中学受験の算数 二つの周期—同じ状態に戻る位置と一致する途中の位置を調べる｜武蔵野個別指導塾

3つで一組のテープと4つで一組のテープを並べ、同じ色がそろう位置を1番目から12番目まで書き出します。一致は一巡の終わりに限らず、三つ続くこともある二つの周期です。

二つの周期が出てくる三つの型

色をぬった二本のテープを、同じ位置から横に並べて見比べる場面です。片方は赤・青・緑の3色をこの順にくり返し、もう片方は赤・青・緑・橙の4色をこの順にくり返しています。「二本が同じ色になるのは、それぞれの一組が終わるところ、つまり12番目だけだ」と考えるお子さまは少なくありません。ところが1番目から順に色を書き出してみると、1番目・2番目・3番目はそろって同じ色になっています。一組の終わりだけを見ていると、この三つをまるごと落としてしまうのです。

二つの周期がからむ問題は、大きく三つの型で出てきます。第一の型は、二つの列を並べて、同じ色や同じ記号になる位置をすべてあげる型です。第二の型は、二つの列がそろって最初の状態に戻るのは何番目か、また何番目ごとに戻るかを答える型です。第三の型は、100番目のように番号の大きい位置で、二つの列がどんな組になるかを答える型です。

三つの型に共通する土台は、一組の並びと位置の数え方です。どちらを先に決めるかで迷うことはありません。まず一組の長さを決め、次に位置を1から書き出し、最後に二つの列を同じ位置で見比べます。この順番を守るだけで、数え落としの多くは防げます。

用語と考え方

一組と周期

同じ並びがくり返されるとき、そのひとまとまりを一組といい、一組に並ぶ個数を周期といいます。赤・青・緑をこの順にくり返すテープなら、一組は赤・青・緑の3つで、周期は3です。赤・青・緑・橙をくり返すなら、一組は4つで、周期は4です。

気をつけたいのは、周期は色の種類の数ではないという点です。赤・青・緑・赤・青・緑と並ぶと赤も青も2回ずつ出てきますが、一組はあいかわらず3つです。色の名前を数えて一組の長さを決めると、同じ色が離れた位置にある列で長さを取り違えます。一組は「どこで並びが折り返すか」で決めます。

位置は1から数える

位置の番号は1番目から付けます。1番目は組の1つ目、2番目は組の2つ目です。周期が3の列では、位置を3で区切った余りが組の中の順番を教えてくれます。ただし余りが0になる位置は組の3つ目であって、組の1つ目ではありません。この0の扱いは、後の誤答の節でもう一度確かめます。

番号を0から数えてしまうと、組の先頭が1つずれます。すると「1番目と13番目は同じ」という当たり前の対応が崩れ、一致する位置の答えがすべて1つずつずれます。書き出しの表には必ず1から番号を振ってください。

二つの列を同じ位置で見比べる

二つの列を比べるときは、位置をそろえて縦に並べます。横に長く書くより、同じ番号の真下に二つの色を置くほうが、一致しているかどうかを見落としません。片方だけを先に書き、あとからもう片方を思い出しながら書き足すと、位置がずれて一致を誤ります。

図1のように、組の区切りは二本でそろいません。片方が3つで折り返すとき、もう片方はまだ4つ目の途中です。区切りがそろわないからこそ、同じ色になる位置は組の終わりに限られません。

一巡の長さ

二つの列がそろって最初の状態に戻るのは、二つの周期のどちらでも割り切れる長さのところです。3と4なら12、4と6なら12、5と4なら20です。この長さを一巡の長さと呼ぶことにします。一巡の長さは、二つの周期の最小公倍数と同じです。

一巡の長さがわかると、調べる範囲を一巡分に縮められます。色の組は二つ合わせて一巡でひととおり出そろい、そのあとは同じ順でくり返されるからです。ですから一致する位置も、一巡の中で決まった場所に現れ、以後は一巡の長さだけずれた位置で同じようにくり返されます。100番目を調べるときも、100を一巡の長さで区切って、余りに対応する位置を見れば足ります。

一巡の長さを求める手順は、次の順にすると迷いません。二つの周期を書き、それぞれの倍数を小さい順に並べ、最初に共通して現れる数を探します。3と4なら3の倍数は3・6・9・12、4の倍数は4・8・12で、最初の共通は12です。5と4なら5・10・15・20と4・8・12・16・20で、20です。掛け算を先にしてしまうと、共通する数が見つかる前に大きな数を作ってしまい、戻る位置を遠くに見積もる誤りにつながります。

一巡の長さを決めたら、片方の列を先に書き、もう片方をその下に書き足します。両方を同時に考えようとすると、片方の組の区切りを数えているうちにもう片方の位置がずれます。まずAの列を一巡分書き、次にBの列を同じ位置に合わせて書き、最後に上と下を比べます。この順番なら、書きながら比べる回数が減り、一致の見落としも減ります。

