中学受験の算数 分数が有限小数になる条件—約分後の分母から終わる割り算を見分ける｜武蔵野個別指導塾

約分してから分母を見ると、10や100でわり切れるかどうかが決まります。分母を2と5の積に分ける表を作り、終わる場合と続く場合を分ける手順を、自作の例題で一歩ずつたどります。約分後の分母が2と5だけでできていれば、その分数は有限小数です。

出方の三つの型と、約分のあとに見る場所

よくあるのは、ノートに書いた 6/15 を前にして、15は3で割れるからこの分数は終わらない、と答えてしまう場面です。ところが 6/15 は、分子と分母を3で割ると 2/5 になり、小数に直すと 0.4 で終わります。分母の見た目だけで決めると、こうした分数を取りこぼします。分数が有限小数になるかどうかは、約分したあとの分母がどんな材料でできているかで決まります。この順番を身につけると、割り算を最後まで書かなくても、終わるかどうかを言えるようになります。

出方の型は三つあります。一つ目は、分数を小数に直し、終わるか続くかを答える型です。二つ目は、並んだ幾つかの分数から、有限小数になるものをすべて選ぶ型です。三つ目は、小数を分数に戻し、分母や終わる位を問う型です。どの型でも、最初にすることが同じです。分子と分母を共通の数で割って、これ以上小さくできない形にしてから、分母を2と5の掛け算に分けるのです。約分を飛ばすと、2/5 のように材料が減る場合を見落とします。

この先の見通しを先に置きます。10という数は2と5を掛けてできています。だから、分母が2と5だけでできていれば、足りない2や5を補って10、100、1000にそろえられ、小数はそこで終わります。逆に、分母に3や7が残れば、10の累乗にそろえることができず、小数はいつまでも続きます。用語と考え方を確かめたあと、基本・標準・発展の例題で、この一つの決まりがどう働くかを見ていきます。最後に、約分前の分母で判断してしまう誤りを、同じ分母の二つの分数を並べて直します。

用語と考え方 — 10の累乗にそろえられる分母

有限小数とは、小数で表したときに、どこかの位で終わる数のことです。0.5、0.125、0.35 はどれも有限小数です。一方、0.3333… や 0.41666… のように、同じ数字の並びがいつまでも続く数を循環小数といいます。循環小数には、繰り返しが始まる前の部分があります。5/12 を割り算で小数に直すと 0.41666… となり、0.41 のあとから6が繰り返されます。終わるかどうかだけを問われたときは、この前の部分に気を取られないことが大切です。

分数を小数に直す基本は、分母を10、100、1000 のような10の累乗に変えることです。10の累乗とは、10を何回か掛けてできる数のことで、0の個数がそのまま小数の位の数になります。分母が10なら小数第1位、分母が100なら小数第2位、分母が1000なら小数第3位が、それぞれ最後の位になります。たとえば 9/20 は、分母と分子に5を掛けると 45/100 になり、0.45 と書けます。分母を変えたときに分数の大きさが変わらないのは、分子と分母に同じ数を掛けているからです。

ここで、20に5を掛ければ100になる理由を考えます。20は2を2つと5を1つ掛けた数です。10の累乗は2と5を同じ個数ずつ掛けた数なので、足りない5を1つ補えば、2を2つと5を2つ、つまり100になります。同じように、8は2を3つ掛けた数なので、5を3つ補えば1000になります。この「足りない材料を補う」という見方が、判断の中心になります。分母の材料が2と5だけであれば、必ず10の累乗にそろえられるのです。

反対に、分母に2でも5でもない数が残っている場合は、どうでしょうか。10の累乗をどんなに大きくしても、その材料は2と5だけです。だから、3や7や11が分母に残っていると、分子と分母に何を掛けても、その数を消すことはできません。約分しても消えない3が分母に残るなら、その分数は10の累乗にそろえられず、小数はいつまでも続きます。つまり、有限小数になる条件は、約分したあとの分母を素因数に分けたときに、2と5以外が出てこないことです。

