中学受験の算数 対応関係の推理—条件を表に移して確定と未確定を分ける｜武蔵野個別指導塾

黒板ではないという否定を一つ読んだだけで係を決めると、けんさんの候補はまだ二つ残ります。○と×の表に条件を写し、候補が一つになった瞬間だけ○を書く手順を、けんとみおとそうの例でたどるのが表で解く推理です。

三つの出方と、答えを急がない構え

よくあるのは、黒板係ではないという否定を一つ読んだだけで、その子の担当を決めてしまう場面です。「黒板ではない」は「この人ではない」と教えてくれますが、「では誰か」までは教えてくれません。三つの候補のうち一つを消しただけなら、候補はまだ二つ残っています。この二つを残したまま表を埋めていけるかどうかが、対応関係の推理では大きな分かれ目になります。

出方は大きく三つあります。一つ目は、三人が三つの持ち物を一つずつ持つ型です。えんぴつ、消しゴム、定規のように、同じ物を二人が持つことはありません。二つ目は、三人が三つの担当を一つずつ受け持つ型です。受付、案内、会計のように、役割が重ならない場面です。三つ目は、冊数や周回数のように数が一つ混じる型です。数には大小があるので、「より多い」という条件が使えます。

どの型も、解く順番は四つで同じです。条件を表に写す、決まった所から同じ行と列を消す、それでも残るときは片方を仮に決めて矛盾を探す、最後に問題文の条件を一つずつ指さして確かめる。この四つを、図と三つの例題で順に追います。

一対一対応を○と×の表に写す

三つの人と三つのものを、縦と横に並べた表にします。縦の行に人、横の列にものを置きます。一対一対応とは、人とものが一対一で結ばれることをいいます。一人は一つのものだけを持ち、一つのものを持つ人は一人だけです。ですから、表のどの行にも○は一つ、どの列にも○は一つしか入りません。図1のように、行と列の両方を見ることが表の使い方の土台になります。

表の欄には三種類の印を書きます。決まった組には○、ないと決まった組には×、まだ何も言えない欄は空けたままにします。この三つを書き分けると、どこまで考えたかが表に残ります。頭の中だけで進めると、消したつもりの候補と、まだ生きている候補が混ざります。表は、その混ざりを防ぐための道具です。

三人と三つの表には、欄が9つあります。答えが一つに決まると、○は3つ、×は6つになります。○が3つそろえば、それぞれの行と列に一つずつ入り、残りの欄はすべて×になります。この数を覚えておくと、表を埋め終えたかどうかを欄の数で確かめられます。

条件の読み方は三つに分かれます。「AはBである」は、Aの行とBの列が交わる欄に○を書きます。「AはBではない」は、同じ欄に×を書きます。「AはBより多い」のような大小の条件は、すぐには印を付けず、残った候補を比べるときに使います。

○を書いたら、その場で同じ行と列に×を書きます。ある人がえんぴつを持つと決まったら、その人にほかの物はありません。えんぴつを持つのはその人だけなので、ほかの人にもえんぴつはありません。この二つの×を書かないと、表の同じ行や同じ列に○が二つ入り、あとで矛盾に気づけなくなります。

消去法は、×を集めて○を一つにする手順です。ある列を見て、二人分の×がそろえば、残る一人が○になります。ある行を見て、二つの×がそろえば、残る一つが○になります。行で決めても列で決めても、同じ答えになります。片方だけで決めたときは、もう片方からも同じ○になるかを確かめると、写し間違いが見つかります。

消去だけで進まないときは、仮定を使います。まだ決まらない二つの組のうち、片方を仮に○とします。その仮定から表を埋め進め、問題文の条件とぶつかれば、その仮定はまちがいです。ぶつからずに最後まで埋まれば、その仮定が正しく、残りも自動的に決まります。仮定は当てずっぽうではなく、矛盾を探すための道具です。

