中学受験の算数 群に分けた数の並び—各群の個数を足して通し番号を位置へ戻す｜武蔵野個別指導塾

1、2 3、4 5 6 のように群の個数が1ずつ増える並びで、通し番号を群と群の中の番号に分けて読む方法を、累計の表でたどります。迷ったときに確かめるのは群末です。

1、2 3、4 5 6、7 8 9 10 のように、数をいくつかの群に分けて並べた表があります。45が第何群の何番目かを尋ねると、45を第10群の1番目と答えるお子さまがいます。45は第9群の最後の数で、第10群は46から始まるからです。群に分けた数の並びでは、この境目の取り違えが最も多く起こります。

並び方にはいくつかの型があり、型によって群の個数が変わります。どの型でも、群の個数を上から足していった累計を1本の表にすれば、通し番号と群の位置を確実に行き来できます。ここでは、その表の作り方と読み方を、基本・標準・発展の例題と練習問題で確かめていきます。

群に分けた数の並びが苦手になるのは、数の計算そのものが難しいからではありません。群の境目がどこにあるかを、頭の中だけで決めてしまうからです。境目は目で見える形にしておくと、迷ったときに戻れます。

群に分けた数の並びの3つの型

群に分けた数の並びには、大きく分けて3つの型があります。型を見分けることが、最初の一歩です。

型1は、どの群も同じ個数で分かれる並びです。

1 2 3 | 4 5 6 | 7 8 9 | 10 11 12 | …

この並びは3個ずつで分かれています。第5群の最初の数を求めるなら、前の4つの群に3個ずつ入っているので、4×3=12個を先に数えます。その次の13番目が第5群の最初です。同じ個数ずつの型では、群の番号と個数をかけ合わせれば、前の群までの個数が出ます。ただし、かけ算に慣れていないうちは、3、6、9、12と1群ずつ足して確かめたほうが安全です。かけ算の答えと足し算の答えが一致してから先へ進みます。

型1の並びは、個数が変わらないぶんだけ規則が見えやすい型です。それでも、群の番号を1つ数え違えると同じように答えがずれます。第5群の最初を求めたら、第4群が10 11 12で終わり、その次が13であることを、必ず並びに戻して確かめます。

型2は、群の個数が1ずつ増える並びです。

1 | 2 3 | 4 5 6 | 7 8 9 10 | …

第1群は1個、第2群は2個、第3群は3個と増えます。第4群は7 8 9 10 の4個です。この型では、群の番号と群の個数が同じ数になります。第5群なら5個、第6群なら6個です。群の番号を見ただけで個数がわかるので、累計を作るときに数え間違えにくくなります。ただし、番号と個数が同じなのはこの型だけで、型3では成り立ちません。

型3は、群の個数が決まった数ずつ増える並びです。

1 2 | 3 4 5 6 | 7 8 9 10 11 12 | …

この並びは2個、4個、6個と、2ずつ増えています。3ずつ増える型なら3個、6個、9個と続きます。同じ「増える型」でも、1ずつなのか2ずつなのか3ずつなのかで、表の数はまったく変わります。まず群を書き出し、それぞれの群に何個入っているかを指で数えてから、累計の計算に進みます。

型を見分けるときは、最初の3つの群を書き出すのが確実です。第1群が1個で第2群が2個なら1ずつ増える型、第1群が2個で第2群が4個なら2ずつ増える型、第1群が3個で第2群が6個なら3ずつ増える型です。4つ目の群まで書くと、同じ個数ずつの型かどうかも見分けられます。最初の2つだけを見て決めると、たまたま同じ個数だったときに型を誤ります。

型が決まったら、問われることは大きく3つです。1つ目は「ある数が第何群の何番目か」、2つ目は「第何群の最初の数と最後の数はいくつか」、3つ目は「第何群の何番目の数はいくつか」です。どれも、通し番号と群の位置を対応させる同じ表で解けます。問題文を読んだら、まずどの向きの問いなのかを確かめます。向きが決まれば、表のどこを見るかも決まります。

