り合うという条件を満たす二枚を、並べる間だけ一つの物として扱う工夫です。カードそのものを貼り合わせるのではありません。「内側の入れ替え」は、まとまりの中での順番の入れ替えです。「全体の場合の数」は、条件を付けずに並べたときの数で、五枚なら120通りです。条件のあるなしを区別して、どの数を掛けたり引いたりしているのかを言葉で説明できるようにします。

基本例題—五枚の札で隣り合う二枚を数える

例題1です。1、2、3、4、5の五枚のカードを一列に並べます。2と3が隣り合う並び方は何通りありますか。

手順を一行ずつ書きます。

1. 2と3をひとまとまりにします。並べる物は、まとまり、1、4、5の四つになります。
2. 四つの物を一列に並べます。4×3×2×1=24通りです。
3. まとまりの内側を考えます。2の右に3が来る場合と、3の右に2が来る場合の二通りです。
4. 外側の24通りそれぞれに内側の二通りが組になるので、24×2=48通りです。
5. 答えは48通りです。

図2に、この四つのまとまりと内側の二通りを並べて示します。

図2のように、まとまりを一つの箱として置き、その箱の中に二通りの順番があると考えると、掛け算の意味が見えます。24通りという数字は、箱の並べ方だけを数えた数です。箱の中の二通りを掛けて、初めてカードの並び方になります。

別の数え方でも確かめます。2と3が入る隣り合う位置の組は、左から1と2、2と3、3と4、4と5の四組です。それぞれの位置の組に対して、2と3の入り方が二通りあります。残りの1、4、5を残った三つの位置に並べる数は、3×2×1=6通りです。したがって、4×2×6=48通りになります。まとまりを使う数え方と、位置の組を先に決める数え方が一致しました。

四つの行がそれぞれ12通りで、合計は48通りです。この表は、まとまりの位置が四か所あることを目で確かめる役割も持ちます。五枚の札では、隣り合う位置の組が四つあるので、まとまりを置く場所も四か所です。まとまりの位置を先に決める方法は、位置の組を書き漏らさない限り、内側の入れ替えを忘れにくいという利点があります。

標準例題—隣り合わない並びを二通りの方法で求める

例題2です。同じ五枚のカードを一列に並べます。2と3が隣り合わない並び方は何通りありますか。

方法は二つあります。一つは、全体から隣り合う場合を引く方法です。もう一つは、隣り合わない位置の組を先に決めて数える方法です。両方を書いて、同じ答えになることを確かめます。

引き算の方法から進めます。

1. 条件のない五枚の並び方は、5×4×3×2×1=120通りです。
2. 2と3が隣り合う並び方は、例題1で求めた48通りです。
3. 全体から隣り合う並びを除くと、120-48=72通りです。
4. 答えは72通りです。

次に、位置の組を先に決める方法です。五枚の札が入る位置を左から1、2、3、4、5とします。2と3が隣り合わない位置の組は、間に少なくとも一つの位置が入る組です。書き出すと、1と3、1と4、1と5、2と4、2と5、3と5の六組になります。

1. 位置の組は六組あります。
2. それぞれの組で、2と3の入り方は二通りです。
3. 残りの1、4、5を残った三つの位置に並べる数は、3×2×1=6通りです。
4. 6×2×6=72通りです。

二つの行を合わせて36+36=72通りです。引き算の方法と一致しました。隣り合わない並びは、隣り合う並びより多いと決めつけないことも大切です。五枚の場合は72通りで、隣り合う48通りより多くなりますが、枚数や条件が変われば大小は変わります。数えた結果を確かめてから比べます。

引き算の方法で気をつけるのは、引く数が「条件に合う並び」の数であることです。120から引くのは、隣り合う並びの48通りだけです。24通りと答えてしまった場合は、引く数が半分になり、96通りという誤った答えになります。まず隣り合う並びを正しく48通りと求め、その数を引く順番を守ります。

発展例題—二組のまとまりと、一組だけの数え分け

例題3です。1、2、3、4、5、6の六枚のカードを一列に並べます。1と2が隣り合い、さらに3と4も隣り合う並び方は何通りありますか。

二組のまとまりができるので、まとまりを二つ作ります。1と2のまとまりと、3と4のまとまりです。

1. 1と2を一つのまとまり、3と4を一つのまとまりにします。
2. 並べる物は、二つのまとまりと、5、6の四つになります。
3. 四つの物を並べる数は、4×3×2×1=24通りです。
4. 一つ目のまとまりの内側は二通り、二つ目のまとまりの内側も二通りです。
5. 内側の組み合わせは、2×2=4通りです。
6. 24×4=96通りです。
7. 答えは96通りです。

二つのまとまりは、それぞれ独立に内側を入れ替えられます。一つ目のまとまりが2通り、二つ目のまとまりが2通りなので、内側だけでも4通りになります。外側の24通りに4を掛けて96通りです。

