中学受験の算数 数字カードの順列—先頭と使える回数を確かめて整数を数える｜武蔵野個別指導塾

0を含む数字カードから3桁の整数を作るとき、百の位に置けない数字を外し、末尾の条件から位ごとの選び方をかける手順を、書き出した一覧で照合するのが数字カードの順列です。

数字カードを並べて整数を作る場面

よくあるのは、机の上に数字のカードを何枚か並べ、「この中から3枚を選んで3桁の整数を作りましょう」と言われる場面です。カードを選んで、どの位に置くかを決める。この作業は小学校の授業でも経験しています。ところが、0のカードを先頭に置いた並びを、そのまま整数として数えてしまうお子さまが少なくありません。012 は3桁の整数ではなく、12 です。並べ方は同じでも、整数として読める並びと読めない並びがあるのです。

数字カードの問題は、大きく3つの型に分かれます。1つ目は、何枚かのカードから決められた枚数を選び、1回ずつ使って整数を作る型です。0を含むかどうかで、最初の位に置ける枚数が変わります。2つ目は、偶数や5の倍数など、末尾に条件が付く型です。末尾を先に決めると、残りの位に置けるカードの枚数が変わります。3つ目は、同じ数字を何度でも使ってよい型です。1回ずつ使う型と読み違えると、式の形がまるで変わります。

どの型も、位ごとに選べる枚数を数え、それをかけ合わせる流れは同じです。違うのは、先頭に置けるカードの枚数と、末尾の条件をいつ決めるかです。まず、なぜ位ごとの数をかけ合わせてよいのかを、枝分かれの図で確かめます。そのうえで、0を含む基本例題、末尾で分ける標準例題、数の大小で分ける発展例題の順に進みます。

用語と考え方

数字カードの順列とは、カードを選ぶだけでなく、どの位に置くかまで決めて並べることです。同じ2枚を使っても、12 と 21 は別の整数になります。順番を区別するかどうかが、この単元の出発点です。選んだ組だけを問題にするのか、並べた順まで問題にするのかで、数え方が変わるからです。

図1のように、カード 2、3、4 の3枚から2枚を選んで2桁の整数を作るとします。十の位に置くカードは 2、3、4 の3通りです。十の位が2のとき、一の位に置けるのは 3 と 4 の2通り。十の位が3のときも、一の位は 2 と 4 の2通り。十の位が4のときも同じく2通りです。枝分かれの先の本数が、どの枝でも同じ2本になっています。だから 3×2=6 と、かけ算でまとめられます。

図1のように枝を書き出すと、十の位の1つの選び方に対して、一の位の選び方が同じ数だけ続くことが見えます。この「同じ数ずつ枝分かれする」ことが確かめられたときだけ、位ごとの数をかけ合わせます。枝の本数が途中で違うのに同じ数をかけると、数え落としや重複が起きます。樹形図は、かけ算の根拠を目で確かめるための道具です。

3桁なら百、十、一の位の順に決めます。表に「位」「選べるカードの枚数」「その理由」を書くと、数え落としを防げます。位の表を書くときは、上の位で使ったカードを消してから、次の位の枚数を数えます。使ったカードを消し忘れると、同じカードを2回使った並びを数えてしまいます。

「カードを1回ずつ使う」と書いてあれば、選んだカードは次の位では使えません。残りの枚数は1枚ずつ減ります。「同じ数字を何度使ってもよい」と書いてあれば、どの位でも同じ枚数から選べます。問題文のこの一言を読み落とすと、式の形が変わります。カードの枚数を数える前に、この条件を丸で囲んでおくと安全です。

0を含む場合は、樹形図の枝を書いたあとに、先頭が0の枝を消します。0、1、2 の3枚から2枚を選んで2桁の整数を作るなら、十の位は1か2の2通りで、一の位は残り2枚の2通り。2×2=4通りで、10、12、20、21 です。樹形図では、十の位が0の枝が最初から消えています。消す枝があることを知ったうえで、位の表を書くと、枚数の違いを説明できます。

位は上の位から決めます。百の位を最後に決めると、0が残っているかどうかで枚数が変わり、数える順番が崩れるからです。上の位で使ったカードを消し、残りの枚数を次の位へ渡す。この順番を守るだけで、場合分けの重複が減ります。

整数の先頭に0を置くと、位が1つ減ります。0、1、2 の3枚を全部並べた 012 は、整数として読むと12です。だから「3桁の整数」を数えるときは、百の位に0を置く並びを除きます。ここを除き忘れると、答えが多くなります。逆に、十の位や一の位の0は、そのまま使えます。103 の0は、十の位の0として意味を持っています。