用語と考え方

ここで使う言葉をそろえます。群とは、区切られた1まとまりのことです。第何群とは、先頭から数えた群の番号です。通し番号とは、並び全体の先頭から数えた位置で、1から始まります。群の中の番号とは、その群だけを見たときの順番です。群末とは、その群の最後の数のことです。累計とは、その群までの個数をすべて足した数です。

並びが1から始まる整数のとき、累計はその群の最後の通し番号と一致します。第1群が1個なら累計1、第2群が2個なら累計3、第3群が3個なら累計6です。つまり、第3群の最後の数は6で、その通し番号も6になります。図1のように、群の番号と累計を横に並べると、この対応が目で見えます。

図1では、第1群の1個、第2群の2個、第3群の3個、第4群の4個を順に足して、累計が1、3、6、10になることを示しています。第4群の最初の数は、累計6の次の7です。群の最初の数は、前の群の累計に1を足した数になります。

累計が使えるのは、それぞれの群が通し番号の続いた区間を占めているからです。第1群が1番目から1番目、第2群が2番目から3番目、第3群が4番目から6番目というように、群は前の群の次の位置から始まります。ですから、群の個数を足した累計は、その群が終わる位置をそのまま表します。累計の行が「群の終わりの位置」の一覧になっていると考えると、表の意味がつかみやすくなります。

通し番号から群を探すときは、累計の行を上からたどり、初めてその数以上になる累計を見つけます。その累計の群が、探している数の入る群です。群の中の番号は、通し番号から直前の累計を引いた数です。直前の累計が0の第1群だけは、通し番号がそのまま群の中の番号になります。

群と番目から通し番号を求める向きも同じ表でできます。前の群までの累計に、群の中の番号を足した数が通し番号です。この2つの向きを1本の表で行き来できることが、累計の表の利点です。答えを出したら、反対向きの計算で元の数に戻るかを確かめます。戻れば、群の境目の読み方も正しいと判断できます。

累計の表は、群の個数の行と必ず組にして書きます。累計だけを覚えようとすると、型の違う問題で前の表を思い出してしまい、誤りにつながります。群の番号、群の個数、累計の3行を毎回書くのは遠回りに見えますが、見直しのときにどの行が根拠かを指で示せるようになります。

並びが1から始まらない場合も同じ考え方で扱えます。5から始まる並びでは、通し番号1の数が5です。このとき数は通し番号より4大きいので、通し番号に4を足して数を求めます。群の個数の型と、並びの始まりの数を、最初に必ず確かめます。始まりの数を足し忘れると、群の位置は合っているのに数だけが4小さくなります。位置の計算と数の計算を分けて書くと、この誤りは見つけやすくなります。

群の中の番号を数えるときは、その群の最初を1番目として数えます。群の最初の数が通し番号のいくつであっても、群の中では1番目です。群の中の番号と通し番号を同じものだと思い込むと、第2群以降で必ずずれます。通し番号は並び全体の位置、群の中の番号はその群だけの位置だと、言葉を分けて覚えます。

基本例題：通し番号を群と番目に戻す

次のように、数を群に分けて並べます。

1 | 2 3 | 4 5 6 | 7 8 9 10 | 11 12 13 14 15 | …

1. 第7群の最後の数を求めてください。
2. 45は第何群の何番目ですか。
3. 第10群の最初の数を求めてください。

群の個数が1ずつ増える型です。群の番号・群の個数・累計の3行を、第10群まで書きます。累計は、前の累計にその群の個数を足して作ります。1、3、6、10、15、21、28、36、45、55となります。図2のように、表の列をそろえて書くと、群と累計の対応を読み違えません。

1. 第7群の最後の数は、累計の第7群の欄にある28です。並びが1から始まるので、累計の数がそのまま最後の数になります。

2. 45を累計の行で探します。第8群の累計は36、第9群の累計は45です。36より大きく45以下なので、45は第9群に入ります。群の中の番号は、45から直前の累計36を引いて9です。答えは第9群の9番目です。

3. 第9群の最後の数は45です。第10群はその次の数から始まるので、45に1を足して46です。

求めた答えを元の並びに戻して確かめます。第9群は37から45までの9個で、45はその最後です。第10群は46から55までの10個で、最初の数は46です。群の個数と番号の両方が合っています。

