中学受験の算数 N進法の位取り—まとまりの個数から十進法の数へ読み替える｜武蔵野個別指導塾

2進法と3進法の位が表すまとまりの数を表に並べ、使える数字の範囲を確かめながら十進法の数へ読み替える位取りです。

出方の型と、つまずきやすい場面

2進法や3進法という言葉を初めて聞くと、記号の並びだけが目に入り、どこから手をつけてよいかわからなくなりがちです。しかし、問われ方は大きく三つに分かれます。一つ目は、2進法や3進法で書かれた数を十進法の数に読み替える問いです。二つ目は、その基数で使える数字かどうかを判断する問いです。三つ目は、同じ書き方でも基数が変われば表す数が変わることを説明する問いです。

よくあるのは、2進法の数として102と書いてしまう場面です。0と1だけを使う約束なのに、2を1の位に置いてしまう。書いた本人は、位の重みを正しく使っているつもりでいます。だから「位の重みを覚え直そう」と声をかけるだけでは直りません。基数ごとに使える数字の範囲を先に確かめる、という手順そのものを身につける必要があります。

読み替えの作業は、位ごとのまとまりの個数を数えることに尽きます。右端から順に、その位が何個分のまとまりを表すのかを確かめ、数字と重みを掛けて足す。この一本の道筋を2進法と3進法の両方でなぞっておけば、4進法や5進法が出てきても同じように進められます。

位取りという考え方は、数を「何がいくつ集まったか」として書き留める工夫です。十進法では10個集まるごとに一つ上の位へまとめます。基数を2や3に変えるのは、まとめる単位を変えることにほかなりません。だから、読み替えの計算も、使える数字の範囲も、このまとめ方から決まってきます。

読み替えの練習では、まず三桁から四桁の数を扱うと、位の重みの対応を一対一で追えます。桁が増えると位の数も増えますが、右端から順に重みを書き込む作業は変わりません。どの位がどの重みを受け持つかを表にしてから計算に入る、という順序を、最初のうちは毎回同じように繰り返すとよいでしょう。

位の重みは、まとまりの個数を数える目盛り

十進法では、356と書けば3が100を、5が10を、6が1を表します。つまり356は、100のまとまりが3個、10のまとまりが5個、1のまとまりが6個、と読み替えられます。この読み方は、位が一つ左へ移るたびに10倍になる、という約束に支えられています。

同じ約束を基数2で作り直すと、位は右から1、2、4、8、16と2倍ずつ増えます。基数3なら1、3、9、27と3倍ずつです。2進法の1011という書き方は、8のまとまりが1個、4のまとまりが0個、2のまとまりが1個、1のまとまりが1個、という意味になります。数字そのものではなく、位ごとの重みとの組で数が決まるのです。

位の重みは、右端の1から始めて、基数を次々に掛けて作れます。2進法なら1、1×2 = 2、2×2 = 4、4×2 = 8、8×2 = 16です。3進法なら1、1×3 = 3、3×3 = 9、9×3 = 27です。図1のように、位の重みは基数を何回かけるかで決まり、右端はいつも1になります。

基数は2以上の整数です。基数が1では、位が左へ移っても重みが1のままで、まとまりを作る意味がありません。0や負の数も基数にはなりません。2進法と3進法を比べるだけでも、位の重みが基数によって変わることは十分に確かめられます。

基数が4になると、位の重みは右から1、4、16、64と4倍ずつ増え、使える数字は0、1、2、3の四つになります。4進法の123は、1×16+2×4+3×1 = 16+8+3 = 27です。基数が変わると重みの増え方と数字の範囲が同時に変わるので、片方だけを覚えると読み替えが崩れます。重みと数字の範囲は、いつも組にして確かめてください。

使える数字は、その基数より小さい数だけ

2進法で使える数字は0と1だけです。3進法なら0、1、2の三つです。一般に、基数NのN進法で使える数字は、0から、基数より1小さい数までのN種類になります。この決まりは暗記するものではなく、位取りの仕組みから自然に出てきます。

1の位に2を置いたとします。2進法では、1が2個集まれば2のまとまりが1個できるので、その2個は2の位へ繰り上がります。だから1の位に2が残ることはありません。同じ理由で、2の位に2を置くこともできません。どの位でも、基数と同じ数が集まった時点で次の位へ移るため、その位に書ける数字は基数より小さい数だけなのです。

実際に小さい方から数えてみると、この決まりが動きとして見えます。2進法では0、1、10、11、100、101と進みます。3進法では0、1、2、10、11、12、20、21、22、100と進みます。2進法では1の次が2ではなく10になり、11の次が12ではなく100になります。この繰り上がりが、使える数字の範囲をそのまま映しています。

