中学受験の算数 N進法への直し方—まとまりを作る割り算の余りを下の位から並べる｜武蔵野個別指導塾

割り算の商をさらに割って余りを下の位から並べる手順を 45 の列で追い、2 や 3 をまとまりの単位にして位の重みで数を表す書き方がN進法です。

出方の型と見通し

よくあるのは、割り算の列で出た余りを、出た順にそのまま左から書いてしまうという場面です。十進法の 45 を二進法に直すとき、余りが 1、0、1、1、0、1 の順に出たので「101101」と書きます。ところが、この数はたまたま左右が同じ並びで、書き方を間違えても同じ答えに見えてしまいます。数字の並びが左右対称でない数では、この書き方では答えが変わってしまうのです。

出方の型は三つあります。一つ目は、十進法の整数を二進法や三進法に直す型で、「二進法で表しなさい」という問い方になります。二つ目は、二進法や三進法で書かれた数を十進法に戻す型で、「十進法で表しなさい」という問い方になります。三つ目は、途中に 0 が続く数や、位が一つ増える数を扱う型で、判断の分かれ目はこの三つ目に集まります。

見通しは四つの手順です。位の重みを確かめる、まとまりの数で割る、余りを下の位から並べる、最後に十進法へ戻して確かめる。この順番は、二進法でも三進法でも、もっと大きなまとまりの進法でも変わりません。まずは、なぜ割り算の余りが位になるのかを、位の重みの表から見ていきます。

型ごとに、最後に確かめる場所が変わります。十進法から直す型では、できた数字を位の重みで戻して、元の数と同じかを確かめます。N進法から戻す型では、戻した数をその進法で割り直して、元の数字の並びに戻るかを確かめます。行きと帰りで同じ数になれば、位の並びは正しいと言えます。

用語と考え方

十進法では、10 個集まるごとに一つ上の位へ進みます。352 という数は、100 が 3 個、10 が 5 個、1 が 2 個という意味で、3×100 + 5×10 + 2×1 と書けます。ふだん使う数字は、この「10 個で一つ上へ」の決まりにしたがって並んでいます。

二進法では、2 個集まるごとに一つ上の位へ進みます。使える数字は 0 と 1 だけで、2 という数字は位に書けません。位の重みは、右から 1、2、4、8、16、32、64 と、2 倍ずつ増えていきます。

三進法では、3 個集まるごとに一つ上の位へ進みます。使える数字は 0、1、2 の三つで、3 は位に書けません。位の重みは、右から 1、3、9、27、81 と、3 倍ずつ増えていきます。

位の重みが決まると、同じ数字でも置かれた位置で大きさが変わります。二進法の 10 は 2、三進法の 10 は 3、十進法の 10 は 10 です。数字の形が同じでも、まとまりの大きさが違うので、表す数は変わります。

まとまりの大きさを N とした書き方を N進法と呼びます。N は 2 以上の整数で、十進法は N が 10 の場合です。位に書ける数字は、0 から、N の一つ手前の数までです。三つの進法の位の重みを並べると、次の表になります。

図1のように、45 という同じ数を二つの進法で並べると、十進法では 10 が 4 個と 1 が 5 個、三進法では 27 が 1 個、9 が 2 個、3 が 0 個、1 が 0 個になります。位の重みは「まとまりの数」を表していて、その重みがいくつ集まるかが、位に書く数字になります。

ここで割り算が登場します。45 ÷ 2 = 22 余り 1 という計算は、45 の中に 2 のまとまりが 22 個あり、まとめられない 1 個が残るという意味です。この余りの 1 が、二進法の一番下の位、つまり 1 の位になります。次に 22 ÷ 2 = 11 余り 0 を計算すると、22 の中の 2 のまとまりが 11 個で、余りは 0 個です。この 0 が 2 の位になります。

同じ調子で、11 ÷ 2 = 5 余り 1、5 ÷ 2 = 2 余り 1、2 ÷ 2 = 1 余り 0、1 ÷ 2 = 0 余り 1 と続けます。余りは 1、0、1、1、0、1 の順に出ますが、これは小さい位から大きい位への順です。最初の余りは 1 の位、次の余りは 2 の位、その次は 4 の位というように、位は上へ上がっていきます。