続いて、1と2は隣り合うが、3と4は隣り合わない並び方を求めます。六枚全体の並び方は、6×5×4×3×2×1=720通りです。1と2が隣り合う並び方だけを先に数えます。1と2のまとまりと、3、4、5、6の五つの物を並べるので、5×4×3×2×1=120通りです。まとまりの内側が二通りなので、120×2=240通りです。

この240通りの中には、3と4も隣り合う並びが含まれています。その数は、先に求めた96通りです。1と2が隣り合うという条件を満たす並びから、3と4も隣り合う並びを除くと、1と2だけが隣り合う並びが残ります。240-96=144通りです。答えは144通りです。

六枚のカードについて、二組の隣り合い方で場合を分けると、次の表になります。

四つの行を合わせると、96+144+144+336=720通りで、全体の並び方と一致します。この表の三行目は、一組目と二組目の名前を入れ替えれば二行目と同じ構造です。どちらの組も二枚の組で、条件の形が同じなので、場合の数は等しくなります。四行目の336通りは、二つの組のどちらも隣り合わない場合です。全体から二行目と三行目と一行目を引いて求めても、720-144-144-96=336通りになります。

ここで間違えやすいのが、240から96を二回引いてしまうことです。240通りは「1と2が隣り合う」という一つの条件で数えた数です。その中に「3と4も隣り合う」96通りが一度だけ含まれています。二回引くと48通りになり、表の144通りと合いません。引くのは一度だけです。

もう一歩—位置を固定したときの数え方

例題4です。1、2、3、4、5の五枚のカードを一列に並べます。1が左端にあり、2と3が隣り合う並び方は何通りありますか。

1が左端に固定されているので、残りの四つの位置に、2と3のまとまり、4、5を並べます。

1. 1を左端に置きます。
2. 残りの位置に、2と3のまとまり、4、5の三つの物を並べます。
3. 三つの物を並べる数は、3×2×1=6通りです。
4. まとまりの内側は二通りです。
5. 6×2=12通りです。
6. 答えは12通りです。

位置の固定がまとまりの外側にあるときは、固定した札を先に置き、残りの物を並べます。この順番なら、まとまりの内側の二通りを掛け忘れにくくなります。

比べるために、2が左端にあり、2と3が隣り合う場合を考えます。2が左端なら、3はその隣の二番目にしか置けません。まとまりの内側の入れ替えは、2が左、3が右の一通りに決まります。残りの1、4、5を三つの位置に並べる数は、3×2×1=6通りです。答えは6通りになります。同じ「2と3が隣り合う」条件でも、2の位置が固定されると、内側の入れ替えが自由に二通りあるとは限りません。固定された札がまとまりの外にあるのか、まとまりの中にあるのかで、掛ける数が変わるのです。

この表の二行目では、2が左端に固定されたことで、3の位置がすぐ隣に決まり、内側の入れ替えが一通りになります。位置の条件を読むときは、どの札が固定されているかだけでなく、その札がまとまりの一部かどうかまで見ます。

誤答から直す—内側の入れ替えを落とす

例題1で、24通りと答えたお子さまの式を見ると、4×3×2×1=24とだけ書かれていることがあります。まとまりを一つの物として並べる計算は合っています。足りないのは、まとまりの内側で2と3を入れ替える二通りです。図3に、誤った数え方と正しい数え方を並べます。

図3の左側では、まとまりの中が2、3の一通りしか描かれていません。右側では、2、3と3、2の二通りが描かれています。外側の並びが同じでも、内側が違えばカードの並びは別のものになります。24通りは外側の並びの数で、カードの並び方ではありません。内側の二通りを掛けて、初めてカードの並び方の数になります。

同じ誤りは、三枚をまとめるときに大きくなります。六枚のカード1、2、3、4、5、6を一列に並べ、1、2、3の三枚が続いて隣り合う並び方を考えます。三枚を一つのまとまりにすると、並べる物はまとまり、4、5、6の四つです。四つの並びは4×3×2×1=24通りです。まとまりの内側では、1、2、3の並べ方が3×2×1=6通りあります。したがって、24×6=144通りです。内側を一通りと数えると24通りになり、6倍の差が出ます。

二組のまとまりでも、同じ落とし方が起こります。例題3で、二つのまとまりのうち一方の二通りだけを掛けると48通りになり、どちらも掛けないと24通りになります。正しい96通りと比べると、どちらも小さくなります。式を書くときは、まとまりごとに内側の数を書く欄を作ると、掛け忘れに気づけます。

隣り合わない並びを求めるときの誤りも、同じ原因から生まれます。隣り合う並びを24通りと間違えると、120-24=96通りと答えてしまいます。正しい隣り合う並びは48通りなので、120-48=72通りです。引き算の前に、引く数が本当に条件を満たす並びの数かを確かめます。