判断の手順を、表で確かめます。まず分数を約分します。次に約分後の分母を2と5の掛け算に分けます。2と5だけでできていれば有限小数、それ以外が残れば循環小数です。下の表は、約分後の分母ごとに、10の累乗にできるかどうかをまとめたものです。同じ「終わる」でも、そろえる10の累乗が違うことに注意してください。

表の7行目までが、2と5だけでできている分母です。8行目の12だけが3を含み、10の累乗にできません。表を見ると、分母が大きくても有限小数になる場合があることがわかります。25は5を2つ掛けた数で、4を掛ければ100になります。7/25 は 28/100 なので 0.28 です。分母の大きさではなく、材料の種類で決まるのです。

図1のように、分数から約分へ進み、そのあとで分母の材料を二つに分けて見ます。この順番を図にして覚えると、判断を急いで誤ることを防げます。図1では、約分した分母が2と5だけであれば有限小数、ほかの数が残れば循環小数という分かれ方を示しています。

基本例題 — 分母を10の累乗に変えて書き切る

例題1　7/8 を小数に直しなさい。

分母の8は、2を3つ掛けた数です。10の累乗にそろえるには、5を3つ補って 2×2×2×5×5×5、つまり1000にします。8に125を掛けると1000になるので、分子の7にも同じ125を掛けます。

7/8 = (7×125)/(8×125) = 875/1000 = 0.875

最後に、0.875 が元の分数に戻るかを確かめます。0.875 は 875/1000 のことです。0.875 に8を掛けると 7.000 になり、元の分子の7に戻ります。分母と分子に同じ数を掛けているので、分数の大きさは変わっていません。

例題2　9/20 と 3/12 を小数に直しなさい。

9/20 の分母20は、2を2つと5を1つ掛けた数です。5が1つ足りないので、分母と分子に5を掛けます。9/20 = (9×5)/(20×5) = 45/100 = 0.45 です。0.45 に20を掛けると9.0 になり、元に戻ります。

3/12 は、そのままでは12に何を掛けても10の累乗になりません。12は2を2つと3を1つ掛けた数で、3が残るからです。しかし、分子と分母を3で割ると 1/4 になります。4は2を2つ掛けた数なので、25を掛ければ100です。3/12 = 1/4 = 25/100 = 0.25 となります。同じ分数でも、約分する前と後では分母の材料が変わることを、この二つは示しています。

図2は、7/8 の分母と分子に125を掛けて、分母を1000にそろえる流れを表しています。分母が1000になったとき、分子の875がそのまま小数の0.875になるわけではありません。875/1000 は、875を1000で割った数なので、小数点の位置を3つ左へ移して 0.875 と書きます。この位取りの移動を、図2の最後の矢印で確かめてください。

標準例題 — 分母の材料を分けて判定する

例題3　次の分数を小数に直し、有限小数か循環小数かを答えなさい。(1) 5/12　(2) 13/40　(3) 9/60

1. 5/12 は、分子の5と分母の12に共通の約数がありません。分母の12を分けると 2×2×3 で、3が1つ残ります。10の累乗にそろえられないので、循環小数です。実際に割り算をすると 5÷12 = 0.41666… となり、0.41 のあとから6が繰り返されます。3が残る分母では、割り算の余りが同じ並びをくり返すため、数字の列が途中から繰り返しになります。

割り算の筆算をたどると、循環する理由も見えます。5÷12 を進めると、50÷12 = 4 であまりが2、20÷12 = 1 であまりが8、80÷12 = 6 であまりが8 となります。あまりの8が同じところへ戻ったので、そのあとは同じ割り算の繰り返しです。だから 0.41666… のように、6が続きます。分母に2と5以外が残ると、割り算のあまりが0にならず、同じあまりの並びへ戻るため、循環小数になるのです。

