中学受験の算数 等差の並びの合計—両端の組をそろえて奇数個でも和を求める｜武蔵野個別指導塾

端から同じ間隔で並ぶ数を両端どうしで組にすると、どの組も同じ和になります。1から21までを例に、中央を二度数えない数え方で、奇数個の並びも一度に和にします。

決まった間隔で並んだ数をたす三つの出方

1から21までを全部たしなさい、と言われて、1、2、3と指を折って足していく。そのやり方でも答えは出ます。ところが数が100や200になると、途中で一つの数を飛ばしたり、同じ数を二回足したりして、答えが少しだけずれます。一定の間隔で並んだ数には、並べ方を変えるだけで足し算の回数を大きく減らせる道があります。まず、どんな形で問われるかを見ておきます。

第一の型は、決まった間隔で並んだ数を最初から最後までたす型です。1、2、3と1ずつ増える並び、2、4、6と2ずつ増える並び、5、8、11と3ずつ増える並びがこれにあたります。最後の数が問題文に書かれていて、そこまで全部たす場面です。数が多くなればなるほど、端から順に足すやり方との差が開きます。

第二の型は、並びの一部だけをたす型です。12番目から25番目まで、というように、始まりと終わりを順番の番号で示されます。全体をたしてから手前を引く方法と、区間の両端だけで組を作る方法の二通りがあり、どちらでも同じ答えになります。片方で出した答えをもう片方で確かめられる形なので、計算の誤りを見つけやすい場面です。

第三の型は、合計から逆に数を決める型です。1から順に1ずつ増やして、合計が210になったとき、最後の数はいくつか、という問いです。合計と項数の関係を小さな表に戻すと、候補は一つに絞られます。答えの形は整数で、途中で割り切れない数が出てきたら、その時点で式の立て方が違っています。

よくあるのは、1から9までの合計を両端の組で求めるとき、真ん中の5を上の列と下の列でそれぞれ数えてしまい、5を二回足してしまう場面です。組の和が10で組が4つ、までは合っています。そこへ中央の5を「10の組」として足した瞬間に、答えは5だけ大きくなります。ここでは、二列に並べ返した図から、中央が一度だけ残る仕組みを組み立てます。

用語と考え方

まず言葉を決めます。隣どうしの差が同じである数の並びを、ここでは等差の並びと呼びます。その差を増え方と呼ぶことにします。1、2、3なら増え方は1、2、4、6なら2、5、8、11なら3です。増え方は、どの隣どうしでも同じでなければなりません。途中で変わったら、この方法は使えません。

並んでいる数の個数を項数と呼びます。1から21までなら21個、5から62までを3ずつ増やして並べたなら20個です。項数は、増え方を何回数えたかで決まります。5から62までなら、5に3を19回足すと62になるので、増やした回数は19回です。数そのものの個数は、増やした回数に最初の1個を足した20個になります。

両端の組という見方をします。最初の数と最後の数、2番目の数と最後から2番目の数、というように、外側から一組ずつ組にします。1から21までなら、1と21、2と20、3と19です。図1は1から5までの並びで、この組を作ったところです。上に元の並び、下に逆から並べた並びを置くと、縦の列がそのまま一組になります。

図1のどの列も、二つの数の和は6です。1と5、2と4、3と3。上段は右へ行くほど1ずつ増え、下段は右へ行くほど1ずつ減るので、増えた分と減った分が打ち消し合います。だから組の和は、どの列でも同じになります。この「どの組も同じ和」が、この単元の中心です。

同じ並びをもう一度、逆にして下に置くと、5個の数が2回ずつ現れます。二列をすべて足すと、組の和6が5列分で30です。30は5個の数の合計を2回数えた値なので、2で割ると15になり、1から5までの合計が求まります。図1の下にある6×5÷2がその計算です。ここで割る2は、二列にしたために各数が2回ずつ現れた分を戻すための2です。