練習問題

次の五問を解きます。答えは問題の後にまとめて置きます。

1. A、B、Cの三冊の本を本棚に一列に並べます。AとBが隣り合う並べ方は何通りありますか。
2. 六人の子どもが一列に並びます。決められた二人が隣り合わない並び方は何通りありますか。
3. 1、2、3、4、5の五枚のカードを一列に並べます。2と3が隣り合い、4と5は隣り合わない並び方は何通りありますか。
4. 1、2、3、4、5、6、7の七枚のカードを一列に並べます。1が左端にあり、2と3が隣り合う並び方は何通りありますか。
5. 1、2、3、4、5、6、7の七枚のカードを一列に並べます。1、2、3の三枚が続いて隣り合う並び方は何通りありますか。また、1、2、3がこの順に並ぶ並び方は何通りありますか。

答えと解き方

1. 答えは4通りです。AとBを一つのまとまりにすると、並べる物はまとまりとCの二つです。二つの並びは2×1=2通りです。まとまりの内側は、A、BとB、Aの二通りです。2×2=4通りになります。三冊全体の並びは3×2×1=6通りなので、隣り合わない並べ方も6-4=2通りです。

2. 答えは480通りです。六人の並び方は、6×5×4×3×2×1=720通りです。決められた二人をまとまりにすると、まとまりと残り四人の五つの物を並べる数は、5×4×3×2×1=120通りです。まとまりの内側が二通りなので、120×2=240通りが隣り合う並びです。720-240=480通りが隣り合わない並びになります。二人の位置の組を先に決める方法でも、六つの位置のうち隣り合わない組は十組あります。それぞれの組で二人の入り方が二通り、残り四人の並びが4×3×2×1=24通りなので、10×2×24=480通りになります。

3. 答えは24通りです。2と3が隣り合う並びは、例題1と同じ考え方で48通りです。この中には、4と5も隣り合う並びが含まれています。2と3のまとまり、4と5のまとまり、1の三つの物を並べる数は3×2×1=6通りです。内側が2×2=4通りなので、6×4=24通りです。48-24=24通りが、4と5が隣り合わない並びになります。

4. 答えは240通りです。1を左端に固定すると、残りの六つの位置に、2と3のまとまり、4、5、6、7の五つの物を並べます。五つの並びは5×4×3×2×1=120通りです。まとまりの内側が二通りなので、120×2=240通りになります。固定した1はまとまりの外にあるので、内側の二通りはそのまま掛けられます。

5. 答えは720通りです。三枚のまとまりと、4、5、6、7の五つの物を並べる数は、5×4×3×2×1=120通りです。まとまりの内側では、1、2、3の並べ方が3×2×1=6通りあります。120×6=720通りになります。1、2、3がこの順に並ぶ場合は、まとまりの内側が一通りに決まるので、120×1=120通りです。同じ三枚のまとまりでも、内側の順番を自由にするか決めるかで、答えが6倍違います。

覚えておくこと

• 隣り合う二枚は、ひもで結んだつもりで一つのまとまりにする。
• まとまりを一つの物として並べた数を、先に出す。
• まとまりの内側の入れ替えを、必ず掛ける。
• 隣り合わない並びは、全体から隣り合う並びを引いても、位置の組を書き出しても求められる。
• 二組のまとまりでは、両方が隣り合う並びを引くのは一度だけにする。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

答えが24通りになったときは、式に4×3×2×1だけが書かれていないかを見ます。まとまりの外側だけを数えているので、内側の二通りを書く欄を足します。カードを実際に二枚並べ、表向きのまま入れ替えて、別の並びになることを目で確かめると、掛ける理由が結びつきます。

二組のまとまりで答えが合わないときは、引いた回数を確かめます。1と2が隣り合う並びの中に、3と4も隣り合う並びが一度だけ含まれていることを、表の行を指さしながら説明します。二回引いていないか、式の途中に同じ96通りが二度出ていないかを見ます。

位置が固定された問題では、固定された札がまとまりの外にあるか、中にあるかを尋ねます。外なら内側は二通りのままです。中なら、隣に来る札の位置が決まり、内側が一通りになることがあります。お子さまが自分の言葉で「外だから二通り」「中だから一通り」と言えたら、条件の読み取りができています。

三枚のまとまりでは、内側の並べ方が6通りあることを、1、2、3の六つの並びを書き出して確かめます。六つを書き出さずに6と覚えると、二枚のときの二通りと混同しやすくなります。机の上で三枚を動かし、先頭を固定して残りを入れ替える操作を一回ずつ行うと、6通りの意味が見えます。数え方の手順を声に出して確かめられるようになると、条件が増えても同じ型で考えられます。