別の数え方でも同じ答えになるかを見ます。第8群の最後は36なので、そこから9個進むと、37、38、39、40、41、42、43、44、45で45に着きます。45が第9群の9番目であることは、群の書き出しからも確かめられます。累計の行と書き出しの両方が同じ答えを出せば、境目の読み方は安定しています。

この例題で覚えてほしいのは、45が累計と等しい数だという点です。第8群の累計36より大きく、第9群の累計45と等しいので、45は第9群に入ります。もし45を「次の群の始まり」と考えてしまうと、第10群の1番目という答えになります。累計と等しい数を見つけたら、その数が群の最後であることを、表の個数の欄と照合します。

標準例題：群の個数が2ずつ増える並び

次のように、数を群に分けて並べます。

1 2 | 3 4 5 6 | 7 8 9 10 11 12 | …

1. 第7群の最初の数を求めてください。
2. 100は第何群の何番目ですか。
3. 第7群の最後の数を求めてください。

この並びは、群の個数が2個、4個、6個と2ずつ増える型です。群の個数の行は2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22となり、累計は2、6、12、20、30、42、56、72、90、110、132となります。

1. 第6群の累計は42です。第7群はその次の43から始まるので、最初の数は43です。

2. 100を累計の行で探します。第9群の累計は90、第10群の累計は110です。90より大きく110以下なので、100は第10群に入ります。群の中の番号は、100から90を引いて10です。答えは第10群の10番目です。

3. 第7群の最後の数は、累計の第7群の欄にある56です。

答えを元の並びに戻して確かめます。第7群は43から56までの14個で、56から42を引くと14になり、群の個数と一致します。第10群は91から110までの20個で、100はその10番目です。群の個数の行は2、4、6、…と2ずつ増えるので、第7群の個数が14、第10群の個数が20であることも、表の同じ列で確かめられます。

型2の基本例題と比べると、同じ「増える型」でも群の個数が違います。基本例題では第7群に7個入っていましたが、この例題では第7群に14個入っています。前の問題の表をそのまま使うと、累計が半分になってしまいます。式を立てる前に、群を書き出して個数を確かめることが分かれ目です。

この例題では、群の番号と群の個数が一致しません。第7群の個数は7ではなく14です。群の番号を個数だと思い込むと、第7群の累計を28と計算してしまい、43や56という答えが出せません。群の個数の行を必ず指で追い、番号と個数を別のものとして読む練習になります。

100の位置を求めたあとは、100が第10群の10番目であることを、群の書き出しで確かめます。第10群の最初は91で、そこから10個進むと100です。91、92、93、94、95、96、97、98、99、100と数え、最後が100になることを確かめます。群の中の番号と、最初からの個数の数え方が一致しています。

発展例題：群の最後がちょうど100になる並び

次のように、数を群に分けて並べます。

1 | 2 3 4 | 5 6 7 8 9 | …

1. 第8群の最初の数を求めてください。
2. 100は第何群の何番目ですか。
3. 101は第何群の何番目ですか。

この並びは、群の個数が1個、3個、5個と2ずつ増える型です。群の個数の行は1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21となり、累計は1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121となります。

1. 第7群の累計は49です。第8群は50から始まるので、最初の数は50です。

2. 100を累計の行で探すと、第10群の累計がちょうど100です。累計と等しい数は、その群の最後の数です。ですから100は第10群の最後の数で、第11群の最初ではありません。第10群の個数は19個なので、100は第10群の19番目です。直前の累計81を100から引いても19になります。

3. 101は第10群の最後の100の次の数です。したがって第11群の1番目です。

答えを元の並びに戻して確かめます。第8群は50から64までの15個で、最初の数は50です。第10群は82から100までの19個で、100はその最後です。第11群は101から始まります。

この例題の分かれ目は、100が累計と等しくなる位置です。累計より小さいうちは次の群に進み、累計と等しくなったらその群で止まります。等号を含めるかどうかで、答えの群が1つ変わります。別の数え方として、群の個数の行を指で追い、第10群が19個であることを確かめてから、100から81を引く方法でも同じ19番目になります。

もう1つの確かめ方として、100の前後の群を書き出します。第10群は82から100までの19個、第11群は101から121までの21個です。100の次が101で、これが第11群の最初になります。100と101の間に区切りがあることを、並びの書き出しで確かめられます。