なぜ、割り算の余りが小さい位から出るのでしょうか。45 を 2 で割った余りは、2 のまとまりをいくつ作っても残る分です。この残りは、どれだけ大きな位を考えても消えません。だから最初の余りは、必ず一番下の位を決めます。商の 22 は 2 のまとまりの個数なので、これをさらに 2 で割ると、2 のまとまりを 2 つずつ集めて 4 のまとまりを作る計算になり、余りが 2 の位を決めます。その次は 4 のまとまりを 2 つずつ集めて 8 のまとまりを作り、余りが 4 の位を決めます。位は一つずつ上へ移り、余りも小さい位から順に出てくるのです。

0 という余りも、大切な位です。0 は「その位にまとまりが一つもない」ことを示します。0 を書かずに飛ばすと、隣の位の数字が一つずつずれて、位の重みが変わってしまいます。十進法で 305 と 35 が別の数であるのと同じように、二進法でも 0 の位置は数の大きさを決めます。

割り算を使わずに、位の重みを大きい方から当てはめる方法もあります。45 に 32 は入るので 32 の位を 1 にし、残りは 13 です。16 は入らないので 16 の位は 0、8 は入るので 8 の位を 1 にして残りは 5、4 は入るので 4 の位を 1 にして残りは 1、2 は入らないので 2 の位は 0、1 は入るので 1 の位を 1 にします。並べると 101101 で、割り算の列と同じ答えです。どちらかの方法で答えを出し、もう一方で確かめると、位の取り違えが見つかります。

逆に、二進法の 101101 を十進法に戻すときは、位の重みを掛けて足します。右から 1、2、4、8、16、32 を当てはめ、1×32 + 0×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 です。戻した数が元の数と一致すれば、位の並びも合っています。

戻す計算を表にすると、位と数字と積の対応が一目で分かります。

掛けた数を足すと 45 です。位の重みと数字を一列ずつ対応させると、どの位を掛け忘れたかが見つかります。0 の位も表に残すと、位がずれません。

基本例題

例題1　色紙が 45 枚あります。2 枚ずつの束にまとめるとき、45 を二進法で表しなさい。

割り算の列を一行ずつ書きます。

• 45 ÷ 2 = 22 余り 1
• 22 ÷ 2 = 11 余り 0
• 11 ÷ 2 = 5 余り 1
• 5 ÷ 2 = 2 余り 1
• 2 ÷ 2 = 1 余り 0
• 1 ÷ 2 = 0 余り 1

余りを出た順に並べると 1、0、1、1、0、1 です。最初の余り 1 が 1 の位、次の 0 が 2 の位、次の 1 が 4 の位、次の 1 が 8 の位、次の 0 が 16 の位、最後の 1 が 32 の位になります。左から順に 32、16、8、4、2、1 の位になるので、答えは 101101 です。

確かめます。1×32 + 0×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 となり、元の色紙の枚数に戻りました。

図2のように、割り算の列の右側に余りを書き、下から上へ読むと 101101 になります。列を書くときに余りを右にそろえておくと、最後の並べ替えで迷いません。

45 の余りは 1、0、1、1、0、1 で、たまたま左右が同じ並びです。だから、この数だけで練習すると、並べる向きの誤りに気づけません。向きの確認には、後の誤答の例のように、左右が同じでない数を使います。

例題2　同じ 45 枚の色紙を、こんどは 3 枚ずつの束にまとめます。45 を三進法で表しなさい。

• 45 ÷ 3 = 15 余り 0
• 15 ÷ 3 = 5 余り 0
• 5 ÷ 3 = 1 余り 2
• 1 ÷ 3 = 0 余り 1

余りは 0、0、2、1 の順に出ました。最初の 0 が 1 の位、次の 0 が 3 の位、次の 2 が 9 の位、最後の 1 が 27 の位です。左から位の重みを並べると 27、9、3、1 なので、答えは 1200 です。

確かめます。1×27 + 2×9 + 0×3 + 0×1 = 27 + 18 = 45 です。三進法では 3 以上の数字を使わないので、位に書く数字が 0、1、2 のどれかであることも確かめます。