答えが出たら、問題文へ戻ります。条件を一つ読み、その条件が答えの表で成り立つかを確かめます。三つの条件があれば三回確かめます。この手順を省くと、条件を一つ読み落とした答えがそのまま残ります。表の中ではつじつまが合っていても、問題文の条件を使っていなければ、答えは一つに決まりません。

基本例題　三人の持ち物を決める

あきらさん、ふみさん、さやさんの三人が、えんぴつ、消しゴム、定規のうち一つずつを持っています。同じ物を持っている人はいません。

1. あきらさんはえんぴつを持っていません。
2. ふみさんはえんぴつも定規も持っていません。

三人が持っている物を、それぞれ答えなさい。

まず表を作ります。行に三人、列に三つの持ち物を置きます。どの欄も空欄から始めます。

条件2から始めます。ふみさんの行の、えんぴつの欄と定規の欄に×を書きます。この時点でふみさんの行は、えんぴつが×、定規が×、消しゴムが空欄です。三つの候補のうち二つが消えたので、残る消しゴムが○になります。ここで初めて○を書きます。

ふみさんの消しゴムに○を書いたら、同じ行と列に×を足します。ふみさんの行のほかの欄はすでに×です。消しゴムの列では、あきらさんとさやさんの欄に×を書きます。消しゴムを持つのはふみさんだけだからです。

次に条件1です。あきらさんの行の、えんぴつの欄に×を書きます。あきらさんの行は、えんぴつが×、消しゴムが×になりました。残る定規が○です。

あきらさんの定規に○を書いたら、定規の列のほかの欄に×を書きます。さやさんの行は、えんぴつが空欄、消しゴムが×、定規が×です。残るえんぴつが○になります。

答えは、あきらさんが定規、ふみさんが消しゴム、さやさんがえんぴつです。図2のように、書き足した順番に番号を付けると、どこで決まったかが後からたどれます。

最後に条件へ戻ります。条件1の「あきらさんはえんぴつを持っていません」は、あきらさんが定規なので成り立ちます。条件2の「ふみさんはえんぴつも定規も持っていません」は、ふみさんが消しゴムなので成り立ちます。同じ物を持っている人もいません。三つとも満たすので、この答えで間違いありません。

この例題で、条件2が先だった理由を考えます。条件2は、一人の行に二つの×を一度に入れます。そのため、その行の候補が一つになり、すぐに○が決まります。条件1だけなら、あきらさんの行に×が一つ入るだけで、候補は二つ残ります。先に使う条件は、一つの行か一つの列に×を二つそろえられる条件です。

標準例題　係の分担を二通りの手順で解く

ゆうさん、みさきさん、りくさんの三人が、受付、案内、会計の三つの係を一つずつ担当します。

1. ゆうさんは受付ではありません。
2. 受付の人はりくさんではありません。
3. りくさんは案内ではありません。

三人の係を、それぞれ答えなさい。

手順1では、消去だけで解きます。受付の列を見ます。条件1から、ゆうさんの欄に×を書きます。条件2から、りくさんの欄に×を書きます。受付の列は、ゆうさんが×、りくさんが×、みさきさんが空欄です。残るみさきさんが○になります。

みさきさんが受付に決まったので、受付の列のほかの欄と、みさきさんの行のほかの欄に×を書きます。

次に条件3です。りくさんの案内の欄に×を書きます。りくさんの行は、受付が×、案内が×、会計が空欄です。残る会計が○になります。最後に、会計の列の残りと、案内の列の残りを埋めると、ゆうさんが案内になります。

手順2では、仮定を使って同じ答えに着きます。まず、みさきさんが案内だと仮定します。すると受付と会計が、ゆうさんとりくさんに分かれます。条件1から、ゆうさんは受付ではありません。ですからゆうさんが会計で、りくさんが受付になります。ところが条件2は「受付の人はりくさんではありません」と言っています。これは仮定から出た結果とぶつかります。だから、みさきさんが案内という仮定はまちがいです。