累計がちょうど100になるのは、群の個数が1、3、5、…と増える型だからです。公式に当てはめるのではなく、累計の行を1、4、9、16、25、36、49、64、81、100と1群ずつ足して確かめます。表の行を足す作業そのものが、答えの根拠になります。

誤答の実例と直し方

群に分けた数の並びで多い誤りを、5つ挙げます。どれも答えが1つずれる誤りですが、ずれる理由は違います。

1つ目は、群末の数を次の群の先頭に入れてしまう誤りです。基本例題で45を第10群の1番目と答えるのがこの型です。原因は、45が「区切りの数」に見えるため、次の群の始まりだと考えてしまうことです。直し方は、累計と等しい数はその群の最後だと決めておくことです。次の群は、累計に1を足した数から始まります。

2つ目は、前の群の最後の数と、次の群の最初の数を混同する誤りです。標準例題で第7群の最初を42と答えるのがこの型です。42は第6群の最後で、第7群の最初は43です。直し方は、群の最初を求めたら、必ず1を足したかを見直すことです。

3つ目は、群の個数の型を確かめずに、前の問題と同じ表を使ってしまう誤りです。標準例題で累計を1、3、6、10と書いてしまうと、すべての答えがずれます。原因は、1ずつ増える型の表をそのまま写すことです。直し方は、問題の並びから群を3つほど書き出し、個数を数えてから表を作ることです。

4つ目は、累計と等しい数を次の群に送る誤りです。発展例題で100を第11群の1番目と答えるのがこの型です。100は第10群の最後で、第11群は101から始まります。直し方は、累計の行で同じ数を見つけたら、その群の個数の欄を確認し、群の中の番号が個数と等しくなることを確かめることです。

5つ目は、群の中の番号に1を足してしまう誤りです。標準例題で100から90を引いた10を、11番目と答えるのがこの型です。原因は、引き算の結果が0から始まると思い込むことです。前の群の最後の次の数が1番目なので、引いた差がそのまま群の中の番号になります。

5つの誤りは、どれも「境目をどこに置くか」の判断が原因です。計算の速さや正確さの問題ではないので、計算を何度もやり直しても直りません。境目の判断は、累計の表のどの行を見たかという形で説明できるようにします。

図3は、1つ目の誤りを図にしたものです。第3群を4 5 6、第4群を7 8 9 10と区切るのが正しく、6を第4群の先頭に移すと群の個数が変わり、累計もずれます。同じ誤りは、群の最後が累計とちょうど等しくなる場所で必ず起こります。45、100、28のような数を見つけたら、いったん立ち止まり、その数がどの群の最後なのかを表で確かめます。

同じ誤りを、別の条件でも比べてみます。基本例題の並びで28を考えると、28は第7群の累計と等しいので、第7群の最後の数です。これを第8群の1番目と考えると、1つ目の誤りになります。発展例題の並びで64を考えると、64は第8群の累計と等しいので第8群の最後で、第9群の最初ではありません。累計と等しい数は、型が変わってもその群の最後になるという同じ規則で判断できます。

誤りを見つけるための合図は3つあります。答えの群が1つ後ろなら群末の送りすぎ、答えの群が1つ前なら累計の読み違い、群の中の番号が1ずれるなら引き算の位置の誤りです。合図が決まれば、見直す行も決まります。群を最初から書き直すのではなく、怪しい行だけを指でたどります。

