中学受験の算数 範囲内の分数—分母を固定して既約の条件に合う分子を数える｜武蔵野個別指導塾

二つの分数に挟まれた範囲で、分母を決めて分子を1つずつ調べ、これ以上約せない分数だけを残す手順を、小学生の表で説明します。境目の分数を含めるかを先に決めるのが分かれ目で、最後に残る候補は既約です。

よくあるのは、1/3より大きく5/6より小さい分数を求めるとき、境目の1/3や5/6まで答えに入れてしまう場面です。範囲の端を含めるかどうかと、その分数が約せるかどうかは、別々に決める必要があります。二つの判断を一度に済ませようとすると、数えすぎたり、逆に約せる数を除き忘れたりします。

この単元では、分母が決まっているときに、範囲に入る分子を並べ、その中から分母と共通の約数を持つ分子を除く、という順番を身につけます。分数の大きさを比べる場面と、約分できるかを見る場面を分けて表にすると、どこで間違えたのかが行として残ります。表の行を上から順に読めば、答えに着くまでの道筋をそのまま説明できます。

出方の型と見通し

問題の出方は大きく三つに分かれます。一つ目は、分母を固定して、指定した範囲に入る既約分数をすべて書かせる型です。二つ目は、同じ条件で個数だけを問う型で、候補が多いときに表の整理力が試されます。三つ目は、「以上」「以下」と「より大きい」「より小さい」の違いを境目に置く型です。どの型でも、範囲をはさむ作業と、約せる数を除く作業の二段構えになります。

最初に範囲を共通の分母で表し、次に分子の候補を順に並べ、最後に分母との共通の約数を調べます。この順番を崩さないことが、数え落としを防ぐ近道です。分母を変えて比べようとすると、比べるたびに約分が必要になり、判断が混ざります。

用語と考え方

分母をそろえて範囲をはさむ

分数の大きさを比べるときは、分母をそろえると見やすくなります。1/3と5/6を分母12で表すと、1/3は4/12、5/6は10/12です。分母と分子に同じ数をかけても分数の大きさは変わらないので、1/3の分母と分子に4をかけて4/12、5/6の分母と分子に2をかけて10/12と直せます。

このとき、範囲に入る分子は4より大きく10より小さい数、つまり5、6、7、8、9です。端の4と10は、問題が「より大きい」「より小さい」なら含めません。「以上」「以下」なら含めます。まずこの端の判断を済ませ、そのあとで約分の判断に移ります。端を含めるかどうかで候補の端が変わるだけで、真ん中の候補の並びは変わりません。

図1のように、数直線に分母12の目盛りを置くと、範囲と候補の位置が一度に見えます。目盛りの間隔は1/12ずつで、5/12と7/12が残り、6/12、8/12、9/12は約せます。数直線では、範囲の外側と内側、約せる数と約せない数を色分けして確かめます。

既約分数は分母との共通の約数で決まる

既約分数とは、分子と分母に1以外の共通の約数がない分数です。分母が12のとき、12は2でも3でも割り切れます。したがって、分子が2の倍数か3の倍数なら、分母と分子を同じ数で割れて、まだ約せます。分子が2の倍数でも3の倍数でもなければ、12との共通の約数は1だけなので、その分数は既約です。

分母が18なら2と3、分母が20なら2と5、分母が15なら3と5を確かめます。分母の約数をすべて書き出す必要はなく、小さい素数から順に、分子がその数で割り切れるかを見れば足ります。ただし、分子が5の倍数でも、分母が5で割り切れなければ約せません。共通の約数かどうかは、分子だけでなく分母との組み合わせで決まります。

範囲の端が目盛りの間にくるときは、端を内側へ寄せて考えます。たとえば分母12で、3/5より大きい範囲を調べるなら、3/5は7/12と8/12の間にあるので、候補は8/12から始めます。3/5と7/12を比べるには、60にそろえて36/60と35/60にすれば、3/5のほうが大きいとわかります。目盛りの間に端があるときも、共通の分母で比べれば、候補の始まりを正確に決められます。

既約分数だけを数える理由

同じ大きさの分数は、分母を変えて何通りにも書けます。6/12、5/10、4/8、3/6、2/4、1/2はどれも同じ大きさです。分母を12に固定して範囲を調べるとき、6/12を答えに残すと、1/2と同じ大きさの分数を分母12の形でもう一度数えたことになります。既約分数だけを数えるのは、同じ大きさの分数を一つの表し方に決めて、重複を避けるためです。