次に、みさきさんが会計だと仮定します。受付はゆうさんかりくさんのどちらかです。条件1でゆうさんは受付になれず、条件2でりくさんも受付になれません。二人とも受付になれないので、この仮定もぶつかります。だから、みさきさんは会計でもありません。

案内でも会計でもないので、みさきさんは受付です。受付が決まれば、あとは消去で進みます。りくさんは案内ではないので会計、残るゆうさんが案内です。

仮定は、消去より遠回りに見えますが、条件が多くて表が埋まりにくいときに向いています。仮定したら、その欄から決まる欄を最後まで埋めます。途中で止めると、ぶつかったかどうかがわからないままになります。ぶつかった条件を名指しできたときだけ、仮定を否定できます。

二つの手順は同じ答えになりました。答えが合っているかどうかは、この一致だけでは決まりません。どちらの手順も、問題文の条件を読み落としていたら同じ間違いをします。最後は条件へ戻り、三つを一つずつ確かめます。受付はみさきさんなので条件1が成り立ち、受付はりくさんではないので条件2が成り立ち、りくさんは会計なので条件3も成り立ちます。

この例題の分かれ目は、受付の列に×が二つそろった瞬間です。一人の行だけを見ていると、ゆうさんが受付でないことしか見えません。列を見て、二人が受付でないことを数えると、残る一人が決まります。表は行だけでなく、列も同じだけ見ます。

発展例題　冊数の条件が一つ混じるとき

はるさん、なつさん、あきさんの三人が、図書室で本を借りました。冊数は3冊、4冊、5冊のどれかで、三人とも違います。

1. はるさんは5冊ではありません。
2. はるさんは3冊ではありません。
3. あきさんの冊数は、なつさんより多いです。

三人の冊数を、それぞれ答えなさい。

表の列は、3冊、4冊、5冊の順に並べます。数の条件が入るときは、列を大きさの順にしておくと、大小の条件を使いやすくなります。

数の条件は、表の欄にすぐ印を付けられません。まず、残った二つの数の欄を指で比べ、大きい側と小さい側を言葉にします。その上で、条件の向きに合う方を○にします。向きを逆にすると、答えが入れ替わるので、最後に問題文の「より多い」を読み直します。

条件1と条件2を、はるさんの行に入れます。5冊の欄に×、3冊の欄に×を書きます。はるさんの行は、3冊が×、4冊が空欄、5冊が×です。残る4冊が○になります。

はるさんの4冊に○を書いたら、4冊の列のほかの欄に×を書きます。残る3冊と5冊を、なつさんとあきさんが分けます。

条件3は「あきさんの冊数は、なつさんより多い」です。残った3冊と5冊を比べると、多いのは5冊です。あきさんが5冊、なつさんが3冊になります。

条件へ戻ります。はるさんは4冊なので、5冊ではないという条件1が成り立ちます。3冊でもないという条件2も成り立ちます。あきさんの5冊はなつさんの3冊より多いので、条件3も成ります。三人の冊数はすべて違い、3冊、4冊、5冊が一つずつそろっています。

別の数え方でも確かめます。三人への冊数の割り当ては、次の6通りです。

6通りを三つの条件でふるいにかけると、残るのは1通りだけです。表を埋める手順と、並べ方を書き出して消す手順が同じ答えに着くと、答えの確かさが増します。

この例題の分かれ目は、否定が二つそろって初めて○になることです。条件1だけでは、はるさんは3冊か4冊のどちらかで、まだ決まりません。条件2が加わって、残る候補は4冊の一つだけになります。数の条件では、このように二つの否定が一つの候補を残す形がよく出ます。

