中学受験の算数 差が増える並び—差の表を一段作って次の数と遠い数を求める｜武蔵野個別指導塾

差が2ずつ増える並びで、8番目を差の列の14と答えた子が、増分を足して61へ戻るまでを一段ずつ書きこむ差の表です。

差が増える並びは、どんな問題で出るか

ノートに 2、5、10、17、26 と書き、その下に 3、5、7、9、11、13、15 と差を書きこんだお子さまが、「この並びの8番目はいくつ。」と聞かれて、答えの欄に 15 と書いてしまう。よくあるのは、このような場面です。もとの列の8番目は 65 で、15 は7番目と8番目の間の差にあたります。一生懸命計算しているのに答えだけがずれるのは、求めた数と求める数の行が入れかわっているからです。

この並びの問いは、大きく三つの型で出ます。一つ目は、差の列がそのまま示されて、次の数を求める問いです。差の列の次の数がわかれば、もとの列の最後の数にそれを足すだけで答えが出ます。二つ目は、差が一定の数ずつ増えるという規則が文で示され、遠い番目の数を求める問いです。差を必要な個数だけ書き出し、1番目の数から順に足します。三つ目は、ある数が並びに現れるか、現れるなら何番目かを調べる問いです。追い越すまで足し続け、狙った数の前後を確かめます。どの型でも、もとの列と差の列を分けて書き、答える行を指で確かめてから計算します。これから、差の表を一段下に作り、増分を足して戻す手順を、易しい順に確かめていきます。

差の表を一段下に作る考え方（図1）

並びのとなり合う数の間の差を、ここでは「差」と呼びます。2、5、10、17、26 の差は 3、5、7、9 です。この差が 3、5、7、9 のように、それ自体が同じ数ずつ増えていく並びを、差が増える並びとして扱います。差の列のとなり合う数を見ると、3から5へ2、5から7へ2、7から9へ2と、2ずつ増えています。図1のように、もとの列の下に差の列を一段だけ置くと、この増え方が目で追えます。

表の意味は、次の式で確かめられます。3番目の 10 は、1番目の 2 に 3 と 5 を足した数です。4番目の 17 は、2 に 3、5、7 を足した数です。同じように、8番目の 65 は、1番目の 2 に差の7個 3、5、7、9、11、13、15 を順に足した数になります。つまり、n番目の数は、1番目の数に差の(n-1)個を足したものだとわかります。

なぜ足し戻すと元の列になるのかも、一度は確かめておきたいところです。8番目までの差は、引き算で書くと 5-2、10-5、17-10、26-17、37-26、50-37、65-50 です。これを 2 に順に足すと、2+(5-2)=5、5+(10-5)=10、10+(17-10)=17 と、途中の数が消えて次の数だけが残ります。最後は 65 になります。差を足す操作は、一段ずつ階段を上る操作と同じで、足し忘れた差があれば途中の数が合わなくなります。だから検算では、となり合う数の差を引き算で取り出し、足し算で作った差の列と見比べます。

表を書くときは、1番目の下の差の欄を空けておきます。差は2番目の数から現れるからです。空けた欄を「0」や「2」で埋めると、差の個数が一つ増えて、遠い番目を求めるときにずれます。差の列が 4、7、10、13 と並んでいたら、7-4=3、10-7=3、13-10=3 と引き算をして、3ずつ増えていることを確かめます。増え方は、差の列の引き算で見つけられます。もとの列の引き算だけを見ていると、増え方の変化に気づきにくくなります。

問題文の規則は、言い方が変わっても同じことを指します。「差が2ずつ増える」は「差が 3、5、7、9 と続く」と同じで、「前の数との差が1ずつ大きくなる」とも書けます。読んだら、最初の三つの差を自分で書いて、増え方が同じ数になっているかを確かめます。増え方がそろっていれば、その数を足しながら先へ進めます。もし差の増え方がそろっていなければ、別の規則がないか問題文へ戻ります。規則を自分で作らず、書かれている条件だけを使うのが、差が増える並びの約束です。

差の列を一段下に作るよさは、増え方の規則が小さな数で見えることです。もとの列だけを見ていると、26の次が37なのか39なのか迷います。差の列を書いておけば、次の差が11、その次が13と決まり、足す順番も決まります。遠い番目を求めるときも、差を一つずつ書き出せば、足し忘れや二重に足す誤りを防げます。

