中学受験の算数 周期の位置—一組の長さと余りから指定位置の模様を決める｜武蔵野個別指導塾

色や記号が同じ組でくり返す列では、組の長さで割った余りが指定位置の模様を教えてくれます。余りが0のときは組の終わりへ戻る読み方が分かれ目になり、同じ模様に戻る間隔が周期です。

よくあるのは、色を塗った長いテープを前にして、子どもが「割り切れたから、また最初の色だろう」とつぶやく場面です。手元には赤・青・黄・緑の帯が順に並んでいるのに、96番目の色を赤と書いてしまいます。テープを4色ずつ区切って指で数えれば、96番目は緑です。遠い位置ほど、この一区切りの取り方が答えを分けます。

ここで扱うのは、同じ組がくり返す列の、指定した位置の模様です。色でも記号でも数字でも、見方は変わりません。組の長さで割った商と余りを読み、余りが0のときだけ組の終わりへ戻る。その一手間を、表と図で身につけます。割り算の確かめはかけ算で戻せるので、計算が苦手でも手順を一つずつ追えます。

くり返しの列は、三つの聞き方で出る

一つ目は、色や記号が一定の組でくり返す列で、指定した位置の色や記号を答える聞き方です。画用紙のテープ、運動会の旗、しおりのスタンプなど、目で見える並びが題材になります。答えるのは「何色か」「どの記号か」で、組の番号は問いません。

二つ目は、その位置が何組目の何番目にあたるかを答える聞き方です。色そのものではなく、組の番号と中の順番を取り出します。余り0のときだけ組の番号が増えない点と、余りがあるときは組の番号が一つ進む点が、この聞き方の分かれ目です。

三つ目は、同じ模様になる位置どうしの関係を使う聞き方です。同じ色になる位置の差は、組の長さの倍数になります。1000番目と同じ数が次にどこで出るかを、割り算をやり直さずに決められます。位置を一つずつ書き出すのではなく、差と組の長さの関係で遠くまで見渡します。

どの聞き方も、最初にする作業は同じです。組の長さを確定し、位置を1番目から数えることを確かめ、割り算の余りを組の中の順番に置き換えます。この三つを毎回書いてから答えを出すと、遠い位置でも手順が崩れません。逆に、この三つのどれかを省くと、式は合っているのに答えだけがずれる事故が起きます。

組の長さと余りが位置を決める

同じ並びが繰り返されるとき、その一つの並びを一組といい、一組に含まれる個数を組の長さといいます。たとえば赤・青・黄・緑の4色がこの順で繰り返すなら、組の長さは4です。くり返しのまとまりのことを周期と呼ぶこともあります。周期という言葉は、一組の長さと、その組が戻ってくる間隔の両方を指して使われます。

位置は1番目から数えます。0番目から数える約束は使いません。この約束を先に決めておくと、余りと順番の対応が一つに固定されます。問題文に「1番目は赤」とあれば、その1がスタートです。スタートを0と取り違えると、すべての位置が一つずつずれます。

位置を組の長さで割ると、商と余りが出ます。商は「その位置までに何組が終わったか」、余りは「次の組の何番目か」を表します。ただし余りが0のときは、次の組に進まず、ちょうど終わった組の最後の位置です。ここがこの単元の中心で、多くの誤答がこの一行から生まれます。

位置をn、組の長さをLとすると、n = L × 商 + 余りと書けます。余りが1以上なら、その余りが組の中の順番です。余りが0なら、順番はL番目です。割り算の答えをそのまま順番にしないで、0のときだけLに置き換える、と覚えると迷いません。式の形は一つで、0のときだけ読み替えが入る、という見方が大切です。

ノートでは、位置、組の番号、組の中の順番の三つを列にした表を書くと整理できます。位置の列を1から順に書き、組の番号を組の長さごとに1ずつ増やし、中の順番を1から組の長さまで繰り返します。この表を10行ほど書けば、余りと順番の対応が自分で作れます。