否定を一つ見ただけで○を書いてしまう誤り

けんさん、みおさん、そうさんの三人が、黒板、花の水やり、本の整理の係を一つずつ担当します。条件は「けんさんは黒板係ではありません」の一つだけだとします。

よくある誤答は、けんさんは花の水やり係だ、と書いてしまうものです。黒板でないのなら、残りの花しかない、と考えたのです。

原因は、候補の数を数えていないことです。けんさんの候補は、黒板、花、本の三つあります。黒板を消しても、花と本の二つが残ります。この二つは、どちらもまだ起こりえます。一つ消しただけで残りを一つと決めつけると、条件が足りないのに答えを書くことになります。

図3のように、左の表は×のすぐ横に○を書いてしまった誤りです。右の表は、黒板に×を書いただけで、花と本の欄を空けたままにした正しい途中です。○は、候補が一つになったときだけ書きます。

同じ誤りは、ほかの条件でも起こります。「みおさんは黒板係ではありません」でも、「そうさんは花の水やり係ではありません」でも、同じです。三人の候補があるうちは、否定は×を一つ増やすだけで、○は作りません。

では、いつなら否定が決め手になるのかを確かめます。「本の整理はそうさんがします」という条件が加わったとします。そうさんの本に○が付き、本の列とそうさんの行に×が付きます。けんさんの行は、黒板が×、本が×、花が空欄になります。ここで初めて、けんさんは花の水やり係だと決まります。同じ「黒板ではない」という条件が、今度は○を作りました。違うのは、けんさんの候補が二つに絞られていたことです。否定が○を作るのは、その人の候補が二つに絞られ、そのうち一つが消えたときです。

もう一つの誤りは、列を書かないことです。行だけを見て○を書くと、同じ列に○が二つ入ることがあります。えんぴつを持つ人が二人いる表は、どこかで間違っています。○を書いたら、必ず同じ行と列の両方を見ます。

この二つの誤りは、どちらも表の書き方で防げます。否定は×だけ、○は候補が一つになったときだけ、○のあとは行と列の両方。この三つを守るだけで、答えを急ぐ誤りはほとんど見つかります。

表が途中で止まったときは、○の数も数えます。三人と三つの問題なら、○は全部で3つです。○が2つで止まっているのに、ほかに書ける条件がないと思ったら、どこかの条件を表に写し忘れています。条件文と表の×を一つずつ照合すると、写し忘れは見つかります。

練習問題

1. かおるさん、しんさん、めいさんの三人が、赤、青、緑のぼうしを一つずつかぶっています。かおるさんは赤ではありません。しんさんは赤でも緑でもありません。三人のぼうしの色を、それぞれ答えなさい。

2. つばささん、のぞみさん、はやとさんの三人が、犬、ねこ、うさぎのうち一匹ずつ飼っています。つばささんは犬を飼っていません。ねこを飼っているのは、のぞみさんではありません。うさぎを飼っているのは、つばささんでもはやとさんでもありません。三人が飼っている動物を、それぞれ答えなさい。

3. いつきさん、さなさん、ことねさんの三人が、ピアノ、ふえ、たいこのうち一つずつ選びました。いつきさんはピアノを選んでいません。いつきさんはふえも選んでいません。ことねさんはふえを選んでいません。三人が選んだ楽器を、それぞれ答えなさい。

4. みなみさん、そらさん、ゆづきさんの三人が一輪車で練習しました。走った周回数は5周、6周、8周のどれかで、三人とも違います。みなみさんは8周ではありません。そらさんは8周でも5周でもありません。三人の周回数を、それぞれ答えなさい。

5. あさひさん、ゆきさん、そよかさんの三人が、自分の本を本棚の上、机の上、かばんの中のどこかに一つずつ置きました。あさひさんの本は本棚の上ではありません。本棚の上に置いたのは、そよかさんではありません。ゆきさんの本は机の上ではありません。そよかさんの本は机の上でもありません。三人の本の場所を、それぞれ答えなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 答えは、かおるさんが緑、しんさんが青、めいさんが赤です。しんさんは赤でも緑でもないので、青です。青の列のほかの欄に×を書きます。かおるさんは赤ではないので、残る緑です。最後に残っためいさんが赤です。かおるさんが赤でないこと、しんさんが赤でも緑でもないことは、答えの表で成り立ちます。