この÷2は、項数が奇数でもそのまま使えます。1から5までなら、中央の3は上の列では3番目、下の列でも3番目に現れます。二列を足すとき、3は二回足されています。最後に2で割れば、3は一度分に戻ります。つまり÷2まで進めば、中央を二回数えたことにはなりません。中央を二度足してしまうのは、組の和に組の数を掛けたところで計算を止め、そこへ中央の数を別に足したときです。

項数の求め方も決めておきます。項数は、最後の数から最初の数を引き、増え方で割った数に1を足したものです。1から21までなら、21-1を1で割って20、それに1を足して21個です。5から62までを3ずつ増やすなら、62-5で57、57を3で割って19、それに1を足して20個です。最後の足し算の1は、最初の数を数え忘れないための1です。

途中から途中までの項数も同じ考え方です。12番目から25番目までなら、25-12で13、それに1を足して14個です。番号どうしの引き算になる点だけが違います。番号の引き算で個数を出すと、端の数を含め忘れて1個少なくなりやすいので、小さな例で確かめてから使います。

基本例題　1から21までをたす

1から21までの整数を全部たすときの和を求めなさい。

まず項数を出します。増え方は1です。

21 - 1 = 20
20 ÷ 1 = 20
20 + 1 = 21

項数は21個です。次に両端の和を出します。

1 + 21 = 22

二列に並べ返すと、21個の数がそれぞれ2回ずつ現れ、縦の列はすべて和が22になります。列は21列あるので、二列分の合計は次のとおりです。

22 × 21 = 462

462は、1から21までの合計を2回数えた値です。2で割ります。

462 ÷ 2 = 231

答えは231です。

組で数えても同じ答えになります。1と21、2と20と組を作っていくと、10と12までで10組できます。各組の和は22なので、10組で220です。残るのは中央の11です。

22 × 10 = 220
220 + 11 = 231

11は11自身と組になるので、組の和は22ではなく11です。図2の赤い枠がその11です。ここを「22の組がもう一組」と数えると、11ではなく22を足すことになり、答えが11だけ大きくなります。二列に並べる方法なら、11は上と下に一度ずつ現れ、÷2でちょうど一度分に戻ります。

項数が21個の奇数でも、÷2を最後まで崩さなければ中央は一度だけ数えられます。逆に、組の数だけで計算を止めるなら、中央は組に入れずに素の数で一度だけ足します。この二つの道筋は、どちらも231に着きます。

標準例題　5から62までを3ずつ増やして並べる

5、8、11、…、62と、3ずつ増える並びの数を全部たすときの和を求めなさい。

最初に増え方を確かめます。8-5も11-8も3なので、増え方は3です。次に項数を出します。

62 - 5 = 57
57 ÷ 3 = 19
19 + 1 = 20

項数は20個です。両端の和を出します。

5 + 62 = 67

二列に並べ返すと、列は20列、どの列も和は67です。

67 × 20 = 1340
1340 ÷ 2 = 670

答えは670です。

項数が20個の偶数なので、中央の数は一つに決まりません。真ん中は10番目の56と11番目の59の二つで、この二つは5+62と同じく67の組になります。組の数は10組です。

67 × 10 = 670

こちらでも670になりました。項数が偶数のときは、端から組を作ると余りが出ません。余りが出ないことを確かめてから掛け算へ進むと、中央の扱いで迷わずに済みます。

答えを問題の場面へ戻して確かめます。20個の数を10組に分け、どの組も67なら、合計は670です。個数は20個で、最初の5も最後の62も組の中に入っています。数え落としも二重計上もありません。