二つの例題で、手順が変わるのは割る数だけです。二進法なら 2 で割り、三進法なら 3 で割ります。手順そのものは同じで、余りを下の位から並べる点も同じです。同じ 45 でも、二進法では 101101、三進法では 1200 と、桁数も数字も変わります。

45 は 32 以上 64 未満なので、二進法では 32 の位が一番上になり、6 桁です。三進法では 27 以上 81 未満なので、27 の位が一番上になり、4 桁です。割り算の回数も、二進法は 6 回、三進法は 4 回で、桁数と一致しています。

三進法の 1200 では、1 の位と 3 の位が 0 です。45 を 3 で割った余りが 0、その商の 15 を 3 で割った余りも 0 だからです。0 が二つ続いても、位は一つずつ進んでいます。

標準例題と発展例題

例題3　カードが 68 枚あります。2 枚ずつの束にまとめるとき、68 を二進法で表しなさい。

• 68 ÷ 2 = 34 余り 0
• 34 ÷ 2 = 17 余り 0
• 17 ÷ 2 = 8 余り 1
• 8 ÷ 2 = 4 余り 0
• 4 ÷ 2 = 2 余り 0
• 2 ÷ 2 = 1 余り 0
• 1 ÷ 2 = 0 余り 1

余りは 0、0、1、0、0、0、1 の順です。これを下の位から並べると、答えは 1000100 です。

確かめます。1×64 + 0×32 + 0×16 + 0×8 + 1×4 + 0×2 + 0×1 = 64 + 4 = 68 です。この数では、途中に 0 が三つ続きます。0 は「その位にまとまりが一つもない」という意味なので、飛ばさずに書きます。もし 0 を飛ばして 10001 と書くと、16 + 1 = 17 という別の数になってしまいます。

桁数は、一番大きな位の重みで見当をつけられます。68 は 64 以上 128 未満なので、二進法では 64 の位が一番上になり、7 桁です。割り算の回数も 7 回で、桁数と一致しています。

例題4　荷札に、三進法で 2102 と書かれています。十進法ではいくつですか。

位の重みを右から 1、3、9、27 と並べます。

2×27 + 1×9 + 0×3 + 2×1 = 54 + 9 + 0 + 2 = 65

答えは 65 です。反対向きに直して確かめます。

• 65 ÷ 3 = 21 余り 2
• 21 ÷ 3 = 7 余り 0
• 7 ÷ 3 = 2 余り 1
• 2 ÷ 3 = 0 余り 2

余りを下の位から並べると 2102 となり、元の荷札の数字に戻りました。位の重みを掛けて足す計算と、割り算の列は、同じ数の表と裏の関係にあります。

例題5　鉛筆が 100 本あります。3 本ずつの束にまとめるとき、100 を三進法で表しなさい。

• 100 ÷ 3 = 33 余り 1
• 33 ÷ 3 = 11 余り 0
• 11 ÷ 3 = 3 余り 2
• 3 ÷ 3 = 1 余り 0
• 1 ÷ 3 = 0 余り 1

余りは 1、0、2、0、1 の順です。下の位から並べると、答えは 10201 です。確かめます。1×81 + 0×27 + 2×9 + 0×3 + 1×1 = 81 + 18 + 1 = 100 です。

位の数は、割り算をした回数と同じになります。この例では 5 回割ったので 5 桁です。100 は 81 以上 243 未満なので、81 の位が一番上になることも、桁数の見当と合っています。商が 0 になるまで割ったかを、桁数でも確かめられます。

100 の三進法 10201 を戻す計算を、位ごとに確かめます。81 が 1 個、27 が 0 個、9 が 2 個、3 が 0 個、1 が 1 個で、81 + 18 + 1 = 100 です。0 の位を飛ばすと、掛ける重みの並びがずれるので、0 の位にも重みがあることを意識します。

同じ 45 を三つの進法で並べると、次の表になります。

まとまりの数が大きいほど、必要な位は少なくなります。二進法は 2 個でまとめるので位が増え、十進法は 10 個でまとめるので位が少なくなります。桁数が変わるのは、数の大きさが変わったからではなく、まとまりの大きさが変わったからです。