ここで気をつけたいのは、規則を有限の数例から決めないことです。2、5、10、17、26 の五つだけを見て「次は37」と言うことはできます。しかし、この五つに当てはまる規則は一つではありません。差が 3、5、7、9 のあとに 20 になる規則を考えれば、次の数は 46 です。どちらも最初の五つは同じになります。だから、問題文に書かれた規則を読み、その規則だけを使って先を決めます。問題文に「差が2ずつ増える」とあれば、差は 11、13、15 と続くと決まります。

基本例題　差を一つずつ足して次の数を出す（図2）

5、7、11、17、25、… という並びがあります。差は 2、4、6、8、… と2ずつ増えていきます。このとき、7番目の数と10番目の数を求めなさい。

1番目から順に、差を足していきます。

1番目　5
2番目　5+2=7
3番目　7+4=11
4番目　11+6=17
5番目　17+8=25
6番目　25+10=35
7番目　35+12=47
8番目　47+14=61
9番目　61+16=77
10番目　77+18=95

7番目の数は 47、10番目の数は 95 です。10番目までに使う差は9個で、2から18までの偶数が一つずつ並びます。差の個数を先に数えておくと、足し算を途中でやめてしまったときに気づけます。

検算では、となり合う数の差を引き算で取り出します。7-5=2、11-7=4、17-11=6、25-17=8、35-25=10、47-35=12、61-47=14、77-61=16、95-77=18 となり、差が2ずつ増えています。足し算で作った差と、引き算で確かめた差が同じなので、数え落としはありません。

図2は、8番目までの数と差を並べた表です。差の列は数の間に置き、8番目の 61 までを目で追えるようにしています。10番目は図の続きとして、77、95 と二つ進んだ位置にあります。図の8番目の列と、計算で出した 61 が同じことを確かめてから、9番目、10番目へ進むと安心です。

差の列は、もとの列の真下に書くと対応が見やすくなります。数を横一列に並べ、その下に差を書き、差の位置を数の間にずらします。ずらした位置を見れば、どの差がどの二つの数の間にあるかが一目でわかります。図2も、このずらし方で二つの行を対応させています。

標準例題　初めて100をこえる数を探す

3、7、14、24、37、… という並びがあります。差は 4、7、10、13、… と3ずつ増えていきます。この並びで、初めて100をこえる数は何番目に現れ、その数はいくつですか。

差を順に足して、100の近くまで進めます。

1番目　3
2番目　3+4=7
3番目　7+7=14
4番目　14+10=24
5番目　24+13=37
6番目　37+16=53
7番目　53+19=72
8番目　72+22=94
9番目　94+25=119

8番目の 94 はまだ100をこえていません。9番目の 119 で初めて100をこえます。答えは9番目で、その数は 119 です。

足し算を始める前に、答えの大きさに見当をつけておくと、桁の誤りに気づけます。差は4から始まり、8個で25まで大きくなります。8番目は3に90前後を足した数になる、と見当をつけてから足すと、途中で十の位を落としたときに違和感が残ります。見当は計算の代わりではなく、答えを見直す合図です。実際の答えは、必ず差の表の値と足し算で決めます。

判断の分かれ目は二つあります。一つは「100をこえる」の意味です。100より大きい数を探すので、100ちょうどの数は含みません。もし100が並びに現れたら、その次の数を調べることになります。もう一つは、差を足す回数です。9番目の数を作るのに足した差は8個で、最後に足したのは25です。119を書いたあとに「25を足したから9番目」と数えるのではなく、1番目から数えて9番目と確かめます。

答えを問題の場面へ戻して検算します。119から差を逆に引くと、119-25=94、94-22=72、72-19=53、53-16=37、37-13=24、24-10=14、14-7=7、7-4=3 となり、1番目の3に戻ります。引いた差は 25、22、19、16、13、10、7、4 で、3ずつ減っています。足すときの差と逆向きの差がそろったので、位置と数の対応も合っています。

発展例題　遠い番目を、差の個数に気をつけて求める

6、9、16、27、42、61、… という並びがあります。差は 3、7、11、15、… と4ずつ増えていきます。12番目の数を求めなさい。

12番目までに使う差は11個です。差を11個書き出して、順に足します。

差　　3、7、11、15、19、23、27、31、35、39、43
1番目　6
2番目　6+3=9
3番目　9+7=16
4番目　16+11=27
5番目　27+15=42
6番目　42+19=61
7番目　61+23=84
8番目　84+27=111
9番目　111+31=142
10番目　142+35=177
11番目　177+39=216
12番目　216+43=259