既約分数は、同じ大きさの分数をこれ以上約せない形にしたものです。分母を12に固定した問題では、分子と分母の共通の約数が1だけの形を指します。5/12は分母12の既約分数で、同じ大きさを分母24で表すと10/24になりますが、10/24は24と10の共通の約数2で約せるので、分母24の既約分数ではありません。問題が「分母12の既約分数」と言っているのか、「大きさが5/12の分数」と言っているのかを読み分けると、答えの形を取り違えません。

数直線を自分で書くときは、まず0と1の位置を決め、その間を分母の数だけ等分します。分母12なら12等分し、1/12ずつ目盛りを打ちます。次に、範囲の端を表す分数を同じ分母に直し、どの目盛りの間にあるかを確かめます。最後に、候補の目盛りに印を付け、約せる目盛りには別の印を付けます。二種類の印を分けると、範囲の判断と約分の判断が混ざりません。

なぜ小さい素数から確かめるのか

分母が36のとき、36の約数は1、2、3、4、6、9、12、18、36です。すべての約数について分子を割れるか調べるのは手間がかかります。しかし、36を割り切る素数は2と3だけです。分子が4で割り切れるなら、4は2で割り切れるので、2を調べた時点で共通の約数が見つかります。9で割り切れる場合も、9は3で割り切れるので、3を調べれば見つかります。約数が素数だけでできていると考えれば、2と3の二つを確かめるだけで、ほかの約数との共通性も見落としません。

ただし、この省略が使えるのは、分母を割り切る素数をすべて確かめるときです。分母が30なら2、3、5、分母が28なら2、7を調べます。分母が素数のときは、その素数自身だけを調べれば足ります。分母の素因数を小さい順に書き出し、そのそれぞれで分子が割り切れるかを見る、という手順にすると、調べる数を固定できます。

端が目盛りの間にある場合

範囲の端が分母の目盛りと目盛りの間にあるときは、端を内側へ寄せて候補の始まりを決めます。分母12で、3/5より大きく5/6より小さい既約分数を考えると、5/6は10/12ですが、3/5はそのままでは分母12の目盛りに乗りません。3/5と7/12を60にそろえて比べると、3/5は36/60、7/12は35/60なので、3/5のほうが大きいとわかります。3/5と8/12なら、36/60と40/60で、8/12のほうが大きいとわかります。

したがって、3/5より大きい候補は8/12から始まります。5/6より小さい候補は9/12までです。8/12は2/3、9/12は3/4に約せるので、この範囲には分母12の既約分数がありません。候補が二つあるのに答えが0個になることもあります。端が目盛りの間にある問題では、候補の個数と答えの個数を別に数え、答えが0個でも驚かないようにします。

基本例題

分母が12で、1/3より大きく5/6より小さい既約分数をすべて書きなさい。

まず、二つの境目を分母12で表します。1/3は4/12、5/6は10/12です。どちらも「より大きい」「より小さい」なので、端の4/12と10/12は含めません。分子の候補は5、6、7、8、9の五つです。

次に、それぞれの分子と12との共通の約数を調べます。5は12と共通の約数が1だけなので残ります。6は12と6で約せます。7は12と共通の約数が1だけなので残ります。8は12と4で約せます。9は12と3で約せます。

図2のように、分子、分数、12との約数、判定を一行ずつ並べると、どの候補が残るかが明確になります。表の「12との約数」が1の行だけを答えにします。

答えは5/12と7/12です。確かめとして、5/12は4/12より大きく10/12より小さいので範囲に入ります。7/12も同じ範囲に入ります。6/12は1/2、8/12は2/3、9/12は3/4に約せるので、分母12の既約分数ではありません。答えの二つを分母12のまま約そうとしても、これ以上は約せません。

別の見方でも確かめられます。分母12の既約分数を小さい順に並べると、1/12、5/12、7/12、11/12です。この並びから4/12より大きく10/12より小さいものを拾うと、5/12と7/12だけが残ります。分子を一つずつ調べた結果と、既約分数の一覧から拾った結果が一致します。

標準例題

分母が20で、3/20以上7/20以下を満たす既約分数をすべて書きなさい。

境目がすでに分母20で表されているので、分子の候補は3、4、5、6、7です。「以上」「以下」なので、両端の3/20と7/20も候補に入れます。ここで端を外すと、3/20と7/20が答えから落ちてしまいます。

20は2でも5でも割り切れます。3は2の倍数でも5の倍数でもないので残ります。4は2の倍数なので約せます。5は5の倍数なので約せます。6は2の倍数なので約せます。7は2の倍数でも5の倍数でもないので残ります。