例題6　二進法で 110101 と書かれた数を、十進法で表しなさい。

1×32 + 1×16 + 0×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 32 + 16 + 4 + 1 = 53

答えは 53 です。反対向きに直して確かめます。

• 53 ÷ 2 = 26 余り 1
• 26 ÷ 2 = 13 余り 0
• 13 ÷ 2 = 6 余り 1
• 6 ÷ 2 = 3 余り 0
• 3 ÷ 2 = 1 余り 1
• 1 ÷ 2 = 0 余り 1

余りを下の位から並べると 110101 となり、元の数に戻りました。位の重みを掛けて足す計算と、割り算の列は、同じ数の表と裏の関係にあります。

誤答から直す

誤答の例です。75 を三進法に直すとき、割り算の列は次のようになります。

• 75 ÷ 3 = 25 余り 0
• 25 ÷ 3 = 8 余り 1
• 8 ÷ 3 = 2 余り 2
• 2 ÷ 3 = 0 余り 2

ここで余りを出た順に左から書くと 0122 です。これを十進法に戻すと、0×27 + 1×9 + 2×3 + 2×1 = 0 + 9 + 6 + 2 = 17 となり、75 にはなりません。

原因は、余りが出る順と、位が並ぶ向きを取り違えたことです。余りは 1 の位から順に出るので、出た順は右から左へ並べる向きです。正しくは、最初の余り 0 を一番右に、次の 1 をその左に、次の 2 をさらに左に、最後の 2 を一番左に置きます。答えは 2210 です。

確かめます。2×27 + 2×9 + 1×3 + 0×1 = 54 + 18 + 3 = 75 です。位の重みで戻すと元の数になるので、こちらが正しいと分かります。

図3のように、割り算の列の右に余りを書き、矢印を下から上へ向けて読むと、並べる向きを間違えません。出た順に左から書いた 0122 は、位の重みで戻すと 17 になり、元の 75 とは別の数です。

同じ誤りは、割る数が 2 のときにも起こります。30 を二進法に直すと、余りは 0、1、1、1、1 の順に出ます。出た順に左から書くと 01111 で、十進法では 15 です。正しく下の位から並べると 11110 で、16 + 8 + 4 + 2 = 30 になります。

この表の二つの行を比べると、同じ余りの列でも、並べる向きだけで別の数になることが分かります。一番上の位に 0 を置かないことも、あわせて確かめます。

別の誤りに、使えない数字を書いてしまう間違いがあります。二進法で使えるのは 0 と 1 だけ、三進法で使えるのは 0、1、2 だけです。二進法の位に 2 を書いたら、それはまだまとめられる合図なので、一つ上の位へ繰り上げます。三進法の位に 3 を書いた場合も同じです。

もう一つ、商と余りを取り違える誤りがあります。45 を二進法に直す列で、45 ÷ 2 の答えを「22 余り 1」ではなく「1 余り 22」と書いてしまうと、余りが割る数の 2 より大きくなります。割り算では、余りは必ず割る数より小さくなります。余りが割る数以上になったら、まだまとまりが作れる合図なので、計算を見直します。

途中の 0 を飛ばす誤りもよく起こります。例題3 の 68 は二進法で 1000100 でした。この三つの 0 を飛ばして 10001 と書くと、十進法で 17 になり、68 とは別の数になります。0 も一つの位として数えることが、桁をそろえる鍵です。

練習問題

次の 5 問を解きなさい。答えは、問題で指定した進法の数字で書き、途中の 0 も残しなさい。解くときは、割り算の列をノートに書き、余りを右にそろえてから並べなさい。

1. ビー玉が 26 個あります。2 個ずつの袋に分けるとき、26 を二進法で表しなさい。
2. 画用紙が 40 枚あります。3 枚ずつの束にまとめるとき、40 を三進法で表しなさい。
3. 折り紙が 82 枚あります。3 枚ずつの束にまとめるとき、82 を三進法で表しなさい。
4. 三進法で 1021 と書かれた数を、十進法で表しなさい。
5. 二進法で 11101 と書かれた数を、十進法で表しなさい。