12番目の数は 259 です。ここでの分かれ目は、差の個数です。12番目の数を作るのに使う差は11個で、12個ではありません。差を12個足すと13番目の数になります。差の列の最後の43は11番目の差で、これが12番目の数を作ります。項数と差の個数の対応を、指で数えてから足し算に入ると、このずれを防げます。

遠い番目を求める問題では、差の列を先に全部書いてから足し算に入ると、途中で規則を見失いません。差の列を書きながら足すと、11番目の差を書いたつもりで10番目までしか足していない、といった数え落としが起きます。差の列を別の行に完成させ、最後の差に印を付けてから、1番目に戻って足し始めます。

検算では、259から順に差を引きます。259-216=43、216-177=39、177-142=35、142-111=31、111-84=27、84-61=23、61-42=19、42-27=15、27-16=11、16-9=7、9-6=3 となり、1番目の6に戻ります。引いた差は 43 から 3 まで4ずつ減っていて、足すときの差の並びと一致します。遠い番目ほど、この逆向きの確かめが力を発揮します。

発展例題　前の数をたどって1番目を求める

差が3ずつ増える並びがあり、4番目が23です。差の最初は3です。このとき、1番目の数を求めなさい。

今度は、わかっている数から前へ戻ります。差は 3、5、7 と3ずつ増えるので、4番目と3番目の差は7、3番目と2番目の差は5、2番目と1番目の差は3です。4番目の23から、使った差を逆に引いていきます。

4番目　23
3番目　23-7=16
2番目　16-5=11
1番目　11-3=8

1番目の数は 8 です。前へ戻るときは、足した差をそのまま引きます。足す順番と引く順番は逆になりますが、差の値は変えません。

検算では、求めた1番目から前へ進みます。8、8+3=11、11+5=16、16+7=23 となり、4番目の23に戻ります。差の列は 3、5、7 で3ずつ増えています。前へ戻る計算と前へ進む計算の両方で同じ数が出ると、位置の対応も合っていると確かめられます。

前へ戻る計算でよくあるのは、差を足してしまう誤りです。4番目から3番目へ戻るとき、23に7を足して30としてしまうと、並びは前へ進んでしまいます。戻る向きを決めたら、矢印を左向きに書いておくと迷いません。また、どの差を使うかも位置で決まります。4番目と3番目の間の差は、差の列の3番目です。差の列の何番目を使うかを、指で数えてから引き算します。

1番目を求めたら、必ず前へ進んで元の数に戻るか確かめます。戻る計算だけを信じると、引く順番を入れかえた誤りに気づけません。前へ進む計算で4番目の23が出れば、1番目から4番目までの差の並びが正しく使えたことになります。

誤答を直す　差の列の値をそのまま答えにする（図3）

5、7、11、17、25、35、47、61、… という並びで、8番目の数を聞かれたとします。お子さまのノートには、差の列 2、4、6、8、10、12、14 が書かれ、答えの欄には 14 と書かれていました。正しい8番目は 61 です。14は7番目の差で、8番目の数そのものではありません。

原因は三つ重なっています。一つ目は、差の列が「増え方」を表す列で、もとの列の数ではないことです。二つ目は、8番目を聞かれて、7番目の差を答えていることです。三つ目は、表の行に名前がないため、最後に書いた数をそのまま答えの欄へ移してしまったことです。

修正の手順は決まっています。まず、表の左に「もとの列」「差の列」と行の名前を書きます。次に、質問の「8番目」に丸を付け、もとの列の8番目の欄を指で押さえます。最後に、47に14を足して 61 になることを確かめ、答えの欄には 61 と書きます。答えを書く前に、どの行の数なのかを一言で言わせると、取り違えは減ります。

ノートの書き方も、誤りを減らします。左端に「番目」、その右に「もとの列」、その下に「差の列」と三段に書き、質問された番目の列に縦線を引きます。答えの欄には、数だけでなく「もとの列の8番目」と添えます。数だけを書くと、あとで見返したときにどちらの列の数かわからなくなり、同じ取り違えを繰り返します。

同じ誤りは、別の条件でも起こります。10番目を聞かれて 18 と答えるのは、9番目の差を答えにした場合です。また「差はいくつずつ増えるか」と聞かれて 14 と答えるのは、差の列の値と増え方の区別がついていない印です。増え方は 2 で、14は差の列の最後の値です。図3は、差の列の14と、もとの列の61を左右に並べた図です。左の14は増え方の列の最後の数で、右の61が8番目の数にあたります。