発展例題　12番目から25番目までをたす

3、7、11、…と4ずつ増える並びがあります。この並びの12番目から25番目までの数を全部たすときの和を求めなさい。

並びの番号から数を作ります。増え方は4です。最初の3に4を何回足すかで番号が決まるので、12番目は4を11回足した数です。

12 - 1 = 11
4 × 11 = 44
3 + 44 = 47

12番目は47です。同じように25番目を出します。

25 - 1 = 24
4 × 24 = 96
3 + 96 = 99

25番目は99です。次に区間の項数を出します。

25 - 12 = 13
13 + 1 = 14

14個です。両端の和は次のとおりです。

47 + 99 = 146
146 × 14 = 2044
2044 ÷ 2 = 1022

答えは1022です。

別の数え方で照合します。まず1番目から25番目までの全体をたします。

3 + 99 = 102
102 × 25 = 2550
2550 ÷ 2 = 1275

次に、12番目より手前の1番目から11番目までをたします。11番目は3に4を10回足した43です。

3 + 43 = 46
46 × 11 = 506
506 ÷ 2 = 253

全体から手前を引きます。

1275 - 253 = 1022

二つの道筋が1022で一致しました。区間の和を出すときは、この引き算の照合を一度は通すと、項数の数え違いに気づけます。

分かれ目は、項数の+1です。25-12をそのまま13個として計算すると、47から95までの13個をたすことになり、和は949になります。146×13÷2が949です。14個目の99が抜けた分だけ小さくなるので、答えが合わないときは項数の式へ戻ります。

誤答を直す　中央の数を二回数える

1から9までの整数を全部たす問題で、答えを50とした例を扱います。図3の上段が元の並び、下段が逆から並べた並びです。中央の5が上下の両方に出ていることに注目します。

誤答の手順は次のとおりでした。両端の組の和は1+9で10。項数は9個なので、9÷2を4.5とし、これを5組と切り上げる。10×5で50。この手順のどこが誤りでしょうか。

原因は、中央の5を「10の組がもう一組」として数えたことです。二列に並べたとき、5は上段にも下段にも現れます。その二つを並べて見ると5+5で10になり、他の組と同じ形に見えます。しかし実際にたすべき5は、一列分の5だけです。二列分の10をそのまま足すと、5を二回足したことになります。9÷2の4.5を5に切り上げた時点で、この二重計上が起きています。

修正します。組の数は、中央を除いた8個で作ります。

9 - 1 = 8
8 ÷ 2 = 4
10 × 4 = 40

4組で40です。中央の5は素の数で一度だけ足します。

40 + 5 = 45

答えは45です。同じ答えを、二列の方法でも確かめます。

10 × 9 = 90
90 ÷ 2 = 45

90は二列分の合計で、各数が2回ずつ現れています。2で割れば、中央の5も一度分に戻ります。図3の下に、正しい式と誤った式を並べました。10×4+5が45、10×5が50です。差の5が、二回数えた中央の5そのものです。

同じ誤りは、1から7まででも起こります。両端の和は8、組は(7-1)÷2で3組、8×3で24、中央の4を足して28です。中央を「8の組」として数えると8×4で32になり、4だけ大きくなります。中央の数が変わっても、誤差はいつも中央の数と同じだけ出ます。答えが合わないときに差が中央の数と一致したら、この型を疑います。

もう一つ、別の場所でつまずく型があります。項数を増え方の回数と取り違える型です。1から9までなら9-1で8回、これを8個として計算すると、10×8÷2で40になります。正しくは8回に1を足した9個です。この誤りは答えが45ではなく40になり、差の5は偶然にも中央の数と同じになります。差が中央の数だからといって、必ず中央の二重計上とは限りません。項数の式と組の式を、別々に書き出して確かめます。

練習問題

次の五問を、式を書いて解いてみましょう。答えはすべて整数になります。

一、2から40までの偶数をすべてたすときの和を求めなさい。

二、4、10、16、…、100と6ずつ増える並びの数を全部たすときの和を求めなさい。

三、1から順に1ずつ増える整数を□までたすと、和が210になりました。□にあてはまる数を求めなさい。

四、長い棚に本を並べます。1番目の区画に1冊、2番目の区画に5冊、3番目の区画に9冊と、4冊ずつ増やして20番目の区画まで並べました。本は全部で何冊ですか。

五、7から始まり3ずつ増える並びの、10番目から20番目までの数を全部たすときの和を求めなさい。

練習問題の答えと解き方

一、2、4、6、…、40の並びです。増え方は2です。

40 - 2 = 38
38 ÷ 2 = 19
19 + 1 = 20

項数は20個です。両端の和は42です。

2 + 40 = 42
42 × 20 = 840
840 ÷ 2 = 420

答えは420です。20個を10組に分けると、どの組も42で、42×10も420になります。

二、増え方は6です。項数を出します。

100 - 4 = 96
96 ÷ 6 = 16
16 + 1 = 17

項数は17個です。両端の和は104です。

4 + 100 = 104
104 × 17 = 1768
1768 ÷ 2 = 884

答えは884です。項数が17個の奇数なので、中央の数は9番目で一つに決まります。9番目は4に6を8回足した52です。組は8組で、104×8は832、これに52を足すと884になります。