2. 13/40 の分母40は、2×2×2×5 です。2と5だけでできているので有限小数になります。40に25を掛けると1000なので、分子の13にも25を掛けます。13×25 は、13×100 の4分の1と考えて 325 です。13/40 = 325/1000 = 0.325 となります。0.325 に40を掛けると13.000 に戻ります。

3. 9/60 は、まず約分します。9と60はどちらも3で割れるので、9/60 = 3/20 です。分母の20は 2×2×5 で、2と5だけです。20に5を掛けると100なので、3/20 = 15/100 = 0.15 となります。ここで約分をせずに60を見ると、60 = 2×2×3×5 で3が残り、循環小数と答えてしまいます。約分を先に行うかどうかが、答えを分けるのです。

判定の手順を言葉にすると、次の四つになります。まず分子と分母を共通の数で割れるだけ割ります。次に、約分後の分母を2と5の掛け算に分けます。そして、2と5以外の数が出てこないかを見ます。出てこなければ10の累乗にそろえて小数に直し、出てくれば循環小数と答えます。この順番を守ると、9/60 のような分数でも、60のまま判断せず、3/20 にしてから考えられます。

分かれ目は、分母が10の累乗かどうかではありません。40も20も10の累乗ではありませんが、どちらも有限小数になります。反対に、6は10の累乗ではありませんが、1/6 は 0.1666… と循環します。大切なのは、約分したあとの分母を10の累乗に変えられるかどうかです。10の累乗に変えられるかは、分母の材料が2と5だけかどうかで決まります。この二つを混同すると、13/40 を「40は10の累乗ではないから終わらない」と誤って切り捨ててしまいます。

例題4　次の分数のうち、有限小数になるものをすべて選びなさい。また、選んだ分数を小数に直しなさい。7/40、11/24、13/125、15/36、33/44

7/40 の分母40は 2×2×2×5 で、2と5だけです。40に25を掛けると1000なので、7/40 = 175/1000 = 0.175 となります。11/24 の分母24は 2×2×2×3 で、3が残ります。10の累乗にできないので、11/24 は循環小数です。13/125 の分母125は5を3つ掛けた数で、8を掛けると1000です。13×8 = 104 なので、13/125 = 104/1000 = 0.104 です。15/36 は、まず3で約分して 5/12 になります。12 = 2×2×3 で3が残るので、循環小数です。33/44 は11で約分して 3/4 になります。4 = 2×2 なので、25を掛けて 75/100 = 0.75 です。

選ぶときは、それぞれの分母を材料に分けてから、2と5以外が出ないものだけを残します。答えは 7/40、13/125、33/44 の三つです。15/36 と 33/44 は、約分してから判断します。とくに 33/44 は、約分前の44だけを見ると11が残って見えますが、11で割ると3/4になり、有限小数になります。五つの中から選ぶ問題では、一つずつ約分と材料分けを書くと、選び漏れと選び過ぎの両方を防げます。

発展例題 — 小数から分数へ戻す、終わる位を決める

例題5　0.625 を、これ以上約分できない分数で表しなさい。また、その分母が2と5だけでできていることを確かめなさい。

0.625 は小数第3位で終わるので、分母を1000にして 625/1000 と書けます。分子と分母を共通の数で割ります。625と1000は、どちらも25で割れます。625÷25 = 25、1000÷25 = 40 なので 25/40 です。さらに5で割ると 5/8 になります。5と8に共通の約数はないので、これ以上は約分できません。求める分数は 5/8 です。

分母の8は 2×2×2 で、2だけでできています。つまり5を3つ補えば1000にそろえられる分母です。実際、5/8 = (5×125)/(8×125) = 625/1000 = 0.625 となり、元の小数に戻ります。小数から分数へ戻すときも、最後に分母の材料を見れば、有限小数になる分数かどうかを自分で確かめられます。