図1のように、1組目と2組目を並べ、番号を1から振ると、余りと順番の対応が目で確かめられます。4色の列では、余り1が1番目、余り2が2番目、余り3が3番目、余り0が4番目です。余り0の欄だけが組の終わりを指していることを、指でなぞって確かめてください。

図1の下段は、割り算の余りをそのまま組の中の順番に読み替える表です。この一行を飛ばすと、割り切れる位置だけ答えが一つ手前へずれます。表の並びと、上の色の帯の並びを上下に目で結ぶと、読み替えの理由が見えます。

なぜ余りで順番が決まるのかは、組を何度も引く操作で説明できます。8番目を知りたいとき、4色の組を1つ引くと位置は4だけ小さくなり、色は変わりません。8から4を引くと4、もう一度引くと0になります。0になったときの位置は、引いた最後の組の終わりです。この引き算を一度にまとめたものが割り算で、商は引けた回数、余りは引き切れずに残った位置です。

この見方を使うと、位置をずらしても同じ手順で答えられます。50番目と46番目は、4を引いた関係なので同じ色です。逆に、4より小さい差なら、色は必ず変わります。差が組の長さの倍数かどうかで、同じ模様かどうかを判定できます。この判定は、後の発展例題でそのまま使います。

基本例題 色テープの50番目と96番目

画用紙を細長く切ってテープを作り、赤・青・黄・緑の4色をこの順でくり返し塗ります。1番目は赤です。50番目の色と96番目の色を求めます。答えは色の名前で書き、途中の割り算も書きます。

組の長さは4です。位置は1番目から数えます。まず50番目を4で割ります。

50 ÷ 4 = 12 あまり 2

商の12は、50番目の手前で12組が終わったことを表します。余りの2は、13組目の2番目という意味です。組の中の2番目は青です。だから50番目は青です。

確かめに、12組の終わりを計算します。4 × 12 = 48で、48番目が12組目の最後、つまり緑です。その次が49番目の赤、50番目が青になります。前から数えても、割り算の答えと一致します。この確かめは、商と余りの読みが正しいかを一秒で判定できます。

96 ÷ 4 = 24 あまり 0

余りが0です。このときは次の組へ進まず、24組目がちょうど終わった位置が96番目です。組の最後は4番目の緑です。だから96番目は緑です。

こちらも確かめます。4 × 24 = 96で、24組目の最後が96番目です。95番目は黄、96番目は緑、97番目は赤です。96番目を赤としたくなったときは、96番目が組の終わりであることを、この並びで確認してください。

図2のように、式の下に「何組目の何番目か」を書き、最後に色へ置き換えると、途中で迷いません。余り0の行だけ、組の番号を増やさずに順番を4にする点が違います。二つの行を並べて見ると、式は同じで、読み替えだけが変わることに気づけます。

商と余りを分けて書くのは、答えを二段階で確かめるためです。商からは組の終わりの位置がわかり、余りからは組の中の順番がわかります。二つを別々に書いておけば、色を取り違えたときに、どちらの段階で間違えたのかを切り分けられます。

別の確かめ方として、96番目から4を引いて戻る方法があります。96、92、88と4ずつ引くと、どの位置も緑です。最後に4を引くと0になり、0は組の終わりを表します。この戻り方でも緑に着きます。前から数える確かめと、後ろから戻る確かめの両方が同じ答えを出せば、読み替えは安定しています。

標準例題 何組目の何番目かを答える

掲示用のカードに、○、△、□、●、☆の5つの記号をこの順でくり返し印刷します。1番目は○です。137番目は何組目の何番目で、どの記号ですか。また、137番目と同じ記号で、137番目より小さい最も近い位置は何番目ですか。

組の長さは5です。まず137番目を5で割ります。

137 ÷ 5 = 27 あまり 2

商の27は、137番目の手前で27組が終わったことを表します。余りが2なので、137番目は28組目の2番目です。ここで「27組目の2番目」と書かないようにします。27組はすでに135番目で終わっているからです。