ここを逆手に取ると、書かれた数がその基数の数として正しいかどうかを、計算の前に見分けられます。2進法の書き方なのに2以上の数字が混じっていれば、その時点で誤りです。3進法の書き方に3や4が混じっていても同じです。読み替えの計算を始める前に、まず全桁を眺めて、使えない数字がないかを確かめる。この一手間が、後半の誤答を防ぎます。

使えない数字を含む書き方は、その基数の数を表していません。表していないものに値は決まらないので、「いくつですか」と問われたら、計算の答えを出すのではなく、その書き方が成り立たないことを述べるのが正しい応答です。ここを曖昧にしたまま掛け算を進めると、もっともらしい数が出てしまい、誤りに気づけません。

基本例題1　2進法の数を十進法で読む

2進法で1011と書かれた数を、十進法で表しなさい。

位の重みを右から書き並べます。1の位は1、2の位は2、4の位は4、8の位は8です。次に、それぞれの位の数字と重みを掛け、最後に足します。

1×8 = 8
0×4 = 0
1×2 = 2
1×1 = 1
8+0+2+1 = 11

したがって、2進法の1011は十進法の11を表します。数字の1が三つあるから3ではない、という点に注意してください。同じ1でも、置かれた位によって8にも2にも1にもなります。

図2に、位の重みと数字の対応をまとめました。図2のように、数字と重みを一対一で対応させてから足すと、どの位を数え落としたかが目で追えます。

答えを条件へ戻して確かめます。11を2のまとまりで数え直すと、8が1個、4が0個、2が1個、1が1個です。これを位の順に並べれば1011に戻ります。読み替えと数え直しの両方が合っていれば、位の対応を取り違えていません。

別の数え方でも同じ値になることを確かめておきます。左の位から順に、重みを2倍しながら進む方法です。8から始め、次の位では8×2で4、その次は4×2で2、最後は2×2で1になります。位の数字が1ならその重みを足し、0なら足しません。8を足し、4は飛ばし、2を足し、1を足すと、8+2+1 = 11です。右から掛けて足す方法と、左から重みを倍にしながら拾う方法の二つが同じ値になれば、位の重みの並びは正しく捉えられています。

基本例題2　3進法の数を十進法で読む

3進法で2102と書かれた数を、十進法で表しなさい。

3進法の位の重みは、右から1、3、9、27です。まず、使える数字だけかどうかを確かめます。2、1、0、2はどれも3より小さいので、3進法の書き方として正しい数です。続いて、位ごとに数字と重みを掛けます。

2×27 = 54
1×9 = 9
0×3 = 0
2×1 = 2
54+9+0+2 = 65

したがって、3進法の2102は十進法の65を表します。

確かめに、65を3のまとまりで数え直します。65の中に27は2個入り、65-54 = 11が残ります。11の中に9は1個入り、11-9 = 2が残ります。2の中に3は0個で、2がそのまま残ります。位の順に並べると2、1、0、2となり、元の2102に戻りました。

足し算の行のうち、0を掛けた位は結果が0なので、書かなくても値は変わりません。しかし、途中の0の位を表から消してしまうと、位が一つずれて、後の桁の重みを取り違えるもとになります。2102の0は、9の位と1の位の間にあって、その位にまとまりがないことを示す大切な印です。0の行も残して、位の並びを最後まで保つようにしてください。

2進法と3進法で手順は同じです。違うのは、位の重みの増え方と、使える数字の範囲だけです。この二つを基数ごとに押さえれば、読み替えの計算は同じ形で進みます。基数が変わっても、右端から重みを書き、数字と掛け、足すという三つの動作は変わりません。動作が同じだからこそ、基数の取り違えだけが値のずれとして残ります。

標準例題　同じ書き方でも基数で値が変わる

101という同じ書き方を、2進法、3進法、十進法で読むと、それぞれいくつになるか答えなさい。

2進法の101は、1×4+0×2+1×1 = 4+0+1 = 5です。3進法の101は、1×9+0×3+1×1 = 9+0+1 = 10です。十進法の101は、そのまま101です。同じ三つの数字を並べているのに、5、10、101と三つの値に分かれます。

分かれ目は基数です。位の重みが2倍ずつ増えるのか、3倍ずつ増えるのか、10倍ずつ増えるのかで、1の位の左隣の重みが変わります。書き方の形だけを見て値を決めると、この違いを取り落とします。

同じ101でも、4進法なら1×16+0×4+1×1 = 16+0+1 = 17になります。101という三桁の並びは、基数が変わるたびに5、10、17、101と値を変えていきます。桁数が同じでも、基数が大きいほど左の位の重みが大きくなるので、同じ数字の1が表す量も大きくなります。