一致が一巡のどこにも無いこともあります。二つの組に共通する色がひとつも無ければ、一致は0か所です。また、共通する色があっても、その色が組の中で出てくる順番がずれていれば、同じ位置では重なりません。一致の有無は色の種類の多さでは決まらず、同じ位置に同じ色が来るかどうかだけで決まります。色の種類が多い列のほうが一致しやすい、と考えるのは誤りです。

基本例題　3つで一組と4つで一組

赤・青・緑の3色をこの順にくり返すテープAと、赤・青・緑・橙の4色をこの順にくり返すテープBがあります。どちらも1番目は赤です。

1. 1番目から12番目までで、AとBが同じ色になる位置をすべて書きなさい。
2. 二本がそろって1番目と同じ組に戻るのは何番目ですか。また、それは何番目ごとですか。

解き方は、まず一組の長さを確かめ、次に1番目から12番目までを表にすることです。表は位置・A・B・同じかの4行にします。

表から、同じ色になるのは1番目・2番目・3番目です。4番目はAが赤に戻るのに対してBはまだ橙で、ここで初めて食い違います。5番目はAが青、Bは赤です。6番目はAが緑、Bは青です。7番目はAが赤、Bは緑です。8番目はAが青、Bは橙です。9番目はAが緑、Bが赤です。10番目はAが赤、Bが青です。11番目はAが青、Bは緑です。12番目はAが緑、Bは橙です。

答えは1番目・2番目・3番目の3か所です。検算として、Aの色の並びを3ずつ区切ると赤・青・緑が4回、Bの色の並びを4ずつ区切ると赤・青・緑・橙が3回になります。どちらも12番目で一組の区切りがそろい、13番目でまた赤から始まります。4番目から12番目までに一致が無いことも、表の各行を上から順にたどれば確かめられます。

二つ目は、戻る位置を考えます。Aが1番目の赤に戻るのは1番目・4番目・7番目・10番目・13番目です。Bが1番目の赤に戻るのは1番目・5番目・9番目・13番目です。両方に共通するのは13番目で、そのあとは12番目ごとに25番目・37番目と続きます。したがって答えは13番目、そして12番目ごとです。

ここで気をつけるのは、12番目そのものは戻る位置ではないという点です。12番目はAにとっては緑、Bにとっては橙で、どちらも一組の最後です。振り出しに戻るのはその次の13番目です。一巡の長さが12であることと、12番目が戻る位置であることは別のことだと分けて覚えてください。

図2は、この12の位置を横に並べて、一致した位置に印を付けたものです。13番目は1番目と同じ組に戻るので、表をもう一度くり返せば同じ三つの一致が現れます。

標準例題　4つと6つで36番目まで

赤・青・緑・橙の4色をこの順にくり返す列Aと、青・赤・緑・橙・赤・緑の6色をこの順にくり返す列Bがあります。1番目から36番目までで、AとBが同じ色になる位置をすべて書き、何か所あるかを答えなさい。また、二つがそろって最初の状態に戻るのは何番目ごとですか。

まず一巡の長さを求めます。4の倍数は4・8・12、6の倍数は6・12で、最初の共通は12です。ですから12番目までを書き出せば、あとは同じ並びのくり返しになります。

3番目はどちらも緑、4番目はどちらも橙、5番目はどちらも赤で一致します。6番目はAが青、Bが緑です。7番目はAが緑、Bが青です。8番目はAが橙、Bが赤です。9番目はAが赤、Bが緑です。10番目はAが青、Bが橙です。11番目はAが緑、Bが赤です。12番目はAが橙、Bが緑です。12番目までで一致するのは3番目・4番目・5番目の3か所です。

36番目までは、この12の並びが3回くり返されます。1回目が1番目から12番目、2回目が13番目から24番目、3回目が25番目から36番目です。それぞれの回で3か所ずつ一致するので、3か所×3回で9か所です。位置を書き並べると、3番目・4番目・5番目・15番目・16番目・17番目・27番目・28番目・29番目になります。

戻る位置は、Aが4番目ごと、Bが6番目ごとに振り出しへ戻ることを手がかりにします。両方に共通する間隔は12なので、13番目・25番目・37番目と12番目ごとに戻ります。答えは12番目ごとです。

この例題で確かめておきたいのは、一巡の長さが基本例題と同じ12でも、一致する位置は変わったということです。基本例題では1番目から3番目、この例題では3番目から5番目に一致が移りました。一巡の長さは二つの周期だけで決まりますが、一致する位置は二つの組の並び方で決まります。この二つを混ぜると、長さだけを求めて位置を取り違える誤りが起きます。