28組目の2番目は△です。だから137番目は、28組目の2番目の△です。色や記号を答えるときも、組の番号と中の順番を一度書くと、後の確かめが楽になります。

確かめます。5 × 27 = 135で、135番目が27組目の最後の☆です。136番目が○、137番目が△になります。数え直しても一致します。余りが2のときは、商の組の次の組に入る、という読みがここで固定されます。

同じ記号が次に来るのは、組の長さ5だけ後の位置です。137 + 5 = 142が次の△です。137番目より小さい側では、137 − 5 = 132番目が最も近い△です。

確かめます。132 ÷ 5 = 26 あまり 2で、27組目の2番目の△です。137番目は28組目の2番目なので、組の番号が一つ違い、中の順番は同じです。同じ記号になる位置どうしは、組の長さの倍数だけ離れています。この関係は、位置を一つずつ書き出さなくても、引き算と足し算だけで遠くの位置へ届くことを示しています。

この例題の分かれ目は、商を組の番号としてそのまま使わないことです。余りが1以上あるときは、商に1を足した組の中に目標の位置があります。余りが0のときだけ、商がそのまま組の番号になります。二つの場合を並べて書くと、違いが見えます。式の答えを出すたびに「余りは0か」と自問する習慣が、この分かれ目を越える助けになります。

発展例題 1000番目と、同じ数に戻る位置

ある列は、3、8、2、7、5の5つの数をこの順でくり返し並べたものです。1番目は3です。1000番目の数を求めてください。また、1000番目と同じ数になる位置を、1000番目より大きい側から1つ、小さい側から3つ書いてください。

組の長さは5です。1000番目を5で割ります。

1000 ÷ 5 = 200 あまり 0

余りが0なので、1000番目は200組目の最後、5番目です。5番目の数は5です。だから1000番目は5です。余り0の読み替えが、この例題でもそのまま使えます。

確かめます。5 × 200 = 1000で、200組目がちょうど1000番目で終わります。199組目の最後は995番目で、その数も5です。994番目は7、995番目は5、996番目は3、997番目は8、998番目は2、999番目は7、1000番目は5になります。数え直しても5です。

同じ数になる位置は、組の長さ5の倍数だけ離れています。1000番目より大きい側で最も近いのは、1000 + 5 = 1005番目です。1005番目は201組目の5番目で、数は5です。1000番目が組の最後なので、次の組の最後が次の同じ数になります。

1000番目より小さい側では、5ずつ引きます。995番目、990番目、985番目が同じ5です。それぞれ199組目、198組目、197組目の5番目にあたります。三つとも組の最後なので、割り算の余りは0になります。

表にすると、位置991から1000までの並びは、3、8、2、7、5、3、8、2、7、5です。991番目から995番目が199組目で、996番目から200組目が始まり、1000番目がその最後の5です。組の境目に縦線を入れておくと、組の最後と次の組の最初を取り違えません。この表と割り算の商を並べると、余りがある位置では商が組の番号より一つ小さいことも目で確かめられます。

別の数え方として、1000番目から5を引く操作を3回行い、そのつど数を確かめます。995 ÷ 5 = 199 あまり 0で199組目の最後、990 ÷ 5 = 198 あまり 0で198組目の最後、985 ÷ 5 = 197 あまり 0で197組目の最後です。どれも5番目の5に戻ります。位置を引くたびに組の番号が一つ減るだけで、中の順番は5のままです。

組の長さが3だったら、と条件を変えてみます。同じように割り算をすると、余り0の位置は3番目の数を指します。組の長さが変われば、同じ1000番目でも商と余りが変わり、答えの数も変わります。式の形は同じで、入れる数だけが変わることを確かめてください。この切り替えができると、問題ごとに組の長さを読み取る作業が自然になります。

誤答の実例 余り0を最初に戻す・組の番号を一つ少なく取る

よくある誤答は、96番目を求めて「96 ÷ 4 = 24 あまり 0。余りが0だから1番目の赤」と書くものです。原因は、余り0を「何も残らないのだから最初に戻る」と読んだことにあります。0という数字の見た目に引っ張られ、割り切れた位置が組の終わりであることを飛ばしています。