偶数は一の位が0、2、4、6、8のどれかです。5の倍数は一の位が0か5です。末尾の条件が付いたら、一の位を先に決めてから、百の位、十の位の順に数えると分かりやすくなります。ただし、一の位で0を使った場合と使わなかった場合で、百の位に置ける枚数が変わります。ここが最大の分かれ目です。末尾を決めた時点で、0のカードが手元に残っているかどうかを、毎回確かめます。

基本例題 — 0を含む4枚から3桁の整数

0、1、2、3のカードが1枚ずつあります。この中から3枚を選んで並べ、3桁の整数を作ります。整数は何通りできますか。

百の位から決めます。百の位に置けるのは、0以外の 1、2、3 の3枚です。十の位は、百の位で使った1枚を除いた3枚から選びます。0が残っていても、十の位には置けます。一の位は、残った2枚から選びます。

百の位 3通り
十の位 3通り
一の位 2通り
3×3×2 = 18

答えは18通りです。

18通りを書き出して確かめます。102、103、120、123、130、132、201、203、210、213、230、231、301、302、310、312、320、321。百の位が1の数は6通り、2の数も6通り、3の数も6通りで、6×3=18です。0で始まる 012 や 023 は、この一覧に入っていません。整数として読めない並びを、最初から除いて数えたからです。十の位に0を置いた数は、102、103、201、203、301、302 の6通りあり、先頭以外で0を使う並びは除いていません。

図2のように位ごとの枚数を表にすると、百の位だけが3枚で、十の位からは3枚、一の位は2枚という違いがはっきりします。百の位で0を使わないことが、最初の3枚という数に表れています。十の位が3枚なのは、百の位で1枚使ったあとに0が戻ってくるからです。一の位が2枚になるのは、そこで初めて2枚が残るからです。

位が増えても、同じ手順です。0、1、2、3、4の5枚から4枚を選んで4桁の整数を作るなら、千の位は0以外の4枚、百の位は残り4枚、十の位は3枚、一の位は2枚で、4×4×3×2=96通り。上の位から順に、使ったカードを消して数えます。桁数が変わっても、最初の位だけが0以外という点は変わりません。

先に全部の並びを数えてから、0で始まる並びを引く方法でも確かめられます。4枚から3枚を並べる並びは 4×3×2=24通り。このうち0で始まる並びは、十の位と一の位に1、2、3を並べる 3×2=6通り。24-6=18通りで、同じ答えになります。どちらで解いてもよいのですが、引く方法は「何を引くのか」を説明できないと、別の条件の問題で間違えます。引く対象を言葉にできるときにだけ、この近道を使ってください。

標準例題 — 末尾の条件で分ける

0、1、2、3、5のカードが1枚ずつあります。この中から3枚を選んで並べ、3桁の偶数を作ります。何通りできますか。

偶数なので、一の位は0か2です。場合を分けます。

一の位が0のとき。百の位は、0以外の 1、2、3、5 の4枚。十の位は、残った3枚です。

4×3 = 12

一の位が2のとき。百の位に置けるのは、0と2を除いた 1、3、5 の3枚です。0は百の位に置けません。十の位は、残った3枚で、この中には0が入っています。

3×3 = 9

12 + 9 = 21

答えは21通りです。

書き出して照合します。一の位が0の数は、120、130、150、210、230、250、310、320、350、510、520、530 の12通り。一の位が2の数は、102、132、152、302、312、352、502、512、532 の9通り。合わせて21通りです。一の位が2の一覧に、0で始まる 012 や 032 は入っていません。

別の見方でも確かめられます。3桁の整数全体は、百の位が0以外の4枚、十の位が4枚、一の位が3枚で 4×4×3=48通り。奇数の一の位は1、3、5の3通りで、そのそれぞれに百の位3枚、十の位3枚が続くので 3×3×3=27通り。48-27=21通りで、偶数だけを数えた答えと一致します。

分かれ目は、一の位を先に決めたあとの百の位の枚数です。一の位が0なら、百の位は0以外の4枚。一の位が2なら、百の位は0と2を除いた3枚です。どちらの場合も十の位は3枚ですが、その中身は違います。場合分けのそれぞれで、使ったカードを消してから残りを数えることが大切です。ここをそろえて 3×3=9 を2回足すと、12通りになってしまいます。