答えと解き方

1. 26 ÷ 2 = 13 余り 0、13 ÷ 2 = 6 余り 1、6 ÷ 2 = 3 余り 0、3 ÷ 2 = 1 余り 1、1 ÷ 2 = 0 余り 1 です。余りを下の位から並べて、答えは 11010 です。確かめると、1×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 16 + 8 + 2 = 26 です。

2. 40 ÷ 3 = 13 余り 1、13 ÷ 3 = 4 余り 1、4 ÷ 3 = 1 余り 1、1 ÷ 3 = 0 余り 1 です。答えは 1111 です。確かめると、1×27 + 1×9 + 1×3 + 1×1 = 27 + 9 + 3 + 1 = 40 です。

3. 82 ÷ 3 = 27 余り 1、27 ÷ 3 = 9 余り 0、9 ÷ 3 = 3 余り 0、3 ÷ 3 = 1 余り 0、1 ÷ 3 = 0 余り 1 です。余りは 1、0、0、0、1 の順なので、下の位から並べて 10001 です。確かめると、1×81 + 0×27 + 0×9 + 0×3 + 1×1 = 81 + 1 = 82 です。途中の 0 を三つとも残します。

4. 位の重みは右から 1、3、9、27 です。1×27 + 0×9 + 2×3 + 1×1 = 27 + 0 + 6 + 1 = 34 です。確かめに 34 を三進法へ戻すと、34 ÷ 3 = 11 余り 1、11 ÷ 3 = 3 余り 2、3 ÷ 3 = 1 余り 0、1 ÷ 3 = 0 余り 1 で、1021 に戻ります。

5. 位の重みは右から 1、2、4、8、16 です。1×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 16 + 8 + 4 + 1 = 29 です。確かめに 29 を二進法へ戻すと、29 ÷ 2 = 14 余り 1、14 ÷ 2 = 7 余り 0、7 ÷ 2 = 3 余り 1、3 ÷ 2 = 1 余り 1、1 ÷ 2 = 0 余り 1 で、11101 に戻ります。

五つの答えは、どれも位の重みで元の数に戻ります。答えを書いたら、問題の数と戻した数が同じかを確かめ、桁数と割り算の回数も見てください。

覚えておくこと

• 十進法の数を N 進法に直すときは、その数を N で割り、商が 0 になるまで続ける。
• 余りは小さい位から順に出るので、最初の余りを一番右に、最後の余りを一番左に置く。
• 途中の 0 も一つの位として残す。0 を飛ばすと位がずれる。
• 位に書ける数字は 0 から N の一つ手前まで。二進法なら 0 と 1、三進法なら 0、1、2。
• 答えは位の重みを掛けて足し、元の数に戻ることで確かめる。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

桁が逆になった答えを書くお子さまは、余りを書く位置で迷っています。割り算の列の右側に余りをそろえて書き、列の下から上へ指でなぞらせます。最初の余りが一番右の位だと声に出して確かめると、向きの取り違えが減ります。

0 が抜けるお子さまは、商が 0 になる前に割り算を止めているか、余り 0 の行を書いていないかのどちらかです。割り算の回数と桁数が同じになることを、例題5 のような短い数で一緒に数えます。位の重みを右から書き出し、0 の位にも重みがあることを見せます。

十進法に戻せないお子さまは、位の重みを覚えていないのではなく、どの位から掛けるかを決めていないことが多いです。位の重みを右から 1、N、N×N と書き出させ、数字の下に重みを並べてから掛けさせます。掛けて足した結果が元の数と合わなければ、どこかの位がずれています。

答えの進法を取り違えるお子さまもいます。問題が「二進法で表しなさい」なのに、十進法の 45 をそのまま書いてしまう場合です。問題文の「何進法で」という部分に線を引かせ、最後に桁の数字が使える範囲に入っているかを確かめます。二進法の答えに 2 以上の数字があれば、進法の指定を取り違えています。

個別指導では、ノートに割り算の列と余りの矢印を書かせ、最後に必ず逆変換を書かせます。説明を聞いてうなずいても、矢印の向きを逆に書いていれば、理解ではなく記憶で答えている可能性があります。位の重みを指で数え直し、元の数に戻るところまでやって、初めて直し方が終わります。