2. 答えは、つばささんがねこ、のぞみさんがうさぎ、はやとさんが犬です。うさぎを飼っているのは、つばささんでもはやとさんでもありません。ですからのぞみさんがうさぎです。うさぎの列と、のぞみさんの行に×を書きます。ねこを飼っているのはのぞみさんではないので、ねこはつばささんかはやとさんです。つばささんは犬を飼っていないので、つばささんがねこになります。残るはやとさんが犬です。三つの条件は、どれも答えの表で成り立ちます。

3. 答えは、いつきさんがたいこ、さなさんがふえ、ことねさんがピアノです。いつきさんはピアノでもふえでもないので、たいこです。たいこの列のほかの欄に×を書きます。ことねさんはふえではないので、残るピアノです。最後に残ったさなさんがふえです。三つの条件を戻すと、どれも成り立ちます。

4. 答えは、みなみさんが5周、そらさんが6周、ゆづきさんが8周です。そらさんは8周でも5周でもないので、6周です。6周の列に×を書きます。8周はみなみさんでもありませんから、ゆづきさんが8周です。最後に残ったみなみさんが5周です。三つの周回数はすべて違い、みなみさんが8周でないことも成り立ちます。

5. 答えは、あさひさんが机の上、ゆきさんが本棚の上、そよかさんがかばんの中です。本棚の上に置いたのは、あさひさんでもそよかさんでもないので、ゆきさんです。本棚の上の列と、ゆきさんの行に×を書きます。そよかさんは机の上でもないので、残るかばんの中です。最後に残ったあさひさんが机の上です。四つの条件を戻すと、どれも成り立ちます。

覚えておくこと

• 条件は表の欄に写します。○は決まった組、×はない組、空欄はまだわからない組です。
• ○を書いたら、同じ行と列に×を書きます。
• 否定は×だけです。○は、その人の候補が一つになったときだけ書きます。
• 消去で決まらないときは、片方を仮に決めて、条件とぶつかるかを探します。
• 答えを出したら、問題文の条件を一つずつ指さして、答えの表で成り立つかを確かめます。

つまずきの見分け方と、確かめる場所

○を書くのが早いお子さまは、候補の数を声に出していないことが多いです。「いま何通り残っているの」と聞き、指で欄を数えさせると、二つ残っていることに自分で気づきます。

表の行だけを見ているお子さまは、列の○の数を数えさせます。同じ列に○が二つあれば、そこで間違いが見つかります。行と列を交互に指さしながら、○の数が一つずつかを確かめるのが確実です。

表の行と列を入れ替えて書くと、同じ表でも読み方が変わります。人を行に、ものを列に置く向きを決めたら、最後まで変えません。途中で入れ替えると、×を書いた場所を見失います。

条件を読み落とすお子さまは、答えを出した後に条件文を指で追い、答えを当てはめて言い直します。「条件1は、だれが何でないと言っていた」と問い、答えの表の該当する欄を指させます。言い直せない条件は、使っていない条件です。

仮定から戻れないお子さまは、矛盾が出た場所に線を引きます。仮定した欄から、ぶつかった条件の欄までをたどれるかを見ます。たどれないときは、仮定した後に表を埋め切っていません。

答えの書き方では、三人分を問題の順に書くことを確かめます。一人だけ書いて終わると、残りの二人の答えが確かめられません。表の三つの○を、問題文の順に読み上げてから書くと、抜けが減ります。

条件が足りずに答えが一つに決まらない問題もあります。そのときは、決まらない組をそのまま「決まらない」と書きます。ただし、三つの例題と五つの練習問題は、どれも条件がそろって答えが一つに決まります。決まらないと感じたときは、使っていない条件がないかを先に探します。

表の空欄を数える習慣が、条件を読み落とさない目をつくります。