練習問題

1. 10、12、16、22、30、… という並びがあります。差は 2、4、6、8、… と2ずつ増えます。7番目の数を求めなさい。
2. 4、9、17、28、… という並びがあります。差は 5、8、11、14 と3ずつ増えます。5番目の数を求めなさい。
3. 3、8、15、24、35、… という並びがあります。差は2ずつ増えます。80は何番目に現れますか。
4. 7、9、14、22、… という並びがあります。差は 2、5、8、11、… と3ずつ増えます。10番目の数を求めなさい。
5. 6、11、18、27、38、… という並びがあります。差は2ずつ増えます。100はこの並びに現れますか。現れない場合は、100の前後にある数を書きなさい。

答えと解き方

1. 差を順に足します。10、10+2=12、12+4=16、16+6=22、22+8=30、30+10=40、40+12=52。7番目の数は 52 です。使った差は6個で、2から12までの偶数です。検算では 52-40=12、40-30=10、30-22=8、22-16=6、16-12=4、12-10=2 となり、差が2ずつ減って10に戻ります。

2. 差を順に足します。4、4+5=9、9+8=17、17+11=28、28+14=42。5番目の数は 42 です。使った差は4個で、5から14まで3ずつ増えています。検算では 42-28=14、28-17=11、17-9=8、9-4=5 となり、差が3ずつ減って4に戻ります。

3. 差を順に足して80を探します。3、3+5=8、8+7=15、15+9=24、24+11=35、35+13=48、48+15=63、63+17=80。80は8番目に現れます。使った差は7個で、5から17までの奇数です。検算では 80-63=17、63-48=15、48-35=13、35-24=11、24-15=9、15-8=7、8-3=5 となり、差が2ずつ減って3に戻ります。

4. 10番目までに使う差は9個です。差は 2、5、8、11、14、17、20、23、26 と3ずつ増えます。7、7+2=9、9+5=14、14+8=22、22+11=33、33+14=47、47+17=64、64+20=84、84+23=107、107+26=133。10番目の数は 133 です。検算では 133-107=26、107-84=23、84-64=20、64-47=17、47-33=14、33-22=11、22-14=8、14-9=5、9-7=2 となり、差が3ずつ減って7に戻ります。

5. 差を順に足して、100を追い越すまで進みます。6、6+5=11、11+7=18、18+9=27、27+11=38、38+13=51、51+15=66、66+17=83、83+19=102。83は100より小さく、102は100より大きいので、100はこの並びに現れません。100の前後にある数は 83 と 102 です。差の列は 5、7、9、11、13、15、17、19 と2ずつ増えており、83と102の間に並びの数はありません。

覚えておくこと

• 差が増える並びは、もとの列と差の列を二段の表に分けて書く。
• 差の列は増え方を表し、答える数はもとの列にある。
• n番目の数を作るのに使う差は(n-1)個である。
• 遠い数は差を順に足して求め、規則は問題文の条件から読む。
• 値が現れるかは、追い越す前後の数で確かめる。

つまずきの見分け方と、確かめる場所

答えが差の列にしかない数になっていたら、行の取り違えを疑います。差の列に 14 があり、答えも 14 なら、増え方を答えにした可能性が高いです。「何番目」と聞かれたときに、差の列の何個目かを数えている場合も、同じ取り違えの仲間です。差を足す回数が1回多い、または少ないときは、項数と差の個数の対応がずれています。逆算の場面で差を引かずに足しているときは、進む向きと戻る向きが混ざっています。

確かめ方は五つあります。一つ目は、表の行に名前を声に出して書かせることです。二つ目は、質問の番号に丸を付け、もとの列の同じ番号へ線を引かせることです。三つ目は、求めた答えから差を逆に引いて、1番目に戻るか確かめさせることです。四つ目は、差の個数を指で数えさせることです。五つ目は、問題文の規則を、問題文の言葉のまま言い直させることです。どれも短い確認ですが、どの行を見たのかが本人の言葉で出てくるので、取り違えの癖が見つかります。

数が大きくなると、途中の足し算で位を取る場所が増えます。128と132のように近い数が出てきたら、差の列の値ともとの列の値を声に出して分けて読みます。声に出すと、どちらの列を読んでいるかが自分でもわかります。時間を区切って解くときも、差の表を書くところまでを一区切りにすると、行の取り違えが残りにくくなります。

答えが合っていても、どの行を見て答えたのかを聞いてみてください。合っている理由を説明できるお子さまは、数の位置が変わっても同じ手順を使えます。説明が「なんとなく」で止まるときは、差の表の行の名前と、差の個数の数え方まで戻って確かめると、次に同じ形の問題が出たときに自分で直せます。