余り0は、割り切れたという意味です。割り切れた位置は、終わった組の最後にあたります。4色の組なら4番目の緑です。だから96番目は緑です。図3のように、余り0の矢印だけを組の終わりへ向けて書くと、この取り違えが減ります。同時に、0を「何もない」ではなく「ちょうど終わった」と声に出して読む練習も効きます。

もう一つの誤答は、137番目を「137 ÷ 5 = 27 あまり 2。だから27組目の2番目」と書くものです。原因は、商をそのまま組の番号にしたことです。27組は135番目で終わっており、137番目はその次の組に入っています。商は終わった組の数であって、目標の位置が入っている組の番号ではありません。

余りが1以上なら、組の番号は商に1を足します。28組目の2番目が正しい読み方です。余り0のときだけ、商がそのまま組の番号になります。この二つの場合を、同じ式の下に並べて書くと違いが残ります。ノートの余白に「余りあり→組の番号+1」「余り0→そのまま」と書き添えるのも一つの方法です。

条件を変えて、組の長さが3の列で位置14を考えます。14 ÷ 3 = 4 あまり 2なので、5組目の2番目です。これを「4組目の2番目」とすると、4組は12番目で終わっているため、位置が2つずれます。余りがあるときは組の番号を一つ進める、という同じ修正が使えます。組の長さが変わっても、直し方の形は変わりません。

図3の左は余り0の直し方、右は組の番号の直し方を並べています。どちらも、式は正しく立っているのに、式の後の読み替えだけが違います。誤答を消すのではなく、どの行で読み替えを間違えたのかを指で示せると、同じ誤りが次に減ります。

組の長さを取り違える誤りも同じ場所から生まれます。赤・青・黄・緑の列で、5番目の赤を「1組目の5番目」と数えて組の長さを5にしてしまうと、96 ÷ 5 = 19 あまり 1となり、1番目の赤と答えてしまいます。原因は、繰り返しの境目の赤を、前の組の続きとして数えたことです。組の長さは、色が一巡して最初の色に戻るまでの個数で決めます。赤が2回目に出るのが5番目なら、組の長さは5ではなく4です。この数え直しを一度させるだけで、割り算そのものが変わります。

開始番号を取り違える誤りもあります。位置を0番目から数えると、すべての位置が1つずれます。50番目を0から数えて49として扱うと、49 ÷ 4 = 12 あまり 1で1番目の赤となり、正しい青と食い違います。問題文に1番目と書いてあれば、割り算の前に1から数えることを確認します。開始番号は、式を立てる前の確認項目です。

練習問題

練習1　花壇に、あか、あお、きいろ、しろ、むらさきの5色の花をこの順でくり返し植えます。1番目はあかです。77番目の花の色を答えてください。

練習2　しおりに、◇、◎、△、▽、□、☆の6つのスタンプをこの順でくり返し押します。1番目は◇です。100番目は何組目の何番目で、どのスタンプですか。

練習3　計算カードに、6、1、9、4の4つの数をこの順でくり返し書きます。1番目は6です。250番目の数と256番目の数を答えてください。

練習4　運動会の旗を、あか、しろ、あおの3色の順でくり返し掲げます。1番目はあかです。20番目と同じ色になる位置を、20番目より大きい側から3つ答えてください。

練習5　組の長さが6の記号の列があります。位置50の記号は、1組の中で何番目にあたりますか。また、その記号が最初に出てくる位置は何番目ですか。位置は1番目から数えます。

答えと解き方

練習1の答えは、あおです。77 ÷ 5 = 15 あまり 2なので、16組目の2番目です。2番目はあおです。確かめると、5 × 15 = 75で75番目が15組目の最後のむらさき、76番目があか、77番目があおになります。組の終わりから数えても同じ色に着きます。