答えは3/20と7/20です。3/20と7/20を分母20のまま約そうとしても、3も7も20の約数2、5と共通の約数を持たないので、これ以上は約せません。端の分数を候補に入れる前に、その分数が既約かどうかを確かめておくと、端を含める問題でも判断がぶれません。もし問題が「3/20より大きく7/20より小さい」なら、候補は4、5、6の三つになり、どれも2か5で約せるので、当てはまる既約分数はありません。端を含めるかどうかで、答えがある場合とない場合に分かれます。

別の数え方でも確かめられます。分母20の既約分数を小さい順に並べると、1/20、3/20、7/20、9/20、11/20、13/20、17/20、19/20です。この並びから3/20以上7/20以下を拾うと、3/20と7/20の二つになります。分子だけを調べた結果と、既約分数の一覧から拾った結果が一致するので、数え落としはありません。

発展例題

分母が36で、1/4より大きく5/6より小さい既約分数は何個ありますか。

1/4を分母36で表すと9/36、5/6を分母36で表すと30/36です。どちらも端を含めないので、分子の候補は10から29までの20個です。36は2でも3でも割り切れるので、この20個から2の倍数と3の倍数を除きます。

10から29までを順に見ると、2の倍数は10、12、14、16、18、20、22、24、26、28です。3の倍数は12、15、18、21、24、27です。両方に入る12、18、24は一度だけ除きます。残るのは11、13、17、19、23、25、29の七つです。25は5の倍数ですが、36は5で割り切れないので、25/36は約せません。

答えは7個です。別の確かめとして、分母36の既約分数の分子を一巡りさせます。36と共通の約数を持たない分子は、1、5、7、11、13、17、19、23、25、29、31、35の12個です。このうち10から29までに入るのは、11、13、17、19、23、25、29の七つで、先に数えた結果と一致します。

候補の20個を、2の倍数と3の倍数の個数から求めることもできます。10から29までの20個のうち、2の倍数は10個、3の倍数は6個、両方の倍数は3個です。20個から10個を引き、さらに6個を引き、重ねて引いた3個を足すと、7個になります。三つの数え方が同じ答えを指すので、表の一行を見落としていないと判断できます。

この問題のように候補が多いときは、すべての分数を書き並べるより、2の倍数と3の倍数を機械的に除くほうが速く、抜けも見つけやすくなります。除いた数と残した数を表の同じ列に置くと、二重に除いた数があっても気づけます。

誤答の実例と直し方

基本例題で、5/12、6/12、7/12、8/12、9/12の五つを答えにした答案があります。範囲に入る分子をすべて並べた点は正しいのですが、6/12、8/12、9/12が約せることを確かめていません。原因は、範囲をはさむ作業で満足して、分母との共通の約数を調べる作業を飛ばしたことです。

別の答案では、4/12から10/12までの七つを答えにしています。これは端の4/12と10/12を範囲に含めたうえに、約分の確認もしていません。二つの誤りが重なると、正しい二つに対して五つも多く数えてしまいます。端の判断と約分の判断は、どちらも一行ずつ確かめる必要があります。

図3のように、範囲に入る数を左に並べ、約せる数を除いた結果を右に置くと、どこで数えすぎたかが見えます。左の五つのうち、約せる三つに印を付け、残る二つだけを答えにします。

同じ誤りは、分母20の標準例題でも起こります。3/20以上7/20以下で、3、4、5、6、7の五つをそのまま答えにすると、4/20、5/20、6/20を残してしまいます。正しくは3/20と7/20の二つです。分母が変わっても、範囲に入る候補を並べたあとに、分母の約数で割れる分子を除く手順は変わりません。

答案を見直す順番

答案を書いたあとは、次の三つを順に確かめます。一つ目は、問題文の「以上」「以下」と「より大きい」「より小さい」を読み直し、端を含めたかどうかです。二つ目は、分子の候補を最初から最後まで順に書き、抜けた数がないかどうかです。三つ目は、残した分数の分子と分母に共通の約数がないかどうかです。

見直しのときに、答えをもう一度最初から計算し直すと、同じ勘違いを繰り返すことがあります。まず表の行を指で追い、候補の列が連続しているかを見ます。次に、残した分数だけを分母の約数で割ってみて、どれも割り切れないことを確かめます。この二つの作業は、計算をやり直すよりも短い時間で、数えすぎと数え落としの両方を見つけられます。

端を含める問題では、端の分数がその分母で既約かどうかも確かめます。「以上」「以下」だからといって、端の分数が必ず答えに入るわけではありません。端の分数が約せるなら、その分数は既約分数の条件を満たしません。範囲の判断と約分の判断を別の行に書いておくと、この混同を防げます。