三、1から□までの和は、(1+□)×□÷2と書けます。これが210なので、(1+□)×□が420です。掛けて420になる連続する二つの整数を探します。20×21が420なので、□は20です。

1 + 20 = 21
21 × 20 = 420
420 ÷ 2 = 210

確かめとして、1から20までを両端で組にすると、和が21の組が10組できます。21×10は210です。□は20で、整数として条件に合います。

四、区画の番号と冊数の並びは、1、5、9、…で増え方は4です。20番目の冊数を出します。

20 - 1 = 19
4 × 19 = 76
1 + 76 = 77

20番目は77冊です。項数は20個、両端の和は78です。

1 + 77 = 78
78 × 20 = 1560
1560 ÷ 2 = 780

答えは780冊です。20個を10組に分けると、どの組も78冊で、78×10も780になります。冊数はすべて整数で、最後の区画の77冊も条件どおりです。

五、10番目と20番目の数を出します。増え方は3です。

10 - 1 = 9
3 × 9 = 27
7 + 27 = 34

10番目は34です。

20 - 1 = 19
3 × 19 = 57
7 + 57 = 64

20番目は64です。項数は次のとおりです。

20 - 10 = 10
10 + 1 = 11

11個です。両端の和は98です。

34 + 64 = 98
98 × 11 = 1078
1078 ÷ 2 = 539

答えは539です。項数が11個の奇数なので、中央の6番目は7に3を14回足した49です。組は5組で、98×5は490、これに49を足すと539になります。

覚えておくこと

• 増え方が同じ並びでは、外側から組にしたどの組も和が同じになる。
• 和は、(最初+最後)×項数÷2で出る。÷2は、二列に並べて各数を2回ずつ数えた分を戻すための2。
• 項数は、(最後-最初)÷増え方+1。増やした回数に、最初の1個を足す。
• 項数が奇数でも、÷2を最後まで崩さなければ中央は一度だけ数えられる。
• 途中からの区間は、番号の引き算で項数を出し、全体から手前を引いて照合する。

つまずきの見分け方と確かめる場所

答えが正しい値の二倍になっているときは、÷2を忘れています。二列分の合計をそのまま答えにした形で、1から9までなら90になります。式の中に÷2があるかを、指でなぞって確かめます。

答えが少しだけ大きいときは、中央を二回足しています。大きい分がちょうど中央の数と同じなら、この型です。組の数に中央を混ぜていないか、組の和に中央を別に足していないかを、書き出した式で見ます。

項数が一つ少ないときは、+1を忘れています。1から21までを20個と数えると、21×22÷2ではなく20×22÷2になり、答えが11だけ小さくなります。増やした回数と項数の違いを、指で数えた表に戻します。

区間の和で答えが合わないときは、全体から手前を引く道筋でもう一度計算します。二つの答えが一致しなければ、項数の数え方か、番号から数を出す足し算のどちらかが誤っています。片方だけを直してもう一度合わせると、ずれた場所がはっきりします。

お子さまが式を書けているのに答えだけ違うときは、式の一行目に戻って、最初の数と最後の数、増え方、項数の三つを声に出して確かめてもらいます。三つが正しく、÷2まで残っていれば、答えは自然にそろいます。小さな並びで実際に足した数と、式の答えを並べて見せると、どの行がずれたのかを本人の言葉で説明できます。

真ん中の数は、並べ返した二列の上と下に一度ずつ現れます。そこを一組と数えなければ、奇数個の和も静かに決まります。