発展例題　5つと4つ

赤・青・緑・橙・灰の5色をこの順にくり返す列Aと、赤・緑・青・橙の4色をこの順にくり返す列Bがあります。

1. 1番目から40番目までで、同じ色になる位置をすべて書きなさい。
2. 50番目の位置で、AとBはそれぞれ何色ですか。同じ色になりますか。
3. 二つがそろって最初の状態に戻るのは何番目ごとですか。

一巡の長さは5と4の最小公倍数で20です。まず1番目から20番目までを書き出し、一致する位置を探します。1番目はどちらも赤です。2番目はAが青、Bが緑です。3番目はAが緑、Bが青です。4番目はどちらも橙です。5番目はAが灰、Bが赤です。6番目はAが赤、Bが緑です。7番目はどちらも青です。8番目はAが緑、Bが橙です。9番目はAが橙、Bが赤です。10番目はAが灰、Bが緑です。11番目はAが赤、Bが青です。12番目はAが青、Bが橙です。13番目はAが緑、Bが赤です。14番目はAが橙、Bが緑です。15番目はAが灰、Bが青です。16番目はAが赤、Bが橙です。17番目はAが青、Bが赤です。18番目はどちらも緑です。19番目はAが橙、Bが青です。20番目はAが灰、Bが橙です。

20番目までで一致するのは1番目・4番目・7番目・18番目の4か所です。40番目まではこの20の並びが2回くり返されるので、20を足した21番目・24番目・27番目・38番目も一致します。答えは1番目・4番目・7番目・18番目・21番目・24番目・27番目・38番目の8か所です。

ここで目を向けたいのは、一致の間隔が一定ではないことです。1番目から4番目までは3、4番目から7番目までも3ですが、7番目から18番目までは11も空きます。間隔が同じだと決めつけて「あとは3ごと」と続けると、18番目を落とします。一致の間隔は一巡の長さの約数になるとは限りません。一巡分を書き出して確かめるのが確実です。

二つ目は50番目です。50を20で区切ると、20が2回で40、余りが10です。ですから50番目は10番目と同じ組になります。10番目はAが灰、Bが緑で、同じ色ではありません。余りが0のときは20番目そのものを見るので、区切りの最後を取り違えないようにします。

三つ目は戻る位置です。Aは5番目ごと、Bは4番目ごとに振り出しへ戻るので、共通の間隔は20です。1番目と同じ組に戻るのは21番目で、以後は20番目ごとに41番目・61番目と続きます。ここでも20番目そのものは戻る位置ではありません。20番目は一組の最後で、戻るのはその次です。

誤答を直す　一巡の終わりだけを見る

よくある誤答は「AとBが同じ色になるのは12番目だけです」というものです。一組の長さが3と4なので、両方の区切りがそろうのが12番目だと考え、そこだけを答えにしています。

原因は、一巡の終わりと一致する位置を同じものだと思い込んでいることです。一巡の終わりは、二つの列がそろって振り出しに戻る位置です。一方、一致する位置は、同じ番号のところで二つの色がたまたま同じになる位置です。この二つは別の出来事で、重なることもあれば重ならないこともあります。基本例題では12番目は一致していません。Aが緑、Bが橙だからです。

修正の手順は決まっています。位置を1から書き、同じ番号の真下に二つの色を置く表を作ります。一致したら印を付けます。表にすれば、12番目が一致していないことも同時にわかりますし、1番目から3番目までが一致していることも見落としません。頭の中だけで「終わりだけだろう」と決めるのをやめ、表の行を上から順にたどるのが近道です。

同じ誤りは、別の数の組でも起こります。2つで一組の列と6つで一組の列を考えます。片方は○と△のくり返し、もう片方は△・○・□・△・○・□のくり返しです。一巡の終わりだけを見ると「6番目」と答えたくなります。ところが6番目は、2つの列が△、6つの列が□で違います。実際に一致するのは4番目と5番目です。一巡の終わりを答えにすると、この問題では一致が0か所になってしまいます。

図3のように、一致は一巡の終わりだけに現れるのではありません。一巡の中のどこかにまとまって現れ、そのあとは一巡ごとに同じ位置でくり返されます。まとまって現れるのは、二つの組の並びが最初のほうで似ているからです。基本例題ではどちらも赤・青・緑で始まるので、1番目から3番目までがそのまま重なりました。標準例題では並びが違うので、一致は3番目から5番目へ移りました。