この性質は、N進法の読み替えで最初に確かめるべきことでもあります。問題文に「2進法で」とあれば位の重みは2倍ずつ、「3進法で」とあれば3倍ずつです。基数の指定を読み飛ばすと、計算の途中まで合っていても最後の値がずれます。

発展例題　空欄の数字を使える数字から絞る

3進法で2□2と書かれた数が、十進法で26になるといいます。□に入る数字を求めなさい。また、十進法で29になる場合はどうか、理由をつけて答えなさい。

まず26の場合です。3進法の位の重みは、右から1、3、9です。2□2は、9の位が2、3の位が□、1の位が2を表します。9のまとまりは2個で18、1のまとまりは2個で2です。18+2 = 20なので、3の位が表す分は26-20 = 6です。3の位は1つあたり3を表すので、□は6÷3 = 2です。□に入る数字は2で、3進法で使える数字の範囲にも収まっています。確かめに222を読み直すと、2×9+2×3+2×1 = 18+6+2 = 26となり、条件に合います。

別の進め方として、□に入りうる数字を0、1、2の三通りだけと決めて、順に試す方法もあります。3進法で使える数字は三つしかないので、候補は三つに絞られます。

□が0のとき 18+0+2 = 20
□が1のとき 18+3+2 = 23
□が2のとき 18+6+2 = 26

三つの結果を並べると、26になるのは□が2のときだけです。候補を全部試す方法は、計算の抜けを見つけやすいだけでなく、答えが一つに決まることも同時に示せます。

次に29の場合です。同じように、9の位と1の位の分を先に求めます。2×9+2×1 = 18+2 = 20です。残りは29-20 = 9で、これを3で割ると□は3になります。しかし3進法で使える数字は0、1、2だけで、3は使えません。3の位に3を置くと、それは9のまとまり1個として9の位へ繰り上がってしまうからです。候補の0、1、2を順に試しても、20、23、26の三つしか出ないので、29には届きません。したがって、3進法で2□2と書いて29を表すことはできません。

ここでの分かれ目は、割り算の答えが整数になったかどうかではありません。その数字が基数より小さいかどうかです。整数であっても基数以上なら、その位には置けません。問いが「数字を求めなさい」という形であっても、使える数字の範囲を外れた値は答えになりません。

誤答から学ぶ　使えない数字と位の重みの取り違え

2進法で102と書かれた数を十進法で表しなさい、という問いに対して、1×4+0×2+2×1 = 6と答えた子がいました。位の重みは正しく当てはめています。しかし、この答えは条件を満たしません。2進法で使える数字は0と1だけで、2は置けないからです。102は2進法の書き方として存在しないので、値を求めること自体ができません。

原因は、計算の手順に入る前に、使える数字を確かめる段階を飛ばしたことです。位の重みの表を覚えているので、数字を見た瞬間に掛け算を始めてしまいます。図3の上側のように、2以上の数字が位に入っていたら、そこは計算の前に止まる場所です。図3の下側のように、同じ102でも3進法なら1×9+0×3+2×1 = 9+0+2 = 11と読めます。書き方の形は同じでも、基数が違えば正しさの判定が変わるのです。

同じ誤りは、3進法で3を含む書き方にも現れます。3進法の130は、1×9+3×3+0 = 9+9+0 = 18と計算できてしまいますが、3進法に3は使えません。計算ができてしまうことと、その書き方が正しいことは別です。まず桁を全部見る、という順序を守ることで、この種の誤りは計算に入る前に止められます。

もう一つの誤りは、位の重みをすべて同じ数で掛けることです。3進法の210を、2×3+1×3+0 = 9とする子がいます。正しくは右から1、3、9なので、2×9+1×3+0 = 21です。位が左へ移るたびに重みが基数倍になる、という一点を表で確かめておくと防げます。

誤解の型は、大きく三つにまとまります。位の重みをすべて同じと考える型、使える数字の範囲を見ない型、基数の指定を読み飛ばす型です。どの型も、計算の前に表を書く、桁を全部見る、基数に印をつける、という三つの動作で防げます。計算の速さより、この三つの動作を先に固定する方が、遠回りに見えて安定します。

誤答を直すときは、消しゴムで式を消して書き直させるより、どの段階で止まるべきだったかを言わせる方が効果があります。「まず何を見るのか」「その次に何をするのか」の二つを順に説明できれば、同じ型の誤りは次に現れにくくなります。答えだけを直すと、手順の抜けはそのまま残ります。

たとえば102の例なら、「2進法だから使える数字は0と1」「2が入っているので、この書き方は成り立たない」という二つの文を自分で言えるかどうかで、理解の位置がわかります。式の計算をやり直させる前に、この二つの文を確かめてください。