練習問題

次の5問を解いてください。群を書き出し、累計の表を作ってから答えます。答えは5問の後にまとめて置きます。

1. 数を4個ずつに分けて並べます。5 6 7 8 | 9 10 11 12 | 13 14 15 16 | …

1. 第12群の最後の数を求めてください。
2. 90は第何群の何番目ですか。

2. 数を1個、2個、3個と増やしながら分けて並べます。3 | 4 5 | 6 7 8 | …

1. 第10群の3番目の数を求めてください。
2. 75は第何群の何番目ですか。

3. 数を3個、6個、9個と増やしながら分けて並べます。1 2 3 | 4 5 6 7 8 9 | 10 11 12 13 14 15 16 17 18 | …

1. 第6群の最初の数を求めてください。
2. 100は第何群の何番目ですか。

4. 数を1個、2個、3個と増やしながら分けて並べます。1 | 2 3 | 4 5 6 | …

1. 第15群の最後の数を求めてください。
2. 120は第何群の何番目ですか。
3. 第16群の最初の数を求めてください。

5. 数を2個ずつに分けて並べます。1 2 | 3 4 | 5 6 | …

1. 第20群の最初の数を求めてください。
2. 第20群の最後の数を求めてください。
3. 80は第何群の何番目ですか。

練習問題の答えと解き方

1. (1) 第12群までの個数は4×12=48個です。並びは5から始まるので、通し番号に4を足して数を求めます。48+4=52で、第12群の最後の数は52です。(2) 90の通し番号は、90から4を引いて86です。4個ずつの群では、第21群の累計が84、第22群の累計が88です。84より大きく88以下なので第22群に入り、86から84を引いて2番目です。第22群は89 90 91 92で、90が2番目であることを戻して確かめられます。

2. (1) 群の個数は1、2、3、…と増え、通し番号の累計は1、3、6、10、15、21、28、36、45、55です。第10群は通し番号46から55までで、数を求めるには2を足します。46番目の数は48、47番目は49、48番目は50なので、3番目は50です。(2) 75の通し番号は73です。第11群の累計は66、第12群の累計は78なので、73は第12群に入ります。73から66を引いて7番目です。第12群は69から80までの12個で、75はその7番目です。

3. (1) 群の個数は3、6、9、…と増え、累計は3、9、18、30、45、63、84、108です。第5群の累計が45なので、第6群は46から始まります。(2) 100を累計で探すと、第7群の累計84、第8群の累計108の間です。100から84を引いて、第8群の16番目です。第8群は85から108までの24個で、100はその16番目です。

4. (1) 群の個数が1ずつ増えるので、累計は1、3、6、…と増えます。第14群の累計は105、第15群の累計は120です。第15群の最後の数は120です。(2) 120は第15群の累計と等しいので、第15群の最後の数です。120から直前の累計105を引いて15番目です。第15群は106から120までの15個です。(3) 第16群は121から始まります。

5. (1) 第20群の前には19個の群があり、2個ずつで38個です。その次の39番目が第20群の最初になります。並びは1から始まるので、最初の数は39です。(2) 第20群の2番目は40なので、最後の数は40です。(3) 80の通し番号は80です。2個ずつの群では、第40群の最後の通し番号が80なので、80は第40群の2番目です。第40群は79 80で、80が最後であることを戻して確かめられます。

覚えておくこと

• 群の個数を上から足した累計は、その群の最後の通し番号になる。
• 通し番号は、累計が初めてその数以上になる群に入る。
• 累計と等しい数は、その群の最後の数である。
• 群の中の番号は、通し番号から直前の累計を引いた数である。
• 群の最初の数は、前の群の最後の数に1を足した数である。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

答えが1つ後の群になるお子さまは、累計と等しい数を次の群に送っています。累計の行を指でたどり、「この数はどの群の最後か」と言葉に出して確かめます。答えが1つ前の群になる場合は、群の個数の型を取り違えているか、累計の読み違いです。並びから群を3つ書き出し、個数を数え直すところから始めます。

群の中の番号が1ずれるお子さまは、直前の累計を引く場所を迷っています。通し番号、直前の累計、差の3つを1行に書かせ、差がそのまま番号になることを確かめます。群の最初の数が1小さいお子さまは、前の群の最後に1を足す操作を落としています。前の群の最後と次の群の最初を並べて書き、間の数が1つだけであることを見せます。

表を作らずに暗算で進めて誤る場合は、群の個数が一定か、1ずつ増えるか、決まった数ずつ増えるかを先に声に出して確かめます。そのうえで、群の番号・群の個数・累計の3行を必ず書きます。求めた答えは、群の範囲に戻して、最初の数と最後の数、群の中の番号を照合します。

練習問題で迷ったら、正解を覚えるのではなく、累計の表のどの行を見たかを説明できるようにします。説明が止まった行こそ、読み直す場所です。累計の表を1行書けば、群の境目は目で確かめられます。