発展例題 — 数の大小で場合を分ける

0、1、2、3、4のカードが1枚ずつあります。この中から3枚を選んで並べ、3桁の整数を作ります。320より大きい整数は何通りできますか。

百の位で場合を分けます。320より大きいので、百の位は3か4です。

百の位が4のとき。十の位は残り4枚から、一の位は残り3枚から選びます。

4×3 = 12

百の位が3のとき。十の位が3より大きければ、一の位は何でも320より大きくなります。十の位に置けるのは4だけです。その一の位は残り3枚から選びます。

1×3 = 3

十の位が2のとき。ここが境界です。一の位が0だと320になり、「より大きい」に含まれません。一の位は1か4の2通りです。

1×2 = 2

十の位が0か1のときは、310、301 のように320より小さいので数えません。

12 + 3 + 2 = 17

答えは17通りです。

書き出すと、321、324、340、341、342、401、402、403、410、412、413、420、421、423、430、431、432 の17通りです。320は入っていません。「以上」と「より大きい」の違いで、320を含めるかが変わります。問題文の言葉をそのまま写して、境界の数を一覧の端に書いて確かめます。

条件が2つ以上あるときは、先頭の制限、末尾の条件、使える回数の順に確かめます。先頭の制限は百の位の枚数に、末尾の条件は一の位の枚数に、使える回数はすべての位の枚数に影響します。影響する位が違うので、1つずつ確かめれば、同じ位を二重に減らす誤りを防げます。条件を書き出したら、それぞれがどの位の枚数を変えるかを、位の表の端に短く書きこみます。書きこんだ印を見れば、場合分けのどの行で枚数が変わるかを、式を立てる前に確認できます。

この問題の分かれ目は、上の位で決まった条件が下の位へ引き継がれることです。百の位が4なら、後の2桁は何でもよい。百の位が3なら、十の位で4を選べば一の位は自由、2を選んだときだけ一の位に下限が付く。位の表を書いて、行ごとに「その位で決まる条件」を書き込みます。条件が付いた行だけ、選べる枚数が減ります。

同じ数字を何度でも使えるとき

「同じ数字を何度使ってもよい」と書かれた問題では、カードを選んだあとに戻すと考えます。0、1、2、3のカードを何度でも使って3桁の整数を作るとき、百の位は0以外の 1、2、3 の3枚。十の位は4枚、一の位も4枚です。使ったカードを戻すので、枚数は減りません。

3×4×4 = 48

答えは48通りです。百の位が1の数だけを書き出すと、100、101、102、103、110、111、112、113、120、121、122、123、130、131、132、133 の16通り。これが 4×4=16通りと合っています。百の位が2の数も3の数も同じ16通りなので、16×3=48通りです。

偶数に絞ると、一の位は0か2の2通りです。一の位が0のとき、百の位は3枚、十の位は4枚で 3×4=12通り。一の位が2のときも、2をもう一度使えるので、百の位は 1、2、3 の3枚です。十の位は4枚で、こちらも 3×4=12通り。合わせて24通りになります。1回ずつ使う問題なら、同じ条件で 3×2=6 と 2×2=4 の10通りでした。使える回数が変わると、場合分けの中の枚数まで変わるのです。

「何度でも」の問題を1回ずつと読み違えると、3×3×2=18と答えてしまいます。反対に、1回ずつの問題を何度でもと読み違えると、4×4×4=64のように、先頭の0の分まで数えてしまいます。式を立てる前に、カードを選んだあとに戻すのか、戻さないのかを、一言で確かめます。

選ぶだけの問題と並べる問題も、ここで分けておきます。選んだ組だけを問題にするときは、並べた順を同じ組としてまとめます。数字カードで整数を作る問題は、順番が整数の値を変えるので、並べた順を区別して数えます。問題文に「整数を作る」とあれば、順番まで区別する合図です。

誤答の実例と直し方

0、1、2、3の4枚から3枚を選んで3桁の整数を作る問題で、4×3×2=24と答えたお子さまがいました。式の形は正しいのですが、0で始まる並びを整数として数えています。012 は12、023 は23で、3桁の整数ではありません。

原因は、カードを並べる問題と整数を作る問題の違いを、式を立てる前に確かめなかったことです。使えるカードの枚数は4枚ですが、百の位に使えるカードは3枚です。位によって使える枚数が違うことを、式の最初の数に反映させます。

修正は2通りあります。1つは百の位から決めて 3×3×2=18 と数える方法。もう1つは全部の並び 24通りから、0で始まる 3×2=6通りを引く方法です。図3のように、0で始まる枝を赤で囲んで消すと、引く数が見えます。

図3の左が全部の並び、右が0で始まる並びです。右の6通りを消すと、整数として読める並びだけが残ります。引いたあとに残る数が、位の表で求めた数と同じかどうかを、必ず見比べます。

同じ誤りは、末尾の条件が付いた問題でも起こります。0、1、2、3の4枚から3桁の偶数を作る問題で、一の位が0の場合も2の場合も 3×2=6 と数え、6+6=12と答えるお子さまがいます。一の位が0のとき、百の位は 1、2、3 の3枚で正しい。しかし一の位が2のとき、百の位に置けるのは 1、3 の2枚だけです。0は百の位に置けません。