練習問題

1. 教室の飾りひもが二本あります。Aは○・△・□をこの順にくり返し、Bは△・○・□・△・○をこの順にくり返します。1番目から15番目までで、二本が同じ記号になる位置をすべて書きなさい。
2. 旗の列が二つあります。Aは赤・青をこの順にくり返し、Bは青・赤・緑・赤・青をこの順にくり返します。1番目から10番目までで、同じ色になる位置をすべて書きなさい。
3. カードの列が二つあります。Aは○・△・□・◇をこの順にくり返し、Bは△・○・□・◇・○・△・□をこの順にくり返します。100番目の位置で、AとBはそれぞれ何の記号ですか。
4. 電飾が二列あります。Aは○・△・□・◇・☆をこの順にくり返し、Bは△・○・□・☆・◇・○をこの順にくり返します。1番目から60番目までで、同じ記号になる位置は何か所ありますか。
5. 折り紙の列が二つあります。Aは○・△・□をこの順にくり返し、Bは○・△・□・◇・○・△・□・◇をこの順にくり返します。1番目より後で、二つがそろって最初の状態に戻るのは、100番目までに何回ありますか。

練習問題の答えと解き方

1. 答えは3番目・7番目・10番目・11番目・14番目の5か所です。一巡の長さは3と5の最小公倍数で15ですから、1番目から15番目までを書き出します。Aは○・△・□を5回くり返し、Bは△・○・□・△・○を3回くり返します。同じ位置を上から比べると、3番目はどちらも□、7番目はどちらも○、10番目はどちらも○、11番目はどちらも△、14番目はどちらも△です。ほかの位置は一致しません。15番目はAが□、Bが○です。

2. 答えは6番目・7番目・9番目・10番目の4か所です。一巡の長さは2と5の最小公倍数で10です。Aは赤・青を5回、Bは青・赤・緑・赤・青を2回くり返します。6番目はAが青、Bが青、7番目はAが赤、Bが赤です。8番目はAが青、Bが緑で違います。9番目はAが赤、Bが赤、10番目はAが青、Bが青です。1番目から5番目までは一致しません。

3. 答えはAが◇、Bが○です。一巡の長さは4と7の最小公倍数で28です。100を28で区切ると、28が3回で84、余りが16です。ですから100番目は16番目と同じ組になります。16番目はAでは4つで一組の4番目、Bでは7つで一組の2番目です。Aの一組は○・△・□・◇なので4番目は◇、Bの一組は△・○・□・◇・○・△・□なので2番目は○です。余りが0でないことを確かめてから、組の中の順番を数えます。

4. 答えは12か所です。一巡の長さは5と6の最小公倍数で30です。1番目から30番目までで一致するのは3番目・6番目・7番目・10番目・26番目・29番目の6か所です。60番目まではこの一巡が2回くり返されるので、6か所×2回で12か所になります。

5. 答えは4回です。一巡の長さは3と8の最小公倍数で24です。二つがそろって最初の状態に戻るのは、24番目ごとの区切りが終わった次の位置、つまり25番目・49番目・73番目・97番目です。1番目は数えず、1番目より後で100番目までとなると、この4回になります。24番目そのものは一組の最後で、戻る位置ではありません。

覚えておくこと

• 周期は一組に並ぶ個数で、色の種類の数ではない。
• 位置は1番目から数え、余りが0になる位置は組の最後になる。
• 一致する位置は一巡の中で決まり、一巡ごとに同じ位置でくり返す。
• 一巡の長さは二つの周期の最小公倍数で、戻る位置はその次から始まる。
• 一巡の終わりは振り出しに戻る位置で、色が一致する位置とは限らない。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

お子さまが「12番目だけ」と答えたときは、計算の誤りではなく、比べる位置を減らしすぎている可能性があります。まず、一巡の終わりと一致する位置を同じものだと思っていないかを聞いてみてください。次に、1番目から3番目までを一緒に書き出せば、どこで見落としたのかが本人の言葉で出てきます。言葉にできた見落としは、次の問題でも自分で見つけられます。

100番目のような問題で止まったときは、余りの扱いを確かめます。一巡の長さで区切ったあと、余りが0なら一巡の最後、余りが1なら一巡の1番目です。この対応を声に出して確認すると、1つずれの誤りはその場で直ります。余りを出す割り算そのものは合っていても、余りを組の何番目に移すかで迷っていることが多いのです。

表を書かずに答えだけを出しているときは、途中の位置を一つ指定して、その位置の二つの色を説明してもらいます。説明が止まる位置が、まだ見えていない位置です。三つの型のうちどれで止まっているかを見分けると、練習の順番を決めやすくなります。一致する位置をあげる型で止まるなら一巡分の表を、戻る位置を答える型で止まるなら倍数の列を、大きい番号の型で止まるなら余りの対応を、それぞれ先に確かめてください。

二つの列を並べた表の上で、一致する位置と戻る位置を分けて指させること。それがこの単元で身につけたい見方です。