練習問題

次の五問を解きなさい。答えはすべての問題の後にまとめてあります。

1. 2進法で1101と書かれた数を、十進法で表しなさい。
2. 3進法で2012と書かれた数を、十進法で表しなさい。
3. 次の四つの書き方のうち、2進法の数として正しいものをすべて選びなさい。1001、1012、1110、1201。
4. 3進法で1□2と書かれた数が、十進法で17になるといいます。□に入る数字を求めなさい。
5. 2進法の100と、3進法の22は、どちらが大きいか。それぞれ十進法で表して比べなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 2進法の位の重みは右から1、2、4、8です。1×8+1×4+0×2+1×1 = 8+4+0+1 = 13です。答えは13です。確かめに、13を2のまとまりで数え直すと、8が1個、4が1個、2が0個、1が1個となり、1101に戻ります。

2. 3進法の位の重みは右から1、3、9、27です。2×27+0×9+1×3+2×1 = 54+0+3+2 = 59です。答えは59です。確かめに、59を3のまとまりで数え直すと、27が2個で54、残り5の中に9は0個、3は1個で残り2、1は2個です。位の順に2、0、1、2となり、元に戻ります。

3. 2進法で使える数字は0と1だけです。1001は0と1だけでできているので正しい書き方です。1012は2を含むので誤りです。1110は0と1だけなので正しい書き方です。1201は2を含むので誤りです。答えは1001と1110です。四つの書き方を最後まで確かめ、使えない数字が一か所でもあれば外します。

4. 3進法の位の重みは右から1、3、9です。1□2は、9の位が1、3の位が□、1の位が2を表します。9のまとまりは1個で9、1のまとまりは2個で2です。9+2 = 11なので、3の位が表す分は17-11 = 6です。3の位は1つあたり3を表すので、□は6÷3 = 2です。答えは2です。2は3進法で使える数字の範囲に収まっています。確かめに122を読み直すと、1×9+2×3+2×1 = 9+6+2 = 17となり、条件に合います。

5. 2進法の100は、1×4+0×2+0×1 = 4+0+0 = 4です。3進法の22は、2×3+2×1 = 6+2 = 8です。十進法で比べると、4より8が大きいので、3進法の22の方が大きいといえます。2進法の100は三桁、3進法の22は二桁ですが、桁数と大きさは一致しません。基数が大きいほど、少ない桁数で大きいまとまりを表せるためです。

覚えておくこと

• 位の重みは右端が1で、左へ一つ移るたびに基数倍になる。
• 基数NのN進法で使える数字は、0から、基数より1小さい数までである。
• 読み替えは、各桁の数字と位の重みを掛けて足す。
• 計算の前に、使えない数字が混じっていないかを全桁で確かめる。
• 同じ書き方でも、基数が変われば表す数は変わる。

つまずきの見分け方と、確かめる声かけ

つまずきは、計算の誤りよりも手順の抜けとして現れます。答えが少しずれているときは、位の重みの対応を一行ずつ指で追わせてください。掛け算の結果が合っているのに最後の足し算でずれるなら、位の対応は合っていて、足し忘れか繰り上がりの処理に原因があります。逆に、掛け算の段階で値が大きくずれるなら、位の重みそのものを取り違えています。

使えない数字の見落としは、答えの値ではなく、式の形に現れます。基数以上の数字が式の中に残っていたら、その時点で手を止めます。「この位には何が書けるかな」と位ごとに聞くと、数字の範囲の確認が習慣になります。2進法なら0か1か、3進法なら0か1か2か、と基数を声に出して確かめると、思い込みが減ります。

お子さまが一人で解くときは、問題文の基数に線を引かせてください。2進法と3進法が同じ用紙に並ぶと、前の問題の基数のまま計算してしまうことがあります。基数を丸で囲み、位の重みを欄外に書いてから計算を始める、という順序を決めておくと、切り替えの取り違えが目に見える形で防げます。

読めたかどうかは、答えの数を別の向きから確かめると判断できます。求めた十進法の数を、もう一度その基数のまとまりで数え直し、元の書き方に戻るかを見ます。戻れば位の対応は合っています。戻らないときは、どの位でずれたかを一緒に探すと、原因が重みなのか数字の範囲なのかがはっきりします。

家庭で確かめるときは、短い数を一つ選んで、基数を言い換えながら読ませると手順が見えます。同じ書き方を2進法と3進法で交互に読み、値が変わることを本人の口から説明できれば、基数と位の重みが結びついています。説明が「たぶん」で止まるなら、位の重みの表をもう一度書き直すところから始めてください。

位の重みと使える数字を、計算の前に一つずつ確かめる。この順序を守ることが、N進法の読み取りを安定させます。