練習問題

1. 分母が16で、3/8より大きく7/8より小さい既約分数をすべて書きなさい。
2. 分母が15で、1/3以上4/5以下を満たす既約分数は何個ありますか。
3. 分母が40で、1/4より大きく9/10より小さい既約分数のうち、分子が最も小さいものを答えなさい。
4. 分母が24で、5/12以上3/4以下を満たす既約分数をすべて書きなさい。
5. 分母が28で、2/7より大きく5/7より小さい既約分数は何個ありますか。

練習問題の答えと解き方

1. 3/8は6/16、7/8は14/16です。端を含めないので、分子は7から13までです。16は2で割り切れるので、2の倍数を除きます。残るのは7、9、11、13で、答えは7/16、9/16、11/16、13/16の四つです。どれも分子が奇数なので、16との共通の約数は1だけです。

2. 1/3は5/15、4/5は12/15です。端を含めるので、分子は5から12までです。15は3でも5でも割り切れるので、3の倍数と5の倍数を除きます。5、6、9、10、12が除かれ、残るのは7、8、11です。答えは3個です。7/15、8/15、11/15が条件を満たします。

3. 1/4は10/40、9/10は36/40です。端を含めないので、分子は11から35までです。40は2でも5でも割り切れるので、2の倍数と5の倍数を除きます。11は2の倍数でも5の倍数でもないので、最も小さい分子は11です。答えは11/40です。11/40は10/40より大きく36/40より小さいので、範囲に入ります。

4. 5/12は10/24、3/4は18/24です。端を含めるので、分子は10から18までです。24は2でも3でも割り切れるので、2の倍数と3の倍数を除きます。10、12、14、15、16、18が除かれ、残るのは11、13、17です。答えは11/24、13/24、17/24の三つです。どれも24との共通の約数は1だけです。

5. 2/7は8/28、5/7は20/28です。端を含めないので、分子は9から19までです。28は2でも7でも割り切れるので、2の倍数と7の倍数を除きます。9、11、13、15、17、19が残り、14は2の倍数でも7の倍数でもあるので除きます。答えは6個です。

覚えておくこと

• 範囲はまず共通の分母にそろえ、分子の候補を順に並べる。
• 「以上」「以下」は端を含み、「より大きい」「より小さい」は端を含まない。
• 既約かどうかは、分子と分母の共通の約数で決まる。
• 分母の約数のうち、小さい素数から確かめると除く数を整理できる。
• 端を含める判断と約す判断を分けると、数えすぎと数え落としを防げる。

つまずきの見分け方と個別指導で確かめる箇所

端の判断でつまずくお子さまは、答えに境目の分数が入っていたり、逆に端の分数を落としていたりします。問題文の「以上」「以下」と「より大きい」「より小さい」に印を付けさせ、端を含めるかどうかを先に言葉で説明させます。そのうえで、端の分数を候補の列のどこに置くかを指で確かめます。

約分の確認でつまずくお子さまは、範囲に入る分子をすべて答えにしてしまいます。分母の約数を小さい順に書き、それぞれで分子が割り切れるかを一問ずつ聞きます。分母12なら2と3、分母20なら2と5のように、確かめる数を絞ってから表を作ると、全部の約数を暗記する必要はありません。

数え落としが見られるお子さまは、候補の列が途中で飛んでいたり、順番が前後していたりします。分子を1つずつ書き、最後の数から最初の数を引いて1を足した数と、実際に書いた個数が合うかを確かめさせます。範囲の端が目盛りの間にある問題では、共通の分母に直してから候補の始まりを決める練習をします。

端が目盛りの間にある問題でつまずくお子さまは、候補の始まりを1目盛りずらします。3/5が7/12と8/12の間にあるとき、7/12を含めてしまったり、9/12から始めてしまったりします。二つの分数を同じ分母に直し、どちらが大きいかを言葉で説明させてから、候補の最初の目盛りに印を付けます。端を含めない問題では、印を付けた目盛りそのものを候補から外すことも一緒に確かめます。

個別指導では、25/36が約せない理由を説明できるかを確かめます。分母36が5で割り切れないため、分子25が5の倍数でも共通の約数にならない、と言えれば理解が定着しています。反対に、6/12が1/2に約せる理由を、分母と分子の両方を6で割る操作として説明できるかも見ます。説明が止まった箇所が、そのお子さまの次に練習する一歩です。

境目を先に決め、約せる数を後から除く。この順番を守ると、範囲内の分数を数えるときに、どこで数えすぎたのかが表の行として残ります。