練習2の答えは、17組目の4番目の▽です。100 ÷ 6 = 16 あまり 4なので、17組目の4番目です。6つの並びの4番目は▽です。確かめると、6 × 16 = 96で96番目が16組目の最後の☆、97番目が◇、98番目が◎、99番目が△、100番目が▽になります。商をそのまま組の番号にしない点が、この問題の分かれ目です。

練習3の答えは、250番目が1、256番目が4です。250 ÷ 4 = 62 あまり 2なので、63組目の2番目です。並びの2番目は1です。次に256 ÷ 4 = 64 あまり 0なので、64組目の最後の4番目です。並びの4番目は4です。確かめると、62組の終わりは4 × 62 = 248で248番目が4、249番目が6、250番目が1です。64組の終わりは4 × 64 = 256で、256番目が4です。二つの位置で、余りがある場合と余り0の場合を続けて確かめられます。

練習4の答えは、23番目、26番目、29番目です。20 ÷ 3 = 6 あまり 2なので、7組目の2番目です。2番目はしろです。同じ色になる位置は、組の長さ3の倍数だけ離れます。20より大きい側では、23番目、26番目、29番目です。確かめると、23 ÷ 3 = 7 あまり 2、26 ÷ 3 = 8 あまり 2、29 ÷ 3 = 9 あまり 2で、どれも2番目のしろです。三つとも組の番号だけが増え、中の順番は2のままです。

練習5の答えは、1組の中では2番目で、最初に出てくる位置は2番目です。50 ÷ 6 = 8 あまり 2なので、9組目の2番目です。同じ記号が最初に出るのは、組の長さ6より前の位置で、2番目です。確かめると、位置2の記号は2番目にあたり、その次は2 + 6 = 8番目、さらに14番目と続きます。50番目は2 + 6 × 8 = 50で、9組目の2番目として一致します。最初の位置と遠い位置が、組の長さの倍数で結ばれています。

五問とも、割り算の商と余りを出し、余り0のときだけ組の終わりへ戻る手順で解けます。答えを出した後、組の終わりの位置をかけ算で戻すと、読み替えの誤りが見つかります。式と確かめの両方を書く習慣が、遠い位置の問題での取りこぼしを防ぎます。

覚えておくこと

• 位置は1番目から数え、組の長さで割る。
• 商は終わった組の数、余りは次の組の中の順番。
• 余りが0のときは、その組の最後の位置。
• 余りが1以上のときは、組の番号は商に1を足す。
• 同じ模様になる位置の差は、組の長さの倍数。

つまずきの見分け方と、確かめる場所

余り0の位置だけを間違えるお子さまは、式と答えの間に「組の終わり」という言葉が抜けています。ノートを見ると、96 ÷ 4 = 24 あまり 0の下に、いきなり赤と書いてあるはずです。このときは、4色の帯を実際に4つ書かせ、24組目の最後に指を置かせます。帯を書く作業は、数字だけを見ているときの思い込みを外します。

組の番号を一つ少なく取るお子さまは、商をそのまま組の番号にしています。137 ÷ 5 = 27 あまり 2の下に「27組目」と書いていたら、135番目がどの組の最後かを確かめさせます。27組が135番目で終わることを自分で計算できれば、28組目という読みに直せます。式の商と、組の番号を分けて書く欄を作るのも効きます。

確かめる場所は三つです。一つは、問題文の1番目が何かを指で押さえられるか。二つは、余り0のときに組の番号を増やさずに済むと説明できるか。三つは、出した答えから組の長さを引いて、同じ模様に戻ることを自分で試せるか。この三つが言えれば、位置の決め方は身についています。言えないときは、帯を書く作業に戻します。

同じ模様になる位置の差が組の長さの倍数になることは、二つの列を並べる問題でも使います。まずは一つの列で、差と組の長さの関係を表に書き出しておくと、次に進んだときに迷いません。位置を一つずつ数える方法と、差で見る方法のどちらでも同じ答えに着くことを、一度は並べて確かめておくとよいです。

余りが0になった瞬間に指を組の終わりへ戻す——その一動作が、遠い位置の模様を手元の一組へ引き寄せます。