正しくは、一の位が0なら 3×2=6、一の位が2なら 2×2=4、合わせて10通りです。書き出すと 102、120、130、132、210、230、302、310、312、320 の10通り。12通りと答えたときは、021 や 023 のような、0で始まる並びを2桁の整数として数えてしまっています。場合分けの片方だけを確かめて、もう片方の百の位の枚数を写してしまうのが、この誤りの型です。

5の倍数でも同じことが起こります。末尾を0にする場合と5にする場合で、百の位に置ける枚数が変わります。末尾を決めたら、そのカードを除いた残りに0があるかどうかを、必ず確かめます。0が残っていれば百の位の枚数は1枚減り、残っていなければ減りません。

練習問題

次の5問を解いてください。カードは、どれも1枚ずつあるものとします。

1. 1、3、4、6の4枚から3枚を選んで並べ、3桁の整数を作ります。何通りできますか。
2. 0、2、5、7の4枚から3枚を選んで並べ、3桁の整数を作ります。何通りできますか。
3. 1、2、3、4の4枚から2枚を選んで並べ、2桁の偶数を作ります。何通りできますか。
4. 0、3、5、6の4枚から3枚を選んで並べ、3桁の5の倍数を作ります。何通りできますか。
5. 2、5、8の3枚を使って3桁の整数を作ります。同じ数字を何度使ってもよいとき、何通りできますか。また、3枚を1回ずつ使うとき、何通りできますか。

練習問題の答えと解き方

1. 百の位は4枚、十の位は3枚、一の位は2枚です。

4×3×2 = 24

答えは24通りです。0がないので、先頭の制限はありません。

2. 百の位は0以外の 2、5、7 の3枚。十の位は残り3枚、一の位は残り2枚です。

3×3×2 = 18

答えは18通りです。十の位と一の位には0を置けます。百の位だけが3枚になる点が、1番の問題との違いです。

3. 偶数なので一の位は2か4です。一の位が2なら十の位は 1、3、4 の3枚。一の位が4なら十の位は 1、2、3 の3枚です。

3 + 3 = 6

答えは6通りです。書き出すと 12、14、24、32、34、42 です。

4. 5の倍数なので一の位は0か5です。一の位が0なら、百の位は 3、5、6 の3枚、十の位は残り2枚で 3×2=6。一の位が5なら、百の位は 3、6 の2枚、十の位は残り2枚で、この中に0が入るので 2×2=4です。

6 + 4 = 10

答えは10通りです。書き出すと 305、350、360、365、530、560、605、630、635、650 です。

5. 同じ数字を何度使ってもよいとき、どの位も 2、5、8 の3枚から選べます。

3×3×3 = 27

答えは27通りです。3枚を1回ずつ使うときは、百の位3枚、十の位2枚、一の位1枚で 3×2×1=6通りです。同じ問題文でも、「何度でも」と「1回ずつ」で答えが27と6に変わります。使える回数の一言が、式の数を減らすかどうかを決めています。

覚えておくこと

• 数字カードの順列は、位ごとに選べる枚数を数え、かけ合わせて求める。
• 百の位に0は置けない。0を含むカードでは、最初の位の枚数だけが1枚少なくなる。
• 偶数や5の倍数は、一の位を先に決めてから、百の位に0が残っていないかを確かめる。
• 「1回ずつ使う」と「何度でも使える」を読み分ける。残りの枚数が減るかどうかが変わる。
• 出した答えは、書き出した一覧か、別の分け方の計算で照合する。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

答えが24通りになったときは、0で始まる並びを数えている可能性があります。末尾の場合分けで両方の式が同じ形になったときは、一の位に0を使ったかどうかで百の位の枚数が変わる点を見落としています。カードを選ぶ問題と並べる問題の答えが同じになったときは、順番を区別するかどうかを確かめていません。「何度でも」の問題で式の数が減っていくときは、1回ずつ使う問題と混同しています。

お子さまに説明してもらうときは、答えの数字ではなく、位ごとの枚数を指さしてもらいます。ノートに位の表を書かせ、百、十、一の欄に、選べるカードを実際に書きこませると、どの位で迷ったかが表に残ります。同じ問題を、書き出す方法と計算する方法の2通りで解かせると、答えが合ったときに、数え方が正しいことまで確かめられます。「百の位は何枚から選べる」「その位で使ったカードは、次の位で使えるか」の2つを聞くと、式のどこが違うのかが見えます。0を含む問題では、0のカードを先頭に置いた並びを実際に書いてもらい、それが整数として何桁になるかを確かめます。

位ごとの枚数を声に出して確かめると、0で始まる並びや末尾の場合分けの落とし穴は、式を立てる前に見つかります。