例題6　7/200 を小数に直し、小数第何位で終わるか答えなさい。

分母の200は、2×2×2×5×5 です。2が3つ、5が2つなので、5が1つ足りません。200に5を掛けると1000になるので、分子の7にも5を掛けます。7/200 = (7×5)/(200×5) = 35/1000 = 0.035 です。分母が1000なので、小数第3位で終わります。0.035 に200を掛けると 7.000 に戻ります。

ここで、終わる位を先に知る方法をまとめます。約分後の分母が2をa個、5をb個掛けた数なら、10の累乗はaとbの大きいほうの回数だけ用意すれば足ります。200は2が3個、5が2個なので、大きいほうの3回、つまり1000までそろえます。8は2が3個、5が0個なので、同じく3回で1000です。20は2が2個、5が1個なので、2回で100です。この見方をすると、割り算をしなくても終わる位が決まります。

表のどの行も、2の個数と5の個数の大きいほうが、そろえる10の累乗の0の個数になっています。7/8 は5の個数が0ですが、2が3個あるので1000までそろえます。9/20 は2が2個、5が1個なので、足りない5を1つ補って100です。この表の見方を覚えると、小数に直す前に「第何位で終わるか」を言えます。

誤答の実例と直し方 — 約分前の分母で決めてしまう

よくある誤りの一つ目は、約分する前の分母だけで判断することです。6/15 を見て、15は2と5だけでできていないから循環小数だ、と答える場面があります。しかし 6/15 は、分子と分母を3で割ると 2/5 になります。5は5だけでできているので、2/5 = 4/10 = 0.4 と終わります。15という分母だけを見ると、約分で消える3が残って見えるのです。

同じ分母15でも、7/15 は違います。7と15に共通の約数はないので、これ以上約分できません。15 = 3×5 で3が残るため、7/15 は 0.4666… と循環します。分母が同じでも、分子によって約分の結果が変わり、判断が変わるのです。ここが「分母だけを見る」やり方の限界です。分子を無視してよいのは、約分が終わったあとだけです。

図3のように、6/15 と 7/15 を並べると、同じ15という分母から出発しても、約分できるかどうかで反対の結論になることが見えます。6/15 は約分して 2/5 になり、0.4 で終わります。7/15 は約分できず、3が残るので 0.4666… と続きます。二つの分数の違いは、分子の6と7だけです。分母の見た目ではなく、約分したあとに何が残るかを見る必要があります。

もう一つの誤りは、分母が10、100、1000のどれかでないと有限小数にならない、と決めつけることです。1/8 の分母8は10の累乗ではありませんが、125を掛けると1000になるので 0.125 と終わります。10の累乗に「そろえられるか」を見るのであって、はじめから10の累乗である必要はありません。この決めつけは、13/40 や 9/20 のような分母を、理由もなく循環小数の側へ追いやってしまいます。

三つ目の誤りは、分母だけを10の累乗に変えて、分子に同じ数を掛け忘れることです。7/8 の分母に125を掛けて1000にしたとき、分子の7に125を掛けなければ、分数の大きさが変わってしまいます。7/8 は 7÷8 で 0.875 ですが、分子を7のままにして 7/1000 と書くと 0.007 になり、まったく別の数です。分母を変えるときは、必ず分子にも同じ数を掛けます。この確認は、答えの検算でもう一度行えます。

これらの誤りの原因は、判断の順番を逆にしていることにあります。先に分母の見た目で決めてから、約分を後で行うと、2/5 のように材料が減る場合を見落とします。直し方は、必ず約分を先に行い、そのあとで分母を2と5の積に分けることです。3が1つでも残ったら循環、2と5だけなら有限、と最後に一度だけ決めます。判断を一回に絞ると、途中で迷うことがなくなります。

練習問題

1. 3/8 を小数に直しなさい。

2. 次の分数のうち、有限小数になるものをすべて選び、それぞれ小数に直しなさい。7/18、11/25、14/35

3. 0.44 を、これ以上約分できない分数で表しなさい。

4. 約分すると 4/25 になる分数で、約分する前の分母が150であるものを求めなさい。また、それを小数に直しなさい。

5. 1/16 を小数に直し、小数第何位で終わるか答えなさい。

答えと解き方

1. 分母の8は 2×2×2 なので、5を3つ補って1000にそろえます。3/8 = (3×125)/(8×125) = 375/1000 = 0.375 です。検算として 0.375 に8を掛けると 3.000 になり、元の3に戻ります。

2. 有限小数になるのは 11/25 と 14/35 です。11/25 は分母と分子に4を掛けて 44/100 = 0.44 になります。14/35 は7で約分して 2/5 になり、2/5 = 4/10 = 0.4 です。7/18 は 18 = 2×3×3 で3が残るため、7÷18 = 0.3888… と循環します。三つのうち、約分が必要なのは 14/35 だけです。

3. 0.44 は小数第2位で終わるので、44/100 と書けます。44と100を4で割ると 11/25 です。11と25に共通の約数はないので、これ以上は約分できません。検算として 11÷25 を計算すると 0.44 に戻ります。分母の25は5を2つ掛けた数なので、有限小数になる分数でもあります。

4. 4/25 の分子と分母に同じ数を掛けて、分母を150にします。150÷25 = 6 なので、分子にも6を掛けて 4×6 = 24 です。求める分数は 24/150 です。24と150を6で割ると 4/25 に戻ります。小数に直すと、4/25 = 16/100 = 0.16 です。24/150 を直接計算しても 0.16 になり、二つの表し方が同じ数であることを確かめられます。

5. 分母の16は 2×2×2×2 なので、5を4つ補って10000にそろえます。16に625を掛けると10000です。1/16 = (1×625)/(16×625) = 625/10000 = 0.0625 です。小数第4位で終わります。検算として 0.0625 に16を掛けると 1.000 に戻ります。2が4個で5が0個なので、10の累乗は4回、つまり10000まで用意します。

覚えておくこと

• 有限小数かどうかは、約分したあとの分母で決まります。
• 約分後の分母が2と5だけでできていれば、10の累乗にそろえられ、小数は終わります。
• 2と5以外の数が残れば、10の累乗にできないので循環小数になります。
• 10の累乗にそろえるときは、足りない2や5を分母と分子の両方に掛けます。
• 終わる位は、分母の2の個数と5の個数のうち大きいほうで決まります。

つまずきの見分け方と、確かめる場所

つまずきは四つに分かれます。一つ目は、約分をせずに判断している場合です。分母に3や7が見えた瞬間に循環と答えるときは、分子との共通の約数がないかを確かめさせます。二つ目は、10の累乗にそろえる操作がわからない場合です。分母に何を掛ければ10、100、1000になるかを、8なら125、20なら5、25なら4、と具体例で言わせます。三つ目は、分子と分母で違う数を掛けてしまう場合です。分数の大きさが変わってしまうので、同じ数を掛けたかを必ず見ます。四つ目は、終わる位を決めるときに、2の個数と5の個数を足したり、小さいほうを取ったりする場合です。10の累乗は2と5を同じ個数ずつ含むので、足りないほうを補い、多いほうの個数に合わせます。分母が8なら2が3個で5が0個ですが、5を3つ補って1000にするので、小数第3位で終わります。

確かめるときは、答えだけでなく途中の分母を見ます。たとえば 9/60 を 0.15 と答えたお子さまには、60のままでは10の累乗にできないことを説明できるか、3/20 に約分したことを言葉にできるかを聞きます。説明が「なんとなく」で止まるなら、分母の材料を書き出す表に戻します。表に2と5以外が出たら循環、出なければ有限、と自分で判定できるようになれば、遠い桁の問題にも進めます。判断の順番を声に出して確かめると、どこで止まるかが見えます。

約分したあとに残る材料が、小数の終わり方